Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 62 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
62
Dung lượng
0,95 MB
Nội dung
Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA TOÁN ***************** Tr n th ly M t s ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng KHỐ LU N T T NGHI P Chun ngành : is Ng ih ng d n khoa h c Nguy n Th Bình Hà N I - 2008 -1- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p L ic m n Trong th i gian h c t p t i khoa Toán - Tr 2, đ đ ng i h c S ph m Hà N i c s d y d ch b o t n tình c a th y giáo, cô giáo, em ti p thu c nhi u tri th c khoa h c, kinh nghi m ph ng pháp h c t p m i, b c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c Qua đây, em xin g i l i c m n sâu s c t i tồn th th y, khoa Toán - nh ng ng thành nh i ch m lo, dìu d t cho chúng em đ ngày hơm Nguy n Th Bình - ng c bi t, em xin chân thành c m i tr c ti p h c tr ng n giáo ng d n, ch b o đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian em th c hi n khóa lu n Do trình đ c a b n thân cịn nhi u h n ch , m c dù c g ng h t s c nh ng lu n v n c a em v n không th tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y em r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y, khoa b n sinh viên Em xin chân thành c m n! Hà n i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Tr n Th Ly -2- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p L i cam đoan Khóa lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p, nghiên c u b c ph thơng q trình h c đ i h c Bên c nh em c ng đ s quan tâm, t o u ki n c a th y cô giáo t khoa toán, đ c bi t s h c i s c ng nh ng d n t n tình c a giáo Nguy n Th Bình Vì v y em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài: ”M t s ph ph ng pháp gi i ng trình b c ba tốn ph thơng” khơng có s trùng l p v i k t qu c a đ tài khác Hà n i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Tr n Th Ly -3- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p M cl c L i c m n……………………………………………………………… L i cam đoan……………………………………………………………… M c l c…………………………………………………………………… M đ u…………………………………………………………………… Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan…………………………………… 1.1 a th c…………………………………………………………… 1.2 Ph Ch ng trình m t n……………………………………………… ng 2: Các ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng……………………………………………………………………… 2.1 Gi i ph ng trình b c ba b ng ph 2.2 Các ph ng pháp gi i khác c a ph 2.3 Gi i ph ng trình b c ba máy tính n t …………………… 37 2.4 Tính ch t nghi m c a ph Ch ng pháp Cacnado…………… 8 ng trình b c ba…………… 18 ng trình b c ba……………………… 39 ng 3: ng d ng h th c Vieta cho ph ng trình b c ba…………… 45 3.1 Ki n th c c b n…………………………………………………… 45 3.2 Các ng d ng ……………………………………………………… 45 K t lu n…………………………………………………………………… 59 Tài li u tham kh o………………………………………………………… 60 -4- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p M đ u Trong nhà tr ng ph thơng mơn tốn gi m t v trí vơ quan tr ng Nó giúp h c sinh h c t t h u h t môn h c công c c a nhi u ngành khoa h c k thu t, có nhi u ng d ng to l n đ i s ng Mu n h c gi i nói chung h c gi i tốn nói riêng ph i luy n t p, th c hành nhi u Ngh a vi c n m rõ lý thuy t em ph i làm nhi u t p i v i h c sinh t p r t nhi u đa d ng nh