Phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần trong toán phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp A.MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong mơn học Tốn học có vị trí bật, có nguồn gốc từ thực tiễn, có mặt khắp nơi chìa khố hầu hết hoạt động người, mơn học giúp mở rộng kiến thức để bước vào sống Đặc biệt chương trình phổ thơng, Tốn mơn khoa học cơng cụ giúp học sinh rèn luyện trí thơng minh Và để giúp học sinh nắm vững “chìa khố” tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo để ứng dụng Toán học vào sống tốn trường phổ thơng phương tiện hiệu khơng thể thay Việc giải tốn coi mục tiêu ban đầu cấu trúc Toán học phần chia tách hoạt động Toán học Giải toán giúp học sinh rèn luyện kĩ suy luận tư logic, khả sáng tạo, rèn luyện tính kiên trì đồng thời giúp học sinh củng cố, tổng hợp kiến thức Trong chương trình phổ thơng học sinh gặp nhiều tốn chứng minh có nhiều phương pháp chứng minh để giải toán Mỗi phương pháp có hay mạnh riêng với dạng Trong khố luận tơi xin đề cập đến hai phương pháp chứng minh hữu ích hay dùng lập luận Tốn học với toán mà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp đơi khó giải Với mong muốn giúp cho thân bạn sinh viên có hệ thống cách khoa học hai phương pháp chứng minh hay Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thị Thu Hiền sử dụng chứng minh gián tiếp qua giúp cho việc đào sâu, mở rộng kiến thức có ích Từ vận dụng hai phương pháp chứng minh phổ biến giảng dạy tốn trường phổ thơng Đó lí tơi chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TỐN PHỔ THƠNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần tốn phổ thơng thơng qua số tốn Nhận dạng số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng toán sử dụng phương pháp chứng minh loại dần, từ góp phần nâng cao kỹ giải toán phát triển lực chứng minh toán học, nâng cao chất lượng dạy học NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần - Nghiên cứu số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng loại dần vào giải số toán ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Phạm vi nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng loại dần chương trình tốn phổ thơng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm CẤU TRÚC KHỐ LUẬN Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khố luận có hai chương: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần tốn phổ thơng B.NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 CHỨNG MINH TOÁN HỌC VÀ CÁC YÊU CẦU CỦA CHỨNG MINH TOÁN HỌC 1.1.1 Thế chứng minh Định nghĩa: Giả sử G tập hợp mệnh đề toán học  mệnh đề tốn học Ta nói  chứng minh từ giả thiết G, tồn dãy hữu hạn mệnh đề toán học A1, A2,…, An (1) cho yêu cầu sau thoả mãn a) An  b) Với i, i=1, 2,…, n, A tiên đề định nghĩa định lý phần tử tập G suy từ mệnh đề đứng trước dãy (1) nhờ vào quy tắc hay suy luận logic Nói cách khác, q trình suy diễn xác nhận tính chất thực bác bỏ mệnh đề nhờ vào mệnh đề biết gọi chứng minh 1.1.2 Cấu trúc chứng minh Mỗi chứng minh gồm thành phần: 1) Luận đề mệnh đề cần chứng minh 2) Luận mệnh đề mà dựa vào để suy mệnh đề phải chứng minh 3) Luận chứng quy tắc suy luận logic dùng chứng minh 1.1.3 Yêu cầu chứng minh a) Yêu cầu logic luận đề Mệnh đề đứng sau chứng minh thiết mệnh đề cần chứng minh An ≡  Nghĩa luận đề không tráo đổi, không thay mệnh đề không tương đương logic b) Yêu