Một số phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Ly - K30C Toán TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***************** Trần thị ly Một số phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ thơng KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Đại số Người hướng dẫn khoa học Nguyễn Thị Bình Hà NộI - 2008 -1- Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo, cô giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy, khoa Tốn - người chăm lo, dìu dắt cho chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Nguyễn Thị Bình - người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Do trình độ thân nhiều hạn chế, cố gắng luận văn em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì em mong đóng góp ý kiến thầy, cô khoa bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Trần Thị Ly Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập, nghiên cứu bậc phổ thơng q trình học đại học Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo tổ Đại số khoa toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Bình Vì em xin khẳng định kết đề tài: ”Một số phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ thơng” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Trần Thị Ly Mục lục Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan……………………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………………… Mở đầu…………………………………………………………………… Chương 1: Một số kiến thức liên quan…………………………………… 1.1 Đa thức…………………………………………………………… 1.2 Phương trình ẩn……………………………………………… Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ thơng……………………………………………………………………… 2.1 Giải phương trình bậc ba phương pháp Cacnado…………… 2.2 Các phương pháp giải khác phương trình bậc ba…………… 18 2.3 Giải phương trình bậc ba máy tính điện tử…………………… 37 2.4 Tính chất nghiệm phương trình bậc ba……………………… 39 Chương 3: ứng dụng hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba…………… 45 3.1 Kiến thức bản…………………………………………………… 45 3.2 Các ứng dụng ……………………………………………………… 45 Kết luận…………………………………………………………………… 59 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 60 Mở đầu Trong nhà trường phổ thơng mơn tốn giữ vị trí vơ quan trọng Nó giúp học sinh học tốt hầu hết môn học công cụ nhiều ngành khoa học kĩ thuật, có nhiều ứng dụng to lớn đời sống Muốn học giỏi nói chung học giỏi tốn nói riêng phải luyện tập, thực hành nhiều Nghĩa việc nắm rõ lý thuyết em phải làm nhiều tập Đối với học sinh tập nhiều đa dạng thời gian hạn hẹp đồng thời em khó có điều kiện chọn lọc tốn hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư tốn học Trong mơn tốn, phương trình giữ vị trí quan trọng khơng đối tượng nghiên cứu Đại số mà cơng cụ đắc lực giải tích Nó giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản Đa phần em làm quen với phương trình bậc một, bậc hai phương trình bậc cao em làm quen Ngày phương trình bậc ba, bậc bốn giải thức Xong phổ thông số phức đưa vào mức giới thiệu, việc áp dụng cách giải cho em dễ hiểu dễ nắm bắt vấn đề Với lí thiết thực với niềm đam mê thân hướng dẫn nhiệt tình giáo Nguyễn Thị Bình em mạnh dạn thực luận văn với tiêu đề: ”Một số phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ thơng” Đề tài em bao gồm nội dung sau: Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ thơng Chương 3: ứng dụng hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba Chương 