Luận văn sư phạm Một số phương pháp xây dựng Borno cơ bản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******** PHẠM THỊ LAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BORNO CƠ BẢN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập trường q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Trong khn khổ có hạn khóa luận điều kiện mặt thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Lan i LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn, bảo tận tình thầy Trần Văn Bằng khố luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp em có sử dụng số tài liệu tham khảo nhà khoa học Em xin khẳng định kết đề tài "Một số phương pháp xây dựng borno bản" khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Lan ii Mục lục MỞ ĐẦU v Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ 1.2 Một số khái niệm liên quan đến borno Một số phương pháp xây dựng borno 2.1 Borno đầu 9 2.2 Borno tích 13 2.3 Borno cảm sinh: Không gian borno 14 2.4 Borno sinh họ tập 15 2.5 Giới hạn xạ ảnh 16 2.5.1 Họ xạ ảnh borno 16 2.5.2 Borno giới hạn xạ ảnh 18 2.6 Borno cuối 18 2.7 Borno thương 19 2.8 Giới hạn quy nạp borno 20 2.8.1 Họ quy nạp borno 20 2.8.2 Borno giới hạn quy nạp 22 2.9 Tổng trực tiếp borno: Borno hữu hạn chiều 22 iii 2.9.1 Tổng trực tiếp borno 22 2.9.2 Borno tổng trực tiếp borno tích 23 2.9.3 Tổng trực tiếp giới hạn quy nạp đặc biệt 24 2.9.4 Borno hữu hạn chiều 24 2.9.5 Không gian bù borno 24 2.10 Sự ổn định tính chất tách 25 2.11 Tập đóng borno: Tính chất tách thương borno 27 2.12 Không gian véctơ borno tách liên kết 29 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ra đời từ đầu kỷ 20 đến Giải tích hàm đạt nhiều thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức tốn học Giải tích hàm đưa vào chương trình Đại học phần bắt buộc, nhiên với lượng thời gian có hạn khó nghiên cứu sâu vào vấn đề Trong giải tích hàm lý thuyết topo phát triển sâu rộng gần có xuất thêm lý thuyết có tên lý thuyết Borno Cụ thể lý thuyết Borno lý thuyết "đối ngẫu" với lý thuyết Topo, lý thuyết topo xây dựng xuất phát từ khái niệm tập mở (hay lân cận) lý thuyết borno lại xây dựng xuất phát từ khái niệm tập bị chặn.Tuy nhiên hướng nghiên cứu lý thuyết tương đối giống Sau đưa khái niệm topo người ta tiếp tục xây dựng khái niệm khác như: khái niệm topo đầu xác định họ ánh xạ, topo cuối xác định họ ánh xạ, topo cảm sinh, khơng gian topo con, khơng gian topo tích, không gian topo thương tổng trực tiếp không gian topo Tương tự sau đưa khái niệm borno khái niệm khác có liên quan đến borno người ta xây dựng khái niệm gắn với borno Dưới góc độ sinh viên sư phạm khoa Toán với mong muốn có hiểu biết lý thuyết borno đặc biệt cách xây dựng borno từ borno biết gắn với phương pháp xây dựng khơng gian giải tích hàm nên em chọn đề tài "Một số phương pháp xây dựng borno bản" làm khóa luận tốt nghiệp đại học Bố cục khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Khóa luận trình bày số khái niệm không gian véctơ số khái niệm liên quan tới borno Chương 