Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI KHOA TOÁN – CƠ – TIN La Văn Thịnh PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH HÀM TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2013 Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI KHOA TOÁN – CƠ – TIN La Văn Thịnh PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH HÀM TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60 46 15 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2013 Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU.……… ……………………………………………………… BẢNG KÍ HIỆU CÁC KHÔNG GIAN … …………………………………… Chƣơng 1: CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Một số kết giải tích hàm khơng gian Hilbert…… ………… Khái niệm không gian Hilbert.………………………… ………… ….6 Tính trực giao hình chiếu.……………………………… ……………… Hệ trực chuẩn đầy đủ …………………………………… ……………….…7 1.2 Chuyển động Brown.……………………………………… ……………….9 1.2.1 Định nghĩa tính chất chuyển động Brown.…… …………………… 1.2.2 Tích phân ngẫu nhiên.………………………………… ………………… 14 Chƣơng 2: KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU VÀ SỰ HỘI TỤ THEO XÁC SUẤT 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 Một số kết giải tích hàm.…………………… ……………… 18 Định lý Hahn – Banach……………………………… ………………….…18 Toán tử đối ngẫu……………………………………… ……………………22 Tơpơ yếu Tơpơ yếu*…………………………… ……………………….22 Tính compact khơng gian…………………… ……………………… 28 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Sự hội tụ dãy độ đo xác suất……….……… …………………….32 Định lý giới hạn trung tâm…………………………………… ……………32 Sự hội tụ yếu dãy độ đo xác suất không gian Metric …… ….…35 Ứng dụng tính compact xác suất ………………………… ……38 Các dạng hội tụ khác biến ngẫu nhiên… ………………… ………41 Chƣơng 3: NỬA NHĨM TỐN TỬ VÀ MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 Lý thuyết nửa nhóm………………………………………………… ……43 Định lý Banach – Steinhaus ……………………………………………… 43 Các phép tốn khơng gian Banach với phiếm hàm liên tục… …….44 Các toán tử đóng ………………………………………………… ………46 Nửa nhóm tốn tử….……………………………………………… ……….51 Định lý Hille – Yosida….………………………………………… ……… 61 3.2 Ứng dụng xác suất………………………………… ………… ….67 Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 La Văn Thịnh Nửa nhóm với chuyển động Brown ……………………………… ……….67 Nửa nhóm với q trình Poisson… …………………………… …………69 Nửa nhóm với q trình Levy… ……………………………… …………70 Nửa nhóm với trình Markov …………………… ……………………78 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………… …………………… 87 Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh LỜI NÓI ĐẦU Giải tích hàm lâu đài đồ sộ tốn học, chứa đựng nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc Rất nhiều toán khó lý thuyết xác suất tiếp cận thành công cách đưa chúng ngôn ngữ giải tích hàm, sau sử dụng cơng cụ vơ phong phú giải tích hàm để xử lý Phương pháp giải tích hàm phương pháp quan trọng có hiệu việc nghiên cứu lý thuyết xác suất Đề tài luận văn thạc sĩ tơi tìm hiểu số cơng cụ giải tích hàm như: phương pháp không gian Hilbert, lý thuyết không gian đối ngẫu lý thuyết toán tử để nghiên cứu số vấn đề lý thuyết trình ngẫu nhiên định lý giới hạn lý thuyết xác suất Cụ thể, luận văn tôigồm chương sau: Chƣơng 1: Chuyển động Brown không gian Hilbert Chương nàytrình bày số kết giải tích hàm không gian Hilbert khái niệm chuyển động Brown; sau sử dụng lý thuyết khơng gian Hilbert tồn chuyển động Brown Cuối cùng, ta đề cập đến khái niệm tích phân Ito Chƣơng 2: Không gian đối ngẫu hội tụ độ đo xác suất Trong chương này, ta nói phiếm hàm tuyến tính Trình bày định lý tiếng định lý Hahn – Banach, giới thiệu ứng dụng khái niệm giới hạn Banach Sau đó, ta tiếp tục nghiên cứu tốn tử đối ngẫu, tơpơ khơng gian Banach đối ngẫu Cuối cùng, ta nghiên cứu tập compact tôpô yếu tiếp cận