Khảo sát các soliton trong môi trường phi tuyến ở chế độ tán sắc thường và dị thường bằng phương pháp giải tích

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Vế TH LAN PHNG KHảO SáT CáC SOLITON TRONG MÔI TRƯờNG PHI TUYếN CHế Độ TáN SắC THƯờNG Và Dị THƯờNG BằNG PHƯƠNG PHáP GIảI TíCH LUN VN THC S VT Lí Vinh - 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Vế TH LAN PHNG KHảO SáT CáC SOLITON TRONG MÔI TRƯờNG PHI TUYếN CHế Độ TáN SắC THƯờNG Và Dị THƯờNG BằNG PHƯƠNG PHáP GIảI TíCH Chuyờn ngnh: Quang hc Mó s: 60.44.01.09 LUN VN THC S VT Lí Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS V NGC SU Vinh - 2013 LI CM N Lun c hon thnh di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS V Ngc Sỏu Qua õy tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc v kớnh trng ca mỡnh i vi thy ngi ó t , hng dn, giỳp cho tỏc gi sut thi gian nghiờn cu va qua Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy, cụ giỏo khoa Vt lý, khoa o to Sau i hc, cỏc cỏn b tham gia ging dy ti lp cao hc v cỏc bn hc viờn ó to iu kin thun li v giỳp tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi cng xin cm n gia ỡnh, bn bố v ng nghip ó giỳp tỏc gi hon thnh lun ny Vinh, thỏng 05 nm 2013 Vừ Th Lan Phng MC LC Trang M U Chng PHNG TRèNH LAN TRUYN XUNG NH SNG TRONG MễI TRNG TN SC PHI TUYN 1.1 Mụi trng quang hc phi tuyn 1.2 Phng trỡnh súng phi tuyn 11 Kt lun chng 21 Chng KHO ST CC SOLITON TRONG MễI TRNG PHI TUYN CH TN SC THNG V D THNG 22 BNG PHNG PHP GII TCH 2.1 Ch tỏn sc d thng 2.1.1 Trng hp A: l cỏc s thc 2.1.2 Trng hp B: 1, l s phc 2.1.3 Cỏc trng hp c bit 2.2 Ch tỏn sc thng 24 27 29 31 39 2.2.1 Trng hp A: l cỏc s thc 41 2.2.2 Trng hp B: 1, l s phc Kt lun chng 44 KT LUN CHUNG 49 TI LIU THAM KHO 50 48 M U Nghiờn cu quỏ trỡnh lan truyn xung ỏnh sỏng mụi trng vt cht l mt nhng c bn v quan trng ca ngnh quang hc Quỏ trỡnh lan truyn xung ỏnh sỏng mụi trng quang hc phi tuyn l mt quỏ trỡnh phc v chu nh hng ca nhiu hiu ng nh hiu ng tỏn sc tc nhúm, hiu ng t bin iu pha, phi tuyn bc cao Vic nghiờn cu quỏ trỡnh lan truyn xung ỏnh sỏng mụi trng tỏn sc phi tuyn ó c bt u t rt sm Nhng nghiờn cu ny, mt mt mang tớnh nghiờn cu c bn nhm lm sỏng t nhng quỏ trỡnh vt lý xy tng tỏc gia cỏc mụi trng vi xung ỏnh sỏng, mt khỏc trc tip úng gúp vo vic phỏt trin cụng ngh truyn thụng quang hin i Khi xung ỏnh sỏng lan truyn mụi trng tỏn sc, dng ca nú liờn tc thay i vỡ cỏc thnh phn tn s khỏc lan truyn vi tc nhúm khỏc Khi mụi trng l phi tuyn thỡ quỏ trỡnh bin iu pha s lm thay i pha, cng nh tn s ca phn cng yu v cng mnh i mt lng khỏc Do tỏn sc tc nhúm nờn cỏc thnh phn khỏc s truyn lan vi tc nhúm khỏc v dng ca nú thay i Quan h tng h gia t bin iu pha v tỏn sc tc nhúm s lm cho xung gión rng hoc co li ph thuc vo hng v ln ca hai hiu ng trờn Trong mt iu kin nht nh hiu ng t bin iu pha v hiu ng tỏn sc tc nhúm s cõn bng Hay hiu ng dch tn t bin iu pha bự tr hon ton vi s m rng t nhiờn mụi trng tỏn sc hiu ng tỏn sc tc nhúm Do ú dng ban u ca xung s gi nguyờn quỏ trỡnh lan truyn tng t nh lan truyn mụi trng khụng phi tuyn, khụng tỏn sc Soliton xut hin v khụng b m rng Soliton s tr thnh mt riờng ca h tỏn sc phi tuyn