Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính

LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập nghiên cứu khoa học, tác giả nhận hướng dẫn nhiệt tâm TS Trần Văn Vuông định hướng thầy mà tác giả thực đề tài "Phương pháp giải tích Fourier tổ hợp cộng tính" Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến người thầy cố Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trần Văn Bằng người giúp tác giả hoàn thành luận văn Cảm ơn thầy cô giáo nhiệt tình cung cấp tri thức khoa học giúp tác giả nâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt trình học tập làm luận văn Tác giả biết ơn tới BGH Trung tâm giáo dục thường xuyênhướng nghiệp Đoan Hùng- Phú Thọ đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực kế hoạch học tập Tác giả xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tác giả trình hoàn thành luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định Tác giả mong ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng định hướng TS Trần Văn Vuông hoàn thành hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập hợp cộng tính cấu trúc cộng tính 1.2 Một số ký hiệu 13 1.2.1 Về tập hợp hàm 13 1.2.2 Về hệ thống số 14 1.2.3 Ký hiệu tiệm cận Landau 14 1.2.4 Về cấp cộng 15 1.3 Biến đổi Fourier 18 1.4 Không gian Lp , ≤ p ≤ ∞ tổ hợp cộng tính 24 Phương pháp giải tích Fourier tổ hợp cộng tính 28 2.1 Độ lệch tuyến tính 28 2.2 Tập hợp Bohr 34 2.3 Các Λ(p)- số, Bh - tập hợp tập phân ly 43 2.4 Phổ tập hợp cộng tính 52 2.5 Cấp cộng tập tổng 59 Kết luận 68 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tổ hợp cộng tính lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc cộng tính tập hợp, phát triển Nó có liên hệ chặt chẽ với nhiều ngành như: giải tích điều hòa, hình học lồi, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, hình học đại số, lý thuyết egodic Các toán Tổ hợp cộng tính đòi hỏi phải sử dụng công cụ ngành nói trên, chí ngành khác (xem [3]-[6]) Phương pháp xác suất quan trọng lý thuyết tổ hợp cộng tính, cấu trúc cộng đối tượng ngẫu nhiên hiểu thông qua việc tính toán giá trị trung bình moment đối tượng Luận văn tìm hiểu công cụ khác có tầm quan trọng không kém, giải tích Fourier Đây cách khác để tính giá trị trung bình moment đối tượng có cấu trúc cộng Nó tương tự phương pháp xác suất với thành phần quan trọng, đại lượng tính giá trị trung bình "xoắn" "được biến điệu" số hàm pha giá trị phức, gọi đặc trưng Điều dẫn tới khái niệm hệ số Fourier tập hàm- đo độ lệch đối tượng với đặc trưng Các hệ số Fourier cho phép ta đạt mục đích: Thứ nhất, ta khai thác tính trực giao đặc trưng khác để nhận cận (không tầm thường) hệ số đó; tính trực giao có vai trò tương tự tính độc lập lý thuyết xác suất Thứ hai, hệ số Fourier tốt để điều khiển tích chập hàm, tương tự phép toán tổng