giải vấn đề tồn chuyển động Brown Chƣơng 3: Nửa nhóm tốn tử số q trình ngẫu nhiên.Chương tập chung nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm tốn tử, định lý tiếng giải tích hàm định lý Banach – Steinhaus định lý Hille – Yosida Sau đó, ta ứng dụng vào giải vấn đề liên quan đến số trình ngẫu nhiên như: chuyển động Brown, trình Poisson, trình Levy, q trình Markov Để hồn thành luận văn này, trước hết xin cảm ơn sâu sắc tới người thầy hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Đặng Hùng Thắng, thầy bảo tận tình giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi nhiều việc, không Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh trình làm luận văn mà q trình học tập, làm việc tơi Cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo mơn Tốn, Khoa Cơ bản, Trường Học viện Tài – nơi tơi cơng tác, người bạn giúp đỡ nhiều trình làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu, phòng sau Đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi tối đa suốt trình học tập nghiên cứu trường Tuy cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày cách sâu sắc tránh khỏi sai sót cách trình bày Rất mong nhận góp ý xây dựng thầy cơ, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2013 Học viên La Văn Thịnh Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh KÍ HIỆU CÁC KHƠNG GIAN , F, : Khơng gian độ đo, , F, P : Không gian xác suất BM : Không gian gồm hàm đo được, bị chặntrên Lp , F, , p 1: Không gian gồm hàm đo thỏa mãn p p x d l , p : Không gian gồm dãy x xn n1 thỏa mãn p xn p n 1 C S : Không gian gồm hàm liên tục x S , trang bị chuẩn supremum x sup x p pS B S : Không gian gồm hàm bị chặntrên S , trang bị chuẩn supremum BC S : Không gian gồm hàm liên tục, bị chặntrên S BM R : Không gian gồm hàm đo Borel bị chặn R BUC R : Không gian gồm hàm liên tục đều, bị chặn R C0 R : Không gian gồm hàm liên tục trừ điểm vô hạn X : Không gian phiếm hàm khả vi lần khơng gian X Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Chƣơng 1: Chuyển động Brown không gian Hilbert 1.1 Một số kết giải tích hàm khơng gian Hilbert 1.1.1.Khái niệm không gian Hilbert Định nghĩa 1.1:Cho X không gian Unita, số thực x, y gọi tích vơ hướng véc tơ x y khơng gian thỏa mãn tính chất sau: x, y y, x , x, y X x y, z x, z y, z , x, y, z X x, y x, y , x, y X, R x, x 0, x X x, x x Định nghĩa 1.2:Cho H không gian Unita chuẩn Unita Nếu H, khơng gian Banach gọi khơng gian Hilbert Ta thường nói H không gian Hilbert Định nghĩa 1.3: Hệ véc tơ x1 , x2 , , xn khơng gian tuyến tính X gọi hệ độc lập tuyến tính đẳng thức 1x1 x2 n xn i R i 1,2, , n xảy 1 n 1.1.2 Tính trực giao, hình chiếu Định nghĩa 1.4:Hai véc tơ x y không gian Hilbert trực giao với x, y , kí hiệu x y Véc tơ x trực giao với tập Y X x trực giao với phần tử Y Tập hợp tất véc tơ trực giao với Y X cho trước gọi phần bù trực giao Y kí hiệu Y Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Định nghĩa 1.5 Một tính chất không gian Hilbert là: Cho Y không gian đóng khơng gian Hilbert H Với véc tơ x X biểu diễn cách dạng: x y z, y Y, z Y y phần tử Y gần x theo nghĩa x y x u , u Y Véc tơ y phân tích gọi hình chiếu x lên khơng gian Y Đặt Px y ta xác định toán tử P gọi toán tử chiếu lên Y 1.1.3 Hệ trực chuẩn đầy đủ Định nghĩa 1.6:Một hệ x1 , x2 , , xn gồm véc tơ không gian Hilbert H 0, i j gọi hệ trực chuẩn xi , x j ij 1, i j Định nghĩa 1.7:Một hệ trực chuẩn x1 , x2 , , xn , không gian Hilbert H gọi đầy đủ span x1, x2 , , xn , trù mật H (tập M gọi trù mật H với x M giới hạn dãy xn M : lim xn x ) x Định nghĩa 1.8:Không gian metric X gọi khả ly tồn tập đếm S trù mật X Ta nói không gian Banach (không gian Hilbert) H khả ly không gian metric H,d khả ly, với metric d x, y x y Chẳng hạn, không