Định lý lagrange và ứng dụng trong toán phổ thông

Bởi vậy, nghiêncứu về lĩnh vực này chúng ta thường xuyên phải giải quyết các bài toánliên quan đến giới hạn, trong đó phần lớn liên quan đến giới hạn củadãy số và giới hạn hàm số.. Giải

KHOA: TOÁN

——————————————–

BÙI THỊ LINH

ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012

KHOA: TOÁN

——————– * ———————

BÙI THỊ LINH

ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa họcTHS PHÙNG ĐỨC THẮNG

Hà Nội, 2012

để đề tài được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn giúp đỡ chỉ bảo nhiệt tìnhtận tâm của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng và toàn thể cácthầy cô giáo trong tổ giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, Thạc

sỹ Phạm Xuân Thịnh đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hoànthiện khóa luận này, cũng như trong suốt thời gian thực tập nghiên cứutại trường ĐHSP Hà Nội 2

Sinh viênBùi Thị Linh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài:

"ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN

1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Giới hạn của dãy số thực và giới hạn của hàm số 6

1.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số thực 6

1.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số 6

1.2 Hàm số liên tục 10

1.2.1 Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm 10

1.2.2 Các tính chất 10

1.2.3 Định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn 11

1.3 Đạo hàm của hàm một biến 13

1.3.1 Đạo hàm cấp một 13

1.3.2 Đạo hàm cấp cao 15

1.3.3 Định nghĩa 15

2 Định lí Lagrange và ứng dụng 17 2.1 Định lí Rolle 17

2.2 Định lý Lagrange 17

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết giới hạn là cơ sở của giải tích toán học Bởi vậy, nghiêncứu về lĩnh vực này chúng ta thường xuyên phải giải quyết các bài toánliên quan đến giới hạn, trong đó phần lớn liên quan đến giới hạn củadãy số và giới hạn hàm số Giải bài toán giới hạn của dãy số là việc làmhết sức phức tạp và khó khăn đối với sinh viên và các em học sinh khá,giỏi toán trung học phổ thông Các bài toán giới hạn cũng nằm trongchương trình quy định của hội toán học Việt Nam đối với kì thi Olympictoán học sinh viên hằng năm giữa các trường Cao Đẳng và Đại học về

bộ môn giải tích

Giải các bài toán về giới hạn dãy số có nhiều phương pháp khác nhau,trong đó định lý Lagrange là một phương pháp mạnh để giải các bài toángiới hạn dãy số khó và phức tạp Với mục đích tiếp cận một hướng nghiêncứu của toán học hiện đại, được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Thạc

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhắc lại kiến thức cơ bản về giới hạn Giúp học sinh nắm chắc định

lý Lagrange và khả năng vận dụng sáng tạo định lý để giải bài toán vềgiới hạn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên và học sinh THPT

+ Phạm vi nghiên cứu: Định lý Lagrange và ứng dụng trong toán phổthông

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các định nghĩa, định lý, tính chất của giới hạn dãy số, giớihạn hàm số, hàm số liên tục và đạo hàm cấp một và cấp cao của hàmmột biến vào trong khóa luận

6 Dự kiến đóng góp mới

Đưa ra được ứng dụng của định lý Lagrange vào việc giải các bài toán

về giới hạn của toán phổ thông

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Giới hạn của dãy số thực và giới hạn của hàm

số

1.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số thực

Cho dãy số thực {un} Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy {un}nếu với mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại một số n0 (phụ thuộcε) sao cho với mọi n > n0 ta đều có |un − a| < ε

Khi đó ta nói rằng dãy {un} hay hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn

a và ta viết un → a(n → ∞) hay lim

n→∞un = a

Một dãy không có giới hạn được gọi là dãy phân kì

1.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số

1.1.2.1 Lân cận của một điểm

Cho điểm x0 ∈ R và số ε > 0 Khoảng (x0 − ε, x0 + ε) được gọi là lân cận của x0, kí hiệu là S

Điểm x0 ∈ R được gọi là điểm tụ ( hay điểm giới hạn ) của tập hợp

A ∈ R nếu mọi lân cận V của x0 đều chứa ít nhất một điểm của A khác

x0, tức là V ∩ (A\{x0}) 6= ∅, với mọi lân cận V của x0

Từ định nghĩa ta suy ra rằng x0 là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉkhi mọi lân cận của x0 đều chứa vô số điểm của A

