Các nghịch lý trong lý thuyết xác suất và tác động của chúng đến dạy và học

Paradoxes probabilistes et leurs effets dans l’enseignement/ apprentissage Tran Luong Cong Khanh Rectorat de Binh Thuan Plan de l’exposé • • • • • • Analyse de manuel Notion de paradoxe Paradoxe des anniversaires Paradoxe des pièces de monnaie Paradoxe de Bertrand Conclusion Analyse de manuel Résumé de l’analyse • Algèbre & analyse 11 avancé • Probabilité: présentée dans le chapitre (Combinatoire & Probabilité) • Hasard/ aléatoire: n’est pas défini • Épreuve aléatoire: expérience ou acte  Dont on ne peut pas prévoir les résultats  Dont on peut déterminer l’ensemble des résultats possibles Analyse de manuel Résumé de l’analyse • Épreuve: épreuve aléatoire (sous-entendu)  l’aléatoire est admis par défaut, sans être vérifié • Définitions de la probabilité: classique & statistique  absence de la définition géométrique • Probabilité (d’un événement): quantification objective de la possibilité d’apparition de cet événement (p 71) • règles du calcul probabiliste: addition, multiplication • Type de tâches unique: calculer la probabilité  absence du type de tâches d’interpréter la signification de la probabilité (d’un événement particulier) - Signification de la probabilité chez l’élève dans les situations particulières ? - Comportement de l’enseignant dans le cas où la probabilité dépend des modalités de choix aléatoire ? Plan de l’exposé • • • • • • Analyse de manuel Notion de paradoxe Paradoxe des anniversaires Paradoxe des pièces de monnaie Paradoxe de Bertrand Conclusion Notion de paradoxe sens du mot paradoxe • D’après plusieurs dictionnaires des mathématiques, le mot paradoxe a sens  Résultat mathématiquement correct mais contre-intuitif (paradoxe de la 1ère catégorie)  Raisonnement apparemment correct mais contradictoire (paradoxe de la 2ème catégorie) Notion de paradoxe Abus du mot paradoxe : 3ème sens • Dans la théorie des probabilités, il existe un problème présentant différents résultats selon l'interprétation (légitime ou non) que l'on fait de l’énoncé • Par abus de langage, on l’appelle paradoxe de la 3ème catégorie Plan de l’exposé • • • • • • Analyse de manuel Notion de paradoxe Paradoxe des anniversaires Paradoxe des pièces de monnaie Paradoxe de Bertrand Conclusion Paradoxe des anniversaires Paradoxe des anniversaires • Paradoxe des anniversaires : dû Richard von Mises (18831953) phát biểu • Considérer un groupe de n personnes A = « Il existe personnes ayant la même date d’anniversaire » Déterminer n pour que P(A) = 0,5 (sans tenir compte des années bissextiles) • P(A) = – 365! (365  n)! 365 n • n = 23, P(A) = 0,5073 • Parmi 23 personnes, la probabilité pour que personnes aient le même anniversaire est 0,5073 • Comment l’élève interprète-t-il ce résultat ? Paradoxe des anniversaires Enquête auprès des élèves • Enquête auprès de 35 élèves de la classe 12 mathématiques, lycée d’élite Tran Hung Dao (Binh Thuan) • phase successives, questionnaire par phase, questionnaire est retiré avant la distribution du questionnaire • Information dans le questionnaire n’influence pas la réponse au questionnaire 10 Paradoxe des pièces de monnaie Analyse des solutions • résultats différents : il est impossible que tous les deux soient corrects • Solution 1: énumère complètement les cas possibles & les cas favorables, mobilise la définition classique de la probabilité  Solution est correcte  Solution est incorrecte • Erreur de la solution : ½ est la probabilité pour que pièces de monnaie retombent du même côté sous condition que des pièces retombent du même côté La solution est incorrecte car elle a changé une contrainte de l’énoncé 25 Paradoxe des pièces de monnaie Enquête auprès des élèves • Enquête auprès de 40 élèves de la classe 12A1, lycée Phan Boi Chau (Binh Thuan) par questionnaire • solutions sont présentées au préalable dans le questionnaire Consigne : D’après toi, quelle solution est incorrecte ? Si possible, expliciter ses erreurs ou/ et