gian C a, b, Lp a, b p 1 khả ly Định lý 1.1.1:Cho H không gian Hilbert cho xn n1 dãy trực chuẩn Khi đó,các điều kiện sau tương đương nhau: a) xn n1 đầy đủ, n b) x lim xi , x xi , x H , n c) i 1 x, y xn , x yn , y , x, y H , n 1 Page 10 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh d) x xn , x , x H , 2 n 1 e) x xn , x , x H , 2 n 1 f) x, xn 0, n 1, x H x Định lý 1.1.2 (Phương pháp trực chuẩn hóa Gram – Schmidt): x1, x2 , , xn Nếu hệ gồm véc tơ không gian Hilbert H độc lập tuyến tính ta xây dựng hệ trực chuẩn y1 , y2 , , yn cho: spanx1 , x2 , , xn span y1 , y2 , , yn Chứng minh: Với n ta chọn y1 x1 y1 (đpcm) x1 Giả sử x1 , x2 , , xn1 độc lập tuyến tính x1 , x2 , , xn độc lập tuyến tính Cho y1, y2 , , yn hệ trực chuẩn cho Y= spanx1 , x2 , , xn span y1 , y2 , , yn Véc tơ xn1 Y nên ta chọn yn1 xn1 Pxn1 P ký hiệu phép chiếu xn1 Pxn1 Y (tự kiểm tra Y không gian con) Khi đó, y1 , y2 , , yn1 hệ trực chuẩn, ngồi Pxn1 spanx1 , x2 , , xn yn1 span x1 , x2 , , xn1 span y1 , y2 , , yn1 spanx1 , x2 , , xn1 Tương tự chứng minh spanx1 , x2 , , xn1 span y1, y2 , , yn1 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1.3:Nếu khơng gian Banach X tách tồn tập đếm (có thể hữu hạn) gồm véc tơ độc lập tuyến tính mà khơng gian sinh trù mật X Chứng minh:Cho xk , k 1 trù mật X Ta xây dựng dãy (có thể hữu hạn) véc tơ yk độc lập tuyến tính cho 1.1 spanxk ,1 k n span yk ,1 k n; điều suy cl spanxn , n 1 cl span yn , n 1 định lý chứng minh Ta sử dụng quy ước sau: dãy yn hữu hạn, giả sử có n0 phần tử theo định nghĩa span yk ,1 k n span yk ,1 k n0 span yn , n 1 với n n0 Page 11 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Với n ta cho y1 x1 Ta giả sử véc tơ độc lập tuyến tính xác định theo cách mà thỏa mãn 1.1 Nếu span yk ,1 k n X ta có đpcm, ngược lại tồn số tự nhiên j cho x j span yk ,1 k n x j , j 1 nằm span yk ,1 k n bao đóng Chắc chắn j n Ta lấy j nhỏ thỏa mãn tính chất đặt yn1 x j Theo cách xây dựng x1, x2 , , xn1 x1, x2 , , x j y1, y2 , , yn1 Hệ quả: Một khơng gian Hilbert tách có hệ trực chuẩn đầy đủ đếm hữu hạn Định lý 1.1.4:Nếu H H1 hai không gian Hilbert vơ hạn chiều tồn tốn tử A : H H1 cho Ax, Ay H (Đặc biệt cho x y ta Ax H1 x, y H , x, y H x H) Hệ 1: Tất không gian tách vô hạn chiều đẳng cấu, đẳng cự với l Hệ 2: Nếu H khơng gian Hilbert khả ly tồn không gian xác suất , F, P Ax tốn tử tuyến tính A : H L2 , F, P cho với x, y H biến ngẫu nhiên Gauss tập chung Ax, Ay L ,F,P cov Ax, Ay x, y H 1.2 Chuyển động Brown 1.2.1 Định nghĩa tính chất chuyển động Brown Định nghĩa 1.9:Một trình ngẫu nhiên wt , t không gian xác suất , F, P gọi trình Wiener (hay chuyển động Brown) R bắt đầu thời điểm thỏa mãn điều kiện sau: a) véc tơ k – chiều w t1 , t2 , , tk wt , wt , , wt k có phân phối Gauss với k N t1 , t2 , , tk b) Ewt ws s t , Ewt t , s c) ánh xạ t wt liên tục w0 ngoại trừ mà P : w0 0= 0 Page 12 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Nếu t 0; a với a điều kiện a c thỏa mãn wt gọi chuyển động Brown đoạn 0;a Chú ý:Nếu w0 điều kiện a b tương đương với điều kiện sau: d) k N t1 t2 tk véc tơ: wt wt1 wt3 wt2 wt wtk 1 v t1 , t2 , , tk , , , k t t t3 t2 tk tk 1 véc tơ k – chiều có phân phối Gauss chuẩn tắc biến ngẫu nhiên wti wti 1 , i 1,2, , k độc lập với có phân phối chuẩn N 0; ti ti 1 Ví dụ 1.1:Tồn q trình t , t 0 không gian xác suất , F, P thỏa mãn a b định nghĩa 1.9 Chứng minh: Cho H L2 R A tốn tử mơ tả hệ Cho t A 10,t véc tơ t , t , , t n có phân bố Gauss R i n ta có biến ngẫu nhiên iti A i 10,ti có phân bố Gauss i 1 i 1 n Mặt khác: Et Ets 10,t ,10,s L2 R 10,t .10,s dleb t s Bây ta dùng lý thuyết không gian Hilbert để chứng minh tồn chuyển động Brown theo định nghĩa nêu trên: Ví dụ 1.2 Sự tồn chuyển động Brown đoạn 0,1 : Ta