Sự lan truyền xung quang học trong môi trường phi tuyến luận văn thạc sỹ vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG SỰ LAN TRUYỀN XUNG QUANG HỌC TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Vinh, tháng 9/2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG SỰ LAN TRUYỀN XUNG QUANG HỌC TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60.44.01.09 LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH XUÂN KHOA Vinh, tháng 9/2012 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Đinh Xuân Khoa giúp đỡ mà thầy giành cho tác giả suốt thời gian vừa qua Thầy định hướng nghiên cứu, cung cấp tài liệu quan trọng nhiều lần thảo luận, tháo gỡ khó khăn trình nghiên cứu mà tác giả gặp phải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo bạn học viên chuyên ngành Quang học – Cao học 18 – Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trình học tập có nhận xét đóng góp quí báu cho tác giả trình tác giả thực đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu qua Cuối cùng, xin gửi đến thầy giáo, bạn hữu người thân lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe thành công sống Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hương MỤC LỤC Trang KẾT LUẬN CHƯƠNG 57 KẾT LUẬN CHUNG 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 LỜI MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng môi trường vật chất quan trọng phát triển khoa học - công nghệ nay, đặc biệt triển vọng ứng dụng thông tin truyền thông Chẳng hạn lĩnh vực Thông tin quang vấn đề lan truyền xung tảng Một phương pháp nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng môi trường vật chất xuất phát phương trình Maxwell từ dẫn phương trình sóng, lý thuyết điện từ Maxwell mô tả tốt trình điện từ giới hạn rộng đặc biệt lại đơn giản mặt toán học Không giống trình tuyến tính, trình phi tuyến phức tạp nên mô tả cách gần mà Với vấn đề lan truyền xung nhiều ứng dụng khác Quang học phi tuyến tương tác phi tuyến trường Laser cường độ lớn với vật chất mô tả theo quan điểm cổ điển lượng tử không khác nhiều Chính lý mà chọn đề tài “sự lan truyền xung quang học môi trường phi tuyến” cho luận văn Trên sở đó, lời mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn cấu trúc gồm chương Nội dung sau: Trong chương 1, chúng tập trung nghiên cứu các hiện tượng tuyến tính bản, qua đó thực hiện các tính toán cụ thể cho một số trường hợp riêng của xung vào Sự lan truyền tuyến tính của xung môi trường tinh thể đơn trục được nghiên cứu chi tiết Chúng dẫn phương trình lan truyền cho các sóng thường và dị thường, từ đó giải thích rõ hiện tượng lệch khỏi trục lan truyền của sóng dị thường qua môi trường dị hướng Trong chương 2, chú ng nghiên cứ u sự lan truyề n củ a cá c xung laser picô giây và femtô giây môi trườ ng phi tuyế n Kerr Bằ ng việ c sử dụ ng cá c phé p gầ n đú ng thí ch hợ p, chú ng dẫ n cá c phương trì nh lan truyề n tương ứ ng vớ i cá c xung có bậ c thờ i gian đó Chú ng trì nh bà y phương phá p tí nh toá n gầ n đú ng thường đượ c sử dụ ng cho cá c bà i toá n nà y và minh họ a cho mộ t số trườ ng hợ p tiêu biể u, qua đó thấ y đượ c sự phù hợ p vớ i cá c quan sá t thự c nghiệ m, đồ ng thờ i khẳ ng đị nh tí nh đú ng đắ n và hiệ u quả củ a phương phá p CHƯƠNG SỰ LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TUYẾN TÍNH 1.1 Hệ phương trình Maxwell Trong nghiên cứu quang học, ta quan tâm đến đại lượng vectơ trường   điện từ: Vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cường   độ từ trường H , vectơ cảm ứng từ B Lý thuyết trường điện từ dựa phương trình Maxwell Dưới dạng vi phân, chúng biểu diễn sau:  ∇.D = ρ  ∇.B = (1.1) (1.2)   ∂B ∇× E = − ∂t (1.3)     ∂D ∇ × H = j = jc + (1.4) ∂t   vectơ j mật độ dòng điện ρ kí hiệu mật độ điện tích, jc ρ nguồn sinh trường điện từ Ta tóm tắt diễn giải vật lí phương trình Maxwell sau: Phương trình (1.1) biểu diễn khác định luật Gauss cho điện trường Để chuyển phương trình sang dạng tích phân cho rõ ràng mặt vật lí, lấy tích phân phương trình (1.1) theo thể tích V bao mặt S sử dụng định lí Gauss,    ∇ D dV = D ∫ ∫ dS V (1.5) S nhận được:   ∫ D.dS = ∫ ρdV S (1.6) V   D phương trình thông lượng điện ∫ dS chảy khỏi mặt S bao S quanh V tổng điện tích thể tích V Phương trình (1.2) dạng tương tự phương trình (1.1) từ trường chuyển thành dạng tích phân tương tự (1.6) cách tiếp tục sử dụng định lí Gauss:   B ∫ dS = (1.7) S vế phải phương trình (1.2 1.7) theo quan điểm cổ điển đơn cực từ không tồn Do thông lượng từ trường bảo toàn Phương trình (1.3) phát biểu định luật Faraday độ dẫn Để chuyển dạng tích phân, tích phân mặt mở S bao đường C sử dụng định lí Stockes,    ∫ (∇ × E ).dS =∫ E.dl S (1.8) C nhận được:   ∂B  ∫ E.dl = −∫S ∂t dS C (1.9) phương trình cho thấy suất điện động cảm ứng  E ∫ dl C vòng dây C tốc độ thay đổi theo thời gian thông lượng từ trường chuyển qua diện tích vòng dây Suất điện động cảm ứng theo, nghĩa chống lại thay đổi từ trường, dấu “ - ” phương trình (1.9), gọi định luật Lentz Tương tự vậy, dạng tích phân phương trình (1.4) là: ∫ C  H dl =    ∂D  d S + ∫S ∂t ∫S jc dS (1.10)  tích phân đường H theo vòng kín C dòng điện toàn phần (dòng điện dẫn dòng điện dịch) chuyển qua mặt bao vòng dây C Khi lần đưa Ampere, phương trình (1.4) (1.10)  có số hạng dòng điện dẫn jc vế phải Maxwell đề nghị bổ sung thêm số  hạng dòng điện dịch ∂D / ∂t để bao hàm hiệu ứng dòng truyền qua, ví dụ tụ điện Đối với phân bố mật độ điện tích dòng cho trước, lưu ý có bốn phương trình (1.1) đến phương trình (1.4) cho bốn ẩn số cần xác định để giải toán trường điện từ đặt Như vậy, toán xác định rõ ràng Tuy nhiên, khảo sát kĩ cho thấy phương trình (1.3) (1.4) phương trình vectơ, chúng tương đương với sáu phương trình vô hướng Cũng vậy, phương trình liên tục:  ∂ρ ∇ jc + =0 ∂t (1.11) Phương trình (1.1) không độc lập với (1 4), tương tự, (1.2) hệ (1.3) Ta kiểm tra điều cách lấy div vế phương trình (1.3) (1.4) cách dùng phương trình liên tục (1.11), đồng thời với hệ thức vectơ:  ∇.(∇ × A) = (1.12) kết việc thảo luận là, có sáu phương trình vô hướng độc lập     mười hai ẩn số ( thành phần x,y,z vectơ E , D, H B ) cần phải giải Sáu phương trình vô hướng cần thiết cho hệ thức vật chất   D = ε E   B = µH (1.13a) (1.13b) ε kí hiệu độ điện thẩm (F/m) µ độ từ thẩm (H/m) môi trường Lưu ý biết ε µ số vô hướng Điều 10 Trước đưa các biểu thức cụ thể, chúng ta nhận xét rằng chuyển động vỏ điện tử và các hạt nhân có ảnh hưởng lẫn tương tác điện từ giữa chúng, nhiên khối lượng điện tử nhỏ so với khối lượng hạt nhân nên sử dụng phép gần đoạn nhiệt (gần đúng Born–Oppenheimer) để đơn giản hóa Phép gần mô tả chuyển động vỏ điện tử các hạt nhân cách độc lập với Theo đó, trình tương tác với xung laser gây phân cực vi mô (tuyến tính phi tuyến) phân tử, với đóng góp riêng lẻ của các hạt nhân và điện tử Sóng phân cực phi tuyến có thể viết dưới dạng