Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng LI CM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, thầy tổ giải tích tạo điều kiện, giúp đỡ em thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn, bảo cho em suốt trình nghiên cứu khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hnh Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng LI CAM OAN Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hng Hnh Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng MC LC LI NểI ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối Sai số tính tốn Bài toán ngược toán sai số §2 SAI PHÂN Định nghĩa tính chất Một số công thức nội suy sử dụng sai phân 10 §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 12 Một số khái niệm 12 Một số phương trình vi phân biết cách giải 12 Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn nghiệm) 14 Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm 16 Cách giải số phương trình vi phân cấp cao 18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24 §1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 24 Phương pháp Euler 24 Phương pháp Euler cải tiến 26 §2 PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 29 Trường hợp m = 31 Trường hợp m = 31 Trường hợp m = 33 Trường hợp m = 35 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hïng Phương pháp Runge – Kutta áp dụng để giải hệ phương trình vi phân cấp hay phương trình vi phân cấp cao 39 Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng LI NểI U Thot đầu, toán học phát sinh nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: tốn học lí thuyết tốn học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn liên quan tới phương trình vi phân thường Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trị quan trọng lí thuyết tốn học Chúng ta biết có số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân thường nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Do dó, số vấn đề đặt tìm phương pháp để xác định nghiệm gần phương trình vi phân thường Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, nhà tốn học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Trong phương pháp đó, người ta phân làm nhóm: nhóm thứ gọi phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi phương pháp số cho phép tìm nghiệm dạng bảng Là sinh viên khoa Toán, khn khổ khóa luận, em xin trình bày hiểu biết số phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường Được hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng với lịng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân” Em sâu nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler Euler cải tiến, phương pháp Runge – Kutta Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Ni dung bn khúa luận gồm ba chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân Chương 3: Bài tập áp dụng Do thời gian lực có hạn nên khóa luận em cịn nhiều thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn sinh viên Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh TrÇn Hång Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Chng CC KIN THC CHUN B §1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong thực tế tính