2: Khóa luận trình bày số phương pháp xây dựng borno từ borno biết Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên lý thuyết borno - Nghiên cứu số phương pháp xây dựng borno Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tập chung nghiên cứu borno phương pháp xây dựng borno từ borno biết Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp kiến thức vi Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ Định nghĩa 1.1 Cho I = ∅ tập số thứ tự có định hướng Tức I trang bị quan hệ thứ tự với cặp (i, j) ∈ I × I tồn k ∈ I : k ≥ i, k ≥ j Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ei )i∈I họ không gian véctơ xác định trường K Giả sử với cặp (i, j) ∈ I × I : i ≤ j tồn ánh xạ tuyến tính uji : Ei −→ Ej cho họ ánh xạ tuyến tính (uji ) thỏa mãn điều kiện đây: (i) Với i ∈ I , uii : Ei −→ Ei ánh xạ đồng Ei (ii) Với i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có uki = ukj ◦ uji Khi họ (Ei , uji ) gọi họ quy nạp không gian véctơ Định lý 1.1 Giả sử (Ei , uji ) họ quy nạp không gian véctơ xác định trường K Khi tồn khơng gian véctơ E K ánh xạ tuyến tính ui : Ei −→ E thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) ui = uj ◦ uji , ∀i ≤ j (ii) Với không gian véctơ F họ ánh xạ tuyến tính vi : Ei −→ F cho vi = vj ◦ uji , ∀i ≤ j tồn ánh xạ tuyến tính v : E −→ F thỏa mãn: vi = v ◦ ui , ∀i ∈ I Khi E nhất, sai khác đẳng cấu với F E gọi giới hạn quy nạp họ quy nạp không gian véctơ (Ei , uji ) Định nghĩa 1.3 Giả sử (Ei )i∈I họ không gian véctơ xác định trường K Giả sử với cặp (i, j) ∈ I × I : i ≤ j tồn ánh xạ tuyến tính pij : Ej −→ Ei họ ánh xạ tuyến tính (pij ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với i ∈ I, pii ánh xạ đồng Ei (ii) Với i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có pik = pij ◦ pjk Khi họ (Ei , pij ) gọi họ xạ ảnh không gian véctơ Định lý 1.2 Giả sử (Ei , pij ) họ xạ ảnh không gian véctơ xác định trường K Khi tồn khơng gian véctơ E K ánh xạ tuyến tính pi : E −→ Ei thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) pi = pij ◦ pj , ∀i ≤ j (ii) Với không gian véctơ F họ ánh xạ tuyến tính qi : F −→ Ei cho qi = pij ◦ qj , ∀i ≤ j tồn ánh xạ tuyến tính q : F −→ E thỏa mãn: qi = pi ◦ q, ∀i ∈ I Khi không gian véctơ E nhất, sai khác đẳng cấu với không gian véctơ F E gọi giới hạn xạ ảnh họ xạ ảnh không gian véctơ (Ei , pij ) Định nghĩa 1.4 Giả sử E không gian véctơ xác định trường K A ⊂ E Khi ta nói: (i) A tập trịn ∀λ ∈ K : |λ| ≤ ta có λA ⊂ A (ii) A tập lồi ∀λ, µ ∈ R+ : λ + µ = ta có λA + µA ⊂ A (iii) A tập đĩa A vừa lồi, vừa tròn (iv) Bao tròn (tương ứng: bao lồi, tương ứng: bao đĩa) tập A tập tròn (tương ứng: tập lồi, tương ứng: tập đĩa) nhỏ chứa A Mệnh đề 1.1 Giả sử E không gian véctơ xác định trường K A ⊂ E Khi bao lồi A E tập: n n coA = i=1 λi xi , λi ≥ 0, xi ∈ A, ∀i = 1, n, λi = i=1 Mệnh đề 1.2 Cho E không gian véctơ xác định trường K λA Khi bao trịn tập A ⊂ E tập hợp có dạng: |λ|≤1 Định nghĩa 1.5 Giả sử E không gian véctơ xác định trường K Một nửa chuẩn E ánh xạ p : E −→ R thỏa mãn