Xung soliton quang khụng thay i hỡnh dng quỏ trỡnh truyn lan v tr thnh dng xung lớ tng thụng tin quang Bi toỏn mụ t quỏ trỡnh ny l tỡm li gii ca phng trỡnh súng phi tuyn cho quỏ trỡnh lan truyn ca ng bao xung Vic thit lp phng trỡnh lan truyn xung ỏnh sỏng v gii tỡm nghim chớnh xỏc ca nú l rt quan trng quỏ trỡnh nghiờn cu s lan truyn xung quang hc phi tuyn i vi nhng nghiờn cu v lan truyn xung quang hc mụi trng phi tuyn, xut phỏt im l lý thuyt in t ca Maxwell Lý thuyt ny cú u im l mụ t tt cỏc quỏ trỡnh in t mt gii hn khỏ rng nhng li rt n gin v p v mt toỏn hc Trờn c s ny lan truyn xung c mụ t theo phng phỏp gn ỳng bi cỏc quỏ trỡnh phi tuyn l rt phc Khi ú lan truyn xung ỏnh sỏng c biu din bng phng trỡnh ca hm bao bin thiờn chm Phng trỡnh ca hm bao bin thiờn chm mụi trng phi tuyn kiu Kerr cỏc khai trin bc thp cú dng phng trỡnh Schrodinger phi tuyn (NLSE) Trong phng trỡnh ny ta b qua nh hng ca cỏc hiu ng tng ng vi khai trin bc cao Lỳc ny xung ch chu nh hng ca hai hiu ng tỏn sc tc nhúm (GVD) v hiu ng t bin iu pha (SPM) nh hng ca hai hiu ng ny mt iu kin nht nh s hỡnh thnh soliton Soliton quang hc l i tng ca nhiu nghiờn cu v mt lý thuyt cng nh thc nghim sut ba thp k qua bi nhng ng dng mnh m, tim tng truyn dn thụng tin ng di v ton b cỏc thit b chuyn mch quang cc nhanh Soliton ngy cng cú v th quan trng cụng ngh truyn thụng v tr thnh tõm im nhiu ti nghiờn cu khoa hc S tn ti dng xung soliton si quang l ni dung quan trng nghiờn cu quỏ trỡnh lan truyn xung ỏnh sỏng mụi trng phi tuyn núi chung v si quang n mode núi riờng Vỡ vy vi lớ trờn, chỳng tụi chn Kho sỏt cỏc soliton mụi trng phi tuyn ch tỏn sc thng v d thng bng phng phỏp gii tớch lm ti nghiờn cu lun tt nghip ca mỡnh Cu trỳc lun c trỡnh by nh sau: Phn m u Phn ni dung Chng 1: Phng trỡnh lan truyn xung mụi trng tỏn sc phi tuyn Trỡnh by mt s v mụi trng phi tuyn, s phõn cc in mụi, hm phõn cc T h phng trỡnh Mawxell dn phng trỡnh lan truyn súng phi tuyn Chng 2: Kho sỏt cỏc soliton mụi trng phi tuyn ch tỏn sc thng v d thng bng phng phỏp gii tớch Trỡnh by mi quan h gia h ng hc hu hn chiu hon ton kh tớch v lp nghim ca NLSE t ú xỏc nh cu trỳc ca h ng hc hu hn chiu hon ton kh tớch qua ú tỡm c nghim ca NLSE ch tỏn sc thng v d thng i sõu vo phõn tớch mt s trng hp c bit ca nghim ca NLSE cho nghim dng xung soliton Cui cựng l kt lun chung v ti liu tham kho Chng I PHNG TRèNH LAN TRUYN XUNG NH SNG TRONG MễI TRNG TN SC PHI TUYN 1.1 Mụi trng quang hc phi tuyn Khi ta t in mụi vo mt trng in t thỡ mụi trng ú s xut hin cỏc mụmen lng cc Ta núi in mụi b phõn cc Hin tng phõn cc th hin s ỏp ng ca mụi trng in mụi cú trng in t tng tỏc Cú ba loi phõn cc xy ú l phõn cc in t, phõn cc ion, phõn cc quay Phõn cc in t cỏc in t dao ng xung quanh v trớ cõn bng, xy sau thi gian khong 10 -8s 10-10 s Phõn cc ion dao ng ca ion so vi trng tõm phõn t, xy sau thi gian khong 10 -4s 10-6 s Cũn phõn cc quay cỏc nguyờn t hoc phõn t quay xung quanh trc cõn bng ca h, xy sau thi gian khong 10-2s 10-4 s Trong vựng quang hc chỳng ta ch quan tõm n phõn cc in t r c trng cho s phõn cc ca in mụi ta s dng vect phõn cc P Vect phõn cc l tng momen lng cc mt n v th tớch ta xột Khi trng ngoi bin thiờn thỡ cỏc vect phõn cc cng thay i cỏc in t s dao ng xung quanh v trớ cõn bng to nờn cỏc dao ng v bc x súng in t cú cựng tn s Khi cng trng ngoi l nh, vect phõn cc in mụi ca mụi trng ph thuc tuyn tớnh vo cng trng tỏc ng lờn cht in mụi Trong trng hp trng ỏnh sỏng cú cụng sut ln lan truyn mụi trng in mụi thỡ vect phõn cc l phi tuyn v liờn h vi vect cng in trng theo cụng thc [2]: r r r r r r r r r r P (r , t ) = (1) E (r , t ) + ( 2) E ( 2) (r , t ) + (3) E (3) (r , t ) + + ( n ) E ( n ) (r , t ) + (1.1) Trong ú l hng s in mụi chõn khụng, (j) l cm in mụi bc j Cỏc i lng cm cú giỏ tr khỏc rt ln: (1) 100 ữ 102 ( ) (2) 10-10 ữ 10-12 m V ( (3) 10-21 ữ 10-22 m V (1.2) ) r iu ú cú ngha l vi biờn trng ngoi l E xy hiu ng tuyn tớnh thỡ mun xy hiu ng phi tuyn bc hai hoc bc ba chỳng ta cn cú r r biờn trng ngoi ớt nht bng 10 10 E (cho bc hai) v 1021 E (cho bc ba) (1) l cm in mụi tuyn tớnh biu din phn úng gúp ln nht ca vect r phõn cc P , cỏc hiu ng ca nú th hin s ph thuc ca chit sut vo tn s n() (2) mụ t cỏc hiu ng phi tuyn bc hai nh phỏt hũa õm bc hai, phỏt tn s tng, phỏt tn s trS úng gúp thnh phn phi tuyn ln nht k n r vect phõn cc P l ca (3), cỏc thnh phn bc cao khỏc cú th b qua chỳng quỏ Thnh phn bc ba ca vect phõn cc phi tuyn tng ng vi cỏc hin tng nh phỏt hũa õm bc ba, hiu ng trn bn súng v khỳc x phi tuyn Trong bt k mt mụi trng vt lý thc no, phi tri qua mt khong thi gian nht nh thỡ s phõn cc v mụ mi c xỏc lp hay núi cỏch khỏc mụi trng mi kp hng ng ng thi s phõn cc ny cng tn ti mt thi gian na sau trng ngoi mt i Nh vy phõn cc xut hin ti thi r im t l kt qu tỏc ng ca in trng E mt khong thi gian hu r hn trc Khong thi gian dựng cu thnh phõn cc v mụ P l mt i lng c trng cho mụi trng Hm phõn cc 10 Ta cú th vit li (1.1) di dng: r r r r r r r r P (r , t ) = P (1) ( r , t ) + P ( 2) (r , t ) + + P ( n ) (r , t ) + (1.3) r r õy s bc n liờn h vi s m bc n ca trng súng ti E ( r , t ) v dng a tớch phõn hm phõn cc bc n c biu din [2]: + + + r r r P (r , ) = d d d n R ( n ) (t , , , , n ) E ( r , ) E ( r , n ) (1.4) (n) vi R (t , , , , n ) gi l hm hng ng phõn cc ca mụi trng v l mt tenx hng (n + 1) Mt khỏc nu xem nh din bin phn ng ca mụi trng khụng ph thuc vo vic la chn thi gian t ca mụi trng thỡ phng trỡnh (1.4) cú th vit li di dng: + + + r P (r , ) = d d d n R ( n ) ( , , , n ) E (t ) E (t ) E (t n ) (1.5) Vỡ s phõn cc ca mụi trng c gõy bi tỏc dng ca trng quang hc nú phi tha iu kin R(n) = mt cỏc bin s thi gian 1, 2, n cú giỏ tr õm Ngoi E v P l i lng o c v l thc ú R(n) cng phi l mt hm thc Chỳng ta cú th biu din E v P di dng tớch phõn Fourier: + r r ( n ) ( n ) P% (r , t ) = P (r , )exp(i t )d + r r % E (r , t ) = E (r , )exp(i t )d (1.6) (n) r Ngoi ta cũn thit lp c mt h thc liờn h gia thnh phn P ( r , ) (n) r ( r , t ) vi thnh khai trin Fourier ca thnh phn phõn cc bc n l P% 41 Nghim ny l s m rng gii tớch ca nghim (2.45) vi > ( = 1/k) Khi k thỡ nghim (2.59) cú dng gii hn l (2.39) * 6) Gi s a1 = a2 = + i , a3 = Trong trng hp ny khụng th chun húa nghim bng v nghim c biu din li qua cỏc thụng s ban u i Phng trỡnh (2.17) cú nghim tm thng z = T (2.29) ta biu din nghim ca