xây dựng chuyển động Brown đoạn 0,1 cách sử dụng hệ xn xác định bởi: n x2n k z2n k m 0,1 , m k với zm , , m 0,1 n 0, s ,0 1, 1 2n k s 2n s k , s R ,0 k 2n với s 1, s 0, 2 1 1, s ,1 2 Page 13 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Gọi Yn dãy biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc lập Ta xác định 1.2 Ax xn , x Yn , n 0 1.3 wt A10,t xn ,10,t Yn yn t Yn , t 0,1 n 0 n 0 Khi đó, wt thỏa mãn điều kiện định nghĩa chuyển động Brown, câu hỏi tính liên tục quỹ đạo giải t Chú ý yn t xn ,10,t xn s ds hàm liên tục, nên với bất kì, tổng riêng chuỗi 1.3 hàm liên tục Ta chứng minh chuỗi hội tụtuyệt đối hội tụ theo t 0,1 với hầu hết Ta có 2n 1 wt y2n k t Y2n k , n 0 k 0 n 1 an sup y2n k t Y2n k 0t 1 k 0 Chắc chắn, a n 0 ta có đpcm Nhận thấy với n N hàm n y2n k ,0 k 2n có giá rời sup y2n k t sup y2n t y2n 0t 1 an 0t 1 n 1 2 n 1 2 n n 1 2 n 1 2 , sup Y2n k 0 k 2n 1 Ta muốn tìm chuỗi hội tụ b n 1 n số không âm cho an bn với số số n hữu hạn ngoại trừ tập có độ đo Mặt khác, ta muốn chứng minh tập cho an bn với tập số n vơ hạn có độ đo Xác suất biến cố lim Z ak bk lim Z ak bk Do ta cần chứng minh n k n n k n n lim P an bn đủ Viết cn bn n n 1 Page 14 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh n2 1 P an bn P 2 sup Y2n k bn P sup Y2n k 2cn 0 k 2n 1 0 k 2n 1 2n 1 P Y2n k 2cn k 0 2n cn 2 se cn s2 2n1 2 e s2 ds cn 2n ds e 2cn cn 2 Để chuỗi cuối hội tụ ta phải có 2cn2 n cn 2 P an bn n 1 n 1 e n n n Khi đó, b n 1 n n 1 n n2 hội tụ Như ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.3: Chuyển động Brown R : Để xây dựng chuyển động Brown R , ý ta phải bắt đầu với ma trận Yn,m ; n, m biến ngẫu nhiên Gauss độc lập xây dựng dãy độc lập chuyển động Brown 0,1 : wtk yn t Yn ,k Mặt khác, với k s1 , s2 , , sk 0,1 số nguyên n 0 n1 , n2 , , nk đôi khác nhau, biến ngẫu nhiên wsnkk độc lập Khi đó, ta xác định t 1 wt w1n wtt , t n 0 tương tự wt0 , t 0,1 , t 1, 2 , w1 wt 1 , wt w1 w1 wt 2 , t 2,3 , Mặt khác, wt xác định để với bất kì, wt khoảng n, n 1 quỹ đạo mà phát triển chuyển động Brown đoạn 0,1 , bắt đầu wn độc lập với khứ (đặc biệt hơn, wt wn độc lập với khứ) Tính chất chuyển động Brown:Cho wt chuyển động Brown R Khi ta có tính chất sau: Page 15 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh w chuyển động Brown, a at i với a bất kỳ, ii với s bất kỳ, wt ws chuyển động Brown, độc lập với wu , u s , iii wt chuyển động Brown, iv tw1 chuyển động Brown t Quỹ đạo chuyển động Brown khơng có biến phân giới nội: Ta chứng minh quỹ đạo chuyển động Brown khơng có biến phân giới nội khoảng Khơng tính tổng qt, ta hạn chế biến phân quỹ đạo 2n 0,1 Cố định xác định w k wk 1 Chắc chắn vn1 k 1 2n 2n ta phải xác định v lim Điều kiện đủ ta chứng minh v h.c.c n Eev Chú ý rằng, biến ngẫu w k wk 1 ,0 k 2n nhiên độc lập 2n 2n phân phối Do vậy, theo định lý hội tụ trội Lebesgue, ta có Ee v lim Ee n 1 Cho t n Vì Ee wt 2 t e ts e s2 2 ds e t e 2n lim E e n e s e u2 du w k wk 1 2n 2n k 1 s2 2t w n lim Ee n 2n 2 s s2t ds e e ds t 0 u s t t nên u u t v 2 Ee lim e e du e exp lim ln e du t 0 t 0 t t t 1 u 2t e exp lim e du e t 0 t t Một tính chất quan trọng chuyển động Brown là: hầu hết quỹ đạo khơng khả vi Điều suy từ kết luận wt khơng có biến phân giới nội Định nghĩa 1.10: Cho , F, P không gian xác suất Họ đại số Ft , t tập đo được: Ft Ft h F với t , h gọi lọc Page 16 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Quá trình ngẫu nhiên X t , t gọi martingale tương ứng với lọc Ft , t X t Ft đo được, X t L1 , F, P E X t h Ft X t , t , h Đặc biệt hơn, ta nói X t , t martingale ứng với lọc Ft , t P Chuyển động Brown martingale vớithời gian liên tục Thật vậy, E w t h Ft E w t h w t Ft E w t Ft w t w t h w t độc lập với Ft w t Ft đo Tương tự, X