ng th i gian h n h p đ ng th i em khó có u ki n ch n l c nh ng tốn hay có tác d ng thi t th c cho vi c h c t p rèn luy n t tốn h c c a Trong mơn tốn, ph đ i t đ ng nghiên c u ng trình gi v trí h t s c quan tr ng không nh ng i s mà cịn cơng c đ c l c c a gi i tích Nó c gi i thi u t nh ng n m đ u c a b c ph thông gi n a ph n em đ ph ng trình b c cao em đ b c ba, b c b n gi i đ vào ch c làm quen v i ph d ng đ n ng trình b c m t, b c hai c làm quen Ngày ph c b ng c n th c Xong ng trình ph thơng s ph c đ a m c gi i thi u, vi c áp d ng cách gi i th cho em d hi u d n m b t c m t v n đ V i nh ng lí thi t th c v i ni m đam mê c a b n thân s h ng d n nhi t tình c a giáo Nguy n Th Bình em m nh d n th c hi n lu n v n c a v i tiêu đ : ”M t s ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng” tài c a em bao g m n i dung sau: Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan Ch ng 2: Các ph Ch ng 3: ng d ng c a h th c Vieta cho ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng -5- ng trình b c ba Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 1: m t s ki n th c liên quan 1.1 a th c 1.1.1 B c nghi m c a đa th c Cho đa th c f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn aixi - h ng t th i - h t a0 - h t t an an h t cao nh t a th c khơng đa th c có t t c h t b ng không * B c c a đa th c B c c a đa th c khác 0: f(x) = a0 + a1x + …+ an-1xn-1 + anxn v i an n i v i đa th c không ta b o khơng có b c * Nghi m c a m t đa th c Gi s c m t ph n t tùy ý c a vành A f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn (an 0) m t đa th c tùy ý c a vành A[x] +) Ph n t f(c) = a0 + a1c + … + an-1cn-1 + ancn A có đ c b ng cách thay x b i c g i giá tr c a f(x) t i c +) N u f(c) = c m t nghi m c a f(x) Tìm nghi m c a f(x) A g i gi i ph ng trình i s b c n có d ng: a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn = A +) Gi s A m t tr ng c A, f(x) A[x], c nghi m b i c p m n u ch n u f(x) chia h t cho (x - c)m f(x) không chia h t cho (x - c)m+1 N u m = ng i ta g i c nghi m đ n m = c nghi m kép -6- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ng i ta coi m t đa th c có m t nghi m b i c p m nh m t đa th c có m nghi m trùng 1.1.2 M t s k t qu đ nh lí d ' Alembert: M i đa th c b c khác không v i h s ph c có nh t nghi m ph c nh lí Bezout: Gi s A m t tr ng, c A, f(x) A[x] D c a phép chia f(x) cho (x – c) f(c) Ch ng minh: N u ta chia f(x) cho (x – c) đ c d b ng không ho c m t đa th c b c rA khơng Vì b c (x - c) = V y d m t ph n t Ta có f(x) = (x - c).q(x) + r Thay x b ng c ta đ c f(c) = 0.q(c) + r = r V y r = f(c) H qu : Ph n t c nghi m c a f(x) A[x] ch f(x) chia h t cho (x - c) A[x] Công th c Vieta Cho f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an K[x] T n t i tr ng A K, f(x) có n nghi m n 1 1, n n 1 n 2, , (-1) a a (-1) n-1, n A tho mãn a a a (-1) n n n 1 n a B đ : M i đa th c v i h s th c có b c l có nh t m t nghi m th c -7- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p * Nghi m h u t Cho f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 Z[x] N u phân s t i gi n p q p a nghi m c a f(x) q an H qu V i s h u t nghi m c a đa th c: f(x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = s nguyên a0 Phân s t i gi