1.1.2.3 Điểm cô lập của tập hợp

Cho tập hợp A ⊂ R Điểm x0 ∈ A được gọi là điểm cô lập của tậphợp A nếu tồn tại một lân cận V của x0 sao cho V ∩ A = {x0} (tập chỉgồm một điểm x0)

1.1.2.4 Định nghĩa giới hạn của hàm số

Cho x0 là điểm tụ của tập hợp A ⊂ R và hàm số f : A → R

Hàm số f được gọi là hội tụ đến b ∈ R khi x → x0 hay b là giới hạncủa hàm số f khi x → x0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

|f (x) − b| < ε với mọi x ∈ A thỏa mãn điều kiện 0 < |x − x0| < δ Khi

đó, ta kí hiệu lim

x→x 0

f (x) = b hay f (x) → b khi x → x0.Chú ý

Trong định nghĩa này ta chỉ xét đến những giá trị f (x) ứng với nhữnggiá trị x ở trong một lân cận nào đó của x0 Điều kiện 0 < |x − x0| nóilên rằng x 6= x0 Vì thế tại chính điểm x0 (x0 là điểm tụ của A) hàm số

có thể không được xác định, ngay cả trong trường hợp hàm f xác địnhtại x0 thì giá trị f (x0) không đóng vai trò nào cả trong định nghĩa này.Sau đây ta nêu ra một điều kiện tương đương với điều kiện nêu trongđịnh nghĩa và vì vậy có thể dùng nó để định nghĩa giới hạn của hàm số.Định lý 1.1 Để cho hàm f : A → R hội tụ đến b ∈ R khi x → x0 điềukiện cần và đủ là với mọi dãy {xn}n ⊂ A\{x0}, xn → x0, ta có f (xn) → bkhi n → ∞.

Chứng minh a) Điều kiện cần: Giả sử lim

x→x 0

f (x) = b Cho dãy {xn}n ⊂A\{x0}, xn → x0(n → ∞) Ta chứng minh f (xn) → b(n → ∞) Theođịnh nghĩa

b) Điều kiện đủ: Ngược lại, giả sử rằng với mọi dãy {xn}n ⊂ A\{x0}, xn →

x0 ta đều có f (xn) → b Ta chứng minh f (x) → b khi x → x0

Nếu f (x) không hội tụ đến b khi x → x0 thì:

∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃xδ ∈ A : 0 < |xδ − x0| < δ nhưng |f (xδ) − b| ≥ ε

Lấy dãy δn > 0, δ → 0, kí hiệu xδn = xn, ta có {xn}\A, 0 < |xn− x0| <

δn → 0, do đó xn → x0(n → ∞) nhưng do |f (xn) − b| ≥ ε, nên f (xn)không hội tụ đến b khi n → ∞, trái với giả thiết

nhiều định lý, nhưng thấy rằng tính chất của giới hạn dãy số có thể phátbiểu lại cho giới hạn hàm số (với những thay đổi thích hợp).

Định lý 1.2 Cho tập hợp A ⊂ R, x0 là điểm tụ của A, f : A → R

và g : A → R là những hàm số xác định trên A Giả sử lim

x→x 0

f (x) =a; lim

x→x0g(x) = b Nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho f (x) ≤ g(x) với mọi

x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ thì a ≤ b

Chứng minh Lấy một dãy bất kì {xn}n ⊂ A\{x0}, xn → x0(n → ∞).Theo định nghĩa của giới hạn dãy số với δ > 0 nêu trong giả thiết củađịnh lý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta có |xn − x0| < δ Khi đó,

f (xn) ≤ g(xn) với mọi n > n0 Cho n → ∞ ta được a ≤ b

Hệ quả 1.1 Giả sử lim

x→x 0

f (x) = a và tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ≤ bvới mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ Khi đó a ≤ b

Định lý sau đây có tính chất ngược lại

Định lý 1.3 Cho hàm số f : A → R, x0 là điểm tụ của A Nếulim

x→x 0

f (x) = a và a < b (tương ứng a>c) thì tồn tại δ > 0 sao cho

f (x) < b (tương ứng f (x) > c) với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ.Chứng minh Chọn ε > 0 sao cho ε < b − a (tương ứng ε < a − c) Khi