NLSE di dng: ( x, t ) = q0 x 2q t cn , m ữe 2 2m m mq0 õy q0 = p, m = + 2 (2.60) ữ +2 ữ Modul ca hm elliptic khong m cho < < Cng ging nh (2.54) nghim (2.60) mụ t mt súng mang dng vi chu k n ph thuc thi gian Nh vy NLSE cú th c gii bng nhiu phng phỏp khỏc Sau õy chỳng tụi ỏp dng mt mt cỏch tip cn khỏ n gin tỡm nghim dng xung soliton ca NLSE [6] Khi xung vo cú biờn dng: u(0, ) = sech ( ) t vo si quang, hỡnh dng ca nú khụng thay i sut quỏ trỡnh lan truyn Xung quang ny c gi l soliton c bn ch tỏn sc d thng NLSE cú dng: u 2u + | u |2 u = i Ta cú th gii trc tip cỏc soliton c bn t phng trỡnh trờn Gi thit rng mt soliton cú dng: 42 u( , ) = V( )exp[i ( , ) ] (2.61) V( ) khụng ph thuc vo phng trỡnh (2.61) c trng cho mt soliton c bn m trỡ hỡnh dng ca nú sut quỏ trỡnh lan truyn Pha cú th ph thuc vo c v Thay (2.11) vo NLSE v tỏch cỏc thnh phn thc v o ta nhn c hai phng trỡnh thc cho V v Phng trỡnh pha ch rng cú dng ( , ) = K vi K = const Sau ú tỡm thy rng hm biờn V( ) tha phng trỡnh o hm phi tuyn bc hai sau: d 2V ( ) i V ( )i K exp(i ) + exp(i ) + V ( )exp(i ) = 2 d 1d V K V + +V3 = 2 d d 2V = 2V ( K V ) d Nhõn hai v vi dV v ly tớch phõn theo ta c: d dV ữ = K V V + C vi C = const dt mV = v L i m dV = nờn C = Ti nh Vỡ ta cú iu kin biờn: L i d soliton cú V = v dV = K = 12 d dV = ữ =V V d = 1 + V = ln 1V 2 V 1V dV ữ ữ 43 2e V = = = s ec h ( ) e + e + e u ( , ) = sec h ( ) exp ( i / ) (2.62) Phng trỡnh (2.62) cho thy xung u vo thu c mt s dch pha /2 nú lan truyn si nhng biờn khụng thay i õy chớnh l thuc tớnh quan trng ca soliton c bn, lm cho nú tr nờn lý tng vi cỏc h thng truyn thụng quang Hỡnh 2.1: Nghim soliton sỏng c bn ca NLSE [2] 2.2 Ch tỏn sc thng = - Thay (2.3) vo (2.1) vi = - 1, rỳt c phn thc v phn o tỡm c h phng trỡnh vi phõn 2Q + +Q 2 Q 2Q = x t t (2.63) Q + Q + = t t (2.64) Phng trỡnh vi phõn (2.61) cú tớch phõn u Q Q Q + Q = h(t ) ữ ữ t t x (2.65) 44 Trong ú h(t) l hm ch ph thuc bin t Cỏc phng trỡnh (2.63) v (2.64) a li h ba phng trỡnh vi phõn o hm riờng: + =0 t t (2.66) + h + + = ữ t t t (2.67) h =0 t t t t (2.68) H ng hc (2.64) (2.66) tng ng vi (2.1) v cú ba tớch phõn u: + = w t (2.69) h w + = H (2.70) 2 ữ + ( w H ) 8w + 16 = D t (2.71) Vi gi thit nghim (2.3), cỏc hm , v h ch ph thuc vo bin t, bi vy W, H v D ch ph thuc bin x t z(t) = 2(t) thỡ (2.71) bin i thnh: z 2 ữ = 64 z + 32 w z ( w H ) z + Dz t (2.72) Gi = 0, 1, 2, l cỏc nghim ca a thc bc bn v phi ca (2.72) chỳng liờn h vi cỏc tớch phõn u W, H v D theo h thc Viete: W = 2(1 + + 3) (2.73) H = 12 + 22 + 32 ( + + ) (2.74) D = (2.75) Khi ú (2.65) v (2.72) tng ng vi 45 Q 2 ữ = Q ( w z ) z ( z ) ( z ) ( z ) Q ( 3z w z -h ) x (2.76) z ữ = 64 z ( z ) ( z ) ( z ) t (2.77) a thc v phi ca (2.76) cú dng P1(Q)P2(Q) ú P1,2 ( Q ) = Q ( z ) Q + + z ( z ) ( z ) (2.78) Nghim n gin nht ca (2.77) l cỏc hm hng s z = 0; z = 1, z = 2, z = Chỳng mang li cỏc nghim dng cho (2.1) Tng t (2.76) cú cỏc nghim Q = Qi(t) vi i = 1,, v Qi(t) l cỏc nghim ca a thc v phi ca (2.76) Vi cỏc nghim riờng ú hm ch ph thuc bin t T (2.77) d thy cú ớt nht mt nghim i dng (do z(t) = 2(t) v v trỏi ca (2.77) khụng õm), gi thit Do cỏc hm Q(x,t) v z(x,t) l thc