Phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần trong toán phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp A.MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong môn học Toán học có vị trí bật, có nguồn gốc từ thực tiễn, có mặt khắp nơi chìa khoá hầu hết hoạt động người, môn học giúp mở rộng kiến thức để bước vào sống Đặc biệt chương trình phổ thông, Toán môn khoa học công cụ giúp học sinh rèn luyện trí thông minh Và để giúp học sinh nắm vững “chìa khoá” tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo để ứng dụng Toán học vào sống toán trường phổ thông phương tiện hiệu thay Việc giải toán coi mục tiêu ban đầu cấu trúc Toán học phần chia tách hoạt động Toán học Giải toán giúp học sinh rèn luyện kĩ suy luận tư logic, khả sáng tạo, rèn luyện tính kiên trì đồng thời giúp học sinh củng cố, tổng hợp kiến thức Trong chương trình phổ thông học sinh gặp nhiều toán chứng minh có nhiều phương pháp chứng minh để giải toán Mỗi phương pháp có hay mạnh riêng với dạng Trong khoá luận xin đề cập đến hai phương pháp chứng minh hữu ích hay dùng lập luận Toán học với toán mà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp khó giải Với mong muốn giúp cho thân bạn sinh viên có hệ thống cách khoa học hai phương pháp chứng minh hay Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp sử dụng chứng minh gián tiếp qua giúp cho việc đào sâu, mở rộng kiến thức có ích Từ vận dụng hai phương pháp chứng minh phổ biến giảng dạy toán trường phổ thông Đó lí chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TOÁN PHỔ THÔNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần toán phổ thông thông qua số toán Nhận dạng số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng toán sử dụng phương pháp chứng minh loại dần, từ góp phần nâng cao kỹ giải toán phát triển lực chứng minh toán học, nâng cao chất lượng dạy học NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần - Nghiên cứu số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng loại dần vào giải số toán ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Phạm vi nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng loại dần chương trình toán phổ thông Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khoá luận có hai chương: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần toán phổ thông Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp B NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 CHỨNG MINH TOÁN HỌC VÀ CÁC YÊU CẦU CỦA CHỨNG MINH TOÁN HỌC 1.1.1 Thế chứng minh Định nghĩa: Giả sử G tập hợp mệnh đề toán học  mệnh đề toán học Ta nói  chứng minh từ giả thiết G, tồn dãy hữu hạn mệnh đề toán học A1, A2,…, An (1) cho yêu cầu sau thoả mãn a) An  b) Với i, i=1, 2,…, n, A tiên đề định nghĩa định lý phần tử tập G suy từ mệnh đề đứng trước dãy (1) nhờ vào quy tắc hay suy luận logic Nói cách khác, trình suy diễn xác nhận tính chất thực bác bỏ mệnh đề nhờ vào mệnh đề biết gọi chứng minh 1.1.2 Cấu trúc chứng minh Mỗi chứng minh gồm thành phần: 1) Luận đề mệnh đề cần chứng minh 2) Luận mệnh đề mà dựa vào để suy mệnh đề phải