t w2 t t martingale Ta công nhận định lý sau đây: Định lý 1.1.5 (Levy):Một martingale w t , t với quỹ đạo liên tục w thỏa mãn w2 t t martingale, chuyển động Brown 1.2.2.Tích phân ngẫu nhiên Trong mục này, ta cố định chuyển động Brown w t , t , F, P , lọc tự nhiên Ft w s , s t Ta trình bày khái niệm tích phân Ito Hàm lấy tích phân: Hàm dấu tích phân tích phân Ito trình x x t , bình phương khả tích mà “khơng phụ thuộc vào tương lai” Ta cần yêu cầu sau: x : a, b , M a, b F R, M R hàm đo b x t , d P hữu hạn a x đo lũy tiến theo nghĩa sau: với t a, b x1t M a, t Ft w s , s t đo được, t 0, t Tập A M a, b F gọi đo lũy tiến A t M a, t F t Ta dễ dàng kiểm tra tập hợp I gồm tập đo lũy tiến cấu tạo nên đại số Ngồi ra, q trình x đo lũy tiến đo theo I Thật vậy, theo định nghĩa x đo lũy tiến với t a, b x1t x1 t 1 M a, b Ft đo Điều nghĩa A M a, b Ft , A M R , t a, b x1 A 1t M a, b Ft , A M R , t a, b Page 17 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh x 1 A I , A M R , đẳng thức cuối chứng tỏ x I đo Định nghĩa 1.11:Một trình gọi đơn giản tồn n , phân hoạch a t0 t1 tn b xti L2 , Fti , P cho n 1 x t , xti 1ti ,ti 1 t xtn 1 1b i 0 Ta ý trình đơn giảnsẽ bình phương khả tích Thật vậy, n 1 x t, d P xti i 0 b n 1 a i 0 x d Pdleb xti L2 ,F ,P L2 ,F ,P 1ti ,ti 1 t xtn 1 L2 ,F ,P 1b ti1 ti Ta khẳng định: trình đơn giản tạo nên tập trù mật L2p , để chứng minh ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề:Xét không gian L2 a, b gồm hàm nhận giá trị thực, bình phương khả tích đoạn a, b , toán tử Tn , n không gian xác định n2 Tn x t i x 1ti 1 ,ti t , i 0 n i x ba ti 1 x s ds ti i Tn x x b a Khi đó, Tn lim n n Chứng minh:Ta có ti a t b a n2 b a i 1 Tn x i x x s ds n n ti i 0 i 0 n2 ba n i 0 ti 1 ba n i 0 ti 1 n2 n2 ti 1 x s ds ds (BĐT Cauchy – Schwartz) ti ti x s ds x ti Do đó, Tn Dấu đẳng thức xảy lấy xn t 10,tn1 t Để chứng minh đẳng thức lại, ý x 1 c ,d a c d b Tn x t x t với n n0 n0 t ngoại trừ t c t d Page 18 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Hơn Tn x t 1a ,b theo định lý hội tụ trội Lebesgue Tn x hội tụ đến x n Vì tập hàm dạng tuyến tính x trù mật L2 a, b nên ta có đpcm Bây giờ, ta chứng minh khẳng định vừa nêu Thật vậy, ta lấy x từ không gian L2p ý với hầu hết x t x t , L2p Do đó, ta có sử dụng tốn tử Tn từ bổ đề để xác định trình đơn giản xn t , Tn x t với đặt trường hợp lại Bây giờ, ta có b xn x L2p Tn x t , x t , dtd P Tn x x a L2p d P Theo bổ đề, hàm dấu tích phân hội tụ đến bị chặn x x L2p d P x L2p L2p Ngoài ra, nên tích phân hội tụ đến (đpcm) Đẳng cự Itơ: Với q trình đơn giản x ta đặt n 1 I x xti w ti 1 w ti thời điểm b i 0 Ta chứng minh I x L2 , F, P I x L2 ,F ,P x L2p Đây đẳng cự Itơ Chú ý: ta sử dụng kết w t , t w2 t t , t martingale Bước 1: E w t w s Fs E w2 t w2 s Fs t s, t s Bước 2: Ta chứng minh xti i bình phương khả tích được, i w ti1 w ti xt i i L ,F ,P ti 1 ti xti L2 ,F ,P Bước 3: Chú ý xt2i x2 k i2 k i2 , k N hàm khả tích Fti đo ti được, tính tốn Ext2i x2 k i2 EE xt2i x2 k i2 Fti Ext2i x2 k E i2 Fti ti 1 ti Ext2i x2 k ti ti ti ti Bây giờ, ta có I x n 1 L2 ,F ,P Ext2i i2 i 0 0i j n 1 Exti xt j i j Page 19 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất n 1 ti 1 ti Ext2i i 0 x L2p 2 0i j n1 0i j n 1 EE xti xt j i j Fti Exti i xt j E j Fti x L2p La Văn Thịnh 0 x L2p (đpcm) Định nghĩa 1.12: Cho trình đơn giản x Tích phân Itơ q trình x kí b hiệu xác định I x xd a Tích phân Itơ martingale.Thật vậy, dễ dàng thấy với a b c b c a a x L2p a, c ta có xd x1a ,b d Theo tính chất tuyến tính: c b c a a b xd xd xd c Ta có E xdw với q trình đơn giản, với a trình x L2p a, c E hàm tuyến tính bị chặn L2 , F, P Cuối cùng, c E xdw Fb Fb w s ,0 s b Thật vậy, x trình b đơn giản E xti i Fti xti E i Fti với i n ta