tổng:       Pnl (r , t ) = Pnlelec (r , t ) + Pnlnucl (r , t ) (2.32) các điện tử rất nhẹ và phản ứng với trường tới rất nhanh nên chúng ta vẫn có   thể xem gần đúng là tức thời Do đó, thành phần Pnlelec (r , t ) phương trình được viết tương tự (2.17):    Pnlelec (r , t ) = xε (1 − f R ) χ ( 3) E ( z , t ) (2.33) Ở hằng số α = (1 − f R ) xác định thông qua phép đo từ thực nghiệm Từ mô hình đơn giản về dao động tắt dần các hạt nhân, người ta đã xác định được đóng góp vào phân cực phi tuyến của chúng sau:     t   Pnlnucl (r , t ) = x ε χ ( 3) E (r , t ) ∫ g R (t − t1 ) E (r , t1 ) E (r , t1 )dt1 , (2.34) −∞ đó: g R (t ) = ( ) f R τ 12 + τ 22 −t / τ e sin(t / τ ) = f R hR (t ) τ τ 22 (2.35) được gọi là hàm phản ứng Raman Các số đặc trưng về thời gian τ ,τ cũng xác định nhờ phép đo thực nghiệm Từ (2.33) (2.34) chúng ta viết được biểu thức của sóng phân cực phi tuyến: 46        t  Pnl (r , t ) = x.ε χ ( 3) (1 − f R ) E (r , t ) + E (r , t ) ∫ f R hR (t − t1 )E ( r , t1 ) dt1  −∞   (2.36) Sau xác định được biểu thức của sóng phân cực phi tuyến, ta quay trở lại với việc tìm phương trình lan truyền xung cực ngắn Đầu tiên, ta chuyển phương trình (2.23) về không gian thực:  ∂ ∂ β ' ' (ω0 ) ∂ i ∂   iω t − ik z i + i β ' ( ω ) − + β ' ' ' ( ω ) E ( r , t )e + 0  ∂z ∂t ∂t ∂t     n' (ω0 )  ∂  (ω0 / c)    + 1 + i − Pnl (r , t )eiω t − ik z =  ω0 n(ω0 )  ∂t  β (ω0 )  { } { } (2.37) thay các biểu thức (2.10) và (2.36) vào phương trình trên, ta được:  ∂ ∂ β ' ' (ω ) ∂ iβ ' ' ' (ω ) ∂    A( z, t ) e −iω 0t + ik0 z + c.c eiω 0t −ik0 z  +  i ∂ z + iβ ' (ω ) ∂ t − ∂ t −  ∂t     ( )    n' (ω )  ∂  (ω / c) χ ( 3)     t     + 1 + i  − ( − f ) E ( r , t ) + E ( r , t ) ∫ f R hR (t − t1 ) E (r , t1 )dt1  eiω 0t − ik0 z  =  R  −∞    ω n(ω )  ∂ t  2β (ω )   (2.38) tiến hành khai triển biểu thức lũy thừa điện trường, sau đó bỏ thành phần dao động với tần số 2ω 3ω điều kiện hợp pha, và tiếp tục bỏ thành phần dao động nhanh giống rút phương trình (2.27), ta phương trình cuối cùng: ∂ A( z, t ) ∂ A( z, t ) β ' ' (ω ) ∂ A( z, t ) ∂ A( z , t ) + iβ ' (ω ) − − β ' ' ' ( ω ) + ∂z ∂t ∂t ∂t t  3ω χ (3)   n' (ω )  ∂   2   + 20 + i − ( − f ) A ( z , t ) A ( z , t ) + f A ( z , t ) hR (t − t1 ) A( z, t1 ) dt1  =    R R ∫  8c β (ω )   ω n(ω )  ∂ t   −∞  i (2.39) tính chất vật lý môi trường không phụ thuộc vào việc chọn mốc thời gian nghiên cứu nên ta đổi biến số biểu thức tích phân phương trình sau: t ∞ ∫ hR (t − t1 ) A( z, t1 ) dt1 = ∫ hR (t1 ) A( z, t − t1 ) dt1 −∞ 2 (2.40) khai triển gần biểu thức bình phương môđun hàm bao dấu tích phân phương trình giữ lại các số hạng bậc thấp: 47 2 A( z , t − t1 ) ≈ A(t ) − t1 ∂ A( z, t ) ∂t (2.41) + vì vậy: ∞ ∫h R (t1 ) A( z , t − t1 ) dt1 ≈ A( z , t1 ) ∞ ∫h R (t1 )dt1 − ∂ A( z , t ) ∞ ∫t h R ∂t (t1 )dt1 (2.42) từ điều kiện chuẩn hóa hàm hR(t): ∞ ∫h R (t )dt = , (2.43) ta đưa vào tham số mới: ∞ TR = f R ∫ thR (t )dt (2.44) đại lượng này được gọi thời gian đặc trưng cho tượng tán xạ Raman Suy ra: TR ∂ A( z, t ) h ( t ) A ( z , t − t ) dt ≈ A ( z , t ) − R 1 ∫0 fR ∂t ∞ 2 (2.45) thay vào phương trình (2.39), kết là: i ∂A( z , t ) ∂A( z , t ) β ' ' (ω0 ) ∂ A( z , t ) iβ ' ' ' (ω0 ) ∂ A( z , t ) + iβ ' (ω0 ) − − + ∂z ∂t ∂t ∂t ∂ A( z , t )   n' (ω0 )  ∂   3ω02 χ ( 3)     A( z , t ) A( z , t ) − TR A( z , t ) + =0 1 + i − 8c β (ω0 )  ∂t   ω0 n(ω0 )  ∂t   (2.46) tiếp tục khai triển phương trình và bỏ qua các số hạng chứa đạo hàm bậc cao của thành