n Tr p q | f( 1) ng h p đ c bi t: p q | f(1) 1.2 Ph Ph p nghi m c a f(x) p – mq f m , m Z q ng trình m t n ng trình đa th c m t n ph ng trình d ng: anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = (1) Trong đó: a i - h t , i 1,n x i - n, i 1,n + n = (1) có d ng a1x a + n = (1) có d ng a x a1x a + n = (1) có d ng a 3x3 a x a1x a -8- cc a Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 2: Các ph ng pháp gi I ph ng trình b c ba tốn ph thơng 2.1 Gi i ph Ph ng trình b c ba b ng ph ng trình hàm b c ba đ ph thông luy n thi đ i h c d bày công th c nghi m c a ph ng pháp Cacnado c nghiên c u k ch ng trình i góc đ gi i tích Tuy nhiên sách trình ng trình b c ba, m c s ch ng minh công th c Cacnado cho vi c gi i ph ng trình b c ba, cơng th c c ng r t có ích vi c ch ng minh tính ch t nghi m c a ph ng trình b c ba m c ti p theo Tr c tiên ta nh n xét r ng v i m i ph ng trình b c ba t ng quát a1x3 b1x c1x d1 ( a1 ) (*) u có th đ a v d ng: x ax bx c t xy a ph (1.1) ng trình (1.1) tr thành: a a a (y )3 a(y ) b(y ) c 3 Khai tri n nhóm s h ng ta đ c: a2 2a ab y (b )y ( c) 27 3 a2 p b t ta có ph 2a ab q c 27 Dùng phép th Vieta y z (z ng trình sau: y3 py q p vào ph 3z p p ) p(z ) q 3z 3z -9- ng trình (1.2) ta đ c: (1.2) Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p p3 q0 z 27z 3 p3 qz z 27 t t z ta đ c ph t qt Ph ng trình p3 0 27 (1.3) ng trình (1.3) có nghi m (th c ho c ph c) q q p3 t1,2 27 q q p3 Suy z 27 Ta bi t r ng có giá tr (k c giá tr ph c) là: ek cos 2k 2k isin 3 v i k = 0,1,2 3 Ngh a e0 1; e1 i ; e2 i 2 2 Trong i đ n v o i2 1 hay i 1 D th y r ng: 3 e1e ( i )( i ) 2 2 T ng quát t có giá tr là: t1 , t1e1 , t1e2 t1 giá tr th c c a Nh v y giá tr c a z ng v i giá tr c a t nh sau: Gi s z t1 cho giá tr là: q q p3 ; z11 z10e1 ; z12 z10e2 z10 27 - 10 - t Tr n Th Ly - K30C Tốn Khố lu n t t nghi p Có ba nghi m phân bi t bi t r ng s nghi m s có hai nghi m đ i L i gi i: Gi s ph ng trình có ba nghi m x1, x , x x1 x3 x1 x x3 m x m V i x m thay vào (2) ta đ c: (m 1)3 (m 1)3 (m 1) 2m m V i m = thay vào (2) ta đ c: x1 (2) x 2x x (x 1)(x x 2) x x 1 Ta có x1 x3 tho mãn u ki n V y v i m = tho mãn u ki n đ u 3.2.2 ng d ng Bài tốn 2: Tính giá tr c a bi u th c đ i x ng K gi a nghi m Ph ng pháp chung B c 1: Thi t l p h th c Vieta gi a nghi m c a ph B c 2: Bi u di n u ki n K thơng qua (I) Ví d 3: Gi s ph ng trình (I) ng trình 2x3 x m (3) có ba nghi m phân bi t x1, x , x Tính t ng A x12 x 22 x 32 L i gi i: x x x Theo gi thi t ta có: x1x x x x 3x1 m x1 x x - 48 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p A x12 x 2 x 32 (x1 x x ) 2(x1x x x x 3x1 ) Chú ý 1: N u A x1n x 2n x3n , n * vi c tính bi u th c A nh l i gi i c a ví d r t khó kh n Khi ta làm tốn theo b + B c 1: + B c 2: Chia g(x) cho f(x) ta đ t g(x) x n , f (x) ax bx cx d c g(x) = f(x)h(x) + r(x) g(xi n ) r(x i ) , i = 1, 2, (Vì x i nghi m c a ph + B c sau: ng trình f(x) = 0) c 3: Tính bi u th c A theo nh cách làm ví d 3.2.3 ng d ng Bài tốn 3: Tìm tham s m đ ph ng trình f(x, m) = có nghi m tho mãn K Ph Bài toán th ng đ hi n theo b B ng pháp chung c gi i b ng ph ng pháp u ki n c n đ , ta th c c sau: c 1: i u ki n c n Gi s ph ng trình có ba nghi m, ta có đ c h th c Vieta gi a nghi m B c 2: Bi u