tốn, ta thường số a * mà biết số gần a * a Đại lượng   a *  a gọi sai số thực a Do a * nên  khơng biết, ta tìm a  cho a *  a  a ; (1.1) Số a nhỏ thỏa mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a Tỷ số a  a gọi sai số tương đối a a Ví dụ Giả sử a  3,14 ; a *   Do 3,14  a *  3,15  3,14  0,01 nên a  0,01 Mặt khác 3,14  a *  3,142  3,14  0,002 nên a  0,002 Trong phép đo nói chung, sai số tuyệt đối nhỏ tốt Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a  10 cm b  cm, với a  b  0,01 Khi đó, ta có  a  b  0,01  0,1%; 10 0,01  1% hay b  10 a Hiển nhiên phép đo a xác phép đo b a  b Vậy độ xác phép đo phản ánh qua sai số tng i Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng b, S thu gọn số, sai số thu gọn Xét số thập phân a biểu diễn dạng a    p 10 p   p 1 10 p 1    p  s 10 p  s    i  9,  i  Z ,  i số nguyên Nếu p  s  a số nguyên Nếu p  s  m, (m  0) a có phần lẻ gồm m chữ số Nếu s   a số thập phân vô hạn Chẳng hạn a  597,36  5.10  9.101  7.10  3.10 1  6.10 2 Ở p  2, s  4,   5,   9,   7,  1  3,    , ta thấy p  s  2 nên a  597,36 số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số *) Thu gọn a vứt bỏ số chữ số hàng bên phải biểu diễn a để số gần a gọn hơn, đảm bảo độ xác cần thiết *) Quy tắc thu gọn Giả sử a   p 10 p    j 10 j    p  s 10 p  s ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ  , ta đặt a   p 10 p    j 1 10 j 1   j 10 j  j 1 0,5.10 j    10 j j   j  j    0,5.10 Nếu   0,5.10 j  j   j  j chẵn  j   j 1  j lẻ tính tốn với số chẵn tiện Ví dụ   3,141592  3,14159  3,1416  3,142  3,14  3,1  Sai số thu gọn a  số thỏa mãn điều kiện a  a  a Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Vỡ a p 10 p    j 10 j   a   p 10 p    j 1 10 j 1   j 10 j   nên a  a   j   j 10 j    0,5.10 j Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên a *  a  a *  a  a  a  a  a c, Chữ số Chữ số có nghĩa chữ số khác “0” “0” kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng giữ lại Ví dụ a  0,0030140 Ba chữ số “0” đầu khơng có nghĩa Mọi chữ số có nghĩa  i a   p 10p   p1 10p1    ps 10ps  gọi chữ số chắc, a  .10 i  tham số cho trước Tham số  chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Giả sử chữ số cuối a trước thu gọn  i Để  i 1 chữ số trước chắc, phải có a  a  .10 i 1 Suy .10 i  0,5.10 i 1  .10 i 1 hay   Ta gọi chữ số theo nghĩa hẹp (rộng)   0,5 (  1) Khi viết số gần đúng, nên giữ lại một, hai chữ số khơng để tính tốn sai số tác động đến chữ số không mà Sai số tính tốn Trong tính tốn, ta thường gặp loại sai số sau: + Sai số giả thiết – mơ hình hóa, lý tưởng hóa tốn thực tế Sai số khơng loại trừ TrÇn Hồng Hạnh K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng + Sai s phng phỏp tốn thường gặp phức tạp, khơng thể giải mà phải sử dụng phương pháp gần Sai số nghiên cứu cho phương pháp cụ thể + Sai số số liệu – số liệu thường thu thực nghiệm có sai số + Sai số tính tốn – số vốn có sai số, cịn thêm sai số thu gọn nên tính tốn xuất sai số tính tốn Giả sử ta phải tính đại lượng y theo cơng thức y  f ( x1 , , x n ) Gọi x *  ( x1* , , x n* ); y *  f ( x * ) giá trị Giả sử ta giá trị này, ta biết giá trị gần x  ( x1 , , xn ) ; y  f ( x) Giả sử xi (i  1, , n); xi (i  1, , n) sai