chứng minh 3) Luận chứng quy tắc suy luận logic dùng chứng minh Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp 1.1.3 Yêu cầu chứng minh a) Yêu cầu logic luận đề Mệnh đề đứng sau chứng minh thiết mệnh đề cần chứng minh An ≡  Nghĩa luận đề không tráo đổi, không thay mệnh đề không tương đương logic b) Yêu cầu logic luận chứng Việc rút mệnh đề từ mệnh đề trước trình chứng minh phải theo quy tắc suy diễn logic c) Yêu cầu logic luận Mỗi mệnh đề chứng minh phải tiên đề, định nghĩa, định lý, mệnh đề giả thiết, hệ logic mệnh đề đứng trước trình chứng minh rút nhờ quy tắc suy luận logic, nghĩa luận phải mệnh đề 1.2 CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 1.2.1 Định nghĩa Phép chứng minh mệnh đề thông qua bác bỏ mệnh đề phủ định gọi phép chứng minh phản chứng Nghĩa để chứng minh mệnh đề A ⇒ B, người ta bác bỏ mệnh đề A ⇒ B gọi phép chứng minh mệnh đề A ⇒ B Mục tiêu Mục tiêu phép chứng minh phản chứng bác bỏ mệnh đề phủ định mệnh đề cần chứng minh Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp 1.2.2 Sơ đồ phép chứng minh phản chứng ((A ⇒ B) ⇒ X ) X A ⇒ B Với X A, B, CC, D Trong C mệnh đề đó, D mệnh đề biết 1.2.3 Cơ sở phép chứng minh phản chứng Cơ sở phép chứng minh phản chứng luật trung: hai mệnh đề X X không sai Khi bác bỏ mệnh đề X nghĩa tính chân thực X mệnh đề X xảy hai khả hoặc sai X tương ứng sai Các hình thức chứng minh phản chứng Việc bác bỏ mệnh đề phủ định mệnh đề cần chứng minh A ⇒ B sau dựa vào luật trung khẳng định A ⇒ B dựa vào chứng minh mệnh đề sau coi hình thức chứng minh phản chứng, dạng chứng minh phản chứng Dạng 1: AB ⇒ A Dạng 2: AB ⇒ CC Dạng 3: AB ⇒ D Dạng 4: AB ⇒ B Với C mệnh đề D mệnh đề biết mệnh đề tương đương logic với tương đương với mệnh đề A ⇒ B Do để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh xảy mệnh đề Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp Các bước phép chứng minh phản chứng mệnh đề A ⇒ B - Bước 1: (Giả sử) Phủ định mệnh đề A ⇒ B hay AB - Bước 2: (Tìm mâu thuẫn) Xuất phát từ giả thiết có: AB qua trình suy luận chứng minh rút điều mâu thuẫn (tìm mâu thuẫn): Hoặc trái với giả thiết A (dạng 1) Hoặc suy điều trái ngược (dạng 2) Hoặc suy điều mâu thuẫn với điều biết (dạng 3) Hoặc suy kết luận (dạng 4) - Bước 3: (Kết luận) Tìm mâu thuẫn khẳng định giả thiết AB không xác, sử dụng luật trung khẳng định tính chân thực A ⇒ B Ví dụ 1: Chứng minh a  b  ab với  a , b  Chứng minh: + Bước 1: Giả sử  a , b  ta có a  b  ab + Bước 2: Tìm mâu thuẫn:  a , b  ta có: a  b  ab Û (a  b)  4ab Û a  2ab  b2  Û (a  b)2  (vô lí) + Bước 3: Do điều giả sử sai Vậy ta có a  b  ab với  a , b  Ví dụ áp dụng dạng 3: AB ⇒ D Trong A:  a , b  B: a  b  ab B: a  b  ab D: (a  b)  Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp D: (a  b)  , Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng chéo Trên phân biệt , Trên lấy hai điểm phân biệt lấy hai điểm Chứng minh chéo Chứng minh: +Bước 1: Giả sử không chéo A B +Bước 2: Tìm mâu thuẫn: Như có mặt phẳng ( ) chứa và C Khi ta có D P nằm ( ) Điều mâu thuẫn với giả thiết chéo +Bước 3: Kết luận: Vậy chéo Ví dụ thuộc dạng 1: AB ⇒ A Với A: Cho , hai đường thẳng chéo Trên phân biệt , Trên A: hai đường thẳng lấy hai điểm phân biệt , đồng phẳng B: chéo B: không chéo Bùi Thị Thu Hiền lấy hai điểm Khóa luận tốt nghiệp 1.3 CHỨNG MINH LOẠI DẦN 1.3.1 Định nghĩa Nếu mệnh đề X có k khả xảy ra, phép chứng minh mệnh đề X xảy với k khả thứ i thông qua bác bỏ k-1 khả lại gọi phép chứng minh loại dần 1.3.2 Sơ đồ phép chứng minh loại dần Nếu mệnh đề X có k khả xảy là: X1, X2,…, Xk Mệnh đề X không xảy với khả thứ j: X Sơ đồ phép chứng minh loại dần: (X ⊻ X ⊻ … ⊻ X ) X X … X X X …X Như có bước tiến hành chứng minh loại dần - Bước 1: Khẳng định có k khả xảy - Bước 2: Bác bỏ k-1 khả lại - Bước 3: Khẳng định X xảy khả thứ k 1.3.3 Cơ sở logic phép chứng minh loại dần Cơ sở logic phép chứng minh loại dần tam đoạn luận lựa chọn, tuân theo quy tắc ba bước phù hợp với bước phép chứng minh loại dần có sơ đồ: ( ⊻ ) ( ⊻ ) bước thực tương ứng là: - Bước 1: Chỉ có A B - Bước 2: Có A (A) - Bước 3: Kết luận có B (B) Bùi Thị Thu Hiền Với sơ đồ Khóa luận tốt nghiệp Như sử dụng phương pháp chứng minh loại dần phải mệnh đề có k khả xảy Ví dụ 1: Cho x   Chứng minh x số vô tỉ Chứng minh: + Bước 1: Có x  R , x hữu tỉ vô tỉ + Bước 2: Bác bỏ khả x số hữu tỉ: Từ x   suy x nghiệm phương trình x  x   Nếu x số hữu tỉ x phải nguyên là ước 6, x ±1, ±2, ±3, ±6 Nhưng ±1, ±2, ±3, ±6 không nghiệm phương trình x  x   Vậy x số hữu tỉ +Bước 3: Kết luận: Vậy x số vô tỉ Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng phải hình bình hành Chứng minh: + Bước 1: Giả sử tứ giác có tâm đối xứng Qua phép đối xứng tâm , tứ giác biến thành nên đỉnh biến thành , , hay C D + Bước 2:  Nếu đỉnh biến thành đỉnh đối xứng qua Điều vô lí Bùi Thị Thu Hiền 10 ≡ Khi tứ giác có hai Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Cho góc nhọn lấy điểm lấy hai điểm , ′ Trên tia , tia Lấy điểm thuộc miền góc Qua ′ kẻ đường thẳng song song với song với điểm kẻ qua ′ Đường thẳng song cắt kẻ qua ′ cắt đường thẳng song song với , Chứng minh ba đường thẳng , ′ đồng quy Hướng dẫn: ′ Từ giả thiết toán ta cần ′ cắt Muốn giải toán ′ qua Để làm điều ta giả sử ′ giao với trình lập luận ta điều vô lí Nên điểm ≡ ′ hay ′ ≠ Qua , , ′ đồng quy Chứng minh: Có // Þ∆ Þ // ∆ // Giả sử , ’ Þ (1) B’ nên A’ ’ ≠ ′ (3) OA O' A  O ' A' O ' A' (4) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta được: Bùi Thị Thu Hiền 39 z C ’ (2) điểm OA AC  O' A' A' C ' Từ (1), (2) (3) suy C’ O OA OB  O' A' O' B' giao với // // đồng dạng với AB AC  A' B' A' C ' Vì Vì , y B A ’ x ’ Khóa luận tốt nghiệp − Þ − = = hay (5) = Mà hai điểm , ′ nằm phía ′ tia Kết hợp với (5) suy Vậy , , ≡ ′ hay ′ qua ′ đồng quy Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm trình giải tập lệ thuộc vào trực quan Đặc biệt sai lầm dễ mắc phải từ (4) nhiều học sinh suy chứng minh ≡ ′ nên cần cho học sinh thấy để ≡ ′ cần = = ′ Nhận thấy (4) tỉ lệ thức nên cần sử dụng tỉ lệ thức hay dãy tỉ số Ví dụ 3: Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước có đường thẳng song song với đường thẳng cho Chứng minh: Giả sử ta có điểm đường thẳng không qua Khi