nờn cú hai trng hp xy 2.2.1 Trng hp A: l cỏc s thc Bit thc D ca cỏc a thc P1,2(Q) l: ( z z D = z m z ( ) ) 2 z z (2.78) Trong ú D tng ng vi P1(Q) v P2(Q) Theo ú ta cú hai trng hp (a) Nghim ca (2.77) trờn khong z Ta cú th biu din qua hp cỏc hm Jacobi elliptic 1: sn ( t , k ) z (t ) = 1cn ( t , k ) 46 Trong ú = ( ) v k = ( ) ( ) Nghim ca a thc v phi (2.76) l: Q1 = z + z + z Q2 = z z + z (2.79) Q3 = z + z z Q4 = z z z T (2.79) tỡm c nghim ca (2.76) l: Q1 (Q2 Q4 ) Q2 (Q1 Q4 ) s n ( px, m) (Q Q ) (Q Q ) sn ( px, m) 4 Q= Q3 (Q2 Q4 ) Q4 (Q2 Q3 ) sn ( px, m) (Q2 Q4 ) (Q2 Q3 ) sn ( px, m) (Q Q1 ; Q Q4 ) (Q3 Q Q2 ) (2.80) Trong ú p = v m = l modul ca hm Jacobi elliptic T (2.69) v (2.73) nhn c giỏ tr biu thc cho (t) (t ) = ( + ) t + Trong ú n = ( n, t , k ) (2.81) ; ( n, t , k ) l tớch phõn elliptic loi ba (b) z Nghim ca (2.77) trờn khong z vi z l: ( ) ( ) s n ( t , k ) z (t ) = ( ) ( ) s n ( t , k ) Ta tỡm c nghim Qi(t) (2.82) 47 Q1,2 = z i ( Q3,4 = z i z + z ( ) z + z (2.83) ) S dng (2.83) tỡm c nghim ca (2.74) l: ( Q = z + z z t an + + ữ, 2 ) (2.84) Trong ú t an = vi m = z ; z ( z ; z t an = ) p= ( ) + ( s i n = sn ( px, m ) ) 1/ T phng trỡnh (2.71) v (2.82) tỡm c (t): (t ) = ( + + ) t à1t + ( ) ( n, t , k ) Trong ú n = (2.85) Khi z = ta cú: Q = Vi p = ( ) cn ( px, m ) sn ( px, m ) (2.86) 1/ + ; m2 = ữ ữ V nhn c hm (t): (t ) = ( + + ) t (2.87) 48 2.2.2 Trng hp B: 1, l cỏc s phc liờn hp * t = = + i v Nghim ca (2.77) cú th vit: z (t ) = (1 ) + cn ( t , k ) (2.88) cn ( t , k ) Vi = f g ; = fg ; f +g f = ( ) +2 ; g = +2 + ( ) k = l modul ca hm Jacobi elliptic fg T (2.79) v (2.88) nhn c nghim ca a thc ca v phi (2.76) Q1,2 = - b d; Q3,4 = b ic (2.89) Vi b = z ; d = ( z) c = ( z) 2 + 2( z ) + 2( z ) 1/ 1/ 2 Hm Q(x,t) cú th vit di dng Q = b d r cn ( px, n ) r cn ( px, m ) (2.90) ú 1/ p = ( ) + ; r = m = + p p + b bd + p + b + bd p + b bd p + b + bd ; 49 T phng trỡnh (2.69) v (2.88) tỡm c (t): (t ) = ( + ) t + 4g ( n1 ) ( n1 , t , k ) + ( n2 1) ( n2 , t , k ) (2.91) fk2 ú n1 = ; f g + fk2 n2 = f g Tip theo ú s tỡm c nghim tng quỏt v nhn c nghim soliton ti Nghim tng minh nhn c = = v z = Trong trng hp ny (2.89) v (2.90) tr thnh Q( x) = t anh ( x ) (2.92) (t ) = 3t (2.93) Bi vy nhn c dng chớnh tc cho nghim soliton ti c bn d ( x, t ) = q t an h ( q x ) ex p ( 2i q 2t ) (2.94) ú q = l tha s xỏc nh biờn v rng ca xung Sau õy ta s tip cn vi li gii ca NLSE ng vi ch tỏn sc thng theo mt cỏch n gin hn ó bit dng ca nghim [6] Gi s hm u vo u(0, ) = tanh( ) ch tỏn sc thng NLSE cú dng: u 2u + | u |2 u = i Gi s: u ( , ) = V ( )exp [ i ( , ) ] v ( , ) = K ta cú: 2V ( ) i V ( )i K exp(i ) exp(i ) + V ( )V ( )exp(i ) = 2 50 2V K V + V 3= 2 2V = 2V ( K + V ) V ữ = V 2K V + C Vi C = const Ti nh soliton cú V = 0, i mV = 2u0 , L i m Vỡ L V = C = V = ( 2u0 ) 2( 2u0 ) K = K = u02 Suy nghim chung cú dng: ud ( , ) = ( t anh i )exp(i u02 ) vi = ( ), = u0 cos , = u0 si n u0 l biờn ca nn súng liờn tc, l gúc pha (0 < < / ), , biờn v tc ca soliton ti Hỡnh 2.2: Nghim soliton ti c bn ca NLSE [2] (2.95) 51 Soliton ti cú mt im khỏc c bn vi soliton sỏng l tc ca soliton ti ph thuc vo biờn ca nú qua gúc pha Khi = ud ( , ) = ( t anh u0 )exp(i u0 ) ud ( ,0) = tc l cụng sut soliton gim xung bng khụng tõm ca ỏy khe (nhng soliton nh vy gi l soliton en) Khi , cụng sut soliton khụng gim xung bng khụng tõm ca ỏy khe (nhng soliton nh vy gi l soliton xỏm) Tham s en B = cos phõn bit cỏc soliton Khỏc vi soliton sỏng cú pha khụng i, pha ca soliton ti thay i qua rng ca nú Hỡnh v sau biu din cng v pha vi cỏc giỏ tr khỏc ca Pow er Power 1.00 0.75 = 1.00 = 00 Phase (rad) = /8 =0 0.25 =0 = /8 = /4 = / -1 -11 0.00 -4 -2 Time (a) -4 -2 Time (b) Hỡnh 2.3: Dng cng (a) v phase (b) ca cỏc soliton ti vi cỏc giỏ tr khỏc Vi soliton ti ( = 0) xy mt s dich pha trung tõm dc Vi cỏc giỏ tr khỏc, pha thay i mt lng -2 Cú th to cỏc cp soliton ti bng nhiu cỏch khỏc nh s dng giao thoa k Mach-Zender, chuyn i phi tuyn tớn hiu beat si gim 52 tỏn sc v chuyn i mt tớn hiu mó NRZ thnh tớn hiu RZ, sau ú thnh cỏc soliton ti Nm 1995 mt thớ nghim tớn hiu 10Gb/s ó truyn qua 1200km bng vic s dng cỏc soliton ti [6] Do tớnh khụng i xng ca cỏc soliton ti xut phỏt t ỏp ng thi gian ca mch in to chỳng lm hn ch khong cỏch truyn dn Vỡ vy chỳng ớt c s dng hn cỏc soliton sỏng cỏc h thng quang thc t KT LUN CHNG Thụng qua s kho sỏt NLSE bng phng phỏp gii tớch chỳng ta ó tỡm c nghim ca nú Trong mt s trng hp c bit nghim ny cú dng xung soliton C th sau kho sỏt ta thu c mt s kt qu sau: Xõy dng c cu trỳc ca h ng hc hu hn chiu hon ton kh tớch, mi quan h gia h ng hc hu hn chiu hon ton kh tớch v lp nghim ca NLSE qua ú tỡm c nghim ca NLSE ch tỏn sc thng v d thng Phõn tớch mt s trng hp c bit ca nghim ca NLSE cho nghim dng xung soliton sỏng v ti Gii thiu mt cỏch tip cn NLSE bng cỏc phộp tớnh vi phõn thụng thng n gin ó bit dng ca nghim 53 KT LUN CHUNG Vi mc ớch Kho sỏt cỏc soliton mụi trng phi tuyn ch tỏn sc thng v d thng bng phng phỏp gii tớch chỳng tụi ó thu c mt s kt qu sau: S dng lý thuyt in t ca Maxwell mụ t quỏ trỡnh lan truyn xung si quang cú u im l mụ t tt cỏc quỏ trỡnh in t mt gii hn khỏ rng nhng li rt n gin v p v mt toỏn hc Nhng i vi cỏc trng ỏnh sỏng cú cụng sut ln thỡ cỏc quỏ trỡnh phi tuyn l rt phc nờn lan truyn xung c mụ t theo phng phỏp gn ỳng ú l biu din bng phng trỡnh ca hm bao bin thiờn chm Phng phỏp tỡm nghim chớnh xỏc ca NLSE ú phộp ansatz biờn m phn thc v phn o ca nghim c liờn kt tuyn tớnh vi vi cỏc h s ch ph thuc vo thi gian Chỳng tụi ó xõy dng c cu trỳc h cỏc phng trỡnh vi phõn thụng thng m nghim ca nú xỏc nh nghim ca NLSE Theo ú nghim ca NLSE l biu thc ca cỏc hm Jacobi elliptic v tớch phõn elliptic loi ba v trng hp tng quỏt cỏc nghim s tun hon hai ln theo bin thi gian v bin khụng gian Cỏc trng hp c bit m nghim cú th biu din qua hm Jacobi elliptic v cỏc hm s cp cng c kho sỏt chi tit Kho sỏt NLSE cỏc ch ca mụi trng l tỏn sc thng v d thng Phõn tớch cỏc trng hp c bit ca nghim ca NLSE ú xut hin nghim dng xung soliton sỏng v ti Gii thiu mt cỏch tip cn NLSE bng cỏc phộp tớnh vi phõn thụng thng n gin ó bit dng ca nghim Xung soliton quang khụng thay i hỡnh dng quỏ trỡnh truyn lan v tr thnh dng xung lớ tng thụng tin quang 54 TI LIU THAM KHO [1] inh Xuõn Khoa, H Quang Quý, C s quang hc phi tuyn, NXB HQG H Ni, 2003 [2] Govind