số tuyệt đối sai số tương đối tương ứng đối số Khi đó: sai số hàm số y  f ( x1 , , x n ) gọi sai số tính toán Giả sử hàm f hàm số khả vi liên tục theo tất biến xi y  y  y *  f ( x1 , , x n )  f ( x1* , , x n* ) n   f x' ( x1 , , xn ) xi  xi* i 1 i với x = ( x1 ,…, x n ) x điểm nằm x x * Vì f khả vi liên tục, xi  xi  xi* bé nên n y   f x' ( x) xi ; với x  ( x1 , , x n ) i 1 Vậy y  i y n   ln f ( x) xi i 1 x i y đơi viết y   ln y ; TrÇn Hång Hạnh K35G SP Toán (1.2) (1.2' ) Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Trong ú k1 hf ( x0 , y0 , z0 ); l1  hg ( x0 , y0 , z0 ) h k l  h k l    k  hf  x0  , y0  , z0  ; l2  hg  x0  , y0  , z   2 2 2 2   h k l  h k l    k3  hf  x0  , y0  , z0  ; l3  hg  x0  , y0  , z   2 2 2 2   k  hf ( x0  h, y0  k3 , z0  l3 ); l4  hg ( x0  h, y0  k , z  l3 ) Ví dụ Giải gần hệ phương trình 2y  x   y '  z  z'  y  zx với điều kiện ban đầu y (0,5)  z (0,5)  ; x  0,6 ; h  0,1 Giải Đặt f  f ( x, y , z )  2y  x 2y ; g  g ( x, y , z )  z zx Áp dụng ( 2.29) , ta có bảng sau i x y z k  hf 0,5 1 0,15 0,13333 0,15002 0,13301 0,55 1,075 1,06667 0,15 0,13299 0,55 1,075 1,0665 0,15002 0,133 0,6 1,15002 1,133 0,15005 0,13272 0,6 1,15002 1,13301 l  hg y z Vậy y1  1,15002 ; z1 1,13301 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Chng BI TẬP ÁP DỤNG Bài Bằng phương pháp Euler tìm nghiệm gần phương trình sau a, y '  y  1; y (0)  ; h  0,1; x  [0;0,5] b, y '  x  y  ; y (0)  ; h  0,2 ; x  [0;1] y c, y '   ; y (1)  1; h  0,1; x  [1;0,5] x d, y '  y sin x ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;0,5] e, y '  x y ; y (1)  ; h  0,1; x  [1;2] 2x Bài làm a, Áp dụng công thức ( 2.3) , ta có bảng sau f i  hf ( xi , y i ) y ( xi )  e x  i i xi yi f ( xi , y i ) 0 0,1 0,1 0,1 1,1 0,11 0,1052 0,2 0,21 1,21 0,121 0,2214 0,3 0,331 1,331 0,1331 0,3499 0,4 0,4641 1,4641 0,1464 0,4918 0,5 0,6105 1,6105 0,1611 0,6487 b, Ta có bảng sau i xi yi f ( xi , y i ) 0 -2 -0,4 0,2 -0,4 -1,56 -0,312 -0,36 Trần Hồng Hạnh –K35G SP To¸n f i  hf ( xi , yi ) y( xi )  xi2  2xi 41 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,4 -0,712 -1,128 -0,2256 -0,64 0,6 -0,9376 -0,7024 -0,1405 -0,84 0,8 -1,0781 -0,2819 -0,0564 -0,96 -1,1345 0,1345 0,0269 -1 c, Ta có bảng sau f i  hf ( xi , y i ) y ( xi )  xi i xi yi f ( xi , y i ) -1 -1 -1 -0,1 -1 -0,9 -1,1 -1,2222 -0,1222 -1,1111 -0,8 -1,2222 -1,5278 -0,1528 -1,25 -0,7 -1,375 -1,9643 -0,1964 -1,4286 -0,6 -1,5714 -2,619 -0,2619 -1,6667 -0,5 -1,8333 -3,6666 -0,3667 -2 d, Ta có bảng sau y ( xi )  cos xi yi f ( xi , y i ) f i  hf ( xi , y i ) 0 1 0,1 0,0998 0,01 1,005 0,2 1,01 0,2027 0,0203 1,0203 0,3 1,0303 0,3137 0,0314 1,0468 0,4 1,0617 0,439 0,0439 1,0857 0,5 1,1056 0,5860 0,0586 1,1395 i xi e, Ta có bảng sau i xi yi f ( xi , y i ) f i  hf ( xi , y i ) y ( xi )  xi  xi 1,5 0,15 TrÇn Hång Hạnh K35G SP Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 1,1 2,15 1,4773 0,1477 2,1488 1,2 2,2977 1,4574 0,1457 2,2954 1,3 2,4434 1,4398 0,144 2,4402 1,4 2,5874 1,4241 0,1424 2,5832 1,5 2,7298 1,4099 0,141 2,7247 1,6 2,8708 1,3971 0,1397 2,8649 1,7 3,0105 1,3854 0,1385 3,004 1,8 3,149 1,3747 0,1375 3,1416 1,9 3,2865 1,3649 0,1365 3,2784 10 3,423 1,3558 0,1356 3,4142 