có điều phải chứng minh (đpcm) t Bây giờ, giả sử x L 0, t , t , ta xác định y t xdw p Quá trình y t , t martingale với thời gian liên tục lọc Ft , t , kế thừa từ chuyển động Brown Thật vậy, s st s E y t Fs E xdw Fs E xdw Fs xdw y s 0 s s xdw Fs đo giới hạn hàm Fs đo Page 20 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Chƣơng 2: Không gian đối ngẫu hội tụ theo xác suất 2.1 Một số kết giải tích hàm 2.1.1 Định lý Hahn – Banach Định nghĩa 2.1:Tập S gọi phần theo thứ tự tồn quan hệ R S (quan hệ S tập tập S S ) cho: p1, p2 R p2 , p1 R p1 p2 b) p1 , p2 R p2 , p3 R p1 , p3 R Ta viết p1 p2 thay cho p1 , p2 R Ta nói tập a) S phần theo thứ tự tập tuyến tính với p1 , p2 S ta có p1 p2 p2 p1 Một phần tử p S gọi cận tập S S p p, p S Một phần tử pm S S gọi tối đại S với p S pm p pm p Bổ đề (Kuratowski – Zorn):Nếu S tập phần tập tuyến tính S có cận S phải có phần tử tối đại Định nghĩa 2.2:Nếu X không gian tuyến tính định chuẩn khơng gian ánh xạ tuyến tính xác định từ X vào R gọi khơng gian phiếm hàm tuyến tính Khơng gian đại số gồm phiếm hàm tuyến tính bị chặn X gọi khơng gian đối ngẫu X ký hiệu X* Ký hiệu phần tử X* F , G, Giá trị phiếm hàm F véc tơ x ký hiệu Fx F , x Định lý 2.1.1:Cho F phiếm hàm tuyến tính khơng gian định chuẩn X L x X : Fx 0 Khi đó, điều kiện sau tương đương: a) F bị chặn b) F liên tục c) L đóng Page 21 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh d) L X tồn y X r cho Fx 0, với x : x y r Định lý 2.1.2 (Hanh – Banach):Cho M Y không gian đại số không gian định chuẩn X Giả sử F phiếm hàm tuyến tính Y thỏa mãn X thỏa mãn: Fy M y , y Y Khi tồn phiếm hàm tuyến tính F y Fy, y Y Fx M x , x X F Chứng minh: Để chứng minh định lý ta cần sử dụng bổ đề sau đây: Bổ đề 2:Giả sử X không gian định chuẩn, Y không gian đại số x Y Đặt Z z X : z y tx y Y, t R Khi Z khơng gian X , bị đóng Y đóng Biểu diễn z y tx phần tử thuộc Z Bổ đề 3:Với ký hiệu trên, giả sử tồn phiếm hàm tuyến tính F Y* số Z* cho: M cho Fy M y , y Y Khi tồn F y Fy, y Y Fz M z , z Z F Trở lại chứng minh định lý : Với X Y định lý trở nên tầm thường, ta giả sử X Y Xét họ S cặp Z, FZ không gian Z hàm FZ Z cho: a) Y Z b) FZ y F y , y Y c) FZ z M z , z Z Theo bổ đề S Ta viết Z, FZ Z, FZ Z Z FZ z FZ z với z Z Dễ thấy S với quan hệ tập phần Giả sử ta chứng minh tồn phần tử tối đại Zm , Fm S Khi ta có Zm X , mặt khác theo bổ đề ta mở rộng Fm đến khơng gian chứa Z m tập thực sự, mâu thuẫn với tính tối đại phần tử Zm , Fm Do theo bổ đề Kuratowski – Zorn cần chứng minh tập tuyến tính S S có cận Với tập U ta có: S Zu , Fu , u U Fu FZu Cho Zb Zu Nếu x Zb y Zb u, v U cho x Zu y Zv Vì S uU tập tuyến tính nên Zu Zv Zv Zu Do x y Page 22 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh thuộc Zu Z v x, y Zb Vì vậy, tổ hợp tuyến tính phần tử Zb thuộc tập Zb nên Zb không gian đại số X Tương tự người ta chứng minh z Zu Zv với u, v U Fu z Fv z Điều cho phép ta định nghĩa hàm Fb Zb xác định bởi: Fb z Fu z , z Zu Định nghĩa không phụ thuộc vào cách chọn phần tử u Theo kết luận Fb phiếm hàm tuyến tính Mặt khác cặp Zb , Fb thỏa mãn a c cận S + Dƣới vài ứng dụng định lý Hahn – Banach: Tách véc tơ từ không gian con:Cho Y không gian không gian Banach X x Y Tồn phiếm hàm tuyến tính bị chặn F X cho Fx Fy 0, y Y Ta định nghĩa hàm F Z từ bổ đề xác định F y tx td x, Y t.inf x y yY Theo bổ đề F phiếm hàm tuyến tính bị chặn Z thỏa mãn Fz z với z Z Fx Theo định lý Hahn – Banach phiếm hàm mởrộng đến tồn khơng gian X mà F X* 1 Định lý 2.1.3 (Giới hạn Banach): Cho L phép tịnh tiến trái L n n1 n1 n1 l cho e phần tử l với tất tọa độ Khi đó, tồn phiếm hàm B l cho B , a) BL B Be , b) B n n1 với n 0, n , c) liminf n B n n1 limsup n , n n d) B n n1 lim n giới hạn tồn n + Cấu trúc phiếm hàm tuyến tính khơng gian Banach: Định lý 2.1.4: Cho X c0 không gian dãy x n n1 thỏa mãn lim n n trang bị chuẩn supremum F phiếm hàm X tồn dãy n n1 l1 cho Page 23 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Fx n n n 1 chuỗi n 1 n n hội tụ Mặt khác F c0* n n1 l1 ( c0* đẳng cấu với l1 ) Định lý 2.1.5: Cho X l1 F phiếm hàm X tồn dãy n n1 l cho Fx n n , x n n1 l1 n 1 chuỗi n 1 n n hội tụ Mặt khác F l1 * n n1 l ( l1 đẳng cấu với l ) * Định lý 2.1.6: Cho X C 0;1 không gian hàm liên tục đoạn 0;1 F phiếm hàm tuyến tính X tồn độ đo có dấu Borel 0;1 cho Fx xd F BM0;1 Định lý 2.1.7 (Riesz): Cho S không gian tôpô compact địa phương C0 S không gian phiếm hàm liên tục triệt tiêu điểm vô hạn F phiếm hàm C0 S tồn độ đo (có dấu) hữu hạn S cho Fx xd Mặt khác, F S C0* S tổng biến phân Hệ 1:Với phiếm hàm tuyến tính C , tồn độ đo Borel R số thực a b cho Fx xd ax bx Hệ 2: Nếu T toán tử C0 R mà giao hốn với tất phép tịnh tiến Tt , t cho Tt x x t , tồn độ đo Borel (có dấu) R cho Tx x d Page 24 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Định lý 2.1.8: Cho , F , không gian độ đo hữu hạn F phiếm hàm tuyến tính bị chặn X L1 , F , tồn hàm y L , F , cho Fx xyd Trong trường hợp F y L , F , 2.1.2 Toán tử đối ngẫu Định nghĩa 2.3:Cho X Y không gian Banach, A L X, Y toán tử Cho phiếm hàm F Y , ánh xạ F A phiếm hàm tuyến tính X Vì F A X* F Y* A L X,Y nên ánh xạ F F A ký hiệu A* - ánh xạ tuyến tính bị chặn từ Y* vào X* A* A Toán tử A* gọi toán tử đối ngẫu toán tử liên hợp toán tử A Với x X , Ax sup FY* , F 1 FAx sup A* Fx A* x nên ta có A A* FY* , F 1 A A* Ngồi ra, ta nhận thấy A* toán tử liên hợp A với x X F Y* ta có F , Ax A* F , x Chú ý: Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert tốn tử tự liên hợp A A* n k U x Px, x H , n n k 1 Định lý 2.1.9 (Von Neumann):Nếu U tốn tử unita lim P phép chiếu không gian H1 x Ux x Ker U I Tốn tửbị chặn U khơng gian Hilbert H gọi toán tử unita toán tử nghịch đảo (cả bên trái bên phải) tồn U * Mặt khác ta có UU * U *U I Chú ý U toán tử unita Ux,Uy x, y với x, y H Đặc biệt toán tử unita đẳng cấu với H 2.1.3 Tôpô yếu tôpô yếu* Các tập xác định tính hội tụ: Cho Y khơng gian Banach Tập Y* gọi tập xác định tính hội tụ tách điểm Y , tức với y1 , y2 Z* tồn phiếm hàm F cho Fy1 Fy2 Cho U A tôpô nhỏ Page 25 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Y với F liên tục Họ tập Y có dạng: U y0 , F , y Y; Fy Fy0 y0 Y, F Y cho trước, sở tôpô Chú ý U A không gian tôpô Hausdorff với tách điểm Y Theo định nghĩa, U A nhỏ tôpô mạnh Y Ta với U y0 , F , tồn số cho hình cầu mở B y0 , U y0 , F , Dãy yn hội tụ đến y Y tôpô U A lim Fyn Fy với n F Dãy có tính chất gọi lưới Vì tách điểm Y nên có y Thực tế ta có lim yn y (trong tơpơ mạnh) lim yn y (trong U A ) n n điều thử lại sau: F U A , Fyn Fy F yn y Tất tơpơ có dạng tôpô yếu Ta nghiên cứu loại tơpơ quan trọng là: tơpơ yếu tơpơ yếu* + Tôpô yếu:Theo định lý Hahn – Banach, Y* tập xác định tính hội tụ Theo kết trên, tôpô U A Y gọi tôpô yếu Ví dụ 2.1: Như ta biết, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, liệu điều ngược lại có khơng? Câu trả lời khơng, chẳng hạn ta xét dãy ek n ,k n1 c0 Chắc chắn ek el k l ek không hội tụ tôpô mạnh k Tuy nhiên, F c0* có dạng xác định định lý 2.1.4, k Fek k , điều chứng tỏ dãy ek hội tụ yếu đến phiếm hàm Ví dụ 2.2: Giả sử yn Fyn hội tụ Từ liệu suy dãy yn hội tụ yếu không? Câu trả lời không, đặc biệt Y tương đương với tôpô yếu không Để rõ vấn đề này, ta xét ví dụ không gian C S hàm liên lục không gian compact, giả sử người ta xây dựng dãy phiếm hàm bị chặn thực yn C S Vì sup yn nên yn hội tụ điểm đến phiếm hàm y C S n 1 Cho F C S có tồn độ đo S cho Fyn yn d hội tụ đến * S yd theo định lý Lebesgue Dominated Convergence Mặt khác, dãy yn không hội