Hệ đếm và ứng dụng trong toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THẢO HỆ ĐẾM VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu .2-3 Chương Hệ đếm …… .4 §1 Khái niệm hệ đếm với số …… .4 §2 Qui tắc đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ số khác §3 Đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác 11 §4 Sử dụng máy tính đổi biểu diễn số từ hệ đếm số k1 sang hệ đếm số k2 ………………… …… .22 §5 Tính tốn số học hệ đếm số 30 §6 Thực tính tốn số học máy tính .38 §7 Sử dụng phép chia để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số k1 sang hệ đếm số k2 ………………… …… .43 §8 Sơ lược ứng dụng hệ đếm máy tính điện tử .46 Chương Ứng dụng hệ đếm tốn phổ thơng… 52 §1 Tính chất chia hết 52 §2 Sử dụng hệ đếm giải toán 65 Kết luận .94 Tài liệu tham khảo 95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Có thể nói hệ đếm lí thuyết tốn học xuất nhu cầu thực tiễn sống, hình thành phát triển song hành với phát triển văn minh nhân loại Trong sống ta phải sử dụng hệ đếm (cơ số 10) để tính tốn Hệ đếm số 2, với hệ đếm số 10, số 8, sở làm việc máy tính điện tử Lí thuyết hệ đếm (cơ số bất kì) cịn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác tốn học: lí thuyết chia hết, tốn rời rạc, phương trình nghiệm nguyên phương trình hàm, qui nạp tốn học, tốn trị chơi, Mặc dù hệ đếm đóng vai trị quan trọng sống hàng ngày học tập, kiến thức hệ đếm cịn quan tâm giảng dạy trường phổ thơng Vì phần lớn học sinh sử dụng thành thạo ứng dụng hệ đếm (máy tính điện tử, máy ảnh số, máy nghe nhạc, ) khơng có kiến thức sơ đẳng hệ đếm Thí dụ, phần lớn học sinh biết sử dụng máy tính điện tử khoa học để làm phép tốn, khơng phép tốn số học, mà cịn phép tốn cao cấp (lấy modulo, tính theo cơng thức truy hồi ), khơng hiểu chế thực tính tốn máy Luận văn Hệ đếm ứng dụng tốn phổ thơng có mục đích trình bày kiến thức hệ đếm số ứng dụng hệ đếm giải tốn phổ thơng (các tiêu chuẩn chia hết hệ đếm bất kì, phương pháp hệ đếm giải lớp toán thi vô địch quốc gia quốc tế) Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức hệ đếm tính tốn máy: Khái niệm hệ đếm, đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác, tính tốn số học hệ đếm số bất kì; Sử dụng máy tính khoa học (Caculator, Vianacal Vn-570MS, Casio fx570MS, Casio fx-570ES, ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn phần mềm tính tốn Maple để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác tính tốn số học hệ đếm số Cuối chương trình bày sơ lược ngun lí trao đổi thơng tin máy tính điện tử Chương trình bày hai ứng dụng hệ đếm tốn phổ thơng Một số tính chất chia hết hệ đếm số 10 mở rộng sang cho hệ đếm số §1 Chương Điều cho phép nhìn lại qui tắc tiêu chuẩn chia hết hệ đếm số 10 ứng dụng để giải số toán chia hết Ứng dụng hệ đếm giải toán minh họa nhiều toán thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế §2 Chương, qua ta thấy rõ mối quan hệ hệ đếm với vấn đề khác tốn phổ thơng (phương trình hàm, phương trình nghiệm nguyên, dãy truy hồi, ) Những thi vô địch có [7] [8] khơng trình bày Vì vậy, kết hợp § với [7] [8], số lượng toán đủ nhiều để coi Hệ đếm phương pháp giải tốn gặp phương trình hàm, phương trình nghiệm ngun, Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng Xin tỏ lòng cám ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác giả nhận học vấn sau đại học Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cảm thông, ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian tác giả học Cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2009 Tác giả Đỗ Thị Thảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương HỆ ĐẾM §1 Khái niệm hệ đếm với số 1.1 Mở đầu Trong sống hàng ngày thường sử dụng số hệ đếm thập phân Tất số hệ thập phân tạo nên từ chữ số từ đến Hệ đếm thập phân, hay gọi hệ đếm số 10 (decimal system, viết tắt Dec máy tính điện tử khoa học–Scientific Calculator, thường dịch máy tính cầm tay họăc máy tính bỏ túi máy tính Calculator cài đặt Window) Hệ đếm thập phân xuất Ấn độ vào kỷ sau công nguyên Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber Abaci L Fibonacci, nhà toán học thương gia người Ý, khoa học Ả rập hệ đếm số 10 truyền bá vào châu Âu Với phát minh nghề in vào kỉ 15 10 chữ số có hình dạng cố định Các số viết hệ thập phân gồm phần: Phần nguyên phần thập phân ngăn cách dấu phẩy dấu chấm Máy tính điện tử nước giới sử dụng dấu chấm, Việt nam sử dụng dấu phẩy Hệ đếm thập phân sử dụng 10 ký tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Hệ đếm thập phân hệ đếm theo quy tắc vị trí Giá trị ký tự giống hoàn toàn khác đứng vị trí khác nhau: gặp 10 thêm nấc (đủ 10 thêm đơn vị vào hàng bên trái nó), hay cịn gọi hệ thập tiến Do tính thập tiến người ta biết chữ số đứng bên trái 10 lần chữ số đứng bên phải hai chữ số Điều khác với hệ La Mã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Người ta cố lý giải hệ đếm thập phân lại đa số nước giới sử dụng đến Có nhiều lý giải đưa hai bàn tay có 10 ngón, ta dễ dàng đếm 10 ngón tay Và đứa trẻ tập đếm chúng thường đếm đầu ngón tay Ngồi hệ đếm thập phân liệu cịn có hệ đếm khác hay khơng? Chúng ta nhìn lại chút hệ đếm với số khác mà nước, dân tộc giới sử dụng Hệ đếm số 60 người Babilon xuất sớm ngày dùng để đo góc thời gian: Một độ có 60 phút, phút có 60 giây,… Tại người Babilon lại thích sử dụng hệ đếm số 60 đến vậy? Cho đến có nhiều giả thuyết khác vấn đề Một giải thích hiểu biết người Babilon hệ mặt trời: Người Babilon quan sát thấy chu kì trái đất quay quanh mặt trời 360 ngày Có giả thuyết cho 60 có nhiều ước số: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 nên thực phép chia thu nhiều số chẵn (ngun) Cịn số 10 có ước nên thực phép chia thu nhiều số lẻ (phân số) Để biểu diễn số hệ đếm số 60 ta phải sử dụng 60 ký tự Và hệ đếm chữ số đứng bên trái 60 lần chữ số đứng bên phải hai chữ số giống Hệ đếm số Thời cổ đại tộc nguyên thủy thường dùng hệ đếm số 5, tương ứng với việc đếm năm ngón tay Ở hệ đếm thì thêm nấc (đủ thêm đơn vị vào hàng bên trái nó) Như hệ đếm số người ta phải sử dụng ký tự 0, 1, 2, 3, Và giống hệ đếm khác, chữ số đứng bên trái lần chữ số đứng bên phải hai chữ số giống Hiện người Trung Quốc người Nhật Bản dùng bàn tính gẩy dựa hệ đếm số Hệ đếm số 20 Có dân tộc dùng 10 ngón chân 10 ngón tay để đếm 20 họ thêm nấc (đủ 20 thêm đơn vị vào hàng bên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn trái nó) Chính mà có hệ đếm số 20 Hệ đếm người Maia cổ sử dụng Cho đến ngày Đan Mạch Pháp người ta sử dụng hệ đếm số 20 Với họ 60 hiểu lần 20; 80 hiểu lần 20 (quatre vingts-quatre=bốn, vingt=20 tiếng Pháp); 90 hiểu lần 20 rưỡi; 93 hiểu thêm vào lần 20 rưỡi Cách nói đơn vị trước nói hàng chục trước kỷ 18 phổ biến châu Âu, Đức sử dụng Ở hệ đếm số 20 ta phải sử dụng 20 chữ số, chữ số từ đến người ta đưa vào chữ thay cho giá trị số từ 10 đến 19 Và giống hệ đếm chữ số đứng bên trái 20 lần chữ số đứng bên phải chữ số giống Trong đo lường người ta sử dụng nhiều hệ đếm khác Hệ đếm số 12 sử dụng nhiều nước giới ngày sử dụng nhiều Anh, nhiều nơi giới sử dụng hệ đếm số 12 Một thước Anh 10 tấc Anh mà 12 tấc Anh Chúng ta hay dùng đơn vị inch, 18 inch thước tấc mà thước Anh tấc Anh Ở Anh người ta dùng đơn vị “tá” gồm 12 chiếc, 12 “tá” gọi “rá” Có lẽ người Trung Quốc sử dụng hệ đếm số 12 hệ đếm số 60 (chu kì 12 giáp,…) Tùy theo yêu cầu thực tế mà người ta lại dùng hệ đếm với số Hệ đếm số hay hệ đếm nhị phân (binary system, viết tắt Bin máy tính khoa học máy tính Caculator cài đặt Window) Khi máy tính điện tử xuất hiện, người ta sử dụng hệ đếm nhị phân Đó hệ đếm sử dụng hai ký tự Mỗi ký tự đứng bên trái hai lần ký tự đứng bên phải ký tự Việc sử dụng hệ đếm nhị phân với hai ký tự gần với logic mệnh đề nhận hai giá trị sai tương ứng với giá trị Nó tương ứng với việc mạch Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn điện hai trạng thái đóng mở Phép đếm nhị phân với phép toán logic sở hoạt động máy tính Do có hai ký tự nên việc biểu diễn số hệ đếm số dài, máy tính sử dụng hệ đếm số hệ đếm số 16, thuận tiện biểu diễn số ước 16 Hệ đếm số hay hệ bát phân (octal system, viết tắt Oct máy tính khoa học máy tính Caculator) Đây hệ đếm sử dụng ký tự 0, 1, 3, 4, 5, 6, Mỗi ký tự đứng bên trái lần ký tự đứng bên phải hai ký tự giống Hệ đếm số 16 (hexadecimal system, viết tắt Hex máy tính khoa học Caculator) Nếu sử dụng 10 ký tự từ đến hệ đếm thập phân chưa đủ để biểu diễn số hệ đếm số 16 Vì người ta đưa thêm vào ký tự: A, B, C, D, E, F tương ứng với 10, 11, 12, 13, 14, 15 Như hệ đếm ta sử dụng 16 ký tự: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Mỗi ký tự đứng bên trái 16 lần ký tự đứng bên phải hai ký tự giống Thực hệ đếm số 16 có Trung Quốc từ xưa, thời trước cân Trung Quốc có tới 16 lạng (bên tám lạng bên nửa cân, nhau) Hệ đếm số 24 dùng đếm số ngày Hệ đếm số 30 đếm số ngày tháng Hệ đếm số (hệ tam phân) gồm ba chữ số 0, 1, hay 0, 1, Hệ đếm số dùng để đếm số tháng q Có dân tộc sử dụng hệ đếm số thời gian dài Với số lớn họ dùng từ vài nhiều Do tính chất đối xứng nên hệ đếm số có nhiều tính chất thú vị tiện dụng nghiên cứu, số phịng thí nghiệm đặc biệt người ta sử dụng máy tính mà thiết kế dựa số Tuy nhiên loại máy tính sử dụng rộng rãi Hệ đếm số đếm số ngày tuần,… Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Như khái quát rằng: đếm viết số theo số hay quy tắc Từ ta hiểu số viết theo số k có nghĩa gì? Giá trị thập phân bao nhiêu? 1.2 Hệ đếm với số Định nghĩa Cho b số hữu tỷ dương, k số tự nhiên, b có dạng b = bn × k n + bn−1 × k n−1 + + b1 × k + b0 × k + b−1 × k −1 + b−2 × k −2 + + b− m × k − m ( ≤ b ≤ k − 1;b i n ) ≥ 0; i = −m, n b số viết hệ đếm số k là: b = (bnbn−1 b1b0 b−1b−2 b− m ) k , k số hệ đếm, bi (i = − m; n) chữ số b , bn bn −1 b1b0 phần nguyên, b−1b−2 b− m phần lẻ (được gọi phần phân) Thí dụ (2354.12)10 = × 103 +3 × 102 +5 × 101 +4 × 100 +1 × 10-1 +2 × 10-2 ;  20671  (2354.12)6 = × 63 +3 × 62 +5 × 61 +4 × 60 +1× 6-1 +2 × 6-2 =   ;  36 10 (3576587612356123)9 = × 915 +5 × 914 +7 × 913 +6 × 912 +5 × 911 +8 × 910 +7 × 99 +6 × 98 +1 × 97 +2 × 96 +3 × 95 +5 × 94 +6 × 93 +1 × 92 +2 × 91 +3 × 90 = (751732772433382)10 ; (3576587612356123)12 =3 × 1215 +5 × 1214 +7 × 1213 +6 × 1212 +5 × 1211 +8 × 1210 + × 129 +6 × 128 +1 × 127 +2 × 126 +3 × 125 +5 × 124 +6 × 123 +1× 122 +2 × 121 +3 × 120 = (53447355208631113)10 ; Từ thí dụ ta thấy hai số viết chữ số hệ đếm số khác giá trị thập phân hồn tồn khác nhau, ta dễ dàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn chứng minh số viết hệ đếm với số lớn giá trị thập phân lớn Và số chữ số giống đứng vị trí khác có giá trị hồn toàn khác Như viết số dù hệ đếm số bao gồm hai phần: phần nguyên phần phân (hay gọi phần lẻ), hai phần ngăn cách với dấu “,” dấu “.” Phần đứng bên trái dấu “,” “.” gọi phần nguyên, phần đứng bên phải dấu “,” “.” gọi phần lẻ hay phần phân Nếu số có phần lẻ khơng cần dùng dấu “,” “.” số gọi số nguyên Nếu số b viết hệ đếm số 10 khơng cần viết số kèm theo Vấn đề đặt ta có số b viết hệ đếm số k ta chuyển sang hệ đếm với số khác hay không? Làm để đổi biểu diễn từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác? §2 Qui tắc đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác Việc chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác dựa định lý sau Định lý 2.1 Cho b k số tự nhiên Khi tồn số tự nhiên a, r với ≤ a < b; ≤ r < k , cho b = ka + r Nếu b chia hết cho a r = Chứng minh Nếu b < k a = 0; ≤ r = b < k Nếu b ≥ k Theo tiên đề Archimedus tồn số a cho ka ≤ b ≤ (a + 1)k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn F1 = ( 0.373737 ) R = 37 37 3R + = = 21 ; R1 ( R1 − 1) + ( R1 − 1) R1 − R1 − F2 = ( 0.737373 ) R = 73 73 7R + = = 21 R1 ( R1 − 1) + ( R1 − 1) R1 − R1 − 1 Tương tự, hệ số R2 , ta có F1 = ( 0.252525 ) R = 25 25 2R + ; = = 22 R2 ( R2 − 1) + ( R2 − 1) R2 − R2 − F2 = ( 0.525252 ) R = 52 52 5R + = = 22 R2 ( R2 − 1) + ( R2 − 1) R2 − R2 − 2 Suy ra: F1 + F2 = F1 + F2 = Vậy ta có: 3R1 + 7 R1 + 10 R1 + 10 10 + = = 2 R1 − R1 − R1 − R1 − R2 + 5R2 + R2 + 7 + = = R22 − R22 − R22 − R2 − R1 − R2 − = hay R1 − 10 R2 + = 10 Mặt khác, F1 − F2 = 3R1 + 7 R1 + 4R − −4 − = − 21 = R1 − R1 − R1 − R1 + R2 + 5R2 + 3R − −3 − = − 22 = R2 − R2 − R2 − R2 + F1 − F2 = Suy R1 − R2 − = hay 3R1 − R2 − = Giải hệ phương trình R1 − 10 R2 + = 0; 3R1 − R2 + = ta R1 = 11 R2 = Vậy R1 + R2 = 19 Đáp án e) đáp án Bài toán 18 (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi tốn tồn nước Mỹ, 1981) Trong hệ đếm số 8, cho số phương ab3c , a ≠ Vậy c (chọn năm đáp số): a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) Không xác định cách 81 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... tốn máy Luận văn Hệ đếm ứng dụng tốn phổ thơng có mục đích trình bày kiến thức hệ đếm số ứng dụng hệ đếm giải tốn phổ thơng (các tiêu chuẩn chia hết hệ đếm bất kì, phương pháp hệ đếm giải lớp tốn... sang hệ đếm số k2 ………………… …… .43 §8 Sơ lược ứng dụng hệ đếm máy tính điện tử .46 Chương Ứng dụng hệ đếm tốn phổ thơng… 52 §1 Tính chất chia hết 52 §2 Sử dụng hệ đếm giải toán. .. hết hệ đếm số 10 mở rộng sang cho hệ đếm số §1 Chương Điều cho phép nhìn lại qui tắc tiêu chuẩn chia hết hệ đếm số 10 ứng dụng để giải số toán chia hết Ứng dụng hệ đếm giải toán minh họa nhiều toán