Bài Bằng phương pháp Euler cải tiến, giải gần phương trình sau a, y '  y ; y ( 1)  0,5 ; h  0,1; x  [ 1;0,5] 1 x b, y '  y  2x ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;1] y c, y '  xy  y ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;0,5] d , y '  y ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;0,5] Bài làm a, Áp dụng cơng thức ( 2.5) , ta có bảng sau 1 x i xi y i*1 f ( xi 1 , yi*1 ) yi f  xi , y i  -1 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 -0,9 0,525 0,2763 0,5263 0,277 0,5263 -0,8 0,554 0,3078 0,5555 0,3086 0,5556 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán y 43 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng -0,7 0,5864 0,3449 0,5882 0,346 0,5882 -0,6 0,6228 0,3893 0,625 0,391 0,625 -0,5 0,6641 0,4427 0,6667 0,4445 0,6667 b, Ta có bảng sau i xi y i*1 f ( xi 1 , y i*1 ) yi f ( xi , y i ) y  2x  0 1 1 1 0,1 1,1 0,9182 1,096 0,9135 1,0954 0,2 1,1874 0,8505 1,1842 0,8464 1,1832 0,3 1,2688 0,796 1,2663 0,7925 1,265 0,4 1,3456 0,7511 1,3435 0,748 1,3416 0,5 1,4183 0,7132 1,4166 0,7107 1,4142 0,6 1,4877 0,6811 1,4862 0,6788 1,4832 0,7 1,5541 0,6533 1,5528 0,6512 1,5492 0,8 1,618 0,6291 1,6168 0,6272 1,6125 0,9 1,6795 0,6077 1,6785 0,6061 1,6733 10 1,7391 0,5891 1,7383 0,5878 1,7321 c, Ta có bảng sau 1 x i xi y i*1 f ( xi 1 , yi*1 ) yi f ( xi , y i ) 0 1 1 1 0,1 1,1 1,221 1,1111 1,2346 1,1111 0,2 1,2346 1,5394 1,2498 1,5622 1,25 0,3 1,4060 1,9991 1,4279 2,0396 1,4286 0,4 1,6319 2,6971 1,6647 2,7732 1,6667 0,5 1,9420 3,8277 1,9947 3,9841 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán y 44 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hïng d, Ta có bảng sau 1 1 x i xi y i*1 f ( xi 1 , y i*1 ) yi f  xi , yi  0 -1 -1 -1 0,1 -0,9 0,81 -0,9095 0,8272 -0,9091 0,2 -0,8268 0,6836 -0,834 0,6956 -0,8333 0,3 -0,7644 0,5843 -0,77 0,5929 -0,7692 0,4 -0,7107 0,5051 -0,7175 0,5114 -0,7143 0,5 -0,664 0,4409 -0,6675 0,4456 -0,6667 y Bài Bằng công thức Runge – Kutta với độ xác 0(h ) , giải gần toán sau a, y '  y cos x ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;0,3] b, y '  x  y ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;0,5] c, y '  xy ; y (0)  1; h  0,2 ; x  [0;1] d , y '  x  y ; y (0)  ; h  0,2 ; x  [0;1] e, y '  y  x ; y (0)  ; h  0,1; x  [0;0,5] Bài làm a, Ta có bảng tính sau i x y k  hf ( x, y ) y 0,1 0,105 0,05 1,05 0,1049 0,05 1,0525 0,1051 0,1 1,1051 0,11 0,1 1,105 0,11 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 0,1148 45 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,15 1,16 0,1147 0,15 1,16240 0,1149 0,2 1,2199 0,1196 0,2 1,2198 0,1195 0,25 1,2796 0,124 0,25 1,2818 0,1242 0,3 1,344 0,1284 0,3 1,3439 0,1284 0,1284 0,1241 Các giá trị gần nhận y0  ; y1  1,105 ; y2  1,2198 ; y3  1,3439 b, Ta có bảng sau i x y k  hf ( x, y ) y -1 -0,2 -0,2211 0,05 -1,1 -0,2198 0,05 -1,1099 -0,2217 0,1 -1,2217 -0,2433 0,1 -1,2211 -0,2432 0,15 -1,3427 -0,2663 0,15 -1,3543 -0,2686 0,2 -1,4897 -0,2939 0,2 -1,4889 -0,2938 0,25 -1,6358 -0,3209 0,25 -1,6494 -0,3236 0,3 -1,8125 -0,3535 0,3 -1,8116 -0,3533 0,35 -1,9883 -0,3854 TrÇn Hồng Hạnh K35G SP Toán -0,2678 -0,3227 -0,3876 46 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,35 -2,0043 -0,3886 0,4 -2,2002 -0,424 0,4 -2,1992 -0,4238 0,45 -2,4111 -0,462 0,45 -2,4302 -0,4658 0,5 -2,665 -0,508 0,5 -2,6638 -0,5078 -0,4646 -0,5078 Các giá trị gần nhận y0  1; y1  1,2211; y2  1,4889; y3  1,8116; y4  2,1992; y5  2,6638 c, Ta có bảng sau i x y k  hf ( x, y ) y 0,0067 0,1 0,0067 0,1 1,0034 0,0067 0,2 1,0067 0,0134 0,2 1,0067 0,0134 0,3 1,0134 0,0203 0,3 1,0169 0,0203 0,4 1,027 0,0274 0,4 1,027 0,0274 0,5 1,0407 0,0347 0,5 1,0444 0,0348 0,6 1,0618 0,0425 0,6 1,0618 0,0425 0,7 1,0831 0,0505 Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 0,0203 0,0348 0,0507 47 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,7 1,0871 0,0507 0,8 1,1125 0,0593 0,8 1,1125 0,0593 0,9 1,1422 0,0685 0,9 1,1468 0,0688 1,1813 0,0788 1,1813 0,0788 0,0688 0,0788 Các giá trị gần nhận y0  1; y1  1,0067 ; y2  1,027 ; y3  1,0618 ; y4  1,1125 ; y5  1,1813 d, Ta có bảng sau i x y 0 0,1 0,002 0,1 0,001 0,002 0,2 0,002 0,008 0,2 0,0027 0,008 0,3 0,0067 0,018 0,3 0,0117 0,018 0,4 0,0207 0,0321 0,4 0,0214 0,0321 0,5 0,0375 0,0503 0,5 0,0466 0,0504 0,6 0,0718 0,073 0,6 0,0725 0,0365 0,7 0,0908 0,0996 0,7 0,1223 0,101 TrÇn Hồng Hạnh K35G SP Toán k hf ( x, y ) y 0,0027 0,0187 0,0511 0,0953 48 Khãa luËn tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,8 0,1735 0,134 0,8 0,1678 0,1336 0,9 0,2346 0,173 0,9 0,2543 0,1749 0,3427 0,2235 0,3433 0,2236 0,1755 0,2236 Các giá trị gần nhận y0  ; y1  0,0027 ; y2  0,0214 ; y3  0,0725 ; y4  0,1678 ; y5  0,3433 e, Ta có bảng sau i x y k  hf ( x, y ) y 0 0,0202 0,05 0,0224 0,05 0,0112 0,0224 0,1 0,0224 0,0317 0.1 0,0202 0,0317 0,15 0,0361 0,0389 0,15 0,0397 0,0389 0,2 0,0591 0,0451 0,2 0,0589 0,0451 0,25 0,0815 0,0507 0,25 0,0843 0,0507 0,3 0,1096 0,056 0,3 0,1096 0,056 0,35 0,1376 0,0611 0,35 0,1402 0,0611 0,4 0,1707 0,0662 Trần Hồng Hạnh –K35G SP To¸n 0,0387 0,0507 0,0611 49 Khãa luËn tèt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,4 0,1707 0,0662 0,45 0,2038 0,0712 0,45 0,2419 0,0729 0,5 0,2436 0,0766 0,5 0,2425 0,0766 0,0718 0,0766 Các giá trị gần nhận y0  ; y1  0,0202 ; y2  0,0589 ; y3  0,1096 ; y4  0,1707 ; y5  0,2425 Bài Giải toán y" xy' x  ; y (0)  ; y ' (0)  ; h  0,1 ; x  [0;0,5] Bài làm Đặt y '  z Bài toán tương đương với việc giải hệ phương trình cấp sau  y'  z  với điều kiện ban đầu y (0)  1; z (0)   z '   xz  x Từ giá trị ( y , z )  (1,1) muốn tính tiếp giá trị ( y i , z i ) , ta phải tính y i , z i Nghiệm tìm đoạn [0;0,5] với h  0,1 Đặt f  f ( x, y, z )  z ; g  g ( x, y, z )   xz  x , ta có bảng sau i x y z k  hf l  hg y z 1 0,1 0,0998 -0,0053 0,05 1,05 0,1 -0,0053 0,05 1,05 0,9974 0,0997 -0,0052 0,1 1,0997 0,9948 0,0995 -0,0109 0,1 1,0998 0,9947 0,0995 -0,0109 0,0987 -0,0171 0,15 1,1496 0,9893 0,0989 -0,0171 0,15 1,1493 0,9862 0,0986 -0,017 Trần Hồng Hạnh K35G SP To¸n 50 Khãa ln tèt nghiƯp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 0,2 1,1984 0,9777 0,0978 -0,0236 0,2 1,1985 0,9776 0,0978 -0,0236 0,25 1,2474 0,9658 0,0966 -0,0304 0,25 1,2468 0,9624 0,0962 -0,0303 0,3 1,2947 0,9473 0,0947 -0,0374 0,3 1,2949 0,9472 0,0947 -0,0374 0,35 1,3423 0,9285 0,0929 -0,0447 0,35 1,3414 0,9249 0,0925 -0,0446 0,4 1,3874 0,9026 0,0903 -0,0521 