di n u ki n K thông qua ph ng trình f(x, m) = ta suy u ki n cho tham s B c 3: i u ki n đ Ví d 4: Xác đ nh m đ ph ng trình x3 3mx 3x 3m (4) có ba nghi m phân bi t x1, x , x tho mãn x12 x 2 x 32 15 L i gi i: Cách 1: i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t x1, x , x đó: - 49 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p x1 x x 3m x1x x x x x1 3 x x x 3m Khi đó: 15 x12 x 22 x32 (x1 x x3 )2 2(x1x x x x 3x1) 9m2 m2 m i u ki n đ : Vi t l i ph ng trình v d ng: x (x 1)[x (3m 1)x 3m 2] g(x) x (3m 1)x 3m (*) Ta ph i ch ng minh v i m (*) có hai nghi m phân bi t khác 1, t c ch ng minh: g 9m 6m v i m m g(1) V y v i m tho mãn u ki n đ u Cách 2: Vi t l i ph ng trình v d ng x (x 1)[x (3m 1)x 3m 2] g(x) x (3m 1)x 3m (*) Tr c h t (4) có ba nghi m phân bi t (*) có hai nghi m phân bi t x g 9m 6m m (**) g(1) m V i u ki n (4) có ba nghi m phân bi t x1, x , x tho mãn: x1 x x 3m x1x x x x x1 3 x x x 3m - 50 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Khi đó: 15 x12 x 22 x32 (x1 x x3 )2 2(x1x x x x 3x1) 9m2 m m tho mãn (**) V y v i m tho mãn u ki n d u 3.2.4 ng d ng Bài tốn 4: Cho ph ng trình ax3 bx cx d (a 0) (5) có ba nghi m x1, x , x Tìm u ki n c n đ đ x1, x , x l p thành c p s c ng Ph ng pháp chung i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng, đó: x1 x3 2x b b b Ta có: x1 x x 3x x a a 3a V i x2 a( b thay vào (5) ta đ 3a c: b b b ) b( ) c( ) d 2b3 9abc 27a 2d (6) 3a 3a 3a ó u ki n c n đ (5) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng i u ki n đ : T (6) suy ph ng trình có nghi m x b Khi đó: 3a b b b 2b x x x x1 x x1 x 2x a 3a a 3a x1,x ,x l p thành c p s c ng V y u ki n c n đ đ (5) có ba nghi m l p thành c p s c ng là: 2b3 9abc 27a 2d - 51 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ví d 5: Xác đ nh m đ ph ng trình x3 3x 9x m (7) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng L i gi i: i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng, đó: x1 x3 2x (*) x1 x x3 3x x V i x thay vào (7) ta đ c: 11 – m = m 11 ó u ki n c n đ (7) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng i u ki n đ : V i m = 11 x1 12 (7) x 3x 9x 11 (x 1)(x 2x 11) x x 12 Tho mãn (*) V y v i m = 11 tho mãn u ki n đ u Bài tốn 5: Cho ph ng trình ax3 bx cx d (a 0) (8) có ba nghi m x1, x , x Tìm u ki n c n đ đ x1, x , x l p thành c p s nhân Ph ng pháp chung i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t l p thành c p s nhân, đó: x1x x 2 , x1 x x x1x x x x x b a c a - 52 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p x 1x x x x 2 x (x1 x x ) V i x2 c a c c x2 a b c thay vào (8) ta đ b c: c c c a( )3 b( ) c( ) d ac3 b 3d (**) ó u ki n b b b c n đ (8) có ba nghi m l p thành c p s nhân i u ki n đ : T (**) suy ph c ng trình có nghi m x Khi đó: b c b c x (x1 x x ) ( )( ) x1x x x x 3x1 x1x x 2 b a a x1,x ,x l p thành c p s nhân V y u ki n c n đ đ (8) có ba nghi m l p thành c p s nhân ac3 b3d Ví d 6: Xác đ nh m đ ph ng trình x3 2x (m 1)x 2(m 1) (9) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s nhân L i gi i: i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m l p thành c p s nhân, đó: x1x3 x 22 , x1 x x3 2 - 53 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p x1 x x x x x m x1 x x x x 