điểm đường thẳng d xác định mặt phẳng ( ) d M d P Trong mặt phẳng ( ), theo tiên đề Euclid đường thẳng song song có đường thẳng d’đi qua song song với Trong không gian có đường thẳng d” qua " nằm mặt phẳng ( ) Bùi Thị Thu Hiền 40 song song với Khóa luận tốt nghiệp Như mặt phẳng ( ) có ′ " hai đường thẳng qua nên ′ ≡ " song song với Chú ý: - Trong sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng áp dụng hình thức mà sử dụng nhiều hình thức để chứng minh - Trong nhiều toán chứng minh sử dụng phép chứng minh phản chứng mà sử dụng phép chứng minh trực tiếp, việc sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng lại phức tạp cần vận dụng khéo léo phương pháp chứng minh vào giải tập *BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Cho d ước chung lớn số a b Chứng minh tồn số nguyên m, n cho am  bn  d Bài 2: Cho ∆ nội tiếp đường tròn ( ) Qua điểm Từ ( a) b) vẽ // = ∈ vẽ tiếp tuyến xy ) Chứng minh rằng: tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ Bài 3: Chứng minh “Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng đó” HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi d '  giá trị nhỏ số có dạng am  bn với m , n  Z m, n độc lập với d '  am ' bn ' ( m ' , n ' Z ) Giả sử am  bn không chia hết cho d ' Bùi Thị Thu Hiền 41 Khóa luận tốt nghiệp + Þ Do Û = + với q N, r Z r  d ' = + = ( − − = + )+ ( − − ( ) ) Điều có nghĩa tồn số mâu thuẫn với cách chọn + > có dạng + < , Vậy (am  bn)d Û d ' am  bn = 1, + Ta chọn = Þ ′| , + = = 0, + Ta lại chọn = Þ ′| Do d ' ước số chung a b Û d ' d  (a, b) (1) Mặt khác d '  (a, b) Þ d a  d b Þ d (am  bn), m, n  Z Þ d d ' (2) Từ (1) (2) suy d  d ' Vậy suy điều phải chứng minh Bài 2: = a) Ta có (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây y cung chắn cung AB) = Lại có Þ A (so le trong) Þ∆ ∆ M B b) *Cách 1: cắt đường tròn ( ) điểm thứ ′ Ta có: ’= Bùi Thị Thu Hiền O đồng dạng với nhau(g.g) AB AC Þ  Þ AB  AM AC AM AB Giả sử tia t x = Þ ’= 42 C Khóa luận tốt nghiệp Þ Vậy = ≡ Þ tiếp tuyến đường tròn ( ) *Cách 2: tiếp tuyến đường tròn ( Giả sử Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm vẽ tia ) tiếp tuyến đường tròn = Ta có chắn cung Mặt khác: (góc tạo tiếp tuyến dây với góc nội tiếp ) = (= Þ = Vậy tiếp tuyến của ( Bài 3: Giả sử Þ ≡ ) ) điểm nằm mp( ) Hãy xác định mp( ) qua song song với mp( ) Giả sử ( ) mặt phẳng qua song song với ( ) Chứng minh ( ) ≡ ( ) 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LOẠI DẦN Khi sử dụng phương pháp chứng minh loại dần học sinh thường không đưa đầy đủ trường hợp, không chia thành trường hợp cụ thể mà lí luận chung Do để làm tốt việc cần luyện cho học sinh hiểu rõ yêu cầu bài, tìm hướng giải phù hợp, biết cách khái quát hoá toán để hình thành kỹ phân chia trường hợp xảy ra, tránh bỏ sót Bùi Thị Thu Hiền 43 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1: Chứng minh n  nguyên tố n ước khác (nghĩa n  k ) Chứng minh: có hai khả xảy ra: n  n có ước lẻ khác Nếu n có ước lẻ khác chẳng hạn k Þ l : n  kl Þ 2n   (2l ) k  1, k lẻ nên l  ước thực n  nên n  không nguyên tố Vậy n  nguyên tố  k cho