tập hợp Vì thế, giải tích Fourier công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đại lượng số học, đáng ý lượng cộng tính Sử dụng giải tích Fourier, ta phân chia tập hợp cộng tính A theo hai thái cực: Thái cực thứ nhất, bao gồm tập hợp giả ngẫu nhiên, tập có biến đổi Fourier nhỏ (trừ điểm 0) Với tập cần tới khái niệm độ lệch tuyến tính A u Λ(p)- số để đo tính giả ngẫu nhiên Các tập hợp "lộn xộn" phép cộng tập hợp (cũng việc xác định cấp cộng có độ dài 3) thuật ngữ cho thấy, nhiều chúng giống tập hợp ngẫu nhiên Thái cực thứ hai, bao gồm tập hầu tuần hoàn, gồm cấp cộng, tập hợp Bohr tập hợp khác có số kép nhỏ có lượng cộng tính lớn Dáng điệu tập hợp phép cộng cấp số có độ dài mô tả hầu đầy đủ phổ nhỏ Specα (A)- tập hợp tần số, biến đổi Fourier hàm đặc trưng 1A lớn Giải tích Fourier thực nhóm cộng tính Z (thậm chí với nhóm không giao hoán) Tuy nhiên, luận văn xét nhóm hữu hạn, lý thuyết đơn giản chút mặt kỹ thuật Các trường hợp Z = ZN , Z = R/Z, Z = R quan trọng tổ hợp cộng tính (đặc biệt để dẫn đến phương pháp vòng Hardy-Littlewood lý thuyết số giải tích), ta lý thuyết Fourier nhóm hữu hạn thay cho lý thuyết Fourier nhóm vô hạn ứng dụng Bước đầu tìm hiểu Giải tích tổ hợp, định hướng thầy TS Trần Văn Vuông, em chọn đề tài “Phương pháp giải tích Fourier tổ hợp cộng tính” Đây ba công cụ để nghiên cứu Tổ hợp cộng tính trình bày sách Additive Combinatoric Terence Tao Vũ Hà Văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề tổ hợp cộng tính phương pháp giải tích Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu số khái niệm tổ hợp cộng tính • Nghiên cứu số khái niệm giải tích Fourier • Vận dụng phép biến đổi Fourier để giải số vấn đề tổ hợp cộng tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ứng dụng phép biến đổi Fourier nghiên cứu tổ hợp cộng tính Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tài liệu tham khảo • Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất • Hỏi ý kiến chuyên gia Những đóng góp đề tài Một cách ứng dụng phép biến đổi Fourier tổ hợp cộng tính Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập hợp cộng tính cấu trúc cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Nhóm cộng nhóm giao hoán (hay Abel) Z với phép toán + Từ sau ta giả thiết Z nhóm cộng, vành số nguyên, trường số thực, trường số phức Z, R, C Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp cộng tính cặp (A,Z), A = ∅ tập hữu hạn Z Ta thường ký hiệu đơn giản (A, Z) A Nếu A, B tập hợp cộng tính Z tập tổng A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, tập hiệu A − B := {a − b : a ∈ A, b ∈ B}, tập tổng lặp kA, k ∈ Z+ : kA := {a1 + a2 + · · · + ak : a1 , a2 , , ak ∈ A} Để ý tập tổng lặp kA nói chung khác với tập vị tự k.A A, k.A = {ka : a ∈ A, k ∈ Z+ } Ví dụ 1.1.3 Các ví dụ điển hình nhóm cộng