Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính

LèI CÁM ƠN Trong q trình hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc, tác giá nh¾n đưoc sn hưóng dan nhi¾t tâm cna TS Tran Văn Vng đưoc sn đ%nh hưóng cna thay mà tác giá thnc hi¾n đe tài "Phương pháp giái tích Fourier to hap c®ng tính" Tác giá xin bày tó lòng cám ơn sâu sac nhat đen ngưòi thay q co cna Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS Tran Văn Bang ngưòi giúp tác giá hồn thành lu¾n văn Cám ơn thay giáo nhi¾t tình cung cap tri thúc khoa hoc giúp tác giá nâng cao trình đ® tư duy, hồn thành tot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Tác giá rat biet ơn tói BGH Trung tâm giáo duc thưòng xunhưóng nghi¾p Đoan Hùng- Phú Tho đong nghi¾p quan tâm giúp đõ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá thnc hi¾n ke hoach hoc t¾p cna Tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè giúp đõ, đ®ng viên tác giá q trình hồn thành lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên Lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che nhung thieu sót nhat đ%nh Tác giá mong đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên Hà N®i, tháng 10 năm 2011 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn đ%nh hưóng cna TS Tran Văn Vng đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghiắp vúi sn trõn v biet n H Nđi, tháng 10 năm 2011 Tác giá Mnc lnc Má đau M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tắp hop cđng tớnh v cau trỳc cđng tớnh 1.2 Mđt so ký hiắu 13 1.3 1.4 1.2.1 Ve t¾p hop hàm .13 1.2.2 Ve h¾ thong so 14 1.2.3 Ký hi¾u ti¾m c¾n Landau 14 1.2.4 Ve cap c®ng 15 Bien đoi Fourier 18 Không gian Lp, ≤ p ≤ ∞ to hop c®ng tính 24 Phương pháp giái tích Fourier to hap cđng tớnh 28 2.1 đ lắch tuyen tính 28 2.2 T¾p hop Bohr 34 2.3 Các Λ(p)- hang so, Bh- t¾p hop t¾p phõn ly 43 2.4 Pho cna hop cđng tính 52 2.5 Cap c®ng t¾p tong 59 Ket lu¾n 68 Mé ĐAU Lí chon đe tài To hop c®ng tính m®t nhung lĩnh vnc nghiên cúu ve cau trúc c®ng tính cna t¾p hop, rat phát trien Nó có liên h¾ ch¾t che vói nhieu ngành như: giái tích đieu hòa, hình hoc loi, lý thuyet đo th%, lý thuyet xác suat, hình hoc đai so, lý thuyet egodic Các tốn cna To hop c®ng tính đòi hói phái sú dung cơng cu cna mđt hoắc mđt so ngnh núi trờn, thắm l cna ngành khác nua (xem [3]-[6]) Phương pháp xác suat rat quan trong lý thuyet to hop c®ng tính, cau trúc c®ng cna m®t đoi tưong ngau nhiên đưoc hieu thơng qua vi¾c tính tốn giá tr% trung bình ho¾c moment cna đoi tưong ú Luắn ny tỡm hieu ve mđt cụng cu khác có tam quan khơng kém, giái tích Fourier Đây m®t cách khác đe tính giá tr% trung bình moment cna đoi tưong có cau trúc c®ng Nó tương tn phương pháp xác suat vói m®t thành phan mói quan trong, đai lưong đưoc tính giá