0,4 1,3875 0,9025 0,0903 -0,0521 0,45 1,4327 0,8765 0,0877 -0,0597 0,45 1,4314 0,8727 0,0873 -0,0595 0,5 1,4748 0,843 0,0843 -0,0672 0,5 1,4749 0,8429 0,0843 -0,0671 0,0964 -0,0304 0,0926 -0,0447 0,0874 -0,0596 0,0843 -0,0671 Các giá trị gần nhận  y0   y1  1,0998  y2  1,1985 ;  ; ;  z0   z1  0,9947  z2  0,9776  y3  1,2949  y4  1,3875  y5  1,4749 ; ;   , 8429 , 9472 , 9025 z  z  z    Bài tập tự giải Bài Bằng phương pháp Euler giải toán sau a, y '  y ; y (0)  1; h  0,1; x  [0;1] b, y '  x  y ; y (0)  ; h 0,1; x [0;0,5] Trần Hồng Hạnh –K35G SP To¸n 51 Khãa ln tèt nghiƯp NHD: TS.Ngun Văn Hùng Bi Bng phng phỏp Euler ci tin giải toán sau a, y '  sin x  cos y ; y (0)  ; h  0,1; x  [0;0,5] b, y '  x  y  ; y (1)  ; h  0,1; x  [ 1;0] Bài Bằng cơng thức Runge – Kutta với độ xác 0(h ) , giải gần toán sau a, y '  sin x  cos y ; y (0)  ; h  0,2 ; x  [0;1] b, y '  x  y ; y (0)  ; h  0,1; x  [0;0,5] Bài Giải toán a, y" xy' y  ; y (0)  ; y ' (0)  1; h  0,2 ; x  [0;1] b, y"0,2 y '10 sin y  ; y (0)  0,3 ; y ' (0)  ; h  0,1; x [0;0,5] Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 52 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng KT LUN Ngy nay, toán học ứng dụng dần phổ cập cách rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học phương trình vi phân theo hướng ngày ứng dụng rộng rãi Do đó, để đáp ứng nhu cầu thực tiễn phương pháp giải gần phương trình vi phân thường phải ngày tối ưu hóa mặt tính tốn mặt xác Trong khóa luận tốt nghiệp này, phần kiến thức số gần sai số, sai phân, phương trình vi phân thường, em nêu hai phương pháp thông dụng phương pháp giải gần phương trình vi phân là: phương pháp Euler Euler cải tiến; phương pháp Runge – Kutta, cuối số tập minh họa việc sử dụng hai phương pháp Các phương pháp giải gần phương trình vi phân phong phú nên em đề cập đến hai phương pháp Ngay hai phương pháp đề cập, lực thân có hạn với khn khổ khóa luận nên em sâu rộng Do đó, khóa luận cịn nhiều hạn chế, thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Cuối cùng, em xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thnh ti ny Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán 53 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng TI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội, 1996 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số, Nxb GD, 2000 Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật tốn, Nxb GD, 2000 Phan Văn Hạp, Các phương pháp gần đúng, ĐH & THCN, 1981 Phan Văn Hạp, Hồng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính, phần bi tp, KH & KTHN, 1996 Trần Hồng Hạnh K35G SP To¸n 54 ... 14 Phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm 16 Cách giải số phương trình vi phân cấp cao 18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24 §1 PHƯƠNG PHÁP... Hạnh K35G SP Toán 23 Khóa luận tốt nghiệp NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng Chng MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN Phương pháp Euler Từ điểm ban... tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Trong phương pháp đó, người ta phân làm nhóm: nhóm thứ gọi phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần dạng biểu thức giải tích,