đó tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ, ta có

a − ε < f (x) < a + ε Từ đó ta suy ra f (x) < b (tương ứng f (x) > c).Định lý 1.4 Cho ba hàm f, g, h cùng xác định trên một tập hợp A cóđiểm tụ là x0 Giả sử lim

x→x0f (x) = lim

x→x0h(x) = b và tồn tại δ > 0 sao cho

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ Khi đólim

x→x0g(x) = b

Chứng minh Lấy một dãy {xn} ⊂ A\{x0}, xn → x0 khi n → ∞ Với

δ > 0 nêu trong giả thiết của định lý tồn tại n0 sao cho |x − x0| < δ vớimọi n > n0 Khi đó ta có f (xn) ≤ g(xn) ≤ h(xn) Cho n → ∞ ta đượclim

1.2.1 Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số f : A → R và điểm x0 ∈ A Nếu với mọi

ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại δ > 0(phụ thuộc vào ε) sao cho vớimọi x ∈ {x ∈ A : |x − x0| < δ} ta đều có |f (x) − f (x0)| < ε thì ta nóihàm f liên tục tại điểm x0

Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ A thì ta nói f liên tục trên A

Nếu f không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f gián đoạn tại x0 hay x0

là điểm gián đoạn của f

1.2.2 Các tính chất

1.2.2.1 Tính chất 1: Nếu x0 là điểm cô lập của A thì f liên tục tại x0

Thật vậy, do x0 là điểm cô lập nên tồn tại δ− lân cận Vδ(x0) = {x ∈

R : |x−x0| < δ} sao cho Vδ(x0)∩A = {x0} Vì thế nếu x ∈ Vδ(x0)∩Athì x = x0 do đó |f (x) − f (x0)| = |f (x0) − f (x0)| = 0 < ε, với ε là

số dương cho trước bất kỳ

1.2.2.2 Tính chất 2: Nếu x0 là điểm tụ của A thì f liên tục tại x0 khi và

chỉ khi lim

x→x 0

f (x) = f (x0) Ở đây điều kiện 0 < |x − x0| không đặt

ra vì tại x = x0 ta có |f (x) − f (x0)| = 0 < ε, với ε là số dương chotrước bất kì.

1.2.2.3 Tính chất 3: Hàm f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy

Hàm f : A → R được gọi là liên tục tại x0 ∈ A nếu với mọi lân cận

V của f (x0) tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ∩ A) ⊂ V

1.2.3 Định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn

Cho hàm số f : [a, b] → R Nếu f liên tục trên (a, b), liên tục bênphải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta nói f liên tục trên đoạn[a, b]

Định lý 1.5 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn trên đó.Chứng minh Ta đi chứng minh phản chứng, giả sử f liên tục trên đoạn[a, b] nhưng không bị chặn trên đó Khi đó với mọi n ∈ N∗ tồn tại

xn ∈ [a, b] sao cho |f (xn)| > n Dãy {xn}n là dãy bị chặn, theo nguyên

lý Bolzano - Weierstrass nó có chứa một dãy con {xnk}k hội tụ đến x0

Vì a ≤ xnk ≤ b với mọi k, nên cho k → ∞ ta suy ra a ≤ x0 ≤ b Do fliên tục tại x0 ta có f (xnk) → f (x0), từ đó |f (xnk)| → |f (x0)|, (k → ∞).Mặt khác |f (xnk)| ≥ nk, vì thế |f (xnk)| → +∞, (k → ∞), ta đi đến mâuthuẫn Vậy hàm f phải bị chặn trên đoạn [a, b].

