2 Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian
2.3. Nguyên lý bị chặn đều
Cho E, F là các F-không gian bị chặn địa phương. Nếu B ⊂L(E, F)
bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho
sup{kAk : A ∈ B} 6 M. Khi đó, với mọi x ∈ E tồn tại Mx > 0 sao cho
Nói cách khác, nếu B bị chặn đều thì nó bị chặn điểm. Đối với không gian Banach, nguyên lý bị chặn đều khẳng định rằng mệnh đề ngược lại ở trên vẫn đúng. Sau đây ta chứng minh nguyên lý bị chặn đều vẫn đúng cho các lớp F−không gian bị chặn địa phương.
2.3.1 Định lý. Cho E là không gian p-Banach và F là không gian q- Banach. Giả sử {Ak}k∈I là họ thuộc L(E, F). Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
1) {Ak}k∈I đồng liên tục, tức là với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
kxk < δ ⇒ kAk(x)k < ε, ∀k ∈ I.
2) {Ak}k∈I bị chặn điểm, tức là với mỗi x ∈ E, tồn tại Mx > 0 sao cho
kAk(x)k< Mx, ∀k ∈ I.
3) {Ak}k∈I bị chặn đều, tức là tồn tại M > 0 sao cho
kAkk < M, ∀k ∈ I.
Chứng minh. (a)⇒ (b). Giả sử (a) đúng. Khi đó, ta tìm được δ > 0 sao cho kxk < δ ⇒ kAk(x)k < 1, ∀k ∈ I. Nếu x 6= 0 thì với y = δ 1 px kxk1p , ta có kyk = δ. Do đó kAk(y)k = kAk δpx1 kxk1p k 6 1. Suy ra kAk(x)k 6 kxk p q δpq := Mx
với mọi k ∈ I. Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với x = 0. Vậy ta thu được (b).
(b)⇒ (c). Với mỗi số tự nhiên n, đặt
Dn = {x ∈ E : kAk(x)k 6 n,∀k ∈ I}.
Do cácAkliên tục suy raDnlà đóng. Từ giả thiết (b) suy raE = ∪n>1Dn. Khi đó, theo định lý Baire về phạm trù, tồn tại Dn chứa hình cầu đóng BE(ξ, r). Suy ra
kAk(x)k 6 n
với mọi x ∈ BE(ξ, r) và với mọi k ∈ I. Do đó, nếu kxk6 r thì
kAk(x)k6 kAk(x+ξ)k+kAk(ξ)k 6 2n với mọi k ∈ I. Vì vậy
kAkkq 6 2n r
q p
= M
với mọi k ∈ I, bởi vì
kAk(x)k6 kAkkqkxkqp. Ta thu được kAkk 6 (2n) 1 q rp1 = M1q với mọi k ∈ I. (c)⇒ (a). Cho ε > 0 và δ = ε M. Khi đó, với kxk < δpq, chúng ta có kAk(x)k 6 Mkxkqp < ε với mọi k ∈ I. Do đó, họ {Ak} đồng liên tục.
2.3.2 Hệ quả. Cho E, F là các F-không gian bị chặn địa phương. Nếu
{An} ⊂ L(E, F) và An hội tụ điểm tới ánh xạ A, tức là limn→∞Anx =
Ax với mọi x ∈ E thì A ∈ L(E, F).
Chứng minh. Từ giả thiết dễ dàng suy ra A là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, từ limn→∞An(x) = A(x) suy ra
sup n>1
với mọi n. Do đó, họ {An} bị chặn điểm, suy ra nó bị chặn đều, tức là
supn>1kAnk = M < ∞. Do đó
kA(x)k = lim
n→∞kAn(x)k 6 lim
n→∞kAnkkxkpq 6 Mkxkpq
Kết luận
Luận văn đã thu được các kết quả sau:
1) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian bị chặn địa phương; không gian p−Banach; ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian bị chặn địa phương.
2) Trình bày chi tiết cách xây dựng các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn địa phương là định lý Hahn-Banach và các hệ quả; định lý ánh xạ mở và nguyên lý bị chặn đều.
3) Chứng minh chi tiết nhiều kết quả mà trong các tài liệu không chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt như: Mệnh đề 1.2.7; Định lý 1.2.11; Bổ đề 1.2.13; Định lý 1.2.14; Định lý 1.2.15; Mệnh đề 1.2.17; Hệ quả 2.1.5; Hệ quả 2.1.6; Định lý 2.2.2 và Định lý 2.3.1.
4) Trình bày một số ví dụ minh hoạ cho một số kết quả như: Ví dụ 1.1.9; Ví dụ 1.1.10; Ví dụ 1.2.9.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001),Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập I, II, NXBGD.
[2] Bayoumi, A., (1989) On holomorphic Hahn-Banach extension the- orem and properties of bounding and weakly-bounding sets in some metric vector spaces, Portugal. Math. 46, no. 3, 329-340.
[3] Bayoumi, A. (2003) Foundations of complex analysis in non locally convex spaces. Function theory without convexity condition North- Holland Mathematics Studies, 193. Elsevier Science B.V., Amster- dam.
[4] Bayoumi, A. (1990) The theory of bounding subsets of topological vector spaces without convexity condition, Portugal. Math. 47,No. 1, 25-42.
[5] Meise, R. and Vogt, D., (1997) Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York.
[6] Rudin, W., (1991) Functional analysis, Second edition. Interna- tional Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York.