tiên đề Ví dụ 2.2 Theo ví dụ 2.1 ta thấy X1 = R3 , X2 = R2 , X3 = R không gian véctơ borno (tương ứng: không gian borno lồi) với borno thông thường tương ứng R3 , R2 , R tất ánh xạ (uij ) ánh xạ tuyến tính bị chặn Do họ (Xi , uij ) họ xạ ảnh không gian véctơ borno (tương ứng: không gian véctơ borno lồi) 2.5.2 Borno giới hạn xạ ảnh Định nghĩa 2.9 Giả sử (Xi , uij ) họ xạ ảnh tập borno (tương ứng: không gian véctơ borno, tương ứng: không gian véctơ borno lồi) cho X tập (tương ứng: không gian véctơ) Với i ∈ I , ta ký hiệu ßi borno Xi ui : X −→ Xi phép chiếu tắc từ X lên Xi Khi borno giới hạn xạ ảnh X borno ßi borno đầu X xác định ánh xạ ui X với borno giới hạn xạ ảnh X gọi giới hạn xạ ảnh borno họ xạ ảnh borno (Xi , uij ) Ký hiệu là: (Xi , uij ) X = lim ←− i∈I Nhận xét 2.4 Borno tích trường hợp riêng giới hạn xạ ảnh borno 2.6 Borno cuối Định lý 2.2 Cho I = ∅ tập số, (Xi , ßi )i∈I họ tập borno X tập hợp Giả sử với i ∈ I , vi : Xi −→ X ánh xạ cho trước Gọi ß borno X sinh họ A = vi (ßi ) đó: i∈I (i) ß borno mịn X cho ánh xạ vi bị chặn (ii) Nếu X không gian véctơ với i ∈ I, Xi không gian véctơ ßi borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi), vi ánh xạ tuyến tính borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) X sinh A borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) mịn X cho ánh xạ vi bị chặn 18 Định nghĩa 2.10 Borno ß X xây dựng Định lý 2.2 (i) (tương ứng: Định lý 2.2 (ii)) gọi borno cuối (tương ứng: borno véctơ cuối, tương ứng: borno lồi cuối) X xác định ánh xạ vi Nhận xét 2.5 Giả sử Y tập borno, X trang bị với borno cuối xác định ánh xạ vi Khi đó, ánh xạ v : X −→ Y bị chặn v ◦ vi bị chặn, ∀i ∈ I Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử v : X −→ Y ánh xạ bị chặn vi : Xi −→ X bị chặn, ∀i ∈ I Khi đó, ta chứng minh v ◦ vi : Xi −→ Y ánh xạ bị chặn Thật vậy, giả sử A bị chặn Xi ⇒ vi (A) bị chặn X (vì vi bị chặn) ⇒ v(vi (A)) bị chặn Y (vì v bị chặn) ⇒ (v ◦ vi )(A) bị chặn Y ⇒ (v ◦ vi ) bị chặn Điều kiện đủ: Giả sử v ◦ vi bị chặn với i ∈ I ta phải chứng minh: v bị chặn Thật vậy, giả sử A bị chặn Xi ⇒ vi (A) bị chặn X với i ∈ I Mặt khác, A bị chặn Xi mà v ◦ vi bị chặn với i ∈ I nên (v ◦ vi )(A) bị chặn Y ⇒ v(vi (A)) bị chặn Y với vi (A) tập bị chặn X Do v ánh xạ bị chặn 2.7 Borno thương Định nghĩa 2.11 Cho (X, ß) tập borno ϕ : X −→ Y ánh xạ từ X lên Y Khi borno ảnh ß qua ánh xạ ϕ borno cuối Y xác định ánh xạ ϕ Nhận xét 2.6 Với ký hiệu Định nghĩa 2.11 Khi borno ảnh ß qua ánh xạ ϕ borno cuối Y xác định ánh xạ ϕ ϕ(ß) sở borno ảnh ß qua ϕ Hơn nữa, (X, ß) khơng gian véctơ borno (tương ứng: khơng gian véctơ borno lồi), Y không gian véctơ ϕ ánh xạ tuyến tính borno ảnh ß borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) Chứng minh Ta có borno ảnh ß borno cuối Y xác định ánh xạ ϕ Mà ϕ ánh xạ lên nên theo Định lý 2.2 sở borno ảnh ϕ(ß) Hơn nữa, (X, ß) khơng gian véctơ borno (tương ứng: 19 không gian véctơ borno lồi), Y không gian véctơ ϕ ánh xạ tuyến tính theo Định lý 2.2 (ii) borno ảnh ß borno véctơ (tương ứng: borno lồi) Định nghĩa 2.12 Cho Y tập thương X theo quan hệ tương đương Ta ký hiệu ϕ ánh xạ tắc từ X lên Y Khi Y với borno ảnh ß qua ánh xạ ϕ gọi thương borno (X, ß) borno ϕ (ß) gọi borno thương ß theo quan hệ tương đương cho Nhận xét 2.7 Nếu X = E không gian véctơ borno (tương ứng: không gian borno lồi) Y tập thương E/F , F khơng gian véctơ E borno ảnh ß borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) 2.8 Giới hạn quy nạp borno 2.8.1 Họ quy nạp borno Định nghĩa 2.13 Giả sử I = ∅ tập số định hướng, (Xi , vji ) họ quy nạp tập hợp cho với i ∈ I, Xi tập borno với borno ßi Khi họ (Xi , vji ) gọi họ quy nạp tập borno ánh xạ vji : Xi −→ Xj bị chặn, ∀i ≤ j Ví dụ 2.3 Cho I = {1, 2, 3}, X1 = R, X2 = R2 , X3 = R3 gọi ß1 , ß2 , ß3 borno thông thường X1 , X2 , X3 Xét cặp số (1, 2) tồn ánh xạ tuyến tính (vji ) v31 : X1 −→ X3 x −→ (x, 0, 0) v32 : X2 −→ X3 (x, y) −→ (x, y, 0) v21 : X1 −→ X2 x −→ (x, 0) 20 gọi vii : Xi −→ Xi ánh xạ đồng Xi , ∀i = 1, Khi họ (Xi , vji ) họ quy nạp tập Xi Thật vậy, ta cần kiểm tra điều kiện v31 = v32 ◦ v21 Ta có (v32 ◦ v21 )(x) = v32 (v21 (x)) = v32 (x, 0) = (x, 0, 0) = v31 (x) ⇒ (v31 )(x) = (v32 ◦ v21 )(x), ∀x ⇒ v31 = v32 ◦ v21 Tiếp theo để chứng minh (Xi , vji ) họ quy nạp tập borno ta phải chứng minh vji : Xi −→ Xj ánh xạ bị chặn, ∀i ≤ j Thật vậy, Xi tập borno ⇒ ánh xạ đồng tập borno ánh xạ bị chặn Tức vii : Xi −→ Xi ánh xạ bị chặn, ∀i = 1, Do ta phải chứng minh: v21 , v31 , v32 ánh xạ bị chặn (+) Ta chứng minh v21 : X1 −→ X2 ánh xạ bị chặn Ta có ß1 = {A ⊂ R : ∃M > : |x| ≤ M, ∀x ∈ A} Khi đó, ∀A ∈ ß1 ⇒ A bị chặn X1 ⇒ ∃M > : |x| ≤ M, ∀x ∈ A √ ⇒ ||v21 (x)|| = ||(x, 0)|| = x2 + 02 = |x| ≤ M, ∀x ∈ A ⇒ ||v21 (x)|| ≤ M, ∀x ∈ A ⇒ v21 (A) bị chặn X2 Do v21 ánh xạ bị chặn (+) Tương tự ta chứng minh v31 : X1 −→ X3 bị chặn Thậy vậy, ∀A ∈ ß1 ⇒ A bị chặn X1 ⇒ ∃N > : |x| ≤ N, ∀x ∈ A √ Ta có: ||v31 (x)|| = ||(x, 0, 0)|| = x2 + 02 + 02 = |x| ≤ N, ∀x ∈ A ⇒ ||v31 (x)|| ≤ N, ∀x ∈ A ⇒ u31 (A) bị chặn X3 Do v31 ánh xạ bị chặn (+) Cuối ta chứng minh v32 : X2 −→ X3 ánh xạ bị chặn Ta có ß2 = {A ⊂ R2 : ∃M > : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A} Khi đó, ∀A ∈ ß2 ⇒ A bị chặn X2 ⇒ ∃M > : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A ⇔ ∃M > : x21 + x22 ≤ M, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ A ⇒ ||v32 (x1 , x2 )|| = ||(x1 , x2 , 0)|| = x21 + x22 ≤ M, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ A ⇒ ||v3 (x1 , x2 )|| ≤ M, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ A ⇒ v32 (A) bị chặn X3 ⇒ v32 ánh xạ bị chặn Như họ tất ánh xạ (vji ) ánh xạ bị chặn, ∀i ≤ j Do họ (Xi , vji ) họ xạ ảnh tập borno Định nghĩa 2.14 Nếu Xi không gian véctơ borno (tương ứng không gian borno lồi) tất ánh xạ vji ánh xạ tuyến tính bị 21 chặn họ (Xi , vji ) gọi họ xạ ảnh không gian véctơ borno (tương ứng: họ xạ ảnh không gian véctơ borno lồi) Ví dụ 2.4 Theo Ví dụ 2.3 ta thấy X1 = R, X2 = R2 , X3 = R3 không gian véctơ borno (tương ứng: không gian borno lồi) với borno thông thường R, R2 , R3 tất ánh xạ (vji ) ánh xạ tuyến tính bị chặn Do họ (Xi , vji ) họ quy nạp không gian véctơ borno (tương ứng: không gian véctơ borno lồi) 2.8.2 Borno giới hạn quy nạp Giả sử (Xi , vji ) họ quy nạp tập borno (tương ứng không gian véctơ borno, tương ứng: không gian borno lồi) cho X tập (tương ứng: không gian véctơ) Với i ∈ I , ta gọi ßi borno Xi vi : Xi −→ X ánh xạ tắc từ Xi vào X Khi borno giới hạn quy nạp X tương ứng với borno ßi borno cuối X xác định ánh xạ vi Với i ∈ I , đặt vi (ßi ) = {vi (Ai ) : Ai ∈ ßi } Khi họ ß = vi (ßi ) i∈I borno cuối X borno ß gọi borno giới hạn quy nạp họ quy nạp tập borno (Xi , vji ) Nếu (Xi , vji ) họ quy nạp không gian véctơ borno (tương ứng khơng gian borno lồi) theo Định lý 2.2 borno giới hạn quy nạp X borno véctơ (tương ứng: borno véctơ lồi) X với borno giới hạn quy nạp gọi giới hạn quy nạp borno họ quy nạp borno (Xi , vij ) ký hiệu là: X = lim (Xi , vij ) −→ i∈I 2.9 Tổng trực tiếp borno: Borno hữu hạn chiều 2.9.1 Tổng trực tiếp borno Định nghĩa 2.15 Cho I = ∅ tập số (Ei )i∈I họ không gian véctơ borno Giả sử E tổng trực tiếp không gian 22 véctơ Ei Với i ∈ I , ta gọi ßi borno Ei vi : Ei −→ E ánh xạ tắc từ Ei vào E Khi borno tổng trực tiếp borno ßi borno véctơ cuối E xác định ánh xạ vi E với borno tổng trực tiếp gọi tổng trực tiếp borno không gian Ei ký hiệu là: Ei E= i∈I Mệnh đề 2.6 Cho I = ∅ tập số hữu hạn Khi đó, họ tất tập E có dạng B = Bi Bi ∈ ßi , ∀i ∈ I i∈I sở borno tổng trực tiếp Chứng minh Họ tất tổng phủ E , ổn định phép cộng hữu hạn phép nhân với vơ hướng, bao gồm tập trịn, sở borno véctơ ß cho với borno ánh xạ vi bị chặn Điều ß chứa borno véctơ sinh vi (ßi ) Tuy nhiên i∈I Bi (do ánh xạ vi đơn vi (ßi ) chứa tất tổng hữu hạn có dạng i∈I i∈I ánh) borno trùng Như vậy, họ tất tập E có dạng B = Bi Bi ∈ ßi , ∀i ∈ I sở borno tổng i∈I trực tiếp E 2.9.2 Borno tổng trực tiếp borno tích Cho (Ei )i∈I họ khơng gian véctơ borno Đặt F = tích borno E = i∈I Ei i∈I Ei tổng trực tiếp borno (Ei )i∈I Rõ ràng E không gian véctơ F E borno tổng trực tiếp mịn borno cảm sinh F Khi borno trùng I tập số hữu hạn Thật vậy, trường hợp ta giả sử (Ei )i∈I gồm 23 phần tử E1 E2 Khi ánh xạ tắc: E1 × E2 −→ E1 E2 (x1 , x2 ) −→ x1 + x2 đẳng cấu borno Do borno E F trùng 2.9.3 Tổng trực tiếp giới hạn quy nạp đặc biệt Giả sử F họ tất tập hữu hạn I thứ tự theo quan hệ bao hàm Với J ∈ F(I) ta đặt EJ = Ei , i∈J EJ tổng trực tiếp borno không gian véctơ borno (Ei )i∈J Với J ⊂ J ′ ta ký hiệu uJ ′ J phép nhúng tắc từ EJ vào EJ ′ Khi EJ , uJ ′ J họ quy nạp không gian véctơ borno E = lim EJ , uJ ′ J → − 2.9.4 Borno hữu hạn chiều Giả sử E không gian véctơ xác định K Về phương diện Đại số E đẳng cấu với tổng trực tiếp K(I) không gian véctơ K đánh số tập I Do đồng E K(I) xét E borno tổng trực tiếp borno tắc K khơng gian E trở thành giới hạn quy nạp borno không gian hữu hạn chiều Kn , n ∈ N Borno gọi borno hữu hạn chiều E , borno borno véctơ mịn E borno véctơ lồi 2.9.5 Không gian bù borno Giả sử E không gian véctơ borno M, N hai không gian E cho E tổng trực