n  k Nhận xét: Đây cách khác chứng minh ví dụ (2.1.1), Chú ý: Có toán giải trực tiếp mà phải sử dụng bổ đề để chứng minh, ta xét ví dụ: Ví dụ 2: Cho ∆ có góc tù độ dài ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp độ dài phải 2, 3, Chứng minh: Bổ đề: “Xét ∆ = , có = , = Gọi ” hình chiếu cạnh C Chứng minh rằng: a  b  c Kẻ  Đặt = , = a  CH  HB2  (b2  b'2 )  (b'c)  b  c  2b ' c ' b’ ’ H Þ a  b2  c2 Hay > + Để chứng minh toán ta sử dụng bổ đề: Bùi Thị Thu Hiền 44 a b c’ A c Khóa luận tốt nghiệp “Nếu ∆ > 90 có + < " Gọi độ dài ba cạnh tam giác n  1, n , n  với n  N Do A > 90 nến cạnh lớn nhất, BC  n  Theo bổ đề trên, ta có: (n  1)  n  (n  1) Biến đổi thành n  n Þ n  Hiển nhiên n  mà n  Þ n  n  Giả sử n  , không tồn tam giác có độ dài ba cạnh 1, 2, (loại) Do n  Với n  độ dài ba cạnh tam giác 2, 3, (thoả mãn bất đẳng thức tam giác) Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng lại Chứng minh: Có ( ) // ( ), Ç ( ) Vị trí tương đối đường thẳng 1) Ì( ) 2) // ( ) 3) Ç ( ) so với mp( ) là: a A P Ta xét trường hợp:  Nếu B Ì ( ) Theo giả thiết Q Ç( )= nên ( ) Ç ( ) ≠ ∅ mâu thuẫn với giả thiết ( ) // ( ) Þ  ( )  Nếu // ( ) Bùi Thị Thu Hiền 45 Khóa luận tốt nghiệp Theo giả thiết ( ) // ( ) Þ thuẫn giả thiết Vậy Ç ( ) = , mâu // ( ) mà giả thiết cho ( ) không song song Ç ( ) Ví dụ 4: Cho x, y, z  xyz  Chứng minh nếu: x yz 1   x y z có ba số lớn Chứng minh: Ta có: (x 1)(y 1)(z 1)  xyz xy  yz  xz  x  y  z 1 1 = ( x  y  z )  (   ) (vì x y z = 1) 1 x y z Theo giả thiết có (x  y  z)  (   ) Þ (x 1)(y 1)(z 1)  Trong ba số (1) − 1, − 1, − có số dương Thật vậy: + Nếu − 1, − 1, − dương > 1, > 1, > xyz1 (trái giả thiết) + Nếu hai ba số − 1, − 1, − dương (x 1)(y 1)(z 1)  (trái với (1)) Þ Trong ba số − 1, − 1, − có số dương Vậy có ba số x , y , z lớn mà thoả mãn điều điện đề Bùi Thị Thu Hiền 46 Khóa luận tốt nghiệp Chú ý: Khi sử dụng phép chứng minh loại dần ta phải bác bỏ k – khả năng, khả lại khả xảy Cần lưu ý việc chứng tỏ mệnh đề có k khả xảy bác bỏ k – khả cho phép khẳng định xảy khả thứ k mà không cần phải chứng minh với khả Tuy nhiên, việc bác bỏ k – khả chứng tỏ xảy với khả lại xem phép chứng minh loại dần, thực chất phép chứng minh phép chứng minh qui nạp hoàn toàn, ta xét ví dụ: Ví dụ 5: Giải phương trình x  x  x (*) Giải: = nghiệm phương trình 32   x x  3 4 > 2, chia vế (*) cho ta       5 5 + Nếu x x  3  3 4 4 Mặt khác, ta lại có:            5  5 5 5 x x 2  3  4  3  4 Þ             5  5 5  5 Vậy > không nghiệm Tương tự với < không nghiệm Vậy phương trình có nghiệm = *BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1: Cho , , độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn: cos + cos = cos Trong khẳng định sau có khẳng định đúng, tìm khẳng định đó: Bùi Thị Thu Hiền 47 Khóa luận tốt nghiệp a, Tam giác vuông A b, Tam giác vuông B c, Tam giác vuông C d, Tam giác thường Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình x  3x   y Bài 3: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với Bài 4: Cho ∆ Gọi ( ) mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ( ) mặt phẳng vuông góc với