tr% trung bình se đưoc "xoan" ho¾c "đưoc bien đi¾u" bói mđt so hm pha giỏ tr% phỳc, goi l ắc trưng Đieu dan tói khái ni¾m h¾ so Fourier cna mđt hoắc cna mđt hm- l cỏi o đ lắch cna oi tong ú vúi mđt ắc trng Các h¾ so Fourier cho phép ta đat đưoc muc đích: Thú nhat, ta khai thác tính trnc giao giua đ¾c trưng khác đe nh¾n đưoc c¾n (khơng tam thưòng) cna h¾ so đó; tính trnc giao có vai trò tương tn tớnh đc lắp lý thuyet xỏc suat Thỳ hai, h¾ so Fourier rat tot đe đieu khien tích ch¾p cna hàm, tương tn phép tốn tong cỏc hop Vỡ the, giỏi tớch Fourier l mđt cơng cu huu hi¾u đe nghiên cúu đai lưong so hoc, đáng ý nhat lưong c®ng tính Sú dung giái tích Fourier, ta có the phân chia cỏc hop cđng tớnh A theo hai thỏi cnc: Thái cnc thú nhat, bao gom t¾p hop giá ngau nhiên, t¾p có bien đoi Fourier rat nhó (trù tai điem 0) Vói t¾p ny chỳng ta se can túi khỏi niắm đ lắch tuyen tính "A"u Λ(p)hang so đe đo tính giỏ ngau nhiờn Cỏc hop nh vắy rat "lđn xđn" oi vúi phộp cđng hop (cng nh viắc xác đ%nh cap c®ng có đ® dài 3) thu¾t ngu cho thay, nhieu chúng giong t¾p hop ngau nhiên Thái cnc thú hai, bao gom t¾p hau tuan hồn, gom cap cđng, cỏc hop Bohr v cỏc hop khác có hang so kép nhó ho¾c có lưong cđng tớnh lún Dỏng iắu cna cỏc hop ny đoi vói phép c®ng cap so có đ® dài đưoc mơ tá hau đay đn bói m®t nhó Specα(A)- t¾p hop tan so, ó bien đoi Fourier cna hàm đ¾c trưng 1A lón Giái tích Fourier có the đưoc thnc hi¾n mđt nhúm cđng tớnh Z bat k (thắm cỏ vói nhóm khơng giao hốn) Tuy nhiên, lu¾n văn chí xét nhóm huu han, ó lý thuyet n giỏn hn mđt chỳt ve mắt ky thu¾t Các trưòng hop Z = ZN , Z = R/Z, Z = R rat quan trong to hop cđng tớnh (ắc biắt l e dan en phng pháp vòng Hardy-Littlewood lý thuyet so giái tích), ta chí rang lý thuyet Fourier nhóm huu han có the đưoc thay cho lý thuyet Fourier nhóm vơ han úng dung cna Bưóc đau tìm hieu ve Giái tích to hop, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay TS Tran Văn Vuông, em chon đe tài “Phương pháp giái tích Fourier to hap c®ng tính” Đây m®t ba công cu bán đe nghiên cúu To hop c®ng tính đưoc trình bày cuon sách Additive Combinatoric cna Terence Tao Vũ Hà Văn Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu m®t so van đe cna to hop c®ng tính bang phương pháp giái tớch Fourier Nhiắm nghiờn cNu Nghiờn cỳu mđt so khỏi niắm to hop cđng tớnh Nghiờn cỳu mđt so khỏi niắm giỏi tớch Fourier • V¾n dung phép bien đoi Fourier đe giái quyet m®t so van đe to hop c®ng tính Đoi tưang pham vi nghiên cNu Úng dung phép bien đoi Fourier nghiên cúu to hop c®ng tính Phng phỏp nghiờn cNu Nghiờn cỳu ti liắu tham khỏo Tong hop, phõn tớch, hắ thong lai cỏc khỏi niắm, tớnh chat Húi ý kien chuyờn gia NhĐng đóng góp cúa đe tài M®t cách úng dung phép bien đoi Fourier to hop c®ng