1: số kiến thức liên quan 1.1 Đa thức 1.1.1 Bậc nghiệm đa thức n-1 Cho đa thức f(x) = a0 + a1x + … + an-1x n + anx i aix - hạng tử thứ i - hệ tử a0 - hệ tử tự an ≠ an hệ tử cao Đa thức khơng đa thức có tất hệ tử không * Bậc đa thức Bậc đa thức khác 0: f(x) = a0 + a1x + …+ an-1x n-1 + n anx với an ≠ n Đối với đa thức khơng ta bảo khơng có bậc * Nghiệm đa thức Giả sử c phần tử tùy ý vành A f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn (an ≠ 0) đa thức tùy ý vành A[x] n-1 +) Phần tử f(c) = a0 + a1c + … + an-1c n + anc ∈ A có cách thay x c gọi giá trị f(x) c +) Nếu f(c) = c nghiệm f(x) Tìm nghiệm f(x) A gọi giải phương trình Đại số bậc n có dạng: n-1 a0 + a1x + … + an-1x n + anx = A +) Giả sử A trường c ∈ A, f(x) ∈ A[x], c nghiệm bội m cấp m f(x) chia hết cho (x - c) f(x) không chia hết cho (x - c) m+1 Nếu m = người ta gọi c nghiệm đơn m = c nghiệm kép Người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng 1.1.2 Một số kết định lí d ' Alembert: Mọi đa thức bậc khác khơng với hệ số phức có nghiệm phức Định lí Bezout: Giả sử A trường, c ∈A, f(x) ∈A[x] Dư phép chia f(x) cho (x – c) f(c) Chứng minh : Nếu ta chia f(x) cho (x – c) dư khơng đa thức bậc khơng Vì bậc (x - c) = Vậy dư phần tử r ∈ A Ta có f(x) = (x - c).q(x) + r Thay x c ta f(c) = 0.q(c) + r = r Vậy r = f(c) Hệ : Phần tử c nghiệm f(x)∈A[x] f(x) chia hết cho (x - c) A[x] Công thức Vieta n Cho f(x) = a0x + a1x n-1 + … + an-1x + an ∈ K[x] Tồn trường A ⊃ K, f(x) có n nghiệm α 1, α 2, , α n-1, α n A thoả mãn +   α + α + α a + α = (-1) n− n a0   a2 α α + α α + = (-1) + α α  13 n− n a     a  α α α α = (-1)n n n− a  n  Bổ đề : Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có nghiệm thực * Nghiệm hữu tỉ Z[x] Nếu phân số tối giản n n-1 Cho f(x) = anx + an-1x ∈ + … + a1x + a0 p q p a0 nghiệm f(x)  q an  Hệ Với số hữu tỉ α nghiệm đa thức: n n-1 f(x) = x + an-1x + … + a1x + a0 = α số nguyên α ước a0 Phân số tối giản p nghiệm f(x) ( p – mq) q f (m), ∀ m ∈ Z p + q | f( −1) Trường hợp đặc biệt:   p − q | f(1) 1.2 Phương trình ẩn Phương trình đa thức ẩn phương trình dạng: n n-1 anx + an-1x + … + a1x + a0 = (1) Trong đó: a i - hệ tử , i = 1, n i x - ẩn, i = 1, n + n = (1) có dạng + n = (1) có dạng a1x + a0 = a2 x +1 a x 0+ a = + n = (1) có dạng a x3 + a x2 + a x + a = Chương 2: Các phương pháp giảI phương trình bậc ba tốn phổ thơng 2.1 Giải phương trình bậc ba phương pháp Cacnado Phương trình hàm bậc ba nghiên cứu kĩ chương trình phổ thơng luyện thi đại học góc độ giải tích Tuy nhiên sách trình bày cơng thức nghiệm phương trình bậc ba, mục chứng minh cơng thức Cacnado cho việc giải phương trình bậc ba, cơng thức có ích việc chứng minh tính chất nghiệm phương trình bậc ba mục Trước tiên ta nhận xét với phương trình bậc ba tổng quát a1x3 + b + c x + d = ( a ≠ 0) 1 x Đều đưa dạng: x3 + ax2 + bx +c= (*) (1.1) Đặt x = y phương trình (1.1) trở thành: a − a a (y − a)3 + a(y − )2 + b(y − )+ c= 03 3 Khai triển nhóm số hạng ta được:  a ab y3 + (b a 2a + c) = )y + ( − − 27 3 y + py  p Đặt =b ta có phương trình sau: + q = −  3  2a ab q = − + c   27 Dùng phép Vieta (1.2) y= z− p x1x2 + x x + x3x1 = m +1 ⇔ x x +x x + x 2= m + 1 2 ⇔ x (x1 + x + x3 ) = m +1 m+ Với x2 = − ⇔ m+ = − x2 thay vào (9) ta được: + 2(m + 1) = m+ 13 ++1 1) m + (m (− m + + (− 2(− ) ) ) 2 m = −1  ⇔ (m + 1)(m + 2m −15) = ⇔ m=   m = −5 Đó điều kiện cần để (9) có ba