2 m x (x1 x x ) m x2 V i x2 m 1 thay vào (9) ta đ m 1 c: m 1 m 1 m 1 ) 2( ) (m 1)( ) 2(m 1) 2 m 1 (m 1)(m 2m 15) m m 5 ( ó u ki n c n đ (9) có ba nghiêm l p thành c p s nhân i u ki n đ : + m = - x không tho mãn (9) x 2x x + m = (9) x3 2x 4x (x 2)(x 4) x 2 không tho mãn + m = - (9) x3 2x 4x x 2(x 4) x không tho mãn V y không t n t i m tho mãn u ki n đ u 3.2.5 ng d ng ( ng d ng gi i h ph Bài toán 6: Gi i h ph ng trình) ng trình Ph ng pháp chung Chuy n h cho v d ng: - 54 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p x y z A xy yz zx B xyz C Khi x, y, z nghi m c a ph áp d ng ph ng trình u Au Bu C (10) ng pháp gi i bi t đ i v i ph Ví d 7: Gi i h ph ng trình b c ba đ gi i (10) ng trình x y z xy yz zx xyz (*) L i gi i Gi s x, y, z nghi m c a ph ph ng trình c a h (*) Theo h th c Vieta cho ng trình b c ba ta có x, y, z nghi m c a ph b c d X3 X X a a a X3 0X X ( ) X3 X 4X3 3X (1) t X cos t, X (1) 4cos3 t 3cos t cos3t Ta có 2 cos cos( 2) 3 - 55 - ng trình: Tr n Th Ly - K30C Tốn Khố lu n t t nghi p T ta th y ph ng trình (1) có nghi m là: 5 7 X1 cos , X cos , X cos 9 V y h ph 5 7 ng trình (*) có h nghi m (cos ,cos ,cos ) (h nghi m 9 có th hốn v ) Chú ý 2: x y z a N u h cho có d ng x y z b (a, b, c , n 3, n ) ta th c x n yn z n c hi n toán theo b B c sau: c 1: T x y2 z b ta tính đ c xy + yz + zx = d x y z a t xyz = k suy xy yz zx d xyz k B c 2: Xác đ nh k theo b B c 3: Gi i h ph c nh ý ng trình v i k tìm đ c 3.2.6 S d ng đ nh lí Viet cho m c c tr Cho hàm s y = f(x) = ax3 bx2 cx d (a 0) Ta có: y' f ' (x) 3ax2 2bx c Hàm s y = f(x) có c c tr y = f(x) có c c đ i, c c ti u f ' (x) có nghi m phân bi t ' b2 3ac Gi s x1,2 nghi m c a ph ng trình f ' (x) - 56 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p b b2 3ac x1,2 3a Khi hàm s đ t c c tr t i x1,x2 Theo đ nh ngh a ta có c c tr c a hàm s b y1 f (x1 ) f ( b y f (x ) f ( Trong tr b2 3ac ) 3a b2 3ac ) 3a ng h p x1,x2 nghi m vơ t c c tr f (x1),f (x2 ) c n ph i tính theo thu t toán sau: B c 1: Th c hi n phép chia f(x) cho f ' (x) ta đ c: b b bc f (x) ( x )f ' (x) (c )x (d ) 9a 3a 9a T c là: f (x) q(x)f ' (x) r(x) b bc y f (x ) r(x ) (c )x (d ) 1 f (x1 ) 3a 9a nên c 2: Do ' f (x ) y f (x ) r(x ) (c b )x (d bc ) 2 2 3a 9a ' B Hay ph ng trình đ ng th ng qua m c c đ i, c c ti u có d ng: b bc y = f(x) t c y (c )x (d ) 3a 9a Ví d 8: Cho f (x) x (cosa 3sin a)x 8(1 cos 2a)x a Ch ng minh r ng: Hàm s ln có c c đ i, c c ti u b Gi s hàm s đ t c c tr t i x1 , x Ch ng minh r ng: x12 x 2 18 L i gi i - 57 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p a Xét ph ng trình: f ' (x) 2x 2(cosa 3sin a)x 8(1 cos2a) Ta có: ' (cosa 3sin a) 16(1 cos 2a) ' (cosa 3sin a) 32cos a 0, a cosa cosa N u ' 0, a cosa 3sin a sin a Suy cos a sin a (vô lí) T suy ra: ' 0, a f ' (x) có nghi m phân bi t x1 , x hàm s đ t c c tr t i x1 , x x x 3sin a cosa b Theo đ nh lí Vieta ta có x1x 4(1 cos 2a) x12 x 22 (x1 x )2 2x1x (3sin a cosa)2 8(1 cos2a) (9sin a 6sin a cosa cos a) 8(2cos a) 9sin a 6sin a cosa 17cos a Khi b t đ ng th c: x12 x 2 18 9sin a 6sina cosa 17cos a 18(sin a cos a) (3sin a cosa)2 (*) B t đ ng th c (*) nên tốn đ c ch ng minh Ví d 9: Tìm m đ hàm s f (x) x mx x m có kho ng cách gi a m c c đ i c c ti u nh nh t L i gi i - 