Định lý 1.6 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cậntrên đúng và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số x0, x00 ∈ [a; b]sao cho f (x0) = sup

Tương tự, ta chứng minh tồn tại x00 ∈ [a; b] sao cho f (x00) = m

Định lý 1.7 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ nhất) Giả sử hàm f :[a; b] → R liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) < 0 Khi đó tồn tại

c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết f (a) < 0

và f (b) > 0 Đặt A = {x ∈ [a; b] : f (x) ≤ 0} Vì a ∈ A nên A 6= Gọi c = sup A Ta đi chứng minh f (c) = 0 Theo định nghĩa của cậntrên đúng, tồn tại dãy {tn}n ⊂ A sao cho lim

n→∞tn = c Vì f liên tục tại

c nên f (c) = lim

n→∞f (tn) ≤ 0 Do f (b) > 0 nên c 6= b và do đó c < b.Nếu f (c) < 0 thì do f liên tục tại c, lim

x→c +f (x) = f (c) < 0, do đó tồn

tại δ > 0 sao cho c + δ < b và f (x) < 0 với mọi x ∈ [c; c + δ] Đặc biệt

f (c + δ) < 0 Vì thế c + δ ∈ A, điều này mâu thuẫn với c là cận trên của

A Vậy f (c) = 0

Định lý này có ý nghĩa hình học rất rõ ràng: Nếu một đường congliên tục đi từ một phía của trục x sang phía kia thì nó cắt trục này.Định lý 1.8 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ hai) Giả sử hàm f liêntục trên đoạn [a; b] Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa f (a) và

f (b), tức là với mọi số thực λ nằm giữa f (a) và f (b), tồn tại c ∈ [a; b]sao cho f (c) = λ

Chứng minh Nếu f (a) = f (b) định lý hiển nhiên đúng Giả sử f (a) 6=

f (b) Không mất tổng quát ta có thể xem rằng f (a) < f (b) Giả sử

λ là số sao cho f (a) < λ < f (b) Xét hàm g(x) = f (x) − λ Ta cóg(a) < 0, g(b) > 0 Theo định lý 1.2.3.3, tồn tại c ∈ (a; b) sao chog(c) = 0 hay f (c) − λ = 0 Do đó f (c) = λ

1.3 Đạo hàm của hàm một biến

∆x → 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối với x tại x0

Định nghĩa : Cho U là tập mở trong R, f : U → R là một hàm xácđịnh trên U Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểmcủa U Khi đó hàm số

f0 : U → R, x → f0(x)được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U

Nếu f0 liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay fthuộc lớp C1(U )

Định lý 1.9 Cho tập mở U ⊂ R và hàm số f : U → R

Nếu f khả vi tại x0 ∈ U thì

f (x0 + h) − f (x0) = f0(x0)h + r(h).htrong đó r(h) → 0 khi h → 0

Định lý 1.10 (Fermat) Cho tập hợp mở U ⊂ R và hàm f : U → R.Nếu điểm c ∈ U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f0(c) thì

n của f tại x0 và kí hiệu là f(n)(x0) : f(n)(x0) = (f(n−1))0(x0) Hàm f có

đạo hàm cấp n tại x0 còn gọi là khả vi cấp n tại đó Đạo hàm của hàm

số f được gọi là đạo hàm cấp một của f

Ta quy ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f

Định lí Lagrange và ứng dụng

2.1 Định lí Rolle

Giả sử hàm số f (x) liên tục trên (a; b), có đạo hàm trên [a; b] Khi

đó, nếu f (a) = f (b), thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f0(c) = 0

Chứng minh Vì f (x) liên tục trên [a; b] nên nó đạt giá trị lớn nhất M

và giá trị nhỏ nhất m Theo định nghĩa tồn tại x1, x2 ∈ [a; b] sao cho

M = f (x1) và m = f (x2)

Rõ ràng, nếu M = m, thì f (x) là hàm hằng Khi đó f0(c) = 0, vớimọi x ∈ (a; b) Trong trường hợp M 6= m thì f (x) không phải là hàmhằng, do đó phải có một trong hai điểm x1, x2 không trùng vào các điểmđầu mút a hoặc b, chẳng hạn x1 Điều này dẫn tới a < x1 < b và thế thì

x1 là một điểm cực trị Theo bổ đề Fecmat, ta có f0(x1) = 0

2.2 Định lý Lagrange

Giả sử hàm số f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) Khi

đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho

g(x) = f (x) + c, ∀x ∈ [a; b]