tập số nguyên Z, nhóm xyclic ZN , không gian Euclide Rn trường hình học hữu hạn Fpn Từ ký hiệu khái niệm nêu trên, ta hình dung tập cộng tính đối tượng cần xem xét chúng nhúng số nhóm khác Các tập hợp cộng tính nhiều có "cấu trúc cộng" Ví dụ 1.1.4 Một ví dụ điển hình tập hợp cộng tính có “cấu trúc cộng ít” tập chọn cách ngẫu nhiên nhóm cộng hữu hạn với lực lượng cho Ví dụ 1.1.5 Đối lập với tập hợp cộng tính có cấu trúc cộng tập hợp cộng tính có “cấu trúc cộng cao” “cấp cộng” a + [0, N ) · r := {a, a + r, , a + (N − 1)r}, a, r ∈ Z N ∈ Z+ ; “cấp cộng tổng quát d- chiều” a + [0, N ) · v := {a + n1 v1 + + nd vd : ≤ nj ≤ Nj , ∀1 ≤ j ≤ d}, a ∈ Z, v = (v1 , , vd ) ∈ Z d , N = (N1 , , Nd ) ∈ (Z+ )d ; “hộp lập phương d- chiều” a + {0, 1}d · v := {a + ε1 v1 + + εd vd : ε1 , , εd ∈ {0, 1}}; tập "các tổng- tập con" a:B⊆A F S(A) := a∈B tập hữu hạn A Một nhiệm vụ Tổ hợp cộng tính tìm 10 cách đo (định lượng) cấu trúc cộng tập hợp nghiên cứu xem đối tượng kết định lượng tương đương với Chẳng hạn khẳng định sau cách khẳng định “A có cấu trúc cộng”: • A + A nhỏ; • A − A nhỏ; • A − A phủ số nhỏ ảnh tịnh tiến A; • kA nhỏ với k cố định; • Có nhiều 4: (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ A × A × A × A cho a1 + a2 = a3 + a4 ; • Có nhiều 4: (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ A × A × A × A cho a1 − a2 = a3 − a4 ; • Tích chập 1A ∗ 1A tập trung cao; • Tập tổng- tập F S(A) := { cao; a : B ⊆ A} có tính bội a∈B • Biến đổi Fourier 1A tập trung cao; • Biến đổi Fourier 1A tập trung cao hộp lập phương; • A có giao lớn với cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh với A; • A chứa cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh với A; • A (hoặc A − A 2A − 2A) chứa cấp cộng suy rộng lớn 55 Chứng minh Cho x phần tử tập hợp Bohr(Specα (A), 61 ), Ree(ξ · x) > với ξ ∈ Specα (A) Ta chứng minh x ∈ 2A − 2A, tức 1A ∗ 1A ∗ 1−A ∗ 1−A (x) = Từ (1.7), (1.8), (1.12) ta có 1A (ξ) e(ξ · x) 1A ∗ 1A ∗ 1−A ∗ 1−A (x) = ξ∈Z Lấy phần thực vế sử dụng giả thiết x ta đạt 1A ∗ 1A ∗ 1−A ∗ 1−A (x) ξ∈ ≥ Specα (A) ≥ 1A (ξ) Re e(x · ξ) ξ∈ / Specα (A) 1A (ξ)|4 − ξ∈ = |1A (ξ)|4 Re e(ξ · x) + = Specα (A) 1A (ξ) ξ∈ / 1A (ξ) − ξ∈Z Specα (A) 1A (ξ)|4 ξ∈ E(A, A) − |Z|3 Specα (A) α2 PZ (A)2 1A (ξ) ξ∈Z E(A, A) − α PZ (A)3 |Z| > ≥ Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.4.7 Cho K ≥ Nếu A tập hợp cộng tính nhóm cộng, hữu hạn Z thỏa mãn |A−A| ≤ k|A| (nghĩa δ[A] ≤ K) √ < ε < A − A ⊆ Bohr(Spec1−ε (A − A), 8εK) Chứng minh Cho x, y ∈ A ξ ∈ Spec1−ε (A − A) Khi tồn θ ∈ R/Z thỏa mãn e(ξ · x + θ) ≥ (1 − ε)|A − A| Re z∈A−A 56 Và (1 − Re e(ξ · x + θ)) ≤ ε|A − A| ≤ εK|A| z∈A−A Vì số hạng không âm A − A chứa x − a y − a nên ta có |1 − Re e(ξ · (x − a) + θ)| ≤ εK|A| a∈A Và theo Cauchy- Schwarz |1 − Re e(ξ · (x − a) + θ)|1/2 ≤ ε1/2 K 1/2 |A| a∈A