tiếp đại số M N Tức là, E = M N Bây ta trang bị cho M, N borno cảm sinh E Khi ta nói M N không gian bù borno E M 24 (tương ứng: N ) phần bù borno N (tương ứng: M ) E E tổng trực tiếp borno M N Mệnh đề 2.7 E tổng trực tiếp borno M N phép chiếu lên không gian M, N ánh xạ bị chặn Chứng minh Thật vậy, giả sử E tổng trực tiếp borno M N , gọi pM (tương ứng: pN ) phép chiếu E lên M (tương ứng: N ) Vì sở borno E bao gồm tập có dạng A B với A B tập bị chặn M N Do đó, ⇒ pM (A B) = A pN (A B) = B Mà A, B tập bị chặn M (tương ứng: N ) ⇒ pM , pN ánh xạ bị chặn Ngược lại: Giả sử pM bị chặn pN bị chặn Thật vậy, ta có: pM + pN ánh xạ đồng E E không gian véctơ borno Mà ánh xạ đồng tập borno ánh xạ bị chặn Do đó, pM + pN ánh xạ bị chặn Hơn nữa, pM ánh xạ bị chặn nên pN ánh xạ bị chặn Tương tự, pN ánh xạ bị chặn pM ánh xạ bị chặn Bây giờ, giả sử C tập bị chặn E pM (C) pN (C) bị chặn M N Do C ⊂ pM (C) pN (C) nên C tập bị chặn borno tổng trực tiếp Chứng tỏ borno E mịn borno tổng trực tiếp Nhưng borno tổng trực tiếp rõ ràng mịn borno E , tổng hai tập hợp bị chặn E tập bị chặn Bởi hai borno trùng nhau.Tức là, borno E borno tổng trực tiếp Vậy E tổng trực tiếp borno M N 2.10 Sự ổn định tính chất tách Trong mục ta nghiên cứu tính chất tách borno Ở ta ký hiệu I tập số khác rỗng Mệnh đề 2.8 Giả sử (Ei , ßi )i∈I họ không gian véctơ borno tách, E không gian véctơ với i ∈ I, ui : E −→ Ei ánh xạ tuyến tính Khi borno đầu E xác định ánh xạ ui borno tách với x ∈ E, x = 0, ∃i ∈ I : ui (x) = 25 Chứng minh Điều kiện cần: Gọi ß borno đầu E xác định ánh xạ ui ⇒ ß = {A ⊂ X : ui (A) ∈ ßi , ∀i ∈ I} Giả sử ß borno tách, x ∈ E, x = ta phải ra, ∃i ∈ I : ui (x) = Thật vậy, ß borno tách hay E không gian tách nên {0} không gian bị chặn E Do dường thẳng L sinh x không bị chặn E ⇒ ∃i ∈ I : ui (L) không bị chặn Ei Mà Ei không gian tách, ∀i ∈ I ⇒ ∃i ∈ I : ui (x) = Điều kiện đủ: Giả sử, ∀x ∈ E, x = ⇒ ∃i ∈ I : ui (x) = Khi ta phải chứng minh E không gian tách Tức là, giả sử M không gian bị chặn E , ta phải M = {0} Thật vậy, ∀M ∈ ß ⇒ ui (M ) ∈ ßi , ∀i ∈ I ⇒ ui (M ) tập bị chặn Ei , ∀i ∈ I Hơn với i ∈ I, ui (M ) khơng gian Ei Vì với mỗi, ui (x), ui (y) ∈ ui (M ), ∀λ ∈ K ta có: (i) ui (x) + ui (y) = ui (x + y) (vì ui ánh xạ tuyến tính) ⇒ ui (x + y) ∈ u(M ) (vì M khơng gian con) (1) (ii) λui (x) = ui (λx) (vì ui ánh xạ tuyến tính) ⇒ λui (x) ∈ ui (M ) (vì M không gian con) (2) Từ (1) (3) ⇒ ui (M ) không gian Ei , ∀i ∈ I Vậy ui (M ) không gian bị chặn Ei , ∀i ∈ I ⇒ ui (M ) = {0}, ∀i ∈ I(3) Mặt khác, ∀x ∈ E, x = ⇒ ∃i ∈ I : ui (x) = Mà Mệnh đề lại tương đương với Mệnh đề sau: ∀i ∈ I : ui (x) = ⇒ ∃x ∈ E : x = Do từ (3) suy M = {0} Vậy E không gian tách hay borno đầu E borno tách Hệ 2.1 (i) Tích không gian véctơ borno tách tách (ii) Mọi không gian borno không gian véctơ borno tách tách (iii) Giao không gian véctơ borno tách tách (iv) Giới hạn xạ ảnh không gian véctơ borno tách tách Mệnh đề 2.9 Giả sử E = lim (Ei , vji ) giới hạn quy nạp borno −→ không gian véctơ borno tách Nếu tất ánh xạ vji đơn ánh E