tính Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Tắp hap cđng tớnh v cau trỳc cđng tớnh Đ%nh nghĩa 1.1.1 Nhóm c®ng m®t nhóm giao hốn (hay Abel) Z vói phép tốn + Tù ve sau ta ln giá thiet Z m®t nhóm c®ng, vành so nguyên, trưòng so thnc, trưòng so phúc lan lưot Z, R, C Đ%nh nghĩa 1.1.2 T¾p hop cđng tớnh l mđt cắp (A,Z), ú A = l mđt huu han cna Z Ta thưòng ký hi¾u đơn gián (A, Z) A Neu A, B l cỏc hop cđng tớnh Z t¾p tong A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, t¾p hi¾u A − B := {a − b : a ∈ A, b ∈ B}, t¾p tong l¾p kA, k ∈ Z+ : kA := {a1 + a2 + · · · + ak : a1, a2, , ak ∈ A} Đe ý rang t¾p tong l¾p kA nói chung khác vói t¾p v% tn k.A cna A, k.A = {ka : a ∈ A, k ∈ Z+} Ví dn 1.1.3 Các ví du đien hỡnh ve nhúm cđng l cỏc so nguyờn Z, nhúm xyclic ZN , khụng gian Euclide Rn hoắc mđt trưòng hình hoc huu han F pn Tù ký hi¾u khái ni¾m nêu trên, ta có the hình dung cỏc cđng tớnh nh l nhung oi tong chớnh can xem xét chúng có the đưoc nhúng mđt so nhúm khỏc Cỏc hop cđng tớnh nhieu có "cau trúc c®ng" Ví dn 1.1.4 M®t vớ du ien hỡnh ve hop cđng tớnh cú cau trỳc cđng ớt l cỏc oc chon m®t cách ngau nhiên cna m®t nhóm c®ng huu han vói lnc lưong cho Ví dn 1.1.5 Đoi l¾p vúi hop cđng tớnh cú cau trỳc cđng ớt l hop cđng tớnh cú cau trỳc cđng cao “ cap c®ng ” a + [0, N ) · r := {a, a + r, , a + (N − 1)r}, a, r ∈ Z N ∈ Z+; ho¾c “ cap c®ng tong quát dchieu” a + [0, N ) · v := {a + n1v1 + + ndvd : ≤ nj ≤ Nj , ∀1 ≤ j ≤ d}, a ∈ Z, v = (v1, , vd) ∈ Z d , N = (N1, , Nd) ∈ (Z+)d; hoắc cỏc hđp lắp phng d- chieu a + {0, 1}d · v := {a + ε1v1 + + εdvd : ε1, , εd ∈ {0, 1}}; ho¾c t¾p "các tong- t¾p con" F S(A) := a: B⊆A a∈B cna m®t huu han A Mđt nhung nhiắm vu c bán cna To hop c®ng tính tìm nhung cách đo (đ%nh lưong) ve cau trúc c®ng cna m®t t¾p hop nghiên cúu xem đoi vói nhung đoi tưong nhung ket q đ %nh lưong tương đương vói Chang han m®t khang đ%nh sau đeu m®t cách khang đ%nh “A cú cau trỳc cđng : A + A nhú; • A − A nhó; • A − A đưoc phn bói m®t so nhó ánh t%nh tien cna A; • kA nhó vói moi k co đ%nh; • Có nhieu b® 4: (a1, a2, a3, a4) ∈ A × A × A × A cho a1 + a2 = a3 + a4 ; Cú nhieu bđ 4: (a1, a2, a3, a4) ∈ A × A × A × A cho a1 − a2 = a3 a4 ; Tớch chắp 1A 1A trung cao; Tắp cỏc tong- F S(A) := { a : B ⊆ A} có tính bđi cao; aB Bien oi Fourier 1A trung cao; Bien oi Fourier 1A trung cao mđt hđp lắp phng; A cú mđt giao lún vói m®t cap c®ng suy r®ng có cõ so sánh oc vúi A; A chỳa mđt cap cđng suy rđng cú cừ so sỏnh oc vúi A; A (ho¾c A − A ho¾c 2A − 2A) chúa m®t cap c®ng suy r®ng lón M®t ket q ắc biắt quan trong to hop cđng tớnh l đ%nh lý Szemere’di M®t dang cna khang %nh: Neu A l mđt cna khoỏng [1, N ] vúi mắt đ > 0, thỡ A chúa m®t cap c®ng vói đ® dài f (N, α), f −→ ∞ N −→ ∞ vói moi α co đ%nh Trong muc này, ta se chí rang, neu ta thay hop cđng tớnh A bói t¾p lón hơn, chang han A + B, A + A + A ho¾c 2A − 2A ta có the xác đ%nh đưoc cap c®ng lón đáng ke t¾p đó, dna sn ton tai cna hàm có giá t¾p có bien đoi Fourier tot, hàm: 1A ∗ 1B , 1A ∗ 1A ∗ 1A 1A ∗ 1A ∗ 1−A ∗ 1−A 2.5 Cap c®ng t¾p tong Đ%nh lý 2.5.1 [Đ%nh lý Chang] Cho K, N A l hop cđng tớnh nhóm xyclic Z = ZN thóa mãn E(A, A) ≥ |A| /K Khi ton tai cap c®ng proper P ⊆ 2A − 2A có hang khơng O K + log PZ (A) cõ |P | ≥ O K + log P −O Z (A) 1+log K PZ (A) N Hơn the nua, ta chon P đoi xúng (túc −P = P ) Chúng minh T¾p hop α := 21 K1/2 Theo M¾nh đe 2.4.6, ta có Bohr Specα(A), ⊆ 2A − 2A M¾t khác, tù Bo đe 2.4.3 ta thay S := {η1, , ηd} cna dãy vói d = |S| = O α− + logP 1(A) = O Z K + log PZ (A) thóa mãn Specα(A) ⊆ [−1, 1]d · (η1, , ηd) Có nghĩa Bohr S, ⊆ 6d Bohr Specα(A), Áp dung M¾nh đe 2.2.8 ta thay Bohr S,6 chúa cap so proper đoi d xúng hang d d (1/6d) −O 1+log PZ (A) K |P | ≥ dd N≥O K + log PZ (A) N Ta có đieu phái chúng minh Đ%nh lý 2.5.2 Cho K, N ≥ Cho A1, A2, A3 l cỏc hop cđng tớnh ZN thúa mãn |A1| = |A2| = |A3| |A1 + A2 + A3| ≤ K|A1| Khi ton tai m®t cap c®ng proper P ⊆ A1 + A2 + A3 có hang không O K + log PZ (A) cõ |P | ≥ O K + log PZ (A1 ) −O K 1+log PZ (A1) N Chúng minh Ta xem xét hàm không âm f := 1A1 ∗ 1A2 ∗ 1A3 Tù (1.9) ta có EZf = PZ(A1)3 M¾t khác ta có PZ (supp(f )) = PZ (A1 + A2 + A3) = KPZ (A1) Lay x0 ∈ A1 + A2 + A3 thóa mãn f (x0) ≥ PZ (A1)2/K Ta có the giá sú x0 = 0, f (0) ≥ PZ (A1)2/K Tù (1.8) ta thay fˆ(ξ) = ˆ1A1 (ξ)ˆ1A2 (ξ)ˆ1A3 (ξ) Tù (1.7), Cauchy- Schwarz, (1.11) (2.1) ta có vói moi x ∈ Z |f (x) − f (0)| = (ξ)1 (ξ)1 (ξ)(e(ξ · x) − 1) Aˆ A ˆ ˆA ξ∈Z ˆ1A1 (ξ) ˆ1A2 (ξ) ˆ1A3 (ξ) (e(ξ · x) − 1) ξ∈Z ≤ sup 1A1 (ξ) (e(ξ · x) − "ˆ1A2 (ξ)"L2 (Z) "ˆ1A3 (ξ)"L2 (Z) 1) ξ∈Z ˆ = PZ (A1) sup 1A (ξ) (e(ξ · x) − 1) ˆ ξ∈Z ≤ 2πPZ (A1) sup ˆ 1A1 (ξ) "ξ · x"R/Z ≤ ξ∈Z Ket hop đieu vói giói han cna chúng f (0) giá cna f , ta thay rang x ∈ Z : sup 1A1 (ξ) "ξ · x"R/Z < PZ (A ˆ 1)/2πK ⊆ A1 + A2 + A3 ξ∈Z Do ˆ1A (ξ)."ξ · x"R/Z < PZ (A1 )/2πK vói moi ξ Spec1/2πK (A1) ta có ∈/  x ∈ Z : sup  ˆ  +A +A )/2πK ⊆ A < (AP 1A (ξ) "ξ · x" R/Z Z  Spec1/2πK (A1) Hơn nua, 1A (ξ).≤ PZ (A1)/2πK vói moi ξ ƒ= 0, ta đat đưoc ˆ ξ∈ Bohr(Spec1/2πK (A1), 1/2πK) ⊆ A1 + A2 + A3 dãy Nhưng theo Bo đe 2.4.3 ta thay d = O K2 + log PZ (A1 ) S : {η1, , ηd} ⊂ Z thóa mãn Spec1/2πK (A1) ⊆ [−1, 1]d · (η1, , ηd) theo bat thúc tam giác Bohr(S, 1/2πK) ⊆ Bohr(Spec1/2πK (A1), 1/2πK) ⊆ A1 + A2 + A3 Áp dung M¾nh đe 2.2.8 ta co đ%nh đưoc m®t cap c®ng proper P Bohr(S, 1/2πdK) vói hang d lnc lưong nhó nhat |P | ≥ (1/2dK)d dd ≥ N CK + log PZ (A1 ) −CK 1+log PZ (A1) N Ta có đieu phái chúng minh Bo đe 2.5.3 [Tính hau tuan hồn kéo theo cap c®ng dài] Cho f : Z −→ R+ m®t bien ngau nhiên khơng âm nhóm c®ng Z, J ≥ so nguyên, giá sú r ∈ Z thóa mãn jr EZ max T f − f < EZ f 1≤j≤J T jrf (x) := f (x − jr) Khi supp(f ) chúa m®t cap c®ng a + [0, J ] · r vói chieu dài J+1 vectơ só r Chúng minh Ton tai x ∈ Z thóa mãn jr max T f (x) − f (x) < f (x) 1≤j≤J f (x − jr) = T jr f (x), ∀ ≤ j ≤ J Ta có đieu phái chúng minh Đe áp dung Bo đe can đánh giá dang jr EZ max T f − f 1≤i≤J Đieu làm đưoc de dàng neu f có bien đoi Fourier t¾p phân ly: Bo đe 2.5.4 Cho S ⊆ Z t¾p phân ly f bien ngau nhiên thóa mãn supp(fˆ) ⊆ S Khi đó, vói moi t¾p khơng rong cúa H ⊂ Z ta có max h∈H |T h f| L2 (Z) = O + log| 1/2 "f"L2 (Z) H| Chúng minh Cho p > so mũ lón Khi đó, max h∈H |T h f| L2(Z) max h f p ≤T | L (Z) | h∈H h p 1/p |T f| ≤ Lp(Z) h∈H 1/p h = "T Lp(Z) h∈H f" ≤ |H|1/p "f"Lp(Z) ≤ |H|1/p "S"Λ(p) "f"L2 (Z) √ = O |H|1/p p"f"L2 (Z) theo Bo đe 2.3.8 Khang đ%nh đưoc chúng minh vói p := O(1 + log|H|) Bo đe 2.5.5 Cho f bien ngau nhiên, J, d > Giá sú rang ton tai m®t so ngun m thóa mãn 2m ≤ |fˆ(ξ)| ≤ 2m+1 , ∀ξ ∈ supp(fˆ) Khi ú, ton tai mđt hop S Z cú lnc lưong |S| = d cho EZ max |T jrf − f| 1≤j∈J   f log J + Jd max "η =O · r" (ξ) η∈S d ˆ ˆ ξ∈supp(f )  , ∀r ∈ Z R/Z Chúng minh Áp dung Bo đe 2.4.2, ta có the viet supp(fˆ) = D1 ∪ ∪ Dk ∪ R  D1, , Dk t¾p phân ly phân bi¾t vói lnc lưong d + 1, R ⊆ [−1, 1]d · (η1, , ηd), S = {η1, , ηd} ⊂ Z Sú dung bien đoi Fourier, ta có the chia đoan f = fD1 + .+fDk +fR tùy theo Tù Bo đe 2.5.4 ta có, ∀1 ≤ i ≤ k, E jr Z max |T − fD | ≤ max |T jrfD | fD 1≤j∈J i i 0≤j∈J i L2(Z) 1/2 ≤ O log J"fDi "L2(Z)  1/2   = O log1/2J |f (ξ)|   ≤O ˆ   ξ∈Di logJ D    |fˆ(ξ)| ξ∈Di có đưoc nhò 2m ≤ |fˆ(ξ)| ≤ 2m+1 Tương tn, tù bat thúc tam giác, (2.2.9) giá thiet R jr fR − fR| L1(Z) |T ≤ max | |fˆ(ξ)| × |e(x + jr, ξ) − 1≤j≤J ξ∈ e(ξ · x)| max 1≤j∈J ≤ ξ∈R ≤ 2πJd L1(Z) R | fˆ(ξ)| ξ∈ R max |e(jr, ξ) − 1| 1≤j≤J ; ξ∈R max "η · r"R/Z | η∈S fˆ(ξ)| Đánh giá tong sú dung bat thúc tam giác, ta có đieu phái chúng minh Bây giò ta chúng minh đ%nh lý Bourgain Đ%nh lý 2.5.6 [Bourgain] Cho N ≥ mđt so nguyờn to, A, B l cỏc cđng tính ZN thóa mãn |A|, |B| ≥ δN vói m®t so log log ( N < δ ≤ 1, C m®t hang so có giá tr% tuy¾t C logN ) đoi lón Khi A + B chúa m®t cap c®ng proper vói chieu dài toi thieu exp(Ω(δlogN )1/3) Chúng minh Ta thùa nh¾n N lón Bang cách di chuyen phan tú tù A, B δ tăng neu can ta giá sú PZ (A) = PZ (B) = δ T¾p hop f := 1A ∗ 1B , cho Ω (δlog N ) 1/3 ≤ J < N đưoc exp chon sau Như v¾y supp(f ) = A + B EZ f = PZ (A)PZ (B) = δ Theo Bo đe 2.5.3, chúng tó rang EZ max 1≤j≤J |T jrf − f| < δ2 vói r ƒ= H¾ so Fourier fˆ cna f không the vưot fˆ(0) = EZ f = δ Ngồi ra, ta có theo Cauchy- Schwarz (1.11) ˆ ˆ | 1A(ξ)||ˆ1B (ξ)| |f (ξ)| ξ∈Z = ξ∈ Z ≤ "ˆ1A"l2 (Z) "ˆ1B "l2 (Z) = PZ (A)1/2PZ (B)1/2 = δ Đe loi dung đieu này, chon M ≥ [ Γm ∪ Γerr Z= 0≤m< ó M Γm := {ξ ∈ Z : 2−m−1 δ < |fˆ(ξ)| ≤ 2−m δ } Serr := {ξ ∈ Z : |fˆ(ξ)| ≤ 2−M δ } Đieu cám sinh m®t đoan f = fm + ferr 0≤m≤10log δ Ta có the áp dung Bo đe 2.5.5 cho moi fm vói d ≥ đưoc chon sau, đe đat đưoc EZ max |T jrfm − fm| 1≤j∈J  =O  + Jd max "η · r"R/Z ξ | fˆm (ξ)| η∈Sm log J d Sm t¾p hop tan so vói lnc lưong |Sm| = d; tong m sú dung ξ∈ Z |fˆ(ξ)| ≤ "ˆ1A"l2 (Z) "ˆ1B "l2 (Z) ta có 0≤m< M jr EZ max |T fm logJ − fm | = O + Jd max "η · r"R/Z d η∈S δ 1≤j∈J S S := 0≤m Neu ta chon M := ClogJ d := Cδ−2logJ vói C đn lón, rõ ràng so hang đau tiên so hang thú ba se nhó cδ/3 (nhac lai rang J 1/δ), có so r ƒ= thóa mãn max "η · r"R/Z cδ < 3J d η∈S r < cδ J logJ cr > hang so đn nhó Sú dung Bo đe 2.2.4, ta thay rang 2−|S| Nhưng tù cr δ |S| N > J logJ |S| ≤ dM = O δ−2log2J 1/3 ta có the đat đưoc J := exp cn (δlogN ) vói cn nhó thích hop, sú dung giói han dưói δ Ta có đieu phái chúng minh KET LU¾N Lu¾n văn nghiên cúu ve phương pháp giái tích Fourier to hop c®ng tính Đây m®t cách đe tính giá tr% trung bình hay moment cna đoi tưong có cau trúc c®ng Cu the trình bày cỏc kien thỳc c bỏn ve hop cđng tớnh cau trúc c®ng tính, bien đoi Fourier to hop cđng tớnh, tớch chắp, nng long cđng tớnh, đ l¾ch tuyen tính, t¾p hop Bohr, Λ(p)- hang so, Bh[g]t¾p hop t¾p phân ly, cna t¾p hop cđng tớnh v cap cđng cỏc hop tong Vói pham vi lu¾n văn thòi gian han che, vi¾c đưa úng dung cna to hop cđng tớnh dựng ú viắc giói thi¾u lý thuyet Vi¾c giái quyet tốn đ¾t thnc te, khoa hoc can đưoc nghiên cúu sâu nua Mong quý thay cô ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn Tài li¾u tham kháo [1] Đ¾ng Đình Áng, Tran Lưu Cưòng, Huỳnh Bá Lân, Nguyen Văn Nhân, Pham Hồng Qn (2009), Bien đoi tích phân, NXB Giáo duc Vi¾t Nam, Hà N®i [2] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB ĐHQG Hà N®i [3] J Bourgain (1990), “On arithmetic progressions in sums of sets of integers”, In A Tribute to Paul Erdos, Cambridge University Press [4] B Green and T Tao, “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”, Annals of Math [5] T Tao, “Arithmetic progressions and the primes”, El Escorial lecture notes [6] Terence Tao, Van H Vu (2006), Additive Combinatorics, Cambridge University Press, New York 69 ... Ve cap c®ng 15 Bien đoi Fourier 18 Không gian Lp, ≤ p ≤ ∞ to hop c®ng tính 24 Phương pháp giái tích Fourier to hap cđng tớnh 28 2.1 đ lắch tuyen tính 28 2.2... kém, giái tích Fourier Đây m®t cách khác đe tính giá tr% trung bình moment cna đoi tưong có cau trúc c®ng Nó tương tn phương pháp xác suat vói m®t thành phan mói quan trong, đai lưong đưoc tính giá... ve Giái tích to hop, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay TS Tran Văn Vuông, em chon đe tài Phương pháp giái tích Fourier to hap c®ng tính Đây m®t ba công cu bán đe nghiên cúu To hop c®ng tính đưoc