nghiêm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: + m = - (9) ⇔ x x +=2x0 không thoả mãn =0⇔  x=  −2 + m = 3 không thoả (9) ⇔ x + 2x + 4x + = ⇔ (x + 2)(x + 4) = ⇔ = −2 x mãn + m = - (9) ⇔ x + 2x − 4x − = ⇔ x − 2(x + 4) = ⇔ x= Vậy không tồn m thoả mãn điều kiện đầu 3.2.5 ứng dụng (ứng dụng giải hệ phương trình) Bài tốn 6: Giải hệ phương trình Phương pháp chung Chuyển hệ cho dạng: không thoả mãn x + y+ z= A   xy + yz + zx = B  xyz  = C Khi x, y, z nghiệm phương trình u3 − Au2 + Bu −C= (10) áp dụng phương pháp giải biết phương trình bậc ba để giải (10) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  x + y + z =   xy + yz + zx = −    xyz =   (*) Lời giải Giả sử x, y, z nghiệm phương trình hệ (*) Theo hệ thức Vieta cho phương trình bậc ba ta có x, y, z nghiệm phương trình: b c X − dX + X − = aa a 3 ⇔ X + 0X − X + (− ) = 3 ⇔ X − X− = ⇔ 4X − 3X (1) = Đặt X = cos t, X ≤1 (1) ⇔ ⇔ 4cos t − 3cos t = cos3t = Ta có π = cos( π= cos ± 2π) 3 Từ ta thấy phương trình (1) có nghiệm là: X = cos π ,X = cos 5π ,X = cos 9 Vậy hệ phương trình (*) có hệ nghiệm hốn vị) Chú ý 2: Nếu hệ cho có dạng 7π π (hệ nghiệm (cos π ,cos π ,cos ) 9 x + y + z = a  2 x + y + z = b (a, b, c ∈ , ta thực n ≥ 3, n ∈ )  n n n x + y + z = c toán theo bước sau: Bước 1: Từ x2 + y2 + z = b ta tính xy + yz + zx = d x + y+ z= a   Đặt xyz = k suy xy + yz + zx = d  xyz = k Bước 2: Xác định k theo bước ý Bước 3: Giải hệ phương trình với k tìm 3.2.6 Sử dụng định lí Viet cho điểm cực trị Cho hàm số y = f(x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) Ta có: y' = f ' (x) = 3ax2 + 2bx + c Hàm số y = f(x) có cực trị ⇔ y = f(x) có cực đại, cực tiểu ' ⇔ f (x) = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = b2 − 3ac > Giả sử x nghiệm phương trình f ' (x) = 1,2  3ac ⇒ x1,2 = −b b± 3a Khi hàm số đạt cực trị x ,x Theo định nghĩa ta có cực trị hàm số  −b b2 − 3ac ) − 3a y1 = f (x1)   = f(   −b b − 3ac ) + 3a y2 = f  (x ) = f ( Trong trường hợp x1,x2 nghiệm vơ tỉ cực trị f (x1),f (x2 ) cần phải tính theo thuật tốn sau: ' Bước 1: Thực phép chia f(x) cho f (x) ta được: f (x) = ( x+ b )f ' (x) + (c − 9a b )x + (d − 3a bc ) 9a Tức là: f (x) = q(x)f '(x) + r(x)  y2= f (x ) = r(x ) = (c − f ' (x 1  ) = 10 Bước 2: Do f ' (x ) nên   =  = f (x ) (c = r(x ) = − y 2  b + (d − ) x 3a b y= (c − b )x + (d − bc ) ) 9a bc )x + (d − ) 3a Hay phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu có dạng: y = f(x) tức bc 9a Ví dụ 8: Cho 3a 9a f (x) = x3 + (cos a − 3sin a)x − 8(1 + cos 2a)x +1 a Chứng minh rằng: Hàm số ln có cực đại, cực tiểu b Giả sử hàm số đạt cực trị x1, x2 Chứng minh rằng: x1 Lời giải 2 + x2 ≤18 a Xét phương trình: ' f (x) = 2x + 2(cosa − 3sin a)x − 8(1 + cos 2a) = Ta có: ' ∆ = (cos a − 3sin a) +16(1 + cos 2a) ' 2 ∆ = (cos a − 3sin a) + 32cos a ≥ 0, ∀a ' cos a cos a = = Nếu ∆ 0,∀a  ⇔ =  sin a = cos a − 3sin a = Suy = cos2 a + sin2 a = (vơ lí) Từ suy ra: ∆' > 0,∀a ' đạt cực trị ⇔ f (x) =0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số x1, x + x = 3sin a − cos a x   x1 = −4(1 + cos 2a) x2 2 − 2x1x2 = (3sin a − + 8(1 + cos 2a) cosa) b Theo định lí Vieta ta có 2 ⇒ + x = (x1 x1 + x2 ) 2 = (9sin a − 6sin a cosa + cos a) + 8(2cos a) 2 = 9sin a − 6sin a cosa +17 cos a Khi bất đẳng thức: x + ≤18 x1 2 ⇔ 9sin a − 6sin a cosa +17cos a 2 ≤18(sin a +cos a) ⇔ 0≤ (3sin a + cosa) (*) Bất đẳng thức (*) nên tốn chứng minh Ví dụ 9: Tìm