58 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Do f ' (x) x 2mx có nghi m phân bi t x1 , x hàm s đ t c c tr t i x1 , x v i m c c tr A(x1, y1 ), B(x , y2 ) Th c hi n phép chia 2 f (x) cho f ' (x) ta có: f (x) (x m)f ' (x) (m 1)x ( m 1) 3 f (x ) Do ' nên f (x ) ' 2 y f (x ) (m 1)x ( m 1) 1 3 y f (x ) (m 1)x ( m 1) 2 3 Ta có AB2 (x x1 )2 (y2 y1)2 =(x -x1 )2 + (m2 +1)2 (x -x1)2 = (x +x1 )2 -4x 2x1 1+ (m2 +1)2 = 4m2 +4 1+ (m2 +1)2 ³4(1+ ) AB 13 V y AB 13 x y m=0 Bài t p đ ngh Bài 1: Gi i h ph Bài 2: Gi i h ph x y z a ng trình x y z a x y3 z a x y z a(x y) a x a ng trình x y z b(x y) b x b3 (a,b,c đôi m t x y z c(x y) c x c3 khác nhau) - 59 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Bài 3: Ch ng minh r ng: 2 sin 3 sin Bài 4: Tính giá tr bi u th c M cos 6 sin 8 2 4 8 cos cos 7 Bài 5: Tìm ph n nguyên c a S xác đ nh b i S tg 3 2 3 2 tg 2(tg tg ) 7 7 Bài 6: Tính giá tr bi u th c S tg6100 tg6 500 tg6 700 Bài 7: Tìm m đ hàm s f (x) x mx mx t c c tr t i x1 , x th a mãn x1 x Bài 8: Tìm m đ hàm s f (x) x 3m x m có m c c đ i c c ti u n m v phía c a đ Bài 9: G i x1, x , x ba nghi m c a ph ng th ng y = x ng trình x 3x Hãy tính A x18 x 28 x 38 Bài 10: Gi i h ph x sin ysin 2 zsin 3 sin 4 ng trình x sin ysin 2 zsin 3 sin 4 x sin ysin zsin 3 sin V i xsin .xsin cos ,cos ,cos đôi m t khác - 60 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p K t lu n Chúng ta bi t toán liên quan đ n ph ng trình b c ba, hàm b c ba nh ng toán r t đa d ng Tuy không ph i khó nh ng đ tìm nh ng l i gi i hay ng n g n đòi h i ng i làm tốn ph i có nh ng ki n th c th t ch c k n ng tính tốn thành th o Trong khố lu n em đ a nh ng ki n th c c b n v ph nh ng ng d ng c a ph tốn đ ng trình b c ba c ng nh hàm b c ba, ng trình b c ba tốn h c M c dù nh ng c đ a có r t nhi u ph ng pháp gi i nh ng khuân kh c a khoá lu n n ng l c c a b n thân cịn nhi u h n ch nên khố lu n c a em v n ch a nêu h t đ c đ y đ h th ng ph H n n a l n đ u tiên em đ ng pháp gi i chúng c làm quen v i nghiên c u khoa h c nên trình th c hi n đ tài em không tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong th y, giáo b n sinh viên đóng góp ý ki n đ khoá lu n c a em đ c hoàn thi n h n - 61 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O 1- Nguy n V n M u (2001), Ph ph ng trình b t ng trình, Nxb Giáo d c 2- Lê H ng Ph ng pháp gi i ph c, Thi n Kh i, Lê Bích Ng c, Lê H u Trí (2002), ng pháp gi i tích, Nxb Giáo d c 3- TS T Duy Ph ng (2004), Ph ng trình b c ba h th c tam giác, Nxb Giáo d c 4- Tr n Ph ng (2002), Tuy n t p chuyên đ luy n thi đ i h c mơn Tốn hàm s , Nxb Hà N i 5- Báo toán h c tu i tr - 62 - ... ng pháp gi i khác c a ph ng trình b c ba Trong ch đ s quan tâm t i ph s d ng đ gi i ph S d ng ph (ph ng pháp ch y u đ c ng trình b c ba ng trình b c hai đ gi i bi n lu n ph ng trình b c ba ng pháp. .. a Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 2: Các ph ng pháp gi I ph ng trình b c ba tốn ph thơng 2.1 Gi i ph Ph ng trình b c ba b ng ph ng trình hàm b c ba đ ph thông luy n thi đ i... ng - 46 - ng trình b c ba ng trình b c ba đ c nêu Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p 3.2.1 ng d ng Bài toán 1: Gi i ph ng trình b c ba bi t tính ch t c a nghi m Ph B ng pháp chung c