phần phi tuyến, ta được: i ∂A( z, t ) ∂A( z , t ) β ' ' (ω0 ) ∂ A( z, t ) iβ ' ' ' (ω0 ) ∂ A( z , t ) + iβ ' (ω0 ) − − + ∂z ∂t ∂t ∂t 2  ∂ A( z , t ) A( z , t ) ∂ A( z , t )   + γ A( z, t ) A( z, t ) + iτ s − TR A( z , t ) =0   ∂t ∂t   ( ) (2.47) γ xác định theo (2.28), còn: τs = n' (ω ) d     − = + ln ω n(ω ) ω dω   n(ω )  ω 48 (2.48) sử dụng hàm số biến số chuẩn hóa (2.30), ta viết lại phương trình (2.47) sau: ( )  ∂ U  ∂U i ∂ 2U ∂ 3U ∂ 2 + sign( β ' ' (ω0 )) − δ 3 = iN U U + iS U U −τ R U  ∂ξ ∂τ ∂τ ∂τ ∂τ   (2.49) với tham số mới: δ3 = β ' ' ' (ω ) , β ' ' (ω ) τ S= τs , τ0 τR = TR τ0 (2.50) đại lượng này đặc trưng cho các hiện tượng tuyến tính và phi tuyến bậc cao, tương ứng là hiện tượng tán sắc bậc ba, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số Phương trình (2.49) mô tả sự biến đổi của hàm bao xung cực ngắn lan truyền môi trường phi tuyến Kerr được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng Do phương trình này chứa thêm các số hạng bậc cao nên tính phi tuyến của nó mạnh phương trình (2.31) Tuy nhiên từ (2.50) chúng ta nhận xét rằng τ bé (tức với các xung cực ngắn cỡ femtô giây) độ lớn tham số bậc cao mới thể rõ Đối với các xung picô giây thì các tham số này là rất nhỏ nên phương trình (2.49) rút gọn về phương trình (2.31) Điều phù hợp với nhận xét trước phân tích hạn chế phương trình (2.31) Đối với xung cực ngắn (có τ ≈ 30 fs ) lan truyền môi trường SiO2 tham số (2.50) có giá trị là: δ ≈ 0,03 , S ≈ 0,03 , τ R ≈ 0,1 Đó lượng nhỏ so với đơn vị nên hiện tượng bậc cao thường xem là nhiễu loạn so với hiện tượng phi tuyến Kerr Các hiện tượng bậc cao chỉ biểu hiện rõ xung lan truyền qua những quãng đường đáng kể Chúng ta cũng nhận xét rằng các hiện tượng bậc cao thì hiện tượng liên quan tới tán xạ Raman đóng vai trò quan trọng nhất Nó là nguyên nhân chính dẫn tới quá trình biến đổi của xung miền tần số, bên cạnh các hiện tượng tự dựng xung và tán sắc bậc ba 49 Do tính phi tuyến mạnh nên phương trình (2.49) khó giải phương trình (2.31) Phương pháp gần đúng phổ biến được áp dụng cho (2.49) phương pháp số Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp số thông dụng để giải các phương trình này và minh họa cho các phân tích vật lý ở thông qua một số kết quả tính toán cụ thể 2.5 Phương pháp giải gần phương trình lan truyền xung Các phương trình lan truyền (2.31) và (2.49) dẫn ở có thể viết được ở dạng chung sau: ( ) ∂U (ξ ,τ ) = Lˆ + Nˆ (U (ξ ,τ )) U (ξ ,τ ) ∂ξ (2.51) đó Lˆ và Nˆ là ký hiệu của các toán tử tuyến tính và phi tuyến tác dụng lên hàm bao U (ξ ,τ ) Đối với phương trình (2.31) thì i ∂2 Lˆ = − sign( β ' ' (ω0 )) ∂τ Nˆ (U (ξ ,τ )) = iN | U (ξ ,τ ) |2 (2.52) còn với phương trình (2.49) ta có thể viết i ∂2 ∂3 Lˆ = − sign( β ' ' (ω0 )) + δ ∂τ ∂τ  ∂ | U (ξ ,τ ) |2 ∂ | U (ξ ,τ ) |2 Nˆ (U (ξ ,τ )) = iN  | U (ξ ,τ ) |2 +iS −τ R U (ξ ,τ ) ∂τ ∂τ  ( ) ( )  (2.53)   toán tử phi tuyến Nˆ không phụ thuộc tường minh vào ξ nên ta có thể viết lại phương trình (2.51): ( ) dU (ξ ,τ ) = Lˆ + Nˆ (U (ξ ,τ )) dξ U (ξ ,τ ) (2.54) quá trình lan truyền từ khoảng cách ξ tới ξ + ∆ξ có thể tính được gần đúng bằng cách lấy tích phân: 50 ξ + ∆ξ  ξ + ∆ξ  U (ξ + ∆ξ ,τ ) ≈ exp ∫ Lˆ dξ '+ ∫ Nˆ (U (ξ ' ,τ )) dξ ' U (ξ ,τ ) = exp Aˆ + Bˆ U (ξ ,τ )   ξ  ξ  ( ) (2.55) đó: Aˆ = Bˆ = ξ + ∆ξ ∫ξ Lˆ dξ ' = ∆ξ Lˆ (2.56) ξ + ∆ξ ∫ Nˆ (U (ξ ' ,τ )) dξ ' ≈ ∆ξ Nˆ (U (ξ ' ' ,τ )) ξ với ξ ' ' điểm khoảng ξ → ξ + ∆ξ Áp dụng công thức Baker-Campbell-Hausdorff