Từ đẳng thức |1 − e(α)| = √ 2|1 − Re e(α)|1/2 , ta kết luận |1 − e(ξ · (x − a) + θ)| ≤ √ 2ε1/2 K 1/2 |A| a∈A Tương tự thay x y Theo Bất đẳng thức tam giác ta kết luận √ |e(ξ · (y − a) + θ) − e(ξ · (x − a) + θ)| ≤ 2ε1/2 K 1/2 |A| a∈A Nhưng vế trái |A|e(ξ · (x − y)) √ |e(ξ · (x − y)) − 1| ≤ 8εK Do điều khẳng định có từ (2.1) Sau đánh giá tổng Gauss Bourgain Konvagin: Định lý 2.4.8 Cho F = Fp trường hữu hạn, cấp nguyên tố cho H nhóm nhân F thỏa mãn |H| ≥ pδ , với < δ ≤ 57 Khi p đủ lớn (phụ thuộc vào δ), ta có H u ≤ p−ε , với ε = ε(δ) > Nói cách khác, ta có sup e(xξ) ≤ p−ε |H| ξ∈Zp \0 x∈H Chứng minh Ta sử dụng dạng song tuyến tính ξ · x = xξ/p Do h · H = H với h ∈ H, dễ thấy 1H (h−1 ξ) = 1H (ξ) với h ∈ H, ξ ∈ Z Nghĩa Specα (H) = H · Specα (H) Do Specα (H) chứa lớp nhân H kể gốc Cho số nguyên J = J(δ) ≥ số ε = ε(J, δ) > Dãy > α1 > > αJ+1 > α1 := p−ε αj+1 := αj2 /2 Giả sử H u > p−ε Specα1 (H) chứa phần tử Và |Specα1 (H)| ≥ |H| + ≥ pδ + Do Specαj (H) tăng theo j Từ tồn ≤ j ≤ J thỏa mãn |Specαj+1 (H)| ≤ p1/J |Specαj (H)| Mặt khác theo Bổ đề 2.4.6 ta có (ξ1 , ξ2 ) ∈ Specαj (H) × Specαj (H) : ξ1 − ξ2 ∈ Specαj+1 (A) αj2 ≥ | Specαj (H)|2 Áp dụng Cauchy- Schwarz Bổ đề 2.4.6 kết luận E Specαj (H), Specαj (H) = ΩJ p−OJ (ε)−O(1/J) | Specαj (H)|3 58 Đặt A := Specαj (H) \ {0}, ta có E(A, A) = ΩJ p−OJ (ε)−O(1/J) |A|3 , |A| ≥ pδ , J đủ lớn phụ thuộc δ, ε đủ nhỏ phụ thuộc J, δ Nhưng A hợp lớp x · H H x ∈ Fp \ {0} Từ E(A, x · H) = ΩJ p−OJ (ε)−O(1/J) |A||H|2 mở rộng x−1 ta đạt E(x−1 · A, H) = ΩJ p−OJ (ε)−O(1/J) |A||H|2 Điều mâu thuẫn với Hệ 1.3.9 J đủ lớn phụ thuộc vào δ ε đủ nhỏ 59 Một kết đặc biệt quan trọng tổ hợp cộng tính định lý Szemere’di Một dạng khẳng định: Nếu A tập khoảng [1, N ] với mật độ α > 0, A chứa cấp cộng với độ dài f (N, α), f −→ ∞ N −→ ∞ với α cố định Trong mục này, ta rằng, ta thay tập hợp cộng tính A tập lớn hơn, chẳng hạn A + B, A + A + A 2A − 2A ta xác định cấp cộng lớn đáng kể tập đó, dựa tồn hàm có giá tập có biến đổi Fourier tốt, hàm: 1A ∗ 1B , 1A ∗ 1A ∗ 1A 1A ∗ 1A ∗ 1−A ∗ 1−A 2.5 Cấp cộng tập tổng Định lý 2.5.1 [Định lý Chang] Cho K, N ≥ A tập hợp cộng tính nhóm xyclic Z = ZN thỏa mãn E(A, A) ≥ |A|3 /K Khi tồn cấp cộng proper P ⊆ 2A − 2A có hạng không O K + log PZ1(A) cỡ |P | ≥ O K + log PZ (A) Z (A) −O K 1+log P N Hơn nữa, ta chọn P đối xứng (tức −P = P ) Chứng minh Tập hợp α := 21 K 1/2 Theo Mệnh đề 2.4.6, ta có Bohr Specα (A), ⊆ 2A − 2A Mặt khác, từ Bổ đề 2.4.3 ta thấy S := {η1 , , ηd } dãy với d = |S| = O α−2 + log PZ (A) = O K + log PZ (A) 60 thỏa mãn Specα (A) ⊆ [−1, 1]d · (η1 , , ηd ) Có nghĩa Bohr S, 6d ⊆ Bohr Specα (A), Áp dụng Mệnh đề 2.2.8 ta thấy Bohr S, 6d chứa cấp số proper đối xứng hạng d (1/6d)d N ≥ O K + log |P | ≥ dd PZ (A) Z (A) −O K 1+log P N Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5.2 Cho