Định lý Lagrange và ứng dụng trong toán phổ thông

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA: TỐN ——————————————– BÙI TH± LINH бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TỐN PHO THƠNG KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC HÀ N®I, 2012 TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA: TOÁN ——————– * ——————— BÙI TH± LINH бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TỐN PHO THƠNG KHĨA LU¾N TOT NGHIfi ĐAI HOC Chun ngành: Giái tích Ngưài hưáng dan khoa hoc THS PHÙNG ĐÚC THANG Hà N®i, 2012 Khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc Bùi Th% Linh LèI CÁM ƠN Trong trình nghiên cúu đe tài vói sn hưóng dan nh¾t tình cna thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang Cùng vói sn giúp đõ cna Thac sy Pham Xuân Th%nh , sn no lnc cna bán thân em phan nghiên cúu đưoc đe tài Do han che ve thòi gian, kien thúc nên chac chan khóa lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em rat mong có đưoc nhung ý kien đóng góp q báu cna thay ban quan tâm đe đe tài đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn sn hưóng dan giúp đõ chí báo nhi¾t tình t¾n tâm cna thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang toàn the thay giáo to giái tích, thay giáo khoa Toán, Thac sy Pham Xuân Th%nh quan tâm tao đieu ki¾n giúp đõ em hồn thi¾n khóa lu¾n này, suot thòi gian thnc t¾p nghiên cúu tai trưòng ĐHSP Hà N®i Sinh viên Bùi Th% Linh Khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc Bùi Th% Linh LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p vói đe tài: "бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TỐN PHO THƠNG" cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi, ket q khơng trùng vói ket q Neu sai tơi xin ch%u hồn tồn trỏch nhiắm H Nđi, ngy 08 thỏng 05 nm 2012 Sinh viên Bùi Th% Linh Mnc lnc Kien thNc chuan b% 1.1 Giói han cna dãy so thnc giói han cna hàm so 1.1.1 Đ%nh nghĩa giói han cna dãy so thnc 1.1.2 Đ%nh nghĩa giói han cna hàm so 1.2 Hàm so liên tuc 10 1.2.1 Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc tai m®t điem 10 1.2.2 Các tính chat 10 1.2.3 Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc m®t đoan .11 1.3 Đao hàm cna hàm m®t bien .13 1.3.1 Đao hàm cap m®t 13 1.3.2 Đao hàm cap cao 15 1.3.3 Đ%nh nghĩa .15 Đ%nh lí Lagrange Nng dnng 17 2.1 Đ%nh lí Rolle .17 2.2 Đ%nh lý Lagrange 17 Khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc Bùi Th% Linh Mé ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet giói han só cna giái tích tốn hoc Bói v¾y, nghiên cúu ve lĩnh vnc thưòng xuyên phái giái quyet tốn liên quan đen giói han, phan lón liên quan đen giói han cna dãy so giói han hàm so Giái tốn giói han cna dãy so vi¾c làm het súc phúc tap khó khăn đoi vói sinh viên em hoc sinh khá, giói tốn trung hoc thơng Các tốn giói han nam chương trình quy %nh cna hđi toỏn hoc Viắt Nam oi vúi kì thi Olympic tốn hoc sinh viên hang năm giua trưòng Cao Đang Đai hoc ve b® mơn giái tích Giái tốn ve giói han dãy so có nhieu phương pháp khác nhau, đ%nh lý Lagrange m®t phương pháp manh đe giái tốn giói han dãy so khó phúc tap Vúi muc ớch tiep cắn mđt húng nghiờn cỳu cna tốn hoc hi¾n đai, đưoc