cho hàm mũ của các toán tử: [ ] ( ) ( ) [ [ ]] 1 ˆ ˆ ˆ ˆ   exp Aˆ exp Bˆ = exp Aˆ + Bˆ + Aˆ , Bˆ + A − B, A, B +  12   (2.57) chúng ta rút biểu thức gần đúng với các khoảng lan truyền ∆ξ nhỏ: ( ) ( ) U (ξ + ∆ξ ,τ ) ≈ exp Aˆ exp Bˆ U (ξ ,τ ) (2.58) để thực thuật toán cho phương trình lan truyền, ta cần biết cách tính tác dụng toán tử lên hàm bao Đối với toán tử tuyến tính Aˆ , ta thấy chúng chứa đạo hàm riêng theo τ , tiện lợi xét trình lan truyền tuyến tính không gian Fourier Trong chương 1, không gian Fourier, đạo hàm theo thời gian thay phép nhân với lượng ( − iω ) Sau tính tác dụng toán tử tuyến tính lên hàm bao, ta lại quay không gian thực để thực tiếp tính toán khác Quá trình tính toán tóm tắt qua công thức sau:   ∂n exp ∆ξ Lˆ  n  ∂τ  [ ( ( ))    U (ξ ,τ ) = F −1 exp ∆ξ Lˆ ( − iω ) n U (ξ , ω )   ] (2.59) U (ξ , ω ) = F [U (ξ ,τ )] , F F-1 ký hiệu biến đổi Fourier Fourier ngược Các phép biến đổi thực máy tính tối ưu để rút ngắn thời gian, nhờ thuật toán tính nhanh FFT Trong phần mềm tính toán khoa học phổ biến nay, ví dụ MATLAB, muốn thực biến đổi Fourier hàm đó, ta gọi hàm fft 51 Việc tính toán tác dụng toán tử phi tuyến Bˆ lên hàm bao tiến hành đơn giản Với trường hợp phương trình (2.31) ta cần thực phép nhân đại số thông thường theo công thức (2.52), toán tử phi tuyến không chứa đạo hàm Còn với phương trình (2.49) từ biểu thức (2.53), ta thấy toán tử phi tuyến có chứa đạo hàm theo τ Khi tính tác dụng toán tử này, ta cần phải chuyển đại lượng lấy đạo hàm sang không gian Fourier, thực phép nhân đại số không gian này, chuyển không gian thực giống làm theo công thức (2.59) Sau làm các số hạng chứa đạo hàm, ta thực tính tổng tác dụng sau tiến hành nhân đại số tương tự với phương trình (2.31) Quá trình thực thuật toán (2.58) mô tả lặp lại cho khoảng lan truyền nhỏ ∆ξ liên tiếp nhau, đến đạt độ lớn quãng đường mong muốn Sự thay đổi hàm U (ξ ,τ ) trình tính toán cho ta thấy xung biến đổi sâu vào môi trường Việc tính toán tóm tắt sơ đồ đây: 52 Sử dụng phần mềm MATLAB viết cho thuật toán (2.58) phương trình lan truyền 53 2.6 Các soliton quang học tượng soliton tự dịch chuyển tần số Trong phần này ta trình bày một số kết quả tính toán cho quá trình lan truyền của các xung theo phương pháp trình bày ở Đối với các xung picô giây, các phương pháp giải tích đã chứng minh sự tồn tại của các lời giải soliton Đó là các xung trì hình dạng ban đầu của chúng lan truyền hoặc có thay đổi sau một chu kỳ nhất định lại trở về hình dạng cũ Thực nghiệm cũng đã quan sát thấy hiện tượng sóng soliton môi trường Kerr Khi chọn điều kiện ban đầu của hàm bao cho các tính toán bằng số dạng hàm Secant: U (0,τ ) = N sec h( x ) (2.60) với N là số nguyên dương, thì ta cũng nhận được các kết quả giống với các phương pháp giải tích Các xung này là các soliton quang học Các hình vẽ dưới minh họa một số kết quả tính toán Qua đó ta có thể thấy sau một chu kỳ nhất định, các xung laser lại trở lại hình dạng cũ của chúng | U (ξ ,τ ) | ξ | U (ξ ,τ ) | τ | U (ξ ,τ ) | ξ τ ξ Hình 2.1 Các soliton bậc nhất (N=1), bậc hai (N=2) và bậc ba (N=3) 54 τ Các soliton có tính tuần hoàn theo chu kì trình lan truyền cạnh tranh lẫn tượng tuyến tính (tán sắc) phi tuyến Kerr (dẫn đến tượng tự biến điệu pha) Hiện tượng tán sắc làm cho xung bị mở rộng mặt thời gian tượng tự biến điệu pha có xu hướng làm xung bị nén lại, tức làm cho phổ tần số mở rộng Ngoài trường hợp đặc biệt soliton