đường thẳng minh hai mặt phẳng ( ) ( ) cắt giao tuyến vuông góc với mặt phẳng ( Chứng chúng ) Bài 5: Với đoạn thẳng a, b, c thoả mãn: a b  b c  c a  (a  b  c ) (*) dựng tam giác HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: d Bài 2: Ta nhận thấy rõ ràng ( x  0, y 1) ( x  0, y  1) nghiệm phương trình Ta chứng minh hai nghiệm Thật vậy: +Với x  , ta có: ( x3  1)  x6  2x3   x  3x3   y  x  4x3   ( x3  2) Þ x   y  x  (vô lí) +Với x   , ta có: Bùi Thị Thu Hiền 48 Khóa luận tốt nghiệp ( x3  2)  x  3x3   y  x6  2x3   ( x3  1)2 Þ x   y  x  (vô lí) +Với x  1, y  1: phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (0,1) (0, -1) Bài 3: Cho ( ) ( ) hai mặt phẳng song song với Giả sử ( ) Ç ( ) = Do Ì( )Þ( )≠( ) Þ Hoặc ( ) // ( ) ( ) Ç ( ) Chứng minh xảy trường hợp ( ) Ç ( ) Bài 4: Hai mặt phẳng ( ) ( ) C trùng ( ) ≡ ( ) từ điểm ta dựng hai đường , thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều vô lí (hình vẽ) Mặt khác ( ) ( ) song song với ( ) // ( ) từ Þ   B A ( )  ( ) Như từ điểm ta dựng hai đường thẳng , vuông góc với ( ), điều vô lí Vậy ( ) ( ) hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với ( ) ( ) phải cắt nhau, gọi = ( ) Ç ( ) Bùi Thị Thu Hiền 49 Khóa luận tốt nghiệp Ì( ) Þ ( ) Ì( ) Þ ( ) Có  Þ ( )  a b  b c  c a  (a  b  c ) Bài 5: Û a  2(b2  c )a  (b2  c )  (1) Từ (1) ta suy tam thức: f (a )  a  2(b2  c )a  (b2  c ) 2 2 Có hai nghiệm phân biệt: a  (b  c )  2bc  (b  c) Ta có: Û a2  (b  c)2 a  (b  c)2   Û(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  Û(a  b  c)(b  c  a)(a  b  c)(a  b  c)  (2) Vì a  b  c  đó: - Hoặc thừa số a  b  c , a  b  c ,  a  b  c dương nghĩa a , b , c thoả mãn bất đẳng thức tam giác - Hoặc thừa số âm, thừa số dương  a  b  c  Û 2b  (vô lí) a  b  c   Giả sử  Vậy có khả thứ xảy nghĩa chọn a , b , c làm ba cạnh tam giác Ngược lại , , ba cạnh tam giác thì:  a  b  c  0, a  b  c  0, a  b  c  Þ (2) thoả mãn (1) thoả mãn Bùi Thị Thu Hiền 50 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương lựa chọn đưa số ví dụ điển hình minh hoạ cho dạng toán chứng minh sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng hay phương pháp chứng minh loại dần Tuy nhiên, việc phân dạng nhằm giúp cho việc nhận thức học sinh dạng toán mang tính hệ thống logic Đồng thời giúp nâng cao khả lập luận tư logic, lí luận chặt chẽ, trình bày hợp lí, khoa học toán, giúp rèn luyện khả suy luận chứng minh Qua tập cụ thể học sinh củng cố, hệ thống lại kiến thức có liên quan Từ học sinh biết xâu chuỗi, gắn kết toán dạng tập, hiểu vận dụng dễ dàng việc sử dụng phương pháp trình giải để tìm cách giải tối ưu cho tập Bùi Thị Thu Hiền 51 Khóa luận tốt nghiệp C KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu “Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần chương trình toán phổ thông” đạt kết sau:  Làm rõ sở lí luận phương pháp chứng minh trực tiếp phương pháp chứng loại dần  Cung cấp số tập sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần Hiện nay, việc sử dụng hai phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần sử dụng dạy trường phổ thông, nhiều việc áp