sn hưóng dan chí báo t¾n tình cna Thac sy Phùng ĐÚc Thang , tơi chon đe tài: "бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TỐN PHO THƠNG" Mnc đích nghiên cNu Cung cap cho hoc sinh m®t phương pháp đe có the xú lý tốn giói han dãy so khó đa dang Qua cnng co kien thúc ve Khóa lu¾n tot nghi¾p đai Bùi Th% Linh hoc giói han cho hoc sinh giúp hoc sinh v¾n dung thành thao đ%nh lý Lagrange Nhi¾m nghiên cNu Nhac lai kien thúc bán ve giói han Giúp hoc sinh nam chac đ %nh lý Lagrange v¾n dung sáng tao đ%nh lý đe giái tốn ve giói han Đoi tưang pham vi nghiên cNu + Đoi tưong nghiên cúu: Sinh viên hoc sinh THPT + Pham vi nghiên cúu: Đ%nh lý Lagrange úng dung tốn thơng Phương pháp nghiên cNu Sú dung đ%nh nghĩa, đ%nh lý, tính chat cna giói han dãy so, giói han hàm so, hàm so liên tuc đao hàm cap m®t cap cao cna hàm m®t bien vào khóa lu¾n DN kien đóng góp mái Đưa đưoc úng dung cna đ%nh lý Lagrange vào vi¾c giái tốn ve giói han cna tốn thơng Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Giái han cúa dãy so thNc giái han cúa hàm so 1.1.1 Đ%nh nghĩa giái han cúa dãy so thNc Cho dãy so thnc {un} So a ∈ R đưoc goi giói han cna dãy {un} neu vói moi ε > cho trưóc bao giò ton tai m®t so n0 (phu thu®c ε) cho vói moi n > n0 ta đeu có |un − a| < ε Khi ta nói rang dãy {un} hay h®i tu đen a hay tien đen giói han a ta viet un → a(n → ∞) hay lim un = a n →∞ M®t dãy khơng có giói han đưoc goi dãy phân kì 1.1.2 Đ%nh nghĩa giái han cỳa hm so 1.1.2.1 Lõn cắn cỳa mđt iem Cho điem x0 ∈ R so ε > Khoáng (x0 − ε, x0 + ε) đưoc goi S ε- lân c¾n cna x0, kí hi¾u ε(x0) S Như v¾y, ε(x0) = {x ∈ R| |x − x0| < ε} T¾p V ⊂ R đưoc goi lân c¾n cna điem x0 neu ton tai ε > cho Khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc S ε(x0) Bùi Th% Linh ⊂ V Chú ý a) Lân cắn cna mđt iem bao giũ cng chỳa iem ú neu V S S lân c¾n cna x0, ⊃ V lân c¾n cna x0 b) Neu V1, V2 hai lân c¾n cna x0 V1 ∩ V2 lân c¾n cna x0 1.1.2.2 iem tn cỳa mđt hap iem x0 R đưoc goi điem tu ( hay điem giói han ) cna t¾p hop A ∈ R neu moi lõn cắn V cna x0 eu chỳa ớt nhat mđt điem cna A khác x0, túc V ∩ (A\{x0}) ƒ= ∅, vói moi lân c¾n V cna x0 Tù đ%nh nghĩa ta suy rang x0 điem tu cna t¾p hop A chí moi lân c¾n cna x0 đeu chúa vơ so điem cna A 1.1.2.3 Điem l¾p cúa t¾p hap Cho t¾p hop A ⊂ R Điem x0 ∈ A đưoc goi điem l¾p cna t¾p hop A neu ton tai mđt lõn cắn V cna x0 cho V A = {x0} (tắp gom mđt iem x0) 1.1.2.4 Đ%nh nghĩa giái han cúa hàm so Cho x0 điem tu cna t¾p hop A ⊂ R hàm so f : A → R Hàm so f đưoc goi h®i tu đen b ∈ R x → x0 hay b giói han cna hàm so f x → x0 neu vói moi ε > ton tai δ > cho |f (x) − b| < ε vói moi x ∈ A thóa mãn đieu ki¾n < |x − x0| < δ Khi đó, ta kí hi¾u lim x→x0 f (x) = b hay f (x) → b x → x0 Chú ý Trong đ%nh nghĩa ta chí xét đen nhung giá tr% f (x) úng vói nhung giá tr% x ú mđt lõn cắn no ú cna x0 Đieu ki¾n < |x − x0| nói lên rang x ƒ= x0 Vì the tai điem x0 (x0 điem tu cna A) hàm so Chúng minh Vói moi so tn nhiên n ≥ 1, ta có |un+1 − un| = |f (un) − f (un+1)| ≤ c|un − un−1| Tù đó, bang quy nap ta đưoc |un+1 − un| ≤ cn−1|u2 − u1|; ∀n ≥ Áp dung đieu này, vói moi m > n ≥ : |um − un| = |um − um−1 + um−1 − um−2 + + un+1 − un| ≤ |um − um−1| + |um−1 