S tụ đến y0 C S kéo theo Page 26 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh yd y d , C S p y p , p S , điều không xảy * tương tự lấy p , y0 Mệnh đề: Cho yn dãy bị chặn không gian Banach Y , Y0* Y* trù mật tuyến tính Y* giả sử lim Fyn Fy với F Y0* n Khi đó, yn hội tụ yếu đến y k Chứng minh: Cho F Y* Cố định Tồn tổ hợp tuyến tính G i Fi i 1 phần tử Y0* cho F G với M sup yn y Tất nhiên 3M n1 lim Gyn Gy Cho n0 đủ lơn cho G yn y n Khi F yn y F G yn G yn y G F y 3M yn 3M y Ví dụ 2.3: Giả sử , F, không gian đo hữu hạn Dãy yn gồm phần tử thuộc Lp , F, , p dãy hội tụ yếu khi: a) yn bị chặn b) Dãy yn d hội tụ với tập A đo với độ đo hữu hạn A Chứng minh: Điều kiện cần: a ) thảo luận trên, b) suy từ: tập A đo với độ đo hữu hạn Fy yn d phiếm hàm tuyến tính bị chặn A Lp , F, , theo BĐT Holder: Fy Lp q 1A d y A Lq A q y Lq Để chứng minh điều kiện đủ, ta tập hàm tiêu 1A A tập đođược hữu hạn tập trù mật tuyến tính Lq , F, Do đó, theo mệnh đề người ta dãy xy d n xy d n hội tụ với x Lq , F , , dãy Cauchy Cho Hx lim xyn d Rõ ràng, H tuyến tính n Hx x Lq , F , sup yn nN Lp , F , Do H Lp , Lp , F, đẳng cấu với Lq , F, nên tồn y Lq * Page 27 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh cho xyd lim xyn d n Ví dụ 2.4: Trong khơng gian l tôpô yếu tôpô mạnh tương đương với Chứng minh: Theo tính tuyến tính, ta cần chứng minh: dãy xk , k gồm phần tử l hội tụ yếu đến hội tụ mạnh đủ Giả sử điều khơng Khi đó, xk khơng hội tụ đến Dãy số không âm không hội tụ đến có chứa dãy số dương hội tụ đến số dương Mặt khác, dãy dãy hội tụ yếu dãy hội tụ yếu Do đó, khơng tính tổng qt, ta giả sử xk xk lim xk r xk Lấy yk k chứa dãy yk k ,n n1 hội tụ đến thỏa mãn yk k ,n Ta chứng minh dãy không tồn n 1 Theo định lý 2.1.5 với dãy bị chặn n n1 ta có lim nk ,n Đặc k n 1 biệt, lấy n l ,n , n 1, l ta nhận thấy limk ,l 0, l k Ta xác định hai dãy với số nguyên ki , i ni , i sau: đặt k1 n1 chọn n1 cho 1, n n 1 Theo trên, ta chọn ki ni ta chọn ki 1 đủ lớn thỏa mãn ki 1 ki , chọn ni 1 để có ni 1 n ni 1 k i 1 , n ni n 1 ki 1 , n sau đó, yk 1, k nên ta Bây giờ, đặt n signk ,n với n Ai : ni 1 1, , ni n0 : cho F i phiếm hàm tuyến tính liên tục l mà có liên quan đến dãy bị chặn Khi đó, ta có: Fxk nk ,n nk ,n k ,n nk ,n i i nAi k ,n k ,n k ,n nAi i nAi i nAi i nAi i nAi i nAi i , mâu thuẫn với dãy xk hội tụ yếu đến i i + Tôpô yếu*:Tất phần tử Y phiếm hàm xác định X ta xét phiếm hàm Y có dạng y y x với x X cố định Theo định lý Hahn – Banach tập tập xác định tính hội tụ Tơpơ xây dựng Page 28 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Y gọi tôpô yếu* Chú ý tập U y , x , y Y y x y0 x có dạng sở tơpơ yếu* Dãy yn hội tụ đến y tôpô lim yn x y x , x X Một ví dụ quan trọng tôpô trường hợp n C S với S không gian compact Khi đó, Y X* khơng gian độ đo Borel S n Y hội tụ đến lim xd n lim xd n , x C S n n Chú ý tôpô yếu* yếu tơpơ yếu, để minh chứng điều ta xét ví dụ: Nếu n p p hội tụ đến p tôpô yếu* không hội pn S 0,1 , pn n tụ tơpơ mạnh tơpơ yếu Ví dụ 2.5:Sự hội tụ yếu* dãy n gồm độ đo xác suất hội tụ đơn giản độ đo giới hạn độ đo tập trung điểm , trường hợp điề Page 29 ... đưa chúng ngơn ngữ giải tích hàm, sau sử dụng công cụ vô phong phú giải tích hàm để xử lý Phương pháp giải tích hàm phương pháp quan trọng có hiệu việc nghiên cứu lý thuyết xác suất Đề tài luận... 87 Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh LỜI NĨI ĐẦU Giải tích hàm lâu đài đồ sộ tốn học, chứa đựng nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc Rất nhiều tốn khó lý thuyết xác suất tiếp... cơng cụ giải tích hàm như: phương pháp khơng gian Hilbert, lý thuyết khơng gian đối ngẫu lý thuyết tốn tử để nghiên cứu số vấn đề lý thuyết trình ngẫu nhiên định lý giới hạn lý thuyết xác suất Cụ