dụng hai phương pháp giúp cho toán trở nên hoàn hảo hơn, với nhiều cách giải Thông qua việc sử dụng hai phương pháp vào giải số tập phần giúp người học nhận thức khả suy luận chứng minh, thấy hay, đẹp việc chứng minh toán, từ khắc phục tâm lí “sợ” tập chứng minh Tuy nhiên lần đầu nghiên cứu đề tài, thời gian có hạn lực thân hạn chế, mức độ nghiên cứu chưa sâu nên đề tài không tránh khỏi nhiều sai sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp bổ sung thầy cô giáo bạn để đề tài hoàn thiện Bùi Thị Thu Hiền 52 Khóa luận tốt nghiệp D TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo, 2010, Hình học lớp 11, Nxb Giáo dục Việt Nam Bộ Giáo dục Đào tạo, 2010, Bài tập Hình học lớp 11, Nxb Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình, 2006, Nâng cao phát triển Toán 8, Hà Nội, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Hữu Điễn, Phương pháp chứng minh phản chứng, www.vietmaths.com Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, 2000, Toán bồi dưỡng học sinh Trung học phổ thông, Hà Nội, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Phan Huy Khải, 2001, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, Hà Nội, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Võ Đại Mau, 2000, Phương pháp giải toán bất đẳng thức, Hà Nội, Nxb Trẻ Lê Duy Ninh, 2001, Dạy học suy luận chứng minh, Hà Nội, Đại học Sư Phạm Hà Nội Bùi Thị Thu Hiền 53 [...]... léo lựa chọn và kết hợp hai phương pháp trên để có cách giải tối ưu Bùi Thị Thu Hiền 12 Khóa luận tốt nghiệp Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TOÁN PHỔ THÔNG 2.1 MỘT SỐ BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Chứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọng của toán học Nó cho phép chúng ta chứng minh sự có thể và không có... 11 và Khi đó tâm đối nên tứ giác Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN CHƯƠNG Ở chương 1 tôi đã trình bày về cơ sở lí luận của hai phương pháp chứng minh trong các phương pháp thuộc hệ thống các phương pháp chứng minh gián tiếp là phương pháp chứng minh phản chứng và phương pháp chứng minh loại dần Đồng thời trong chương này để tiện cho việc giải một bài toán có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, phương. .. chứng, phương pháp chứng minh loại dần tôi cũng đã trình bày các bước tiến hành từ đó nâng cao hiệu quả giải toán Có thể nhận thấy trong phương pháp chứng minh loại dần, ở bước 2 là bác bỏ k – 1 khả năng có thể xảy ra, nghĩa là ta giả sử có thể xảy ra k – 1 khả năng rồi dùng suy luận để chứng minh không thể xảy ra k – 1 khả năng đó Trong bước này có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, do đó cần... không rõ là có tồn tại hay không Những bài toán về khẳng định một hệ thức đúng, khẳng định nghiệm của phương trình, hệ phương trình hoặc chứng minh một bất đẳng thức … trong các phân môn đại số, hình học, số học người ta hay dùng phương pháp chứng minh phản chứng * Tìm mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh: Trong các bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng ở bước một là muốn phủ định lại kết... Do