bậc (xung Secant với N=1), lan truyền có cân lý tưởng ảnh hưởng tượng tuyến tính phi tuyến nên hàm bao phổ tần số không biến đổi, soliton bậc cao khác (với N lớn 1) có hàm bao phổ biến đổi phức tạp Các xung có cường độ lớn (do N lớn) nên thời điểm đầu trình lan truyền, tượng phi tuyến chiếm ưu làm cho xung bị nén lại, nhiên nén tới giới hạn định, phổ xung mở rộng đủ lớn để tượng tán sắc trở nên mạnh lại chi phối trình lan truyền, làm xung mở rộng Kết trình xung bị biến dạng lan truyền, nhiên sau chu kỳ định, xung lại trở hình dạng ban đầu Điều thể rõ hình 2.1 Đối với quá trình lan truyền của các xung femtô giây, kết quả tính toán cho thấy sự dịch chuyển tần số của xung sâu vào môi trường (hình 2.2) | U (ξ , ω ) | | U (ξ ,τ ) | ξ =0 ξ =π ξ τ ∆Ω Hình 2.2 Hiện tượng soliton tự dịch chuyển tần số 55 Trong trường hợp này, xung vào có dạng là hàm Secant với N=2 và các tham số bậc cao nhận các giá trị là: δ ≈ 0,03 , S ≈ 0,03 , τ R ≈ 0,1 Qua việc so sánh phân bố phổ của xung cuối quá trình lan truyền với xung vào, ta thấy rõ sự dịch chuyển về các tần số thấp, phù hợp với các phân tích trước Hiện tượng tự dịch chuyển tần số xung trình tán xạ Raman cưỡng trình Stokes có hiệu suất cao trình đối Stokes, trình lan truyền phổ tần số dịch chuyển dần miền tần số thấp, hay nói cách khác, môi trường “khuếch đại” bước sóng dài xung Xung dần lượng có biến đổi phức tạp sâu vào môi trường 56 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương trình bày kết nghiên cứu sự lan truyền của các xung laser cường độ lớn môi trường đẳng hướng Khi lan truyền xung gây ảnh hưởng lên môi trường làm cho môi trường trở thành phi tuyến gọi môi trường phi tuyến Kerr Chúng dẫn phương trình sóng phi tuyến tổng quát cho toán, đồng thời xác định biểu thức sóng phân cực phi tuyến môi trường Qua việc khai triển gần phương trình sóng phi tuyến, đưa dạng gần bậc thấp thành phần Fourier Khi chuyển sang không gian thực qua phép gần thích hợp, phương trình (phương trình Schrodinger phi tuyến phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng) dùng để mô tả lan truyền xung bậc picô giây và femtô giây Trong phân tích rõ mặt vật lý ảnh hưởng trình tán xạ Raman biến đổi xung Trong phần tiếp theo, luận văn trình bày sở phương pháp Split - step Fourier, phương pháp tính toán số được sử dụng phổ biến cho các bài toán loại này và minh họa cho một số trường hợp cụ thể (các soliton quang học soliton tự dịch chuyển tần số) Các kết thu cho thấy phù hợp với các quan sát thực nghiệm, qua khẳng định tính đúng đắn và hiệu quả của phương pháp sử dụng 57 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, nghiên cứu các hiện tượng bản quá trình lan truyền của các xung laser môi trường quang học Tùy thuộc vào cường độ của các xung mà môi trường thể hiện các tính chất tuyến tính hay phi tuyến Trong chương 1, chúng tập trung nghiên cứu các hiện tượng tuyến tính bản, qua đó thực hiện các tính toán cụ thể cho một số trường hợp riêng của xung vào Sự lan truyền tuyến tính của xung môi trường tinh thể đơn trục được nghiên cứu chi tiết Chúng dẫn phương trình lan truyền cho các sóng thường và dị thường, từ đó giải thích rõ hiện tượng lệch khỏi trục lan truyền của sóng dị thường qua môi trường dị hướng Trong chương 2, chúng nghiên cứu sự lan truyền của các xung laser picô giây và femtô giây môi trường phi tuyến Kerr Bằng việc sử dụng các phép gần đúng thích hợp, chúng dẫn các phương trình lan truyền tương ứng với các xung có bậc thời gian đó Chúng trình bày phương pháp tính toán gần đúng hay được sử dụng cho các bài toán này và minh họa cho một số trường hợp tiêu biểu, qua đó thấy được sự phù hợp với các quan sát thực nghiệm, đồng thời khẳng định tính đúng đắn và hiệu quả của phương pháp Về định hướng nghiên cứu đề tài này, ta sử dụng khai triển bậc cao phương trình sóng phi tuyến để nghiên cứu ảnh hưởng tượng tuyến tính phi tuyến bậc cao qúa trình lan truyền Ta áp dụng phương pháp nghiên cứu cho trường hợp môi trường phi tuyến kiểu Kerr (ví dụ môi trường tinh thể đơn trục môi trường phi tuyến bậc hai) Lúc ta mở rộng toán cho nhiều xung lan truyền, gồm sóng sóng phát sinh tương tác phi tuyến, 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach, Nhập môn Quang học phi tuyến, Vinh – 2003 Hồ Quang Quý, Vũ Ngọc Sáu, Laser và Quang học phi tuyến, Vinh – 1997 Partha P Banerjee, Nonlinear Optics – Theory, Numerical modeling and Applications, Marcel Dekker – 2004 Peter W Milonni, Joseph H Eberly, Laser Physics, Wiley – 2010 Robert W Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press – 2003 G P Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic Press – 2003 59 PHỤ LỤC Chương trình giải phương trình lan truyền clc; clear all; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N=2^8; xmax=1*0.5*12.8; x=(2*xmax/N)*(-N/2:N/2-1); Xs=x(2)-x(1) q=(2*pi/(2*xmax))*[0:1:N/2-1 -N/2:1:-1]; qmax=2*N*pi/(2*xmax); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% zmax=2*0.5*pi; h=0.45*Xs^2 Nstop=round(zmax/h); Nghihinh=200; ghihinh=round(Nstop/Nghihinh); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Normst=2; ustart=Normst*sech(x); Normstart=Xs*sum((abs(ustart)).^2); u=ustart; pulses(:,1)=abs(u); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% g=-1; r=2; expDisp=exp(h*((-1/2)*i*q.^2)); for k=2:Nstop NonL=-h*i*g*(abs(u)).^2; u=ifft((fft(u)).*expDisp).*exp(NonL); if mod(k,ghihinh)==0 pulses(:,r)=abs(u); r=r+1; end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% r=r-1; zz=linspace(0,zmax,r); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(1); [XN,YN]=meshgrid(zz,x); mesh(XN,YN,pulses); axis([0 zmax -xmax xmax max(max(pulses))]); 60 [...]... các sóng cầu 1.3 Sự lan truyền sóng trong môi trường bất đẳng hướng Trên đây chúng ta đã nghiên cứu lời giải cơ bản của phương trình sóng lan truyền trong môi trường đẳng hướng theo đó độ điện thẩm ε không phụ thuộc vào không gian Tuy nhiên nhiều vật liệu (ví dụ các tinh thể) là các môi trường bất đẳng hướng Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu sự lan truyền sóng tuyến tính trong môi trường đồng nhất... chất nội tại này có thể do đóng góp của: a) sự phân cực định hướng, b) sự phân cực điện tử, c) sự phân cực nguyên tử hoặc ion thỉnh thoảng sự tán sắc có thể được sinh ra do tính chất hình học mà trong đó sóng lan truyền, ví dụ trong cấu trúc dẫn sóng như sợi quang học, cáp quang Sau đây ta sẽ tóm tắt phương pháp phân tích sóng lan truyền trong môi trường mà sự phụ thuộc của ω vào k cho trước Ta sẽ thấy... tượng “dịch ra” khỏi trục lan truyền, được mô tả trong hình 4b 33 Trục quang học Trục quang học Hình 1.4 Lan truyền của các sóng thường (a) và dị thường (b) qua tinh thể đơn trục 34 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các hiện tượng tuyến tính cơ bản trong quá trình lan truyền của các xung và chùm tia laser trong các môi trường quang học đẳng hướng và dị hướng Từ... với trục quang học và lan truyền theo phương z tạo với trục quang học một góc θ Các sóng phân cực song song với trục quang học gọi là các sóng dị thường Phương trình (1.92) chỉ ra rằng ne (ω ) là chiết suất của sóng dị thường lan truyền theo phương vuông góc với trục quang học ( θ= π , sin θ = 1, cosθ = 0 ) Các sóng dị thường lan truyền với chiết suất ne (ω , θ ) 2 phụ thuộc vào phương lan truyền của... cơ sở lý thuyết chung, chúng tôi tập trung nghiên cứu một cách chi tiết sự lan truyền của xung trong môi trường tinh thể đơn trục Chúng tôi dẫn ra phương trình lan truyền cho các sóng thường và dị thường, từ đó giải thích rõ hiện tượng lệch khỏi trục lan truyền của sóng dị thường khi đi qua môi trường này 35 CHƯƠNG 2 SỰ LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN...đúng đối với các môi trường tuyến tính đồng nhất và đẳng hướng Môi trường là tuyến tính nếu các tính chất của nó không phụ thuộc vào biên độ của các trường bên trong môi trường Môi trường là đồng nhất nếu các tính chất của nó không phải là các hàm số theo không gian Cuối cùng, môi trường là đẳng hướng nếu các tính chất của nó là như nhau theo tất cả... Tương tự như vậy, đối với các vật liệu từ tính µ lớn hơn µ 0 1.2 Sự lan truyền trong các môi trường tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng 1.2.1 Các lời giải sóng lan truyền 11 Trong phần trước, ta đã đưa ra phương trình Maxwell và các hệ thức  vật chất Đối với một giá trị j c và ρ cho trước, ta đã lưu ý rằng, thực tế ta có  thể tìm được các thành phần của điện trường E Trong phần này, ta sẽ thấy việc... môi trường đồng nhất và đẳng hướng đối với từ trường ( µ là hằng số), nhưng lại là bất đẳng hướng đối với điện trường Điều này có nghĩa là sự phân cực sinh ra trong môi trường khi có điện trường ngoài tác động phụ thuộc vào định hướng của điện trường trong môi trường 1.3.1 Tenxơ điện môi Hình 2 là mô hình minh họa sự liên kết bất đẳng hướng của electron trong tinh thể Tính bất đẳng hướng được xét tới... đang xét lan truyền theo phương +z Với c1 = 0 , ta có sóng phẳng lan truyền theo hướng ngược lại Mặt sóng được định nghĩa là các mặt chứa tất cả điểm có   pha giống nhau ω 0 t ± k 0 R là mặt phẳng 1.2.2 Hiện tượng tán sắc Trong mục này ta sẽ khảo sát một hiện tượng quan trọng trong quá trình lan truyền: sự mở rộng của các xung ánh sáng do tán sắc Thực tế ở trên chúng ta đã nghiên cứu sự lan truyền. .. sóng phi tuyến tổng quát Trong chương 1, ta đã nghiên cứu một số hiện tượng cơ bản trong quá trình lan truyền của các xung ánh sáng trong môi trường quang học với điều kiện là cường độ trường yếu so với các trường nội nguyên tử, phân tử của môi trường Các hiện tượng do đó là tuyến tính Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán lan truyền của các xung ... TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG SỰ LAN TRUYỀN XUNG QUANG HỌC TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60.44.01.09 LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học. .. với vật chất mô tả theo quan điểm cổ điển lượng tử không khác nhiều Chính lý mà chọn đề tài sự lan truyền xung quang học môi trường phi tuyến cho luận văn Trên sở đó, lời mở đầu, phần kết luận. .. giản mặt toán học Không giống trình tuyến tính, trình phi tuyến phức tạp nên mô tả cách gần mà Với vấn đề lan truyền xung nhiều ứng dụng khác Quang học phi tuyến tương tác phi tuyến trường Laser