P Agrawal, Nonlinear fiber optics, Academic Press, 2006 [3] Granino A Korn, Theresa M Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw Hill, New York, 1961 [4] Paul F Byrd, Morris D Friedman, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Springer-Verlag, 1971 [5] Milton Abramowitz, Irene A Stegun, Handbook of mathematical functions, Dover, 1965 [6] H Quang Quý, Quang phi tuyn ng dng, NXB HQG H Ni, 2007 [7] Marlan Orvil Scully, Muhammad Suhail Zubairy, Quantum optics, Cambridge University Press, 1997 [8] Akhmediev, N N and Ankiewicz, A., Solitons Nonlinear Pulses and Beams, Chapman & Hall, London, 1997 [9] Polyanin, A D and Zaitsev, V F., Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman & Hall/CRC, BocaRaton, 2004 [10] H A Haus, Optical Fiber Solitons, Their Properties and Uses, Proceedings of the IEEE, Vol 81, No 7, Jul 1993 [11] N.N.Akhmediev,V.M.Eleonskii, Teor Math Fiz 72, 183 (1987) [12] L Gagnon, J.Opt Soc.Am A 6, 1477 (1989) [13] M.A Sall, Teor Math Fiz 53, 227 (1982) [14] T Bui Dinh, V Cao Long, B Nguyen Huy, S Vu Ngoc, Optical solitons in presence of higher-order effects, Photonics letters of Poland, VOL (2), 97- 99 (2010) [15] A V Buryak and Yu S Kivshar, Phys Lett A 197, 407 (1995) 55 C Ma and M J Ablowitz, Stud Appl Math., 65, 113 (1981) Y C Ma and M J Ablowitz, Stud Appl Math., 65, 113 (1981).Ablowitz, Stud Appl Math., 65, 113 (1981).ghggg Y C Ma and M J Ablowitz, [...]... dạng không thay đổi và được gọi là các soliton quang học Tùy vào chế độ của môi trường mà sẽ hình thành xung soliton sáng hay tối 26 Chương II KHẢO SÁT CÁC SOLITON TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN Ở CHẾ ĐỘ TÁN SẮC THƯỜNG VÀ DỊ THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Phương trình Schrodinger phi tuyến (NLSE) mô tả sự lan truyền xung trong sợi quang là một trong những phương trình vi phân khả tích hoàn toàn có nhiều... chuyển động của hệ quy chiếu dọc theo sợi quang với vận tốc bằng vận tốc nhóm Hệ số α = 1 tương ứng với chế độ tán sắc dị thường trường hợp này sẽ cho soliton sáng Hệ số α = -1 tương ứng với chế độ tán sắc thường trường hợp này sẽ cho soliton tối 27 Các nghiên cứu và phân loại nghiệm của NLSE sau đây liên quan đến việc xác định một đa tạp tuyến tính trong không gian pha của NLSE không chỉ tìm được lời giải. .. đặc biệt trong gần đúng biên độ biến thiên chậm Trong môi trường phi tuyến, thông thường có thể tách vectơ phân cực toàn phần thành hai thành phần, phần tuyến tính và phần phi tuyến như sau: r r r r r r P ( r , t ) = PL ( r , t ) + PN L ( r , t ) (1.36) r r r ở đây PL phụ thuộc tuyến tính vào E còn PN L phụ thuộc không tuyến tính vào r E Nếu ta chỉ xét các hiệu ứng phi tuyến bậc ba chi phối bởi χ(3)... hoặc lớn hơn Số hạng thứ hai ở vế 24 trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm GVD, còn số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha SPM Phương trình (1.72) là phương trình đạo hàm vi phân tuyến tính Để giải phương trình này người ta sử dụng nhiều phương pháp giải tích và thu được lớp nghiệm rất thú vị là các nghiệm Soliton Ta sẽ phi thứ nguyên hóa bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ nguyên... truyền xung trong sợi quang Ở đây coi xung chỉ chịu ảnh hưởng của hai hiệu ứng phi tuyến là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha Trong một điều kiện nhất định khi hai hiệu ứng này cân bằng nhau thì dạng ban đầu của xung sẽ giữ nguyên trong quá trình lan truyền tương tự như khi lan truyền trong môi trường không phi tuyến, không tán sắc Lúc này xung lan truyền trong môi trường sẽ... phi tuyến Sự lan truyền của các sóng điện từ mà trường hợp riêng là sóng ánh sáng trong môi trường vật chất được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell, viết theo đơn vị Gauss [2]: r r ∂B ∇× E =− ∂t r r r ∂D ∇× H = J + ∂t r ∇D = ρf r ∇B = 0 (1.26) (1.27) (1.28) (1.29) r Trong đó ρf và J là mật độ điện tích và mật độ dòng điện trong môi trường r r r r Các vectơ E , D, H , B tương ứng là các vectơ cường độ. .. độ điện trường, cảm ứng điện, cường độ từ trường và cảm ứng từ Trong đề tài này, chúng tôi chỉ nghiên cứu môi trường sợi quang – là môi trường điện môi không tồn tại điện tích tự do nên: r ρf = 0 và J = 0 (1.30) Để đưa ra phương trình lan truyền xung trong sợi quang một cách đơn giản giả thiết rằng: Bước sóng của trường quang học lan truyền trong sợi quang xa miền cộng hưởng của môi trường và lớn hơn... trọng Phương pháp cổ điển để giải phương trình này là phương pháp tán xạ ngược Đa số các nghiệm giải tích bậc cao của NLSE được tìm bởi sử dụng lí thuyết nhóm Lie Một cách khác để tìm nghiệm của NLSE là phương pháp biến đổi Darboux Để xây dựng và phân loại nghiệm của NLSE chúng tôi đã sử dụng một phương pháp tiếp cận dựa trên sự liên quan trực tiếp của hệ động học hữu hạn chiều hoàn toàn khả tích và lớp... µ0ε 0 2 E = − µ0 2 P ∂t ∂t (1.35) Phương trình (1.35) là phương trình truyền sóng tổng quát nhất trong môi trường phi tuyến r r r Áp dụng tính chất ∇ × ∇ × E = ∇(∇ E ) − ∇ 2 E đối với (1.35) nhận thấy r r trong quang tuyến tính ∇ D = 0 và do đó ∇ E = 0 Trong môi trường phi tuyến số hạng này là không thể bỏ qua, ngay cả trong môi trường đồng nhất Tuy r nhiên nếu xét cho trường hợp sóng ngang, phẳng thì... ta bỏ qua ảnh hưởng của suy hao sợi quang và xét trong hệ tọa độ chuyển động với vận tốc bằng vận tốc nhóm υ g bằng cách đưa vào biến: T =t − z = t − β1z Với phép đổi biến này, phương trình (1.69) sẽ có dạng sau: vg ∂A i β 2 ∂ 2 A 2 + = iγ A A 2 ∂z 2 ∂T (1.72) Phương trình (1.72) mô tả quá trình lan truyền của hàm bao biến thiên chậm của xung ánh sáng trong môi trường tán sắc phi tuyến, được gọi là ... GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Vế TH LAN PHNG KHảO SáT CáC SOLITON TRONG MÔI TRƯờNG PHI TUYếN CHế Độ TáN SắC THƯờNG Và Dị THƯờNG BằNG PHƯƠNG PHáP GIảI TíCH Chuyờn ngnh: Quang hc Mó s: 60.44.01.09... LAN TRUYN XUNG NH SNG TRONG MễI TRNG TN SC PHI TUYN 1.1 Mụi trng quang hc phi tuyn 1.2 Phng trỡnh súng phi tuyn 11 Kt lun chng 21 Chng KHO ST CC SOLITON TRONG MễI TRNG PHI TUYN CH TN SC THNG... l cụng sut soliton gim xung bng khụng tõm ca ỏy khe (nhng soliton nh vy gi l soliton en) Khi , cụng sut soliton khụng gim xung bng khụng tõm ca ỏy khe (nhng soliton nh vy gi l soliton xỏm)