tes remarques 26 Paradoxe des pièces de monnaie Résultat de l’enquête • 35/40 EE : S2 est incorrecte, 5/40 EE : sans réponse • Erreurs (1 élève a le droit d’expliciter plusieurs erreurs) : 27 Paradoxe des pièces de monnaie Remarques dégagées de l’enquête • EE ne répondent pas : évaluation de la solution est une tâche non routinière • Aucun élève détermine exactement l’erreur de la solution • En particulier, 10 EE pensent que S2 est incorrecte parce qu’elle est différente de S1 (routinière) Quelles mesures permettant l’élève de déceler l’erreur dans son calcul 28 Plan de l’exposé • • • • • • Analyse de manuel Notion de paradoxe Paradoxe des anniversaires Paradoxe des pièces de monnaie Paradoxe de Bertrand Conclusion 29 Paradoxe de Bertrand Paradoxe de Bertrand • Énoncé par Joseph Bertrand (1822-1900) en 1888 • Soit le cercle (O, 1) Tracer au hasard une corde MN Calculer la probabilité pour que la longueur de MN soit supérieure (longueur du cơté d’un triangle équilatéral inscrit) • Bertrand propose solutions avec résultats différents 30 Paradoxe de Bertrand AM B C Solution (extrémités aléatoires) N • Choisir au hasard un point M du cercle • Construire ABC équilatéral inscrit de faỗon que A M MN > si & seulement si N appartient au petit arc BC • Probabilité calculer : (longueur de l’arc BC) : (périmètre du cercle) = 1/3 31 Paradoxe de Bertrand A O M N I B H Solution (rayon aléatoire) C D • Tracer un rayon OD Construire ABC équilatéral inscrit dont BC  OD OD & BC se coupent en leur milieu commun H • Choisir au hasard un point I du segment OD Tracer la corde MN  OD 3MN > si & seulement si I appartient au segment OH • Probabilité calculer : OH :OD = 1/2 32 Paradoxe de Bertrand O M  B N Solution (milieu aléatoire) I C • Choisir au hasard un point I l’intérieur du cercle Tracer la corde MN dont I est milieu.3MN > si & seulement si I est situộ lintộrieur du cercle (O, ẵ) Probabilité calculer : S(O, 1) : S(O, 1/2) = ¼ 33 Paradoxe de Bertrand Analyse des solutions • Lorsque la méthode de sélection d’une corde au hasard est spécifiée, le problème possède une solution bien définie • En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « tracer au hasard une corde MN », est ambigu • solutions de Bertrand correspondent méthodes de sélection distinctes & on n’a aucune raison d'en privilégier (ou éliminer) une par rapport aux autres 34 Paradoxe de Bertrand Analyse des solutions • Sauf les diamètres, une corde est entièrement définie par son milieu Une autre faỗon de tracer les cordes consiste considérer la distribution des milieux des cordes • premières solutions produisent deux distributions non-uniformes distinctes, la troisième une distribution uniforme des milieux l'intérieur du cercle • Il est possible d’établir d'autres distributions & d’obtenir des probabilités différentes L’enseignant tient-il compte de la dépendance de la probabilité vis-à-vis des 35 Paradoxe de Bertrand Enquête auprès des enseignants • Enquête auprès de 30 enseignants des classes 11 (programme avancé) par questionnaire • Problème & ses solutions : présentés complètement dans le questionnaire • Consigne : D’après vous, laquelle est correcte, incorrecte parmi ces solutions supra ? 36 Paradoxe de Bertrand Résultat de l’enquête & remarques Question posée est routinière pour enseignants Ils s’intéressent plus ou moins « l’aléatoire » mais n’abordent pas la dépendance de la probabilité vis-à-vis de la construction de la corde 37 En guise de conclusion • Paradoxe des anniversaires : grand écart entre intuition & valeur de la probabilité  nécessité d’une interprétation de la signification d’un événement particulier • Paradoxe des pièces de monnaie : erreurs dans le calcul probabiliste  mesures prendre pour aider l’élèves déceler les erreurs (parfois très délicates) dans son calcul probabiliste • Paradoxe de Bertrand : dépendance de la probabilité vis-à-vis du choix « aléatoire »  Enseignant doit en tenir compte dans sa pratique 38 Merci de votre attention ! 39