Chứng minh a) Ta cố định phần tử x0 ∈ [a; b] Với mọi x ∈ [a; b], x 6=

x0, tồn tại ξ nằm giữa x và x0 sao cho

f (x) − f (x0) = f0(ξ)(x − x0) = 0,tức là f (x) = f (x0) = c

b) Áp dụng phần a) cho hàm số h(x) = g(x) − f (x), ta có ngay điềuphải chứng minh

Theo hệ quả này ta thấy: Hễ F (x) là một hàm số mà đạo hàm của nóbằng f (x) trên (a; b) hoặc [a; b], thì tất cả các hàm số mà đạo hàm của

nó bằng f (x) trên khoảng hoặc trên đoạn đó đều có dạng là F (x) + C,

ở đó C là hằng số nào đấy Như vậy, nếu biết một hàm số F (x) mà

F0(x) = f (x), thì từ G0(x) = f (x), ta suy ra G(x) = F (x) + C

Ta đi xét các ví dụ sau đây

Ví dụ 2.1 a) Tìm tất cả các hàm số F (x) sao cho F0(x) = tan x.b) Tìm tất cả các hàm số G(x) sao cho G0(x) = cot x

0

Do đó, tất cả các hàm số cần tìm là F (x) = −(ln | cos x|) + C.b) Ta có

cot x = cos x

sin x =

(sin x)0sin x = (ln | sin x|)

0

Do đó, tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài là G(x) = ln | sin x| + C

Ví dụ 2.2 Tìm hàm số F (x) sao cho F0(x) = ln x.

Lời giải

Với ý tưởng là làm thế nào để viết được ln x = (?) Để làm được điều

đó ta thường dựa vào công thức tính đạo hàm của một tích, tức là nếu

u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, thì

(u.v)0 = u0.v + u.v0,hay một cách tương đương khác, ta có

u0.v = (u.v)0− u.v0.Như thế, muốn viết f (x) = (?)0, ta viết f (x) thành u0.v hoặc u.v0, rồi

sử dụng công thức trên để chuyển về công việc tương tự đối với u.v0 hay

u0.v tương ứng Với ý tưởng đó, ta giải bài toán trên như sau:

Ta có

ln x = (x)0ln x = (x)0ln x + x.(ln x)0− 1 = (x ln x)0− (x)0 = (x ln x − x)0.Vậy tất cả các hàm số cần tìm là

F (x) = x(ln x − 1) + C

Ví dụ 2.3 Tìm hàm số F (x) sao cho F0(x) = x.ex

Lời giải

Với sự phân tích như ví dụ 2.2, ta viết

x.ex = x(ex)0 = x.(ex)0+ (x)0ex− ex = (xex)0− (ex)0 = (xex− ex)0

Do đó,

F (x) = ex(x − 1) + C

Ví dụ 2.4 Tìm hàm số F (x) sao cho F0(x) = (x5+x4+x3+x2+x+1).ex.Lời giải

Với ý tưởng như các ví dụ 2.2 và ví dụ 2.3, ta hoàn toàn có thể ápdụng cho ví dụ này Tuy nhiên, nếu ta thực hiện theo cách phân tíchtrên thì sẽ dài dòng và phức tạp Bởi vậy, ta muốn tìm cách ngắn gọn

và hiệu quả hơn Trước hết ta xét hàm số

f (x) = P (x).ex,

ở đó (x) = anxn+ an−1xn−1 + + a1x + a0 là một đa thức bậc n Ta có[P (x).ex]0 = P0(x).ex + P (x).(ex)0 = [anxn + (an−1 + n.an)xn−1 + +(a1 + 2a2)x + a0 + a1].ex = Q(x).ex

Rõ ràng, Q(x) là một đa thức bậc n và như vậy, ta thấy đạo hàm củahàm số P (x).ex vẫn có dạng như thế Điều này dẫn tới hệ quả là ta cóthể tìm một hàm số có dạng P (x).ex mà đạo hàm của nó bằng Q(x).ex,

ở đó degP = degQ Dựa trên ý tưởng đó, ta giải bài toán như sau:

Ta tìm hàm số F (x) có dạng

F (x) = (a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0).ex

Vì F0(x) = (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).ex nên ta có

a5x5+ (a4+ 5a5)x4+ + (a1+ 2a2)x + a0+ a1 = x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1.Điều này xảy ra khi và chỉ khi