cầu logic luận chứng Việc rút mệnh đề từ mệnh đề trước q trình chứng minh phải theo quy tắc suy diễn logic c) Yêu cầu logic luận Mỗi mệnh đề chứng minh phải tiên đề, định nghĩa, định lý, mệnh đề giả thiết, hệ logic mệnh đề đứng trước trình chứng minh rút nhờ quy tắc suy luận logic, nghĩa luận phải mệnh đề 1.2 CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 1.2.1 Định nghĩa Phép chứng minh mệnh đề thơng qua bác bỏ mệnh đề phủ định gọi phép chứng minh phản chứng Nghĩa để chứng minh mệnh đề A ⇒ B, người ta bác bỏ mệnh đề A¯ ¯⇒¯ ¯ B¯ gọi phép chứng minh mệnh đề A ⇒ B Mục tiêu Mục tiêu phép chứng minh phản chứng bác bỏ mệnh đề phủ định mệnh đề cần chứng minh Vậy có ba số x, y, z lớn mà thoả mãn điều điện đề Chú ý: Khi sử dụng phép chứng minh loại dần ta phải bác bỏ k – khả năng, khả lại khả xảy Cần lưu ý việc chứng tỏ mệnh đề có k khả xảy bác bỏ k – khả cho phép khẳng định xảy khả thứ k mà không cần phải chứng minh với khả Tuy nhiên, việc bác bỏ k – khả chứng tỏ xảy với khả lại xem phép chứng minh loại dần, thực chất phép chứng minh phép chứng minh qui nạp hồn tồn, ta xét ví dụ: x x x Ví dụ 5: Giải phương trình   (*) Giải: 2 x = nghiệm phương trình    x   x + Nếu x > 2, chia vế (*) cho ta       5 5 3x 32 4 x 4 Mặt khác, ta lại có:           5  5   5  5     x      x            5        5 Vậy x > không nghiệm Tương tự với x < không nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = *BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn: a cos A + b cos B = c cos C Trong khẳng định sau có khẳng định đúng, tìm khẳng định đó: a, Tam giác vuông A b, Tam giác vuông B c, Tam giác vuông C d, Tam giác thường x  3x 1 y Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình Bài 3: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với Bài 4: Cho ∆ABC Gọi (α) mặt phẳng vng góc với đường thẳng CA ti A v (ỵ) l mt phng vuụng gúc với đường thẳng CB B Chứng minh hai mt phng () v (ỵ) ct v giao tuyn d chúng vng góc với mặt phẳng (ABC) Bài 5: Với đoạn thẳng a, b, c thoả mãn: 2 2 2 4 a b  b c  c a  (a  b  c ) (*) dựng tam giác HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: d Bài 2: Ta nhận thấy rõ ràng ( x 0, y 1) ( x  0, y  1) nghiệm phương trình Ta chứng minh hai nghiệm Thật vậy: +Với x  , ta có: 6 3 (x  1)  x  2x 1 x  3x 1 y  x  4x   (x  2) 3  x  1 y  x  (vơ lí) +Với x   , ta có: 6 3 (x  2)  x  3x 1 y  x  2x 1 (x 1)  x 2y  x  (vơ lí) +Với x  1, y  1: phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm ngun (0,1) (0, -1) Bài 3: Cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song với Giả sử (R)  (P) = a Do a  (P)  (R) ≠ (Q)  Hoặc (R) // (Q) (R)  (Q) Chứng minh xảy trường hợp (R)  (Q) Bài 4: Hai mặt phẳng (α) v (ỵ) khụng th C trựng vỡ nu () (ỵ) thỡ t im C ta dng c hai đường thẳng CA, CB vng góc với mặt phẳng, điều vơ lí (hình vẽ) Mặt khác () v (ỵ) khụng th song song B A vi vỡ nu () // (ỵ) thỡ t CB ^ (ỵ) CA ^ () Nh vy t điểm C ta dựng hai đường thẳng CA, CB vng góc với (α), điều vơ lớ Vy () v (ỵ) l hai mt phng khụng trùng nhau, khơng song song với (α) v (ỵ) phi ct nhau, gi d = () (ỵ) d ( ) Cú } CA ^ d CA ^ (α) }  d ^ (ABC) d (ỵ) } CB ^ CB ^ (ỵ) d 2 2 2 ab bc c a  Bài 5: 2 4 (a  b  c ) 2 (1) 2  a  2(b  c )a  (b  c )  Từ (1) ta suy tam thức: 2 2 2 f (a )  a  2(b  c )a  (b  c ) Có hai nghiệm phân biệt: a2  (b2  c2 )  2bc  (b  c)2 Ta có:  a  (b  c) a  (b  c)   2 2 (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a b  c)  (a b c)(b c a)(a b c)(a b c) 0 (2) Vì a  b  c  đó: - Hoặc thừa số a  b  c , a  b  c , a  b  c dương nghĩa a , b , c thoả mãn bất đẳng thức tam giác - Hoặc thừa số âm, thừa số dương  a  b  c  Giả sử  a  b  c   2b  (vơ lí) Vậy có khả thứ xảy nghĩa chọn cạnh tam giác Ngược lại a, b, c ba cạnh tam giác thì: Bùi Thị Thu Hiền 50  0, 0,  (2) thoả mãn (1) thoả mãn Bùi Thị Thu Hiền a,b, c 51 làm ba KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương lựa chọn đưa số ví dụ điển hình minh hoạ cho dạng toán chứng minh sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng hay phương pháp chứng minh loại dần Tuy nhiên, việc phân dạng nhằm giúp cho việc nhận thức học sinh dạng tốn mang tính hệ thống logic Đồng thời giúp nâng cao khả lập luận tư logic, lí luận chặt chẽ, trình bày hợp lí, khoa học toán, giúp rèn luyện khả suy luận chứng minh Qua tập cụ thể học sinh củng cố, hệ thống lại kiến thức có liên quan Từ học sinh biết xâu chuỗi, gắn kết toán dạng tập, hiểu vận dụng dễ dàng việc sử dụng phương pháp trình giải để tìm cách giải tối ưu cho tập C KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu “Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần chương trình tốn phổ thông” đạt kết sau:  Làm rõ sở lí luận phương pháp chứng minh trực tiếp phương pháp chứng loại dần  Cung cấp số tập sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần Hiện nay, việc sử dụng hai phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần sử dụng dạy trường phổ thông, nhiều việc áp dụng hai phương pháp giúp cho tốn trở nên hồn hảo hơn, với nhiều cách giải Thơng qua việc sử dụng hai phương pháp vào giải số tập phần giúp người học nhận thức khả suy luận chứng minh, thấy hay, đẹp việc chứng minh tốn, từ khắc phục tâm lí “sợ” tập chứng minh Tuy nhiên lần đầu nghiên cứu đề tài, thời gian có hạn lực thân hạn chế, mức độ nghiên cứu chưa sâu nên đề tài không tránh khỏi nhiều sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp bổ sung thầy giáo bạn để đề tài hoàn thiện D TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo, 2010, Hình học lớp 11, Nxb Giáo dục Việt Nam Bộ Giáo dục Đào tạo, 2010, Bài tập Hình học lớp 11, Nxb Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình, 2006, Nâng cao phát triển Toán 8, Hà Nội, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Hữu Điễn, Phương pháp chứng minh phản chứng, www.vietmaths.com Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, 2000, Toán bồi dưỡng học sinh Trung học phổ thông, Hà Nội, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Phan Huy Khải, 2001, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, Hà Nội, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Võ Đại Mau, 2000, Phương pháp giải toán bất đẳng thức, Hà Nội, Nxb Trẻ Lê Duy Ninh, 2001, Dạy học suy luận chứng minh, Hà Nội, Đại học Sư Phạm Hà Nội ... luận phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần - Nghiên cứu số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng. .. CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TỐN PHỔ THƠNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần tốn phổ thơng thơng qua số toán Nhận dạng số toán. .. hai phương pháp chứng minh phương pháp thuộc hệ thống phương pháp chứng minh gián tiếp phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần Đồng thời chương để tiện cho việc giải toán