đó và không song song Chứng minh và c) Có đồng phẳng Giả sử và thuẫn giả thiết) nên không song song tương tự // thì nằm ngoài (mâu cắt Chứng minh tương tự được cắt 2.1.2 Dạng 2: Phủ định kết luận rồi suy ra hai điều trái ngược nhau ( ) Þ Bài toán kinh điển nhất về phép chứng minh phản chứng dạng này được đề cập ở ví dụ sau: Ví dụ 1: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố Hướng dẫn: Để chứng minh. .. phải chứng minh *BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Cho a 3  b 3  2 Chứng minh rằng a  b  2 Bài 2: Cho a,b, c (0,1) Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là sai: 1 1 1 a(1  b)  , b(1  c)  , c(1  a)  4 4 4 Bài 3: Cho abc  0 Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm: ax2  bx  c  0, (1) bx2  cx  a  0, (2) cx 2  ax  b  0 (3) Bài 4: Chứng minh rằng trong. .. một trong ba bất đẳng thức là sai Ví dụ 4: Cho α và β là 2 góc nhọn sao cho: sin2 Chứng minh rằng:     + sin2  2 = sin( + ) Hướng dẫn: Ta giả sử (   )   rồi dựa vào công thức biến đổi lượng giác để nhận 2 thấy hai điều mâu thuẫn Chú ý vì 0   ,   thành hai trường hợp  2  2 nên 0       và (   )        và 0       2  2 do đó ta chia Chứng minh: Giả thiết phản chứng. .. : ( ) ∀ ∈ : ( )≡ ∃ ∈ : ( ) Như vậy hai mệnh đề ∀ ∈ : ( ) và ∃ ∈ : ( ) là phủ định của nhau Trong toán học có nhiều mệnh đề thường được phát biểu kết hợp hai loại mệnh đề trên và phủ định của nó như sau: ∀ ∈ ,∃ ∈ : ( , ) ≡ ∃ ∈ ,∀ ∈ : ( , ) ∃ ∈ ,∀ ∈ : ( , ) ≡ ∀ ∈ ,∃ ∈ : ( , ) Bùi Thị Thu Hiền 14 Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp chứng minh phản chứng đưa ta đến việc tạo ta mệnh đề phủ định đã cho Vì vậy... hai điểm phân Khóa luận tốt nghiệp , a) Chứng minh rằng b) Gọi là một điểm trên song song với c) Gọi hoặc là điểm thuộc chéo nhau , là điểm thuộc Chứng minh rằng Chứng minh rằng cắt , cắt Bài 6: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d // d’ nằm trong (P) thì d // (P) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Đặt a  3  x,b  3  y thì x  0 , y  0 Chứng minh x  y 1 Bài 2: Giả sử m là hợp số Û m ...  c)  1  (2c  1)  1 Þ S A  1 Chứng minh tương tự ta được SB  1, SC  1 Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý: Nên xem lại ví dụ 3 để thấy rõ mối liên hệ giữa Đại số và Hình học BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Có tồn tại số thực sao cho 1 tan3x   3 không? 3 tan x Bài 2: Cho 3 số a, b, c dương và abc  1 Hãy chứng minh rằng a  b  c  3 Bài 3: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: ... Trong mt bi s dng phng phỏp chng minh phn chng khụng phi ch ỏp dng c mt hỡnh thc m cũn cú th s dng nhiu hỡnh thc chng minh - Trong nhiu bi toỏn chng minh khụng phi ch cú th s dng phộp chng minh. .. cỏc mnh ỳng ó bit gi l chng minh 1.1.2 Cu trỳc ca mt chng minh Mi chng minh gm thnh phn: 1) Lun l mnh cn chng minh 2) Lun c l cỏc mnh m da vo nú suy mnh phi chng minh 3) Lun chng l cỏc quy... 12 Khúa lun tt nghip Chng PHNG PHP CHNG MINH PHN CHNG V PHNG PHP CHNG MINH LOI DN TRONG TON PH THễNG 2.1 MT S BI TP S DNG PHNG PHP CHNG MINH PHN CHNG Chng minh phn chng cú th núi l mt nhng v khớ