tách 26 Chứng minh Thật vậy, tập hợp bị chặn E tập bị chặn khơng gian tách Ei Do tập bị chặn E tập gồm phần tử {0} Tức E không gian tách Mệnh đề 2.10 Tổng trực tiếp borno không gian véctơ borno tách tách Chứng minh Theo Mục 2.9.3 tổng trực tiếp giới hạn quy nạp đặc biệt Nên tổng trực tiếp borno không gian véctơ borno tách giới hạn quy nạp borno khơng gian véctơ borno tách Do theo Mệnh đề 2.9 tổng trực tiếp borno không gian véctơ borno tách tách Nhận xét 2.8 Nếu E = Ei Ei khơng gian véctơ borno i∈I tách phép chiếu pi : E −→ Ei bị chặn, ∀i ∈ I 2.11 Tập đóng borno: Tính chất tách thương borno Định nghĩa 2.16 Giả sử E không gian véctơ borno Tập A ⊂ E gọi đóng borno Mackey - đóng (viết tắt: b - đóng, M M đóng) nếu, ∀ (xn )n∈N ⊂ A mà xn → x E ta có x ∈ A Nhận xét 2.9 Nếu E không gian borno lồi tập A ⊂ E b - đóng với đĩa bị chặn B ⊂ E A ∩ EB đóng EB Nhận xét trực tiếp từ đặc trưng dãy hội tụ theo borno không gian lồi địa phương (theo Mệnh đề 1.3) Nhận xét 2.10 Ta rằng: Tồn topo E có tập đóng tập b - đóng E Nhận xét 2.11 Giả sử E, F không gian véctơ borno giả sử u : E −→ F ánh xạ tuyến tính bị chặn Khi nghịch ảnh qua u tập b - đóng F tập b - đóng E M M Vì xn → x E nên u(xn ) → u(x) F Mệnh đề 2.11 Một không gian véctơ borno E tách khơng gian véctơ {0} b - đóng E 27 Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử E không gian véctơ borno tách đặt A = {0} Giả sử (xn ) dãy A hội tụ tới phần tử x E Mặt khác, xn = 0, ∀ n nên dãy hội tụ tới E Do theo Mệnh đề 1.4 tồn giới hạn borno không gian tách ta có: x = ⇒ x ∈ A M Như vậy, ∀(xn ) ⊂ A : xn → x E ta có x ∈ A Do khơng gian véctơ {0} b - đóng E Điều kiện đủ: Giả sử {0} b - đóng E (xn ) dãy hội M M tụ theo borno tới phần tử x y E Tức là, xn → x xn → y E Khi dãy xn − xn = hội tụ tới x − y theo borno Mặt khác, {0} b - đóng E nên x − y = ⇒ x = y Tức giới hạn dãy hội tụ theo borno E Do theo Mệnh đề 1.4 khơng gian véctơ borno E tách Tiếp theo đưa tiêu chuẩn tách borno thương Mệnh đề 2.12 Giả sử E không gian véctơ borno M không gian E Khi thương E/M tách M đóng borno E Chứng minh Nếu E/M tách {0} b - đóng E/M Nếu ϕ : E → E/M ánh xạ tắc M = ϕ−1 (0) b - đóng E Ngược lại, giả sử M b - đóng E H không gian bị chặn E/M Để chứng minh E/M tách ta phải chứng minh: H = {0} Thật vậy, giả sử ϕ(x) ∈ H, x ∈ E tồn tập trịn, bị chặn A ⊂ E cho Kϕ(x) ⊂ ϕ(A) ⇒ Kx ⊂ A + M Do với n ∈ N, nx ∈ A + M ⇒ ∃ (xn ) ⊂ M : nx − xn ∈ A xn M ⇒ (x − yn ) ∈ A yn = ∈ M ⇒ yn −→ x n n Vì M b - đóng nên x ∈ M ⇒ ϕ (x) = Mà ϕ (x) ∈ H, ∀x ∈ E ⇒ H = {0} Vậy thương E/M tách 28 2.12 Không gian véctơ borno tách liên kết Với không gian véctơ borno E liên kết với không gian véctơ borno tách E˙ ánh xạ tắc từ E vào E˙ cho với ánh xạ tuyến tính bị chặn từ E vào khơng gian véctơ tách phân tích Trước hết cần đến khái niệm bao đóng borno Định nghĩa 2.17 Giả sử E khơng gian véctơ borno Khi bao đóng borno (viết tắt: b - bao đóng, M - bao đóng) tập A ⊂ E kí hiệu A giao tất tập đóng borno E chứa A Nhận xét 2.12 Rõ ràng E tập b - đóng chứa A giao tập b - đóng