K, N ≥ Cho A1 , A2 , A3 tập hợp cộng tính ZN thỏa mãn |A1 | = |A2 | = |A3 | |A1 + A2 + A3 | ≤ K|A1 | Khi tồn cấp cộng proper P ⊆ A1 + A2 + A3 có hạng không O K + log PZ (A) cỡ |P | ≥ O K + log PZ (A1 ) Z (A1 ) −O K 1+log P N Chứng minh Ta xem xét hàm không âm f := 1A1 ∗ 1A2 ∗ 1A3 Từ (1.9) ta có EZ f = PZ (A1 )3 Mặt khác ta có PZ (supp(f )) = PZ (A1 + A2 + A3 ) = KPZ (A1 ) Lấy x0 ∈ A1 + A2 + A3 thỏa mãn f (x0 ) ≥ PZ (A1 )2 /K Ta giả sử x0 = 0, f (0) ≥ PZ (A1 )2 /K 61 Từ (1.8) ta thấy f (ξ) = 1A1 (ξ)1A2 (ξ)1A3 (ξ) Từ (1.7), Cauchy- Schwarz, (1.11) (2.1) ta có với x ∈ Z |f (x) − f (0)| = 1A1 (ξ)1A2 (ξ)1A3 (ξ)(e(ξ · x) − 1) ξ∈Z 1A1 (ξ) 1A2 (ξ) 1A3 (ξ) (e(ξ · x) − 1) ≤ ξ∈Z ≤ sup 1A1 (ξ) (e(ξ · x) − 1) 1A2 (ξ) L2 (Z) 1A3 (ξ) L2 (Z) ξ∈Z = PZ (A1 ) sup 1A1 (ξ) (e(ξ · x) − 1) ξ∈Z ≤ 2πPZ (A1 ) sup 1A1 (ξ) ξ · x ξ∈Z R/Z Kết hợp điều với giới hạn chúng f (0) giá f , ta thấy x ∈ Z : sup 1A1 (ξ) ξ · x ξ∈Z R/Z < PZ (A1 )/2πK ⊆ A1 + A2 + A3 Do 1A1 (ξ) ξ · x R/Z < PZ (A1 )/2πK với ξ ∈ / Spec1/2πK (A1 ) ta có   x∈Z: sup 1A1 (ξ) ξ · x  ξ∈ Spec1/2πK (A1 ) R/Z < PZ (A1 )/2πK   ⊆ A1 +A2 +A3  Hơn nữa, 1A1 (ξ) ≤ PZ (A1 )/2πK với ξ = 0, ta đạt Bohr(Spec1/2πK (A1 ), 1/2πK) ⊆ A1 + A2 + A3 Nhưng theo Bổ đề 2.4.3 ta thấy d = O K + log PZ (A 1) S : {η1 , , ηd } ⊂ Z thỏa mãn Spec1/2πK (A1 ) ⊆ [−1, 1]d · (η1 , , ηd ) dãy 62 theo bất đẳng thức tam giác Bohr(S, 1/2πK) ⊆ Bohr(Spec1/2πK (A1 ), 1/2πK) ⊆ A1 + A2 + A3 Áp dụng Mệnh đề 2.2.8 ta cố định cấp cộng proper P Bohr(S, 1/2πdK) với hạng d lực lượng nhỏ (1/2dK)d N≥ |P | ≥ dd CK + log PZ (A1 ) Z (A1 ) −CK 1+log P N Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.5.3 [Tính hầu tuần hoàn kéo theo cấp cộng dài] Cho f : Z −→ R+ biến ngẫu nhiên không âm nhóm cộng Z, J ≥ số nguyên, giả sử r ∈ Z thỏa mãn EZ max T jr f − f < EZ f 1≤j≤J T jr f (x) := f (x − jr) Khi supp(f ) chứa cấp cộng a + [0, J] · r với chiều dài J + vectơ sở r Chứng minh Tồn x ∈ Z thỏa mãn max T jr f (x) − f (x) < f (x) 1≤j≤J f (x − jr) = T jr f (x), ∀ ≤ j ≤ J Ta có điều phải chứng minh Để áp dụng Bổ đề cần đánh giá dạng EZ max T jr f − f 1≤i≤J Điều làm dễ dàng f có biến đổi Fourier tập phân ly: 63 Bổ đề 2.5.4 Cho S ⊆ Z tập phân ly f biến ngẫu nhiên thỏa mãn supp(f ) ⊆ S Khi đó, với tập không rỗng H ⊂ Z ta có max |T h f | h∈H L2 (Z) = O + log|H|1/2 f L2 (Z) Chứng minh Cho p > số mũ lớn Khi đó, max |T h f | h∈H L2 (Z) ≤ max |T h f | h∈H Lp (Z) p 1/p |T h f | ≤ Lp (Z) h∈H T hf = 1/p Lp (Z) h∈H ≤ |H|1/p f Lp (Z) ≤ |H|1/p S Λ(p) f √ = O |H|1/p p f L2 (Z) L2 (Z) theo Bổ đề 2.3.8 Khẳng định chứng minh với p := O(1 + log|H|) Bổ đề 2.5.5 Cho f biến ngẫu nhiên, J, d > Giả sử tồn số nguyên m thỏa mãn 2m ≤ |f (ξ)| ≤ 2m+1 , ∀ξ ∈ supp(f ) Khi đó, tồn tập hợp S ⊂ Z có lực lượng |S| = d cho EZ max |T jr f − f | 1≤j∈J  = O f (ξ)  logJ + Jd max η · r η∈S d R/Z ξ∈supp(f ) Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.4.2, ta viết supp(f ) = D1 ∪ ∪ Dk ∪ R  , ∀r ∈ Z 64 D1 , , Dk tập phân ly phân biệt với lực lượng d+1, R ⊆ [−1, 1]d · (η1 , , ηd ), S = {η1 , , ηd } ⊂ Z Sử dụng biến đổi Fourier, ta chia đoạn f = fD1 + .