Phương trình Schrodinger phi tuyến (NLSE) mô tả sự lan truyền xung trong sợi quang là một trong những phương trình vi phân khả tích hoàn toàn có nhiều ứng dụng quan trọng. Phương pháp cổ điển để giải phương trình này là phương pháp tán xạ ngược. Đa số các nghiệm giải tích bậc cao của NLSE được tìm bởi sử dụng lí thuyết nhóm Lie. Một cách khác để tìm nghiệm của NLSE là phương pháp biến đổi Darboux. Để xây dựng và phân loại nghiệm của NLSE chúng tôi đã sử dụng một phương pháp tiếp cận dựa trên sự liên quan trực tiếp của hệ động học hữu hạn chiều hoàn toàn khả tích và lớp nghiệm xác định của NLSE [11]. Theo phương pháp tiếp cận này việc xây dựng và phân loại lớp nghiệm của NLSE được đưa về xây dựng và phân tích định tính hệ động học hữu hạn chiều hoàn toàn khả tích.
Sự lan truyền của xung (pico giây) quang học trong sợi quang đơn mode được mô tả bằng NLSE [13]:
2 2 2 2 i 2 0 t x ψ α ψ ψ ψ ∂ + ∂ + = ∂ ∂ (2.1)
Trong đó ψ biểu diễn biên độ phức chuẩn hóa của xung, x là khoảng cách lan truyền được chuẩn hóa dọc theo sợi quang, t là thời gian chuẩn hóa cùng với sự chuyển động của hệ quy chiếu dọc theo sợi quang với vận tốc bằng vận tốc nhóm. Hệ số α = 1 tương ứng với chế độ tán sắc dị thường trường hợp này sẽ cho soliton sáng. Hệ số α = -1 tương ứng với chế độ tán sắc thường trường hợp này sẽ cho soliton tối.
Các nghiên cứu và phân loại nghiệm của NLSE sau đây liên quan đến việc xác định một đa tạp tuyến tính trong không gian pha của NLSE không chỉ tìm được lời giải chính xác nghiệm của NLSE ở dạng cụ thể, rõ ràng (như đã thu được bằng các phương pháp khác) mà còn minh chứng cho một sự thật rằng những đa tạp đại số tương đối đơn giản có thể mang một lớp nghiệm lớn.
Để giải bài toán lan truyền xung chúng tôi đã dựa trên cơ sở hệ thức tuyến tính giữa phần thực u(x,t) và phần ảo v(x,t) của biên độ phức của xung
ψ(x,t)= u(x,t)+ iv(x,t)
u(x,t) = a0(t)v(x,t) + b0(t) (2.2)
với các hệ số a0 và b0 chỉ sự phụ thuộc biến “thời gian” t. Điều này là cần thiết cho việc xây dựng hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng mà nghiệm của chúng sẽ xác định nghiệm của NLSE.
Sử dụng hệ thức (2.2), trong đó u(x,t) và v(x,t) là hai hàm chưa biết để xây dựng hệ động học nào đó mà nghiệm của nó sẽ xác định chính xác nghiệm của (2.1). Từ đó sẽ nhận được ba thông số của nghiệm của NLSE là biểu thức của các hàm Jacobi elliptic và tích phân elliptic loại ba. Trong trường hợp tổng quát các nghiệm sẽ tuần hoàn hai lần theo biến thời gian t và biến không gian x.
Đưa vào các hàm mới chưa biết Q(x,t), δ(t) và φ(t) liên hệ với
0 0 ( ) ( ) cot ( ), ( ) sin ( ) à ( , ) ( , ) os ( ) ( )sin ( ) t a t t b t t v u x t Q x t c t t t δ φ φ φ δ φ = = − = −
để biểu diễn cho hàm chưa biết ψ(x,t):
[ ] { }
( , )x t Q x t( , ) i t( ) exp i (t)
ψ = + δ φ (2.3)