lại b - đóng nên b - bao đóng A tập b - đóng nhỏ chứa A Nhận xét 2.13 b - bao đóng tập E trùng với bao đóng theo topo E Mệnh đề 2.13 Giả sử E khơng gian véctơ borno Khi b - bao đóng khơng gian E không gian Chứng minh Theo định nghĩa, với tập b - đóng A ⊂ E với x ∈ E tập AX = {z ∈ E : (x + z) ∈ A} b - đóng E Bây giả sử F không gian E , F bao đóng F x, y ∈ F Nếu a phần tử F tập Fa b -đóng E chứa F nên phải chứa F Do (a + y) ∈ F , ∀a ∈ F Tiếp theo ta có tập F y b - đóng chứa F ⇒ Fy ⊃ F ⇒ (x + y) ∈ F Khi đó, ∀λ ∈ K, ánh xạ x → x từ E vào E ánh xạ tuyến tính bị chặn nên nghịch ảnh tập b - đóng qua ánh xạ tập b đóng (Nhận xét 2.11) Do tập z ∈ E : λz ∈ F tập b - đóng E chứa F chứa F ⇒ λx ∈ F , ∀x ∈ F , λ ∈ K Vậy F không gian Nhận xét 2.14 Nói chung phần tử b - bao đóng tập A ⊂ E khơng phải giới hạn borno dãy A kể A 29 không gian E Mệnh đề 2.14 Giả sử E không gian véctơ borno, {0} b - bao đóng {0} E , E˙ thương E/{0} ϕ : E −→ E˙ ánh xạ tắc Khi đó: (i) E˙ khơng gian véctơ borno tách (ii) Với ánh xạ tuyến tính bị chặn từ E vào không gian véctơ borno tách G tồn ánh xạ tuyến tính bị chặn u˙ : E˙ −→ G cho u = u˙ ◦ ϕ Định nghĩa 2.18 Không gian E˙ Mệnh đề 2.14 gọi không gian véctơ borno tách liên kết với không gian E ánh xạ ϕ : E −→ E˙ ánh xạ tắc từ E vào E˙ 30 KẾT LUẬN Trong khóa luận em tập chung nghiên cứu "Một số phương pháp xây dựng borno bản" Đóng góp khóa luận trình bày cách có hệ thống, chi tiết hóa số Định lý, Mệnh đề, Nhận xét như: Định lý 2.1, Mệnh đề 1.4, Mệnh đề 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.8, 2.11, Nhận xét 2.5, tìm hiểu thêm số khái niệm đưa ví dụ minh họa cho khái niệm mà chương trình Đại học chưa đề cập tới mối liên hệ chúng với kiến thức có liên quan đến đề tài Như nói đề tài hồn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, lần em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy tổ giải tích nói riêng đặc biệt thầy Trần Văn Bằng - Người thầy tận tình giúp đỡ, bảo cho em suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế mặt thời gian kiến thức nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để đề tài em hoàn Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy - Hồng Ngọc Tuấn - Nguyễn Văn Tun (2007), Giáo trình topo đại cương độ đo tích phân, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Leopoldo Nachbin (1977), Bornologies and Function Analysis, North - Holland 32 ... Chương Một số phương pháp xây dựng borno Chương trình bày phương pháp để xây dựng borno từ borno biết gắn với phương pháp xây dựng không gian giải tích hàm 2.1 Borno đầu Định lý 2.1 Cho I = ∅ tập số, ... - Nghiên lý thuyết borno - Nghiên cứu số phương pháp xây dựng borno Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tập chung nghiên cứu borno phương pháp xây dựng borno từ borno biết Phương pháp nghiên cứu Đọc... xây dựng borno từ borno biết gắn với phương pháp xây dựng không gian giải tích hàm nên em chọn đề tài "Một số phương pháp xây dựng borno bản" làm khóa luận tốt nghiệp đại học Bố cục khóa luận bao