+fDk +fR tùy theo Từ Bổ đề 2.5.4 ta có, ∀1 ≤ i ≤ k, EZ max |T jr fDi − fDi | ≤ max |T jr fDi | 1≤j∈J 0≤j∈J ≤ O log 1/2 J fDi    = O log 1/2 J  L2 (Z) L2 (Z) 1/2   |f (ξ)|2   ξ∈Di   ≤ O logJ D |f (ξ)| ξ∈Di có nhờ 2m ≤ |f (ξ)| ≤ 2m+1 Tương tự, từ bất đẳng thức tam giác, (2.2.9) giả thiết R max |T jr fR − fR | 1≤j∈J ≤ max | 1≤j≤J ≤ L1 (Z) |f (ξ)| × |e(x + jr, ξ) − e(ξ · x)| ξ∈R |f (ξ)| ξ∈R ≤ 2πJd max 1≤j≤J;ξ∈R |e(jr, ξ) − 1| |f (ξ)| max η · r ξ∈R η∈S L1 (Z) R/Z Đánh giá tổng sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có điều phải chứng minh Bây ta chứng minh định lý Bourgain Định lý 2.5.6 [Bourgain] Cho N ≥ số nguyên tố, A, B tập cộng tính ZN thỏa mãn |A|, |B| ≥ δN với số 65 logN )3 < δ ≤ 1, C số có giá trị tuyệt logN đối lớn Khi A + B chứa cấp cộng proper với chiều dài tối C (log thiểu exp(Ω(δlogN )1/3 ) Chứng minh Ta thừa nhận N lớn Bằng cách di chuyển phần tử từ A, B δ tăng cần ta giả sử PZ (A) = PZ (B) = δ Tập hợp f := 1A ∗ 1B , cho exp Ω (δlog N )1/3 ≤ J < N chọn sau Như supp(f ) = A + B EZ f = PZ (A)PZ (B) = δ Theo Bổ đề 2.5.3, chứng tỏ EZ max |T jr f − f | < δ với r = 1≤j≤J Hệ số Fourier f f vượt f (0) = EZ f = δ Ngoài ra, ta có theo Cauchy- Schwarz (1.11) |f (ξ)| = ξ∈Z |1A (ξ)||1B (ξ)| ξ∈Z ≤ 1A l2 (Z) 1B l2 (Z) = PZ (A)1/2 PZ (B)1/2 = δ Để lợi dụng điều này, chọn M ≥ Γm ∪ Γerr Z= 0≤m Nhưng từ |S| ≤ dM = O δ −2 log2 J ta đạt J := exp cn (δlogN )1/3 với cn nhỏ thích hợp, sử dụng giới hạn δ Ta có điều phải chứng minh KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu phương pháp giải tích Fourier tổ hợp cộng tính Đây cách để tính giá trị trung bình hay moment đối tượng có cấu trúc cộng Cụ thể trình bày kiến thức tập hợp cộng tính cấu trúc cộng tính, biến đổi Fourier tổ hợp cộng tính, tích chập, lượng cộng tính, độ lệch tuyến tính, tập hợp Bohr, Λ(p)- số, Bh [g]- tập hợp tập phân ly, phổ tập hợp cộng tính cấp cộng tập hợp tổng Với phạm vi luận văn thời gian khả hạn chế, việc đưa ứng dụng tổ hợp cộng tính dừng việc giới thiệu lý thuyết Việc giải toán đặt thực tế, khoa học cần nghiên cứu sâu Mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội [3] J Bourgain (1990), “On arithmetic progressions in sums of sets of integers”, In A Tribute to Paul Erdos, Cambridge University Press [4] B Green and T Tao, “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”, Annals of Math [5] T Tao, “Arithmetic progressions and the primes”, El Escorial lecture notes [6] Terence Tao, Van H Vu (2006), Additive Combinatorics, Cambridge University Press, New York 69