m để hàm số f (x) = 2 x − mx − x + m + có khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ Lời giải ' Do f (x) = x − 2mx có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt cực −1 = trị x1, x2 f (x) cho với điểm cực trị A(x1, y1), B(x2 , y2 ) Thực phép chia ' f ' (x ) = 10 Do f ' (x )  =  y Ta có ' f (x) = (x − m)f (x) − (m 2 +1)x + ( m +1) 3  2 y = f (x ) = − + ( m + 1) (m + 1)x 1 3  nên  2 + = f (x ) + ( m+ 1)x 1)  = − (m f (x) ta có: AB = − x ) (x + (y 2 − y) =(x -x ) + 2 2 (m +1) (x -x ) 2 = (x +x ) -4x x 1+ (m +1) 2 2   2       4 = 4m +4 1+ (m +1) ³4(1+ ) 13 ⇒ 2   AB ≥ 29        13 Vậy AB = xảy m=0 Bài tập đề nghị x + y + z = a  x + y2 + z2 = a  Bài 1: Giải hệ phương trình  3 3 x + y + z = a Bài 2: Giải hệ phương trình x + y + z + a(x + y) + a x = a  z + b(x x + y + khác nhau) + y) + b x = b  x + y + z + c(x + y) + c x = c (a,b,c đôi Bài 3: Chứng minh rằng: + = 6π sin 1 + sin sin π 2π 7 cos 2 M= Bài 4: Tính giá trị biểu thức cos 4 + + cos 8 Bài 5: Tìm phần nguyên S xác định 3π 2π S = tg4 π + tg4 π + 2(tg4 + tg4 )7 77 6 Bài 6: Tính giá trị biểu thức S = tg 10 + tg 50 + tg 70 Bài 7: Tìm m để hàm số f (x) = x3 − mx2 + mx −1 Đạt cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 − x ≥ Bài 8: Tìm m để hàm số f (x) = x − 3m x + m có điểm cực đại cực tiểu nằm phía đường thẳng y = x Bài 9: Gọi x , x , x3 8 A = + x2 + x x1 ba nghiệm phương trình x3 − 3x +1 = Hãy tính x sin α + ysin 2α + zsin 3α = sin 4α   Bài 10: Giải hệ phương trình x sin β + ysin 2β + zsin 3β = sin 4β  x sin γ + ysin 2γ + zsin 3γ = sin 4γ Với xsin α.xsinβ ≠ cosα,cosβ,cos γ đôi khác Kết luận Chúng ta biết toán liên quan đến phương trình bậc ba, hàm bậc ba tốn đa dạng Tuy khơng phải q khó để tìm lời giải hay ngắn gọn đòi hỏi người làm tốn phải có kiến thức thật kỹ tính toán thành thạo Trong khoá luận em đưa kiến thức phương trình bậc ba hàm bậc ba, ứng dụng phương trình bậc ba tốn học Mặc dù tốn đưa có nhiều phương pháp giải khuân khổ khoá luận lực thân nhiều hạn chế nên khoá luận em chưa nêu hết đầy đủ hệ thống phương pháp giải chúng Hơn lần em làm quen với nghiên cứu khoa học nên trình thực đề tài em không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy, giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khố luận em hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Nguyễn Văn Mậu (2001), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nxb Giáo dục 2- Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2002), Phương pháp giải tích, Nxb Giáo dục 3- TS Tạ Duy Phượng (2004), Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, Nxb Giáo dục 4- Trần Phương (2002), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn hàm số, Nxb Hà Nội 5- Báo toán học tuổi trẻ ... giải khác phương trình bậc ba Trong chủ đề quan tâm tới phương pháp chủ yếu sử dụng để giải phương trình bậc ba Sử dụng phương trình bậc hai để giải biện luận phương trình bậc ba (phương pháp phân... đề: Một số phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ thơng” Đề tài em bao gồm nội dung sau: Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương 2: Các phương pháp giải phương trình bậc ba tốn phổ. .. phương pháp đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp đồ thị để giải biện luận phương trình bậc ba 2.2.1 Sử dụng phương trình bậc hai để giải biện luận phương trình bậc ba Phương pháp chung Cho phương trình: