LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tâm của TS Trần Văn Vuơng
được sự định hướng của thầy mà tác giả thực hiện đề tài "Phương
pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính" Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc nhất đến người thầy quá cố của mình
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trần Văn Bằng người đã giúp tác giả hồn thành luận văn Cảm ơn các thầy cơ giáo đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tác giả nâng cao trình độ tư duy, hồn thành tốt quá trình học tập và làm
luận văn
Tác giả rất biết ơn tới BGH Trung tâm giáo dục thường xuyên- hướng nghiệp Đoan Hùng- Phú Thọ và các đồng nghiệp đã quan tâm
giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế hoạch học tập của mình
Tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tac giả trong quá trình hồn thành luận văn Do thời gian và
kiến thức cĩ hạn nên Luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế và
cịn những thiếu sĩt nhất định Tác giả mong được những ý kiến đĩng gĩp của các thầy giáo, cơ giáo và các bạn học viên
Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan Luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng
tơi dưới sự định hướng của TS Trần Văn Vuơng và được hồn
thành dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bang
Trong khi nghiên cứu luận văn, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết
ơn
Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Trang 3Mục lục Mở đầu 4 1 Một số kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Tập hợp cộng tính và cấu trúc cộng tính 8 12 Motsédkyhigu 2.2 2 ee eee 13 1.2.1 Về tập hợp và hàm .- 13 1.2.2 Về hệ thốngsỐ .- 14 1.23 Ký hiệu tiệm cận Landau 14 12.4 VécApcong 00 0004 15
1.3 Bién doi Fourier 2 18 1.4 Khơng gian L’,1 <p < 00 trong té hop cộng tính 24
Trang 4MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Tổ hợp cộng tính là một trong những lĩnh vực nghiên cứu về cấu trúc cộng tính của các tập hợp, đã và đang rất phát triển Nĩ cĩ liên hệ chặt chẽ với nhiều ngành như: giải tích điều hịa, hình học
lồi, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, hình học đại số, lý thuyết
egodic Các bài tốn của Tổ hợp cộng tính địi hỏi phải sử dụng
các cơng cụ của một hoặc một số ngành nĩi trên, thậm chí là của
các ngành khác nữa (xem [3]-[6]) Phương pháp xác suất rất quan trọng trong lý thuyết tổ hợp cộng tính, trong đĩ cấu trúc cộng của một đối tượng ngẫu nhiên được hiểu thơng qua việc tính tốn các
giá trị trung bình hoặc các moment của đối tượng đĩ Luận văn
này tìm hiểu về một cơng cụ khác cĩ tầm quan trọng khơng kém, đĩ là giải tích Fourier Dây là một cách khác để tính các giá trị trung bình và các moment của các đối tượng cĩ cấu trúc cộng Nĩ tương tự như phương pháp xác suất nhưng với một thành phần mới
quan trọng, đĩ là các đại lượng được tính giá trị trung bình sẽ được
"xoắn" hoặc "được biến điệu" bởi một số hàm pha giá trị phức, gọi
là đặc trưng Diều này dẫn tới khái niệm hệ số Fourier của một tập hoặc của một hàm- là cái đo độ lệch của đối tượng đĩ với một đặc
trưng Các hệ số Fourier cho phép ta đạt được 2 mục đích:
Trang 5nhan để nhận được các cận (khơng tầm thường) của các hệ số đĩ; tính trực giao này cĩ vai trị tương tự như tính độc lập trong lý thuyết xác suất
Thứ hai, các hệ số Fourier rất tốt để điều khiển tích chập của các hàm, tương tự như phép tốn tổng các tập hợp
Vì thế, giải tích Fourier là một cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu các đại lượng số học, đáng chú ý nhất là năng lượng cộng tính
Sử dụng giải tích Fourier, ta cĩ thể phân chia các tập hợp cộng
tính A theo hai thái cực:
Thái cực thứ nhất, bao gồm các tập hợp giả ngẫu nhiên, là các tập cĩ biến đổi Fourier rất nhỏ (trừ ra tại điểm 0) Với các tập này
chúng ta sẽ cần tới khái niệm độ lệch tuyến tính ||A||„ và các A(p)-
hằng số để đo tính giả ngẫu nhiên Các tập hợp như vậy rất "lộn xộn" đối với phép cộng tập hợp (cũng như việc xác định các cấp cộng cĩ độ dài 3) và các thuật ngữ trên cũng cho thấy, ít nhiều chúng giống như các tập hợp ngẫu nhiên
Thái cực thứ hai, bao gồm các tập hầu tuần hồn, gồm các cấp cộng, các tập hợp Bohr và các tập hợp khác cĩ hằng số kép nhỏ hoặc cĩ năng lượng cộng tính lớn Dáng điệu của các tập hợp này đối với phép cộng và các cấp số cĩ độ dài 3 được mơ tả hầu đầy đủ bởi một phổ nhỏ Øpec„(4)- là tập hợp các tần số, ở đĩ biến đổi Fourier cia ham đặc trưng 1¡ là lớn
Giải tích Eourier cĩ thể được thực hiện trên một nhĩm cộng tính
Z bất kỳ (thậm chí cả với các nhĩm khơng giao hốn) Tuy nhiên, luận văn này chỉ xét trên các nhĩm hữu hạn, ở đĩ lý thuyết đơn
giản hơn một chút về mặt kỹ thuật Các trường hợp Z = Zy,Z =
Trang 6số giải tích), nhưng ta cũng chỉ ra rằng lý thuyết Fourier trên các nhĩm hữu hạn cĩ thể được thay cho lý thuyết Fourier trên các nhĩm vơ hạn trong các ứng dụng của chúng ta
Bước đầu tìm hiểu về Giải tích tổ hợp, được sự định hướng của thầy TS Trần Văn Vuơng, em chọn đề tài
“Phương pháp giải tích Eourier trong tổ hợp cộng tính” Đây là một trong ba cơng cụ cơ bản để nghiên cứu Tổ hợp cộng tính đã được trình bày trong cuốn sách Additive Combinatorie của
Trang 7Nghiên cứu một số vấn đề của tổ hợp cộng tính bằng phương pháp giải tích Fourier
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
e Nghiên cứu một số khái niệm trong tổ hợp cộng tính
e Nghiên cứu một số khái niệm trong giải tích Fourier
e Vận dụng phép biến đổi Fourier để giải quyết một số vấn dé trong tổ hợp cộng tính
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Ứng dụng phép biến đổi Fourier trong nghiên cứu tổ hợp cộng tính
5 Phương pháp nghiên cứu e Nghiên cứu tài liệu tham khảo
e Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất e Hỏi ý kiến chuyên gia
6 Những đĩng gĩp của đề tài
Trang 8Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập hợp cộng tính và cấu trúc cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Nhớm cộng là một nhĩm giao hốn (hay Abel) Z với phép tốn +
Từ nay về sau ta luơn giả thiết Z là một nhĩm cộng, cịn vành số nguyên, trường số thực, trường số phức lần lượt là Z, R, C
Trang 9Ví dụ 1.1.3 Các ví dụ điển hình về nhĩm cộng là tập các số nguyên Z, nhĩm xyclie 2w, khơng gian Euclide R” hoặc một trường hình
học hữu hạn FY
Từ ký hiệu và khái niệm nêu trên, ta cĩ thể hình dung các tập cộng tính như là những đối tượng chính cần xem xét và chúng cĩ thể được nhúng trong một số nhĩm khác nhau Các tập hợp cộng tính ít nhiều cĩ "cấu trúc cộng"
Ví dụ 1.1.4 Một ví dụ điển hình về tập hợp cộng tính cĩ “cấu trúc cộng ít” là các tập con được chọn một cách ngẫu nhiên của một nhĩm cộng hữu hạn với lực lượng đã cho
Ví dụ 1.1.5 Dối lập với tập hợp cộng tính cĩ cấu trúc cộng ít là tập hợp cộng tính cĩ “cấu trúc cộng cao” là “cấp cộng”
a+ [0,N)-r:= {a,a+r, ,a+(N — 1)r},
trong đĩ ø,r € Z và N € Z*; hoặc các “cấp cộng tổng quát d- chiều” a+[0,N)-ø:= {a + mm + + nguy: 0 Sn; S Nj,VI <S j < d}, trong d6 a € Z,v = (w, ,va) € Z4,N = (M, , Na) € (Z*)%; hoặc các “hộp lập phương d- chiều”
a+ {0,1}: := {a+eimi + + egÐa:ei, ,ea€ {0,11};
hoặc tập "các tổng- tập con"
FS5(A) := {Eo :ĐC a}
acB của mot tap hitu han A
Trang 10ra những cách đo (định lượng) về cấu trúc cộng của một tập hợp và nghiên cứu xem đối với những đối tượng nào thì những kết quả định lượng đĩ tương đương với nhau Chẳng hạn một trong các khẳng
định sau đây đều là một cách khẳng định “A cĩ cấu trúc cộng”: ® A+ A nhỏ; A— A nhỏ; e A— A được phủ bởi một số nhỏ các ảnh tịnh tiến của 4; e kA nhỏ với mọi k cố định; e C6 nhiéu bé 4: (a,, a2, 43,04) € A x A x A x A sao cho a, + dạ = dạ + Q43 e C6 nhiéu bé 4: (a1, a2, 03,04) € A x A x A x A sao cho a, — a2 = a3 — a4;
Tich chap 1, * 1, tập trung cao;
Tap cdc tong- tap con FS(A) := {> a: B C A} c6 tinh boi
acB
cao;
Biến ddi Fourier 1, tap trung cao;
Bién déi Fourier 14 tập trung cao trong một hộp lập phương;
A cĩ một giao lớn với một cấp cộng suy rộng cĩ cỡ so sánh
được với 4;
Trang 11Sau đây ta nghiên cứu một kiểu đặc biệt của nhĩm cộng trong khơng gian Euelide:
Định nghĩa 1.1.6 [Dàn] Một đàn T' trong R*“ là một nhĩm con cộng tính trong R'°, trong đĩ T' là rời rạc (nghĩa là mọi điểm thuộc
T đều là điểm cơ lập)
Nếu khơng gian tuyến tính sinh bởi dàn T` cĩ số chiều bằng k thì ta
nĩi E cĩ hạng È, do vậy U < k < d
Nếu k = đ ta nĩi Ï' cĩ hạng đầu đả
Néu I’ 1A mot dàn khác trong R*“ được chứa trong F thì ta nĩi I” là đàn con của Ï
Ví dụ 1.1.7 Z*“ là dàn cĩ hạng đầy đủ trong R“ Tổng quát hơn, ví dụ điển hình về một dàn hạng k là: Z:, trong đĩ 0 = (0,, , 0g)
là một họ k vectơ độc lập tuyến tính trong IR* với 0 < k < d Khang
định này là một phần của định lý sau:
Định lý 1.1.8 [Định lý cơ bản về dàn] Nếu T` là một dàn cĩ hạng k trong R° thì tồn tại các vectơ độc lập tuyến tính 0ị, ,y trong
R' sao cho Ù = Z* -u Nĩi riêng, mọi dần hạng k đều hữu han sinh
và đẳng cầu (qua một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch hạng k từ khơng gian tuyến tính sinh bởi T tới R°) với dàn Z“ Hơn nữa, nếu œ là một vectơ bất khả quy trong T ta chọn phép biểu diễn trên
là T = Z“-u để 0 = u
Định lý 1.1.9 [John] Cho B lồi, đối xứng trong IR° và T là dàn hạng r trong R¢ Khi đĩ tồn tại tu = (u\, ,+0„) € Ï” gồm r vecta
độc lập tuyến tính trong và N = (Nì, ,N,) gồm r số nguyên
dương thỏa mãn:
Trang 12Định lý 1.1.10 [Định lý cơ bản về nhĩm cộng hữu hạn] Mọi nhĩm
cộng hữu hạn Œ đều đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn nhĩm xyclc 2y = 2N” Chứng mình Gọi øi, , ø¿ là tập hữu hạn các phần tử sinh của G Khi đĩ ánh xạ ĩ :Z —+ Œ là một tồn ánh m —> 0(n) := mn - (0\, ga)
và do đĩ G đẳng cầu với Z“ ⁄ĩ~!{0) là một nhĩm con của JR# ⁄ĩ~1(0) Hạt nhân ø~†!(0) là đàn hạng k với 0 < k < đ, do đĩ theo Định lý cơ bản về dàn, nĩ được sinh bởi k vectơ độc lập tuyến tính 0ị, , Uy trong Z“,
Ta phải cĩ k = đ vì nếu khơng thì Z“ ⁄ø~1{0) là vơ hạn và do đĩ Œ vơ hạn Ta cĩ thể viết ĩ~!(0) là một dàn được sinh bởi Nịei, , Nạex
với một bộ số nguyên Àì, , Nạ > 1 Do vậy GeZ/NZ® 0Z/N,Z
Trang 131.2 Một số ký hiệu
1.2.1 Về tập hợp va ham
Với một tập 4 bất kỳ, ta sử dụng các kí hiệu:
A:= Ax Ax x A= {(ai, ,da):ứi, ,dạC A}
là tích đề các d lần của A, chang hạn Z* là dàn số nguyên đ- chiều Đơi khi ta ký hiệu 4* bởi A®° để phân biệt với tập các lũy thừa bậc đ của A là A*°=A.A A=A*°:={a"°:ac A} Với hai tập A, Ư thì ta kí hiệu A\B:={aEA:a¢ B} là hiệu của A và B B2 := {ánh xạ ƒ: A —> BỊ:
24:={B:BC A}- họ tất cả các tập con của4;
|| lực lượng của tậpA Định nghĩa 1.2.1 [Hàm đặc trưng] Nếu AC Z thì lạ : Z — {0,1} là hàm đặc trưng (hay hàm chỉ định) của tập A xác định bởi (1.1) 1 nếuz€ A lẠ(#) | 0 nếu z £ A Tương tự như vậy, nếu là một tính chất nào đĩ thì đặt 1 nếu P xảy ra I(P) = | (12)
0 nếu trái lại
Trang 141.2.2 Về hệ thống số
Ta thường xuyên làm việc với tập các số nguyên Z và các tập con của nĩ như:
Z* := {1,2, },N:= Zso = {0,1,2, }:
tập số thuc R va cac tap con cia R nhu:
Rt :={ceER:2>0},Rxy:= {te ER: > 0}; tap các số phức C và nhĩm đường trịn
R⁄Z:={z+Z:zc€ R}
Với số tự nhiên ý €Đ, ta kí hiệu Z„ := Z⁄⁄4NZ là nhĩm xyclic cap N va stt dung kí hiệu n ++ n mod N cho phép chiéu chinh tac tit
Z len Zn
Nếu q là một lũy thừa nguyên tố thì #, là trường hữu hạn cap q Nĩi riêng nếu ø là số nguyên tố thì Ƒ„ cĩ thể được đồng nhất với
7y
Với z € R thì [z] là phần nguyên của z
1.2.3 ký hiệu tiệm cận Landau
Cho ø là biến dương (thường lấy giá trị trên Đ,Z*,I:ọ hoặc R* và thường được giả thiết là lớn) và gọi ƒ(ø), ø(m) là các hàm giá trị của ø Khi đĩ
® g(n) = O(ƒ(n)) nghĩa là ƒ khơng âm và 3Œ > 0 sao cho
Trang 15e g(n) = Q(f(n)) nghia la f,g khong 4m va dc > 0 sao cho g(n) > cf(n), Vn đủ lĩn
® g(n) = 0(ƒ(n)) nghĩa là 3e, > 0 sao cho cf(n) < g(n) < Cf(n),Vn
e g(n) = o(f(n)) nghia la f khong 4m va g(n) = O(a(n)f(n)) với một ham a(n) —> 0 khi n > œ; nếu ƒ(n) > 0 thì điều đĩ cĩ nghĩa là lim gn) Tì —> ƒ(n) e g(n) = w(f(n)) nghia la f,g khong 4m va f(n) = o(g(n)) = 0
Néu cac hing sé c,C hoac ham suy gidm a(n) phụ thuộc vào tham
số khác thì ta sẽ chỉ ra sự phụ thuộc đĩ bởi chỉ số dưới Chẳng hạn
ø(n) = O¿(ƒ(n)) nghĩa là tồn tại hằng số dương Œy phụ thuộc vào
k sao cho g(n) < Œyƒ(n),Vn,
1.2.4 Về cấp cộng
Trong mục thứ nhất ta đã nhắc đến khái niệm cấp cộng và cấp
cộng suy rộng O đây ta sẽ đề cập một cách chỉ tiết hơn Với các số
nguyên ø < Ð ta gọi đoạn [ø, b| là khoảng đĩng rời rạc [a,b] :-= {ne Z:a<n< bd}
Tương tự
|a,b):={n€Z:a<n < Ù},
Tổng quát hơn, nếu ø = (ø, ,ø¿) và b = (bị, ,b„) € Z“ sao cho a; <b;,Vj =1,2, ,d thi ta định nghĩa hộp rời rạc
Trang 16[a,b) = {(m, ,ma) € Z“: ai <Sny < bị, VI < 7 < đ}, Định nghĩa 1.2.2 [Cấp cộng] Nếu Z là một nhĩm cộng, thì ta định nghĩa cấp cơng suy rộng (gọi tắt là cấp cộng) là tập hợp bất kỳ cĩ dạng P = a+ |0, N]- ø, trong đĩ œ€Z,N =(N, ,Na) € N%,[0, N] CZ! 1A mot hop rdi rac, v = (v,, , vg) € Z“, ánh xa -:Z" x Z —+ Z la tích chấm (m, , nạ) - (U1, , Đa) := M11 + + NaVa, và |0, M]:u:= {n-ø :=n € [0, N]} Nĩi cách khác, P:={a+miui+ +nạu¿:0 Sn; <SN,,VỊ < 7 < dh Ta gọi ø là điểm nền của P, ø = (0ị, , 0¿) là các vectd cơ sở của P,N là chiều của P, đ là số chiều hay hạng của P và
vol(P) := |[0, N]| = [J +1) là thể tích của |0, N]
Định nghĩa 1.2.3 [Cấp cộng proper] Ta nĩi cấp cộng P 1a proper
nếu ánh xạ ø —> 0w : là đơn ánh trên [0, ý] hay nếu lực lượng của
P bằng thể tích của P Trường hợp P khơng là proper xảy ra khi các vectơ cơ sở của nĩ phụ thuộc tuyến tính trên Z
Trang 181.3 Biến đổi Fourier
Cho Z là nhĩm cộng hữu hạn (ví dụ như nhĩm xyclie Z„) Trong mục này ta nhắc lại lý thuyết cơ bản của biến đổi Fourier trên các nhĩm hữu hạn đĩ Giải tích Fourier dựa trên tính đối ngẫu giữa một nhĩm Z và đối ngẫu Pontryagin Z cha nĩ, Zlà khơng gian tất cả các đồng cấu từ Z vào nhĩm lR/Z Trong trường hợp Z là nhĩm hữu hạn, thì ta sẽ chỉ ra rằng Z và Z luơn đẳng cấu, do đĩ ta sẽ đồng nhất hai nhĩm này với nhau Điều này được thực hiện nhờ
dạng song tuyến tính khơng suy biến
Định nghĩa 1.3.1 [Dạng song tuyến tính] Một dạng song tuyến tính trong nhĩm cộng Z là một ánh xạ (€,#) —> €-#+ từ Z x Z vào R/Z sao cho nĩ là một đồng cấu theo từng biến €, z
Dạng song tuyến tính đĩ gọi là khơng suy biến nêu Về # 0 ánh xạ œ —> ÿ-z khơng đồng nhất bằng 0 và với Vz # 0 ánh xạ £ —— £-# khơng đồng nhất bằng 0; là đối zứng nếu € - z = 2- €
Ví dụ 1.3.2 Nếu Z là một nhĩm xyclie Z„ thì dạng song tuyến tinh r€ = oe là đối xứng và khơng suy biến Nếu Z là một khơng gian vectơ F"" trên trường hữu hạn #' thì dạng song tuyến tính
(i,#s, ,„) ' ((,Êa, ,Éu) = Ĩ(miệt + + #uế„)
là đối xứng và khơng suy biến khi ¿ : F —> R/Z là đồng cấu
khơng tầm thường từ #' vào R/Z (ví dụ nếu F = Z, ta c6 thé lay
(ez) =),
Với sự lựa chọn cu thé nay ta cdn c6 a€-a = €-ar,Va € F;2,€ € Z Bồ đề 1.3.3 [Sự tồn tại dạng song tuyến tính] Mỗi nhĩm cộng hữu hạn Z cĩ ít nhất một dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy
Trang 19Chứng mành Từ Định lý cơ bản của nhĩm cộng hữu hạn 1.1.10 ta cĩ mỗi nhĩm cộng hữu hạn là tổng trực tiếp của các nhĩm xyclic Trong ví dụ 1.3.2 ta lại cĩ mỗi nhĩm xyclie đều cĩ một dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến Hơn nữa, nếu Z¡ và Z; cĩ dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến thì tổng trực tiếp Z¡ ® Za cũng cĩ dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến, được định nghĩa bởi
(É¡, 62) - (đi, #2) = ết cớ + Ếy ca
Vậy ta cĩ điều phải chứng minh
Nhận xét 1.3.4 Mỗi nhĩm cộng tính Z thường cĩ nhiều dạng song tuyến tính nhưng theo giải tích Fourier thì chúng đều tương đương nhau Tính đối xứng cĩ một vài ưu thế nhưng khơng phải là nhất
thiết đối với lý thuyết Fourier Vì biến khơng gian và biến tần số
nĩi chung cĩ vai trị rất khác nhan
Từ nay trở đi, ta cố định một nhĩm cộng hữu hạn Z, cùng với
một dạng song tuyến tính khơng suy biến £ : z
Để trình bày về giải tích Fourier, sẽ thuận lợi hơn khi ta dùng ký hiệu của lý thuyết "ergodie"
Gọi CÝ là khơng gian các hàm giá trị phức ƒ : Z —> Œ Nếu
Trang 20Ta cũng cĩ thể sử dụng các ký hiệu này đối với một tập hữu hạn, khác rỗng bất kỳ, chẳng han
E,cauesƒ(.9)'“ mi S) Fle): IAlLPI , 4 -;
Ký hiệu này khơng chỉ gợi ý đến mối liên hệ giữa giải tích Fourier, lý thuyết ergodic và xác suất mà nĩ cịn rất gọn vì ngồi việc lấy tổng nĩ cịn bao gồm các thủ tục chuẩn hĩa (chia cho |Z|) Nĩi chung, ta sẽ sử dụng ký hiệu ergodie cho các biến khơng gian và sử dụng ký hiệu rời rạc Ð)._„ ƒ(€) và |A| (khơng cĩ chuẩn hĩa theo
|Z|) cho biến tần số Ta cũng sẽ thường xuyên sử dụng hàm số mũ
e:]R/Z —> C được định nghĩa bởi c(8) — c2 Hai tính chất trực giao sau tạo thành nền mĩng cho giải tích Fourier Bổ đề 1.3.5 [Tính trực giao] Với bắt kỳ €,£' € Z, ta cĩ E,czc(€ :#)e(§'-#) = l(€ = €) va vdi moi x,2' € Z, ta cé 3 c(€-z)e(€ -ø') = |Z|H(z = z) eZ Chứng mình Ta chỉ chứng mình đồng nhất thức thứ nhất, đồng nhất thức thứ hai làm tương tự
Vì e(£ - z)e(£ - z) = e(( — £) -#) nên ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp €’ = 0, nghĩa là chứng minh B„-ze(€ - z) = I(€ = 0) Điều này đúng trong trường hợp £ = 0 Nếu £ # 0 thì do tính khơng suy biến, 3h € Z sao cho e(£ - h) # 1 Thay z bởi z + h ta cĩ:
Trang 21nên Єeze(€ : z) = 0 = I(€ = 0) như mong muốn Với mỗi £ € Z ta cĩ thể định nghĩa một đặc trưng liên kết c¿ € CZ bởi e¿() = e(€:#) Bổ đề trên chứng tỏ rằng e¿ là một hệ trực chuẩn trong CZ, với cấu trúc khơng gian Hilbert phức
(f, đ)cz — Bz(9) = E, ez f(x)g(2)
Vì số các đặc trưng |Z| bằng với số chiều của khơng gian, nên ta
thấy hệ đĩ là một hệ trực chuẩn đầy đủ Từ đây ta cĩ:
Định nghĩa 1.3.6 [Biến đổi Fourier) Nếu ƒ € CZ, thì ta định nghĩa biến đổi Fourier fe CZ bởi cơng thức
ƒ():= (freelez = Erez f(a)e(§- 2) Ta goi f(© là hệ số Fourier của ƒ tại tần số €
Vì œ¿ là cơ sở trực chuẩn đầy đủ nên ta cĩ đồng nhất thức Parseval (z|7)! = (2 l9)” ccZ (L5) định lú Plancherel .øc => f9) (1.6) ccZ và cơng thúc Fourier ngược =) _/(âôc (17) eZ
Ni riờng, hai hàm là bằng nhau nếu và chỉ nếu các hệ số Fourier
của chúng bằng nhan tại mọi tần số
Trang 22Từ Bổ đề 1.3.5 ta thấy các hệ số Fourier của đặc trưng e; chính là ham delta Kronecker: é¢(&') = I(€ = €)
Trường hợp đặc biệt 1(€) = I(€ = 0) Một vai trị đặc biệt trong
lý thuyết cộng tính của biến đổi Fourier được thực hiện bởi tần số khong € = 0 Đĩ là vì, hệ số Fourier khơng chính là khái niệm kỳ vọng f(0) = (f, Vez = Ex(f) Nếu ® là tập con của Z thi phan bi truc giao S+ C Z cia S 1a tập St:={€E€7:€-2=0,Vr € 6} Dễ thấy S† là một nhĩm con của Z Hơn nữa, ta cĩ đồng nhất thức — le = Pz(G)le,
với mọi nhĩm con Œ của Z
Bây giờ ta đưa ra khái niệm cơ bản là tích chập, là khái niệm liên kết biến đổi Fourier với lý thuyết về các tập tổng
Định nghĩa 1.3.7 [Tích chập] Nếu f,g € L?(Z) là các biến ngẫu
nhiên, ta định nghĩa fích chập của chúng là biến ngẫu nhiên f * g ƒ*ø() = B,ezƒ(+ — y)g(y) = Eyez f(y)g(a — 9):
Ta cũng định nghĩa gid supp(f) của ƒ là tập hợp supp(ƒ) = {ƒ # 0} = {x © Z: f(a) A Of
Ý nghĩa của tích chập đối với các tập tổng nằm trong phép nhúng
+2 on
hiên nhiên sau
Trang 23và đặc biệt là trong đẳng thức A+B = supp(1, * 1p) Thật vậy, ta cĩ khẳng định cụ thể hơn nữa la x*1s(z) =Pz(A1n (+ — Ð)) Sự liên quan của biến đổi Fourier với tích chập nằm trong cơng thức sau ——— ^ Í*u=-8 (1.8) Ap dung (1.8) tại tần số khơng ta cĩ cơng thức cơ bản Ez(f * 9) = (Ezf)-(Ezg) (1.9) Nĩi riêng, nếu ƒ hoặc ø cĩ kỳ vọng bằng khơng thì ƒ x ø cũng cĩ kỳ vọng bằng khơng Như một hệ quả của (1.8), ta thấy rằng tích chập là song tuyến tính, đối xứng và kết hợp 'Ta cũng cĩ cơng thức
ƒ+*ø(€) = Ð ` ftn)9(€ — n)
nEeZ
Cơng thức này chuyển tích từng điểm thành tích chập
Định lý 1.3.8 [Markov] Cho X là biến khơng âm Khi đĩ với mọi số thực dương À,
Hệ quả 1.3.9 Cho HH là nhĩm nhân con của F, thoa man
|HỊ>p`,V0< ơ<1
Khi đĩ tồn tại e = e(ð) > 0 chỉ phụ thuộc vào ỗ, sao cho
E(A,H) < p°|A||H,VA C€ F,,1<|A|< p3
Trang 241.4 Khơng gian Ƒ",1 < p< oo trong tổ hợp cộng tính
Chúng ta quay trở lại lý thuyết giải tích về biến đổi Fourier và tích chập, bắt đầu với lý thuyết Ƒ và sau đĩ ứng dụng nĩ vào bài tốn xác định cấp số học của các tập hợp tổng Định nghĩa 1.4.1 Cho p€ R với l < p< oo; ta định nghĩa T"( L*(9) ={ƒ: 9 — R hoặc C; ƒ đo được và 3C : |ƒ(z)| < Œ hầu khắp nơi} II, = { ƒ trừ yar} | lf loo = inf{|f(x)| < Œ hầu khắp nơi} Va ky hiéu Nhận xét 1.4.2 Nếu ƒ € L*(©) thì |ƒ(z)| < ||, tai hầu hết rE Định lý 1.4.3 !” là một khơng gian vectơ và || - ||y, là một chuẩn với | < p< œ
Định nghĩa 1.4.4 Nếu ƒ € CZ và 0 < p < œ, ta định nghĩa LP(Z)- chuẩn của ƒ là giá trị
IIflloz) = (Bz fl’)? = (Evezl f(a)?’
Chẳng hạn ||[ƒl|¿z¿z) là độ dài trong khơng gian Hilbert của ƒ Ta cũng định nghĩa
Trang 25Tương tự, ta định nghĩa IIflle = [= vor) , 0<p<oc ccZ và II f lla (zy := sup |ƒ(©)| eZ Ta cĩ hai J”- đánh giá đối với biến đổi Fourier và tích chập như sau:
Dinh ly 1.4.5 Cho f,g: Z — C 1a cdc hàm trong nhĩm cộng Z Khi đĩ với mọi l < p < 2 ta cĩ bất đẳng thức Hausdorff- Young
l/lzz› S WF lana)
ở đĩ số mũ đối ngẫu p' của p được định nghĩa bởi „+ „ =1
Hơn nữa, với bất cứ 1 < p,q,r < œ thộ mãn at h =z+lfa cĩ
bat đẳng thức Young
If * gllozy S Willey li gllnezy
Từ khái niệm năng lượng cộng tính F(A, B) giữa hai tập hợp cong tinh A,B trong Z ta thấy:
E(A,8) = |ZJ|l|La*1z l2)
Theo đồng nhất thức Parseval (1.5) và mối liên hệ giữa biến đổi Fourier va tich chap, ta cĩ đồng nhất thức cơ bản
E(A, B) = |Z|E(14, 18) = Z2 „la ?\tp(€)|?
Cơng thức này cĩ thể làm sáng tỏ một vài thuộc tính của năng lượng cộng tính, thí dụ như tính đối xứng
Trang 26và bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Với mục đích của tổ hợp cộng tính, biến đổi Fourier là hữu ích nhất khi áp dụng vào các hàm đặc trưng ƒ = lạ, và trong trường hợp này ta cĩ thể nĩi về biến đổi Fourier và quan hệ của nĩ với năng lượng cộng tinh E(A, A)
Bổ đề 1.4.6 Cho A là một tập con của nhĩm cộng hữu hạn Z, và
goi 14: Z —> € là biến đổi Fourier của hàm đặc trưng của A khi đĩ, ta cĩ
lĩili-ø; = sp[f(9|= Ẵa(0)= Pz(A — (A0)
lly = So Ral = Pata (1.1)
Ta(€) = Ta(—©): (1.12)
Wali) = Ea = " (1.13)
14() = 2_1at0)1a —T): (1.14)
Bây giờ ta trình bày một ứng dụng đơn giản của biến đổi Fourier trong việc xây dựng một trường hữu hạn #'
Hệ quả 1.4.7 Cho F' là một trường hữu hạn và A là một tập hợp con của P`\ {0} thoa man |A| > |F|* Khi do
3(A-A)=A-A+A-A4A-A=F,
Chứng mình Ta xây dung trén F mot dang song tuyén tính đối xứng, khơng suy biến
Cho ƒ: #' —> R là hàm khơng âm xác định bởi ƒ = B„caAla.A
Trang 27Fourier ta nhận được ƒ(€) = E,ca1a(Ê), VỆ € F Nếu £ z 0 thì các tần số $ luơn khác nhau khi a biến thiên Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz rồi đến (1.11) thì ta đạt được LÊ(9|< + IAl!Pz(4)) = —`-.V€ #0 Lay x € Ƒ tuỳ ý Ta sử dụng (1.7) và (1.8) ta cĩ ƒx*ƒ* Ƒ(z) = Re Ƒ*ƒ*ƒ(z) = Re `ƒ(£)°e(£:z) ccF > Ref(0)*- 3` lƒ(@l £eƑ\{0} > Pz(4)°~— À `|F|*|ƒ(©l ceF = Pz(4)°= |F|*Pz(4) >0
vi P;(A) > |F|* theo gid thuyết
Do supp(ƒ * ƒ *x ƒ) = 3(A: A) và z bất kỳ nên ta cĩ điều phải chứng
minh
Nhận xét 1.4.8 Hệ quả 1.4.7 là ví dụ đơn giản về đánh giá của tổng- các tích Nĩ định rằng một tổ hợp của tổng và tích của một
tập A lớn hơn tập A rất nhiều Nĩ cĩ thể được xem như một phản
Trang 28Chương 2
Phương pháp giải tich Fourier
trong tổ hợp cộng tính
Trong chương này chúng tơi trình bày khái niệm về độ lệch tuyến tính, tập hợp Bohr, các A(ø)- hằng số, ?„[ø]- tập hợp, các tập phân ly, phổ của tập hợp cộng tính, cấp cộng trong các tập tổng
2.1 Độ lệch tuyến tính
Phương pháp chủ yếu để áp dụng biến đổi Fourier vào lý thuyết các tập hợp tổng hoặc các cấp cộng là dựa vào khái niệm độ lệch
Fourier của tập hợp đĩ (cịn gọi là độ lệch tuyến tính hoặc tính giả
ngẫu nhiên) Nĩi một cách sơ lược, khái niệm này chia các tập hợp theo hai thái cực: các tập khá chính quy (cĩ dáng điệu như các tập ngẫu nhiên, đặc biệt là các tập tổng lặp) và các tập khơng thật chính quy (cĩ dáng điệu như các cấp số)
Định nghĩa 2.1.1 [Độ lệch Fourier| Cho Z là một nhĩm cộng hữu hạn Nếu 4A là một tập con của Z, thì ta định nghĩa độ lệch Fourier
|| Al ctia A là số:
I4ll,:= sup [Ïa(6) €cZ\{0}
Trang 29A =Ũ Nĩ tuân theo luật đối xứng
I4, = |] — Allu = |A + Ally = 112 \ Alla, VA € Z
Chú ý rằng || - || là khơng đơn điệu, tức là 4 C khơng suy ra được ||A||, < ||P|l Tuy nhiên, độ lệch Fourier tuân theo bất đẳng thức tam giác Độ lệch Fourier ||A||„ cĩ thể lớn bằng mật độ Pz(1), nhưng thường là nhỏ Các tap A cĩ độ lệch Fourier nhỏ hơn
œ, thường được gọi là tập œ- đều hoặc tập a- giả ngẫu nhiên; các
tập với độ lệch Fourier nhỏ được gọi là đều tuyến tính, đều Gowers cấp 1, hoặc giả ngẫu nhiên
Múi liên quan giữa độ lệch Fourier và các tập tổng được mơ tả trong 2 ^ bồ đề sau Bổ đề 2.1.2 [Tính đều suy ra các tập tổng lớn] Chon > 3, và Ai, 4;, , A„ là các tập hợp cộng tính trong nhĩm cộng hữu hạn Z Khi đĩ với Vz € Z, (œị,d¿, ,d„) € Ái x < Ấ„ ta cĩ 1 a S |[Aaflu s+ An—2lluPz(An-1)?P2(An)? |{(a1,a2, -,@n) :ư =úp + + a„}|—Pz(Ai) — — Pz(A„) Đặc biệt, nếu ta cĩ Nie
\| Ay Ì sae | An—allu < Pz(4j) Pz(An—-2)Pz(An-1)?Pz(An)
Tat nhiên, một kết quả tương tự là đúng nếu ta hốn đổi thứ tự
Ai, , A„ Chú ý rằng đại lượng Pz(44) Pz(4„) là giá trị mong
đợi của
1
Trang 30nếu các sự kiện a; € Aj, ,a, € 4„ là độc lập từng đơi với điều
kiện # = ai + +ø„ Điều này giải thích tại sao tính đều cịn được
gọi là tính giả ngẫu nhiên Chứng mình
Theo (1.13), ham 14, * * 14, c6 bién doi Fourier Ta, ` TA, Áp dụng cơng thức Fourier ngược (1.7), (1.10), Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz va (1.11) ta cé: 14, * * 14, (2) 1 = Re la, * *% la,(z) = Re So 14, (8) sở - Ta,(€)c(œ -€) ccZ >1a,(0) 1a,(0)— ` [i¿,(©l [Ta,(6)| €eZ\{0} > Pz(A1) Pz(An) = Arle JAn—2llu 95 (Pa, (©) La, (6) ccZ
> Pz(4¡) Pz(4A¿) — |lAillu - An—allullta, (Ollewllta, (Elle
= P;(A,) Pz(An) — ||Aillu - || An—2lluPz(An-1)?Pz(An)?- Tương tự ta cĩ
la, *x *% 14, (x) < Pz(4j) .Pz(A,)
+ | Aa lla | An—2|luPz(An-1)?Pz(An) NIK
Theo định nghĩa của tích chập
lạ * % 14 (x) 1
= |ZI! *|{(ai, as, , Qn) € A, x XA, @ =a, + +a,}|
Trang 31Bổ đề 2.1.3 [Đánh giá tổng Gauss] Cho F' là trường hữu hạn với cấp lễ và A = F^? = {a?:ac€ F} là tập các bình phương của các phan tit trong F Khi đĩ:
1 1
|All uSaat 2|F | 2|F |p T°
Chứng mình Lấy € € F \ {0} Do mọi phần tử khác 0 trong A déu cĩ đúng hai cách biểu diễn dưới dạng a”, nên ta cĩ: a 1 1 1 lẠ(€) = Ty È €(—Ê*#) = st ay DL e(-€-@”) rm oF * FL Mặt khác, ta cĩ: do e(-€ 0") 2 mm» “` (a? 0%) ack ack a,beF = YF e(g-(a? = (a+ h)’)) _ » e(—£ - h°) » c(€ - 2ah) heF ack Néu h £0 thi 2h 40 va S ` e(£ - 2ah) = À `c(£ -c) =0 acF ceF nhờ vào Bo dé 1.3.5 Mặt khác, nếu h = 0 thì S `e(£ - 2ah) = |F| Vậy 5 do ele -a®)] = FI
và ta cĩ điều phải chứng minh
Trang 32Hệ qua 2.1.4 Cho F là trường hữu hạn với cấp lẻ và A = F32
khi đĩ, kA = F,Vk 3 3
Chứng minh Thật vậy, với V+ € F, số các cách biểu diễn z thành tổng # = ai + ds + + day với ø, ,a, € Ƒ là
—(k-2)
2'* + O,(IFI= FI
Hệ quả này chứng tỏ rằng các tập tổng kA ít nhiều được phân
bố đều với k > 3 Chú ý khi k = 2 ta vẫn chứng minh được rằng
2A = F, nhưng các tập tổng cĩ thể rất khơng đều, ví dụ, nếu —1 khơng là bình phương của phần tử nào trong #', thì 0 chỉ cĩ một cách biểu diễn thành tổng của hai phần tit trong F
Tiếp theo là mot Bo dé cho thấy: Nếu Ư là một tập con được chọn “1I|.A|l„; do đĩ độ lệch Eourier ngẫu nhiên của 4, thì ||P||„ xấp xỉ với tal
giảm một cách tương xứng khi chuyển qua các tập con ngẫu nhiên Bồ đề 2.1.5 Cho A là tập hợp cộng tính trong nhĩm cộng, hữu hạn Z và 0 < r < 1 Cho B là tập con ngẫu nhiên của A được xác
Trang 33thì ta cĩ
P(|\„ = r||All, + O(ơlog*|Zl)) =1— O(|Z| 1")
Đặc biệt, néu A = Z thi
IBllu=rZ+O (ra _ 25)
với xác suất cao; vì vậy các tập con ngẫu nhiên của Z cĩ khả năng
là rất đều Chú ý rằng Pz(B) r với xác suất cao Ứng dụng chủ
Trang 342.2 Tập hợp Bohr
Trong nhiều ứng dụng của phương pháp giải tích Fourier, ta đều
xuất phát với một tập hợp cộng tính A và kết thúc với một số thơng tin về biến đổi Fourier Tạ của A (chẳng hạn, ta cĩ thể nhận được
độ lệch Fourier ||A||„) Khi đĩ, ta muốn cĩ được một vài thơng tin tổ hợp mới về tập 4 Với một vài nhĩm đặc biệt (chẳng hạn, trường hữu hạn #”") ta cĩ thể làm điều đĩ một cách trực tiếp Tuy nhiên, để đảo ngược từ các thơng tin Fourier trong các nhĩm nĩi chung
thành các thơng tin tổ hợp, ta cần cĩ khái niệm tập Bohr (cịn được
gọi là lân cận Bohr) Dầu tiên ta định nghĩa chuẩn ||Ø||z/z trong nhĩm đường trịn bằng cách đặt ||Ø + Z||g/z = |Ø| khi —š < Ø < š Nĩi cách khác ||Ø||z/„ là khoảng cách từ Ø (hoặc chính xác hơn, là từ một biểu diễn bất kỳ của lớp tương đương 6) tới các số nguyên Dã thấy các cận (đánh giá) cơ bản sau:
4||Ø|lz/z < |e(0) — 1| < 2=||||s,z (2.1) từ các cơng thức lượng giác cơ bản và do ham sinc(x) = | oO ° œ 1 ®
trị giữa I và Š khi |z| < §
Định nghĩa 2.2.1 [Tập hợp Bohr] Cho $ c Z là tập hợp các tần số, và ø > 0 Ta định nghĩa tập hợp Bohr: Bohr(S, p) = Bohrz(S, p) bởi Bohr(S, p) := {= € Z: sup ||£ - #l[s/z < " EES Ta gọi Š là tập hợp tần số của tập hợp Bohr, p 1a ban kính, |5| là hạng của tập hợp Bohr
Nhận xét 2.2.2 Chú ý rằng nếu Z là khơng gian voctơ trên trường
Trang 35Bohr (với bán kính O(1/|F|) và cĩ cấp bằng đối chiều của nĩ) Vì
vậy các tập hợp Bohr cĩ thể được xem như một sự tổng quát hĩa
của khơng gian con Chú ý rằng hầu hết các nhĩm hữu hạn Z cĩ chiều hướng cĩ rất ít nhĩm con thực sự (tiêu biểu là các nhĩm xyclic Z„ với cấp nguyên tố), vì vậy sẽ thuận lợi nếu ta dựa trên những lĩp lớn hơn nhiều so với lớp các nhĩm con, đĩ là lớp các tập hợp Bohr
Nhận xét 2.2.3 Dé định nghĩa tập Bohr, ta xét phép nhúng nhĩm Z vào khơng gian vectơ phức CŠ (cụ thể là vào hình xuyến đơn vị trong C”) bởi ánh xạ + => (e(€-z))¿cs Khi đĩ, tập hợp Bohr là nghịch ảnh của hình lập phương
Dé ¥ rằng chuẩn ||: lleyz là đối xứng và dưới cộng tính; tức là: l— #llz/z = |Ì#llz/z và |Ìz + #|lz/z < lz|Ìz/z + ÌÌw|lz/z-
Do đĩ, các tập hop Bohr(S,p) 1a đối xứng, giảm theo S, và tăng theo ø (và bằng tồn bộ khơng gian Z khi p > ÿ); chúng luơn là hợp của các lớp tập hợp thuộc S*, và nếu p đủ nhỏ thì chúng chứa tồn bộ S* Đồng thời, ta kiểm tra được tính chất giao nhau và tính chất cộng tính sau đây:
Bohr(S, p) n1 Bohr(S', p) = Bohr(S US", p) Bohr(S, p) + Bohr(S, p') C Bohr(S,p + p’) Nĩi riêng, ta cĩ:
kBohr(S, p) C Bohr(S, kp), Vk > 1
Trang 36Bỗ đề 2.2.4 [Các đánh giá về cỡ] Nếu $ C Z,p > 0 thì ta cĩ cận dưới Pz(Bohr(S, p)) > p'* (2.2) Va danh gia: Pz(Bohr(S,2p)) < 45!Pz(Bohr(S, p)) (2.3)
Chứng mãnh Với mỗi € € 6S và 0; € TR/Z được chọn độc lập với xác
suất đều Với mỗi z € Z ta cĩ 0 : Pz (|| -2 — Gelleiz < 2: v§ € S$) =p, Lấy tổng theo z € Z và sử dụng tính tuyến tính của kỳ vọng (1.3) ta suy ra Bl {2 € Z: || — Bellas < 5:V£ e 8}|> ø*l|Z| và như vậy tồn tại một cách chon Ø; sao cho l{£<Z:l£-z~ #ls„s < Sve eS} > pz 24)
Theo Bất đẳng thức tam giác, nếu z, z' thuộc tập hợp trên thì z — z' thuộc tập hợp Bohr(5, ø) Vậy ta cĩ khẳng định (2.2)
Bay giờ ta đi chứng minh (2.3)
Bằng cách chuyển qua giới hạn, ta cĩ thể thay 2ø trong về trái của (2.3) bởi 2ø — e với e > 0 Rõ ràng ta cĩ thể phủ khoảng
{9 € R/Z: ||6||rjz < 3ø — £}
bởi 4 khoảng cĩ dạng
p {0 eR/Z: ||Ø — ®g||s/z < 2h
Trang 37Ví dụ 2.2.5 Ta thấy khơng gian con của khơng gian vectơ là một
ví dụ về tập hợp Bohr Các cấp cộng là những ví dụ khác về tập
hợp Bohr; chang hạn, các khoang (—N, N) trong nhĩm xyelie Z„; là tập hợp Bohr cĩ cấp bằng 1
Kết hợp hai ví dụ trên ta cĩ khái niệm cấp cộng của các lớp Định nghĩa 2.2.6 [Cấp cộng các lớp] Cấp cơng các lớp trong nhĩm
cộng Z là một tập hợp bất kỳ cĩ dạng P + trong đĩ P là một
cấp cộng và là một nhĩm con hữu hạn của Z
Ta nĩi rằng cấp cộng các lớp P + ƒ là proper nếu P là proper và |P + HỊ = |P||H| (nghĩa là tất cả các tổng trong P + H là phân biệt) Cấp cộng các lớp P + ïí gọi là cĩ hạng d nếu P cĩ hạng đ; P+H gọi là đối xứng nếu P cĩ dạng P = (-N,N)-v
Tuy nhiên, Định lý cơ bản về nhĩm cộng hữu hạn 1.1.10 chứng tỏ rằng cấp cộng các lớp cũng cĩ thể được xem như một cấp cộng nĩi chung, nhưng cĩ thể cĩ hạng lớn hơn nhiều Nếu Z là nhĩm xyclic cấp nguyên tố thì hoặc là tầm thường hoặc là tồn bộ khơng gian nên hạng của P + H sẽ tăng khơng quá 1 Do vậy, ta cĩ thể xếp các khơng gian vectơ trên các trường hữu hạn nhỏ vào một thái cực cịn các nhĩm xyclie với cấp nguyên tố vào thái cực khác và coi đĩ
là hai thái cực về cấu trúc cộng của các nhĩm hữu hạn Z
Bây giờ ta sẽ xét mối liên hệ giữa các tập hợp Bohr hạng đ với các cấp cộng các lớp hang d
Bỗ đề 2.2.7 [Tập hợp Bohr chúa cấp cộng lĩn các lĩp] Cho Bohr(®, p)
là tập hợp Bohr cĩ hạng d trong Z với < p < 3 Khi d6 ton tai mot
cấp cộng các ldp proper, déi xttng P + H véi hang d':0<d' <d sao cho
Trang 38Đặc biệt, từ Bồ đề 2.2.4 ta cĩ
P,(P+H)> pid” (2.6)
Hơn nữa ta cĩ: H = S+ Chitng minh
Cho 6: Z —> (R/Z)Š là đồng cấu nhĩm ở(#) := (& - #)¿es
Do 2(Z2) là một nhĩm hữu hạn của xuyến (R/Z)Š và tập Bohr(S, p) chứa tạo ảnh của hộp lập phương
Q:= {c)ces € RỂ: |u| < p} CR®
(ta đồng nhất nĩ với hình chiếu của nĩ trong (R/Z)Š) qua ĩ
Gọi TC RP là dàn ø(Z) + Z7 Hơi lạm dụng kí hiệu một chút, ta kí hiệu 6(Z)N Q bai FN Q Ap dụng Định lý 1.1.9, cĩ một cấp cộng P:=(-L,L)-w VỚI ¿,(02, ,œ¿ C T' là độc lập tuyến tính và cĩ 0 < # < d sao cho Tn#.QcPcrnQq Vì ¿; là độc lập, nên P là proper Lấy bất kỳ 0; € ở !(u;) với mỗi l < 7 < đ và = ĩ"1(0) ta cĩ (2.5) và đồng thời H chính là $*
Mệnh đề 2.2.8 Cho Z = Z là nhĩm xyclie và Bohr(S, p) là tập Bohr với hạng d,0 < p < s Khi đĩ Bohr(S, p) chứa một cấp cộng proper, đối xứng P cĩ hạng d và
d
Trang 39Chitng minh Cơng cụ chính được sử dụng ở đây là Định lý thứ hai của Minkowski (xem [6] trang 135) Ta sử dụng dạng song tuyén tinh chuan €- a = €4/N va viét S= (&, -, &a) Lay a := (£ #) c R#* và gọi F là dàn Z- a + Z2 Rõ ràng Ï' cĩ hạng đầy đủ và mes(R“/T) = mes(R°/Z)/JT/Z|> 1/N Gọi Q:={Œ, ,za) CR?: |z;| < ø,V1 < j < n}
và 0 < À¡ < < À¿ là các cực tiểu liên tiếp của Q đối với T, với cơ sở định hướng tương ứng 0œ, ,0ạ € T Đặc biệt mỗi tọa độ của 0; đều cĩ độ lớn khơng vượt quá À;ø
Lấy 1 < j < d tùy ý Vì 0; € T, nên theo định nghĩa của Ï', tồn tại w; € Zy : 0; € aw; + Z1 Đặc biệt ta thấy Í& - 2;|l¿/z < À;ø,V1 < ï,j < d Dat w := (wy, ,wy), Mj = Đ và M =(M, ,M,) Ta sẽ chứng minh rằng cấp cộng P := (—M,M)-w la proper va nam trong Bohr(S, p), rd rang no 1A déi xting
Thật vậy, đầu tiên ta chỉ ra P C Bohr(S, p)
Trang 40và do đĩ
mới + + na € Bohr(S, p) Chứng tỏ PC Bohr(S, 0)
Bay giờ ta chứng tỏ rằng P là proper
Giả sử ngược lại rằng, tồn tại m,ø' € (—M, M) phân biệt sao cho ?h `) —= TH Ð 0U,
Đặt đ = n — n € (—2M,2MF), ta thấy đ - œ = 0 Nĩi rêng, (đ - 0); là số nguyên với mọi ¿
Mặt khác, lập luận như trước ta cĩ d dio (= vil <0 pijlGw,;/N] < SO Die = 20: j=l j=l J Do p < 4} nén (fv); = 0,Vi và vì vậy 33,7; =0 Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của cơ sở định hướng œị, , 0¿ Chứng tỏ ? là proper Cuối cùng, cấp cộng proper P cĩ lực lượng là d d |P| = | JM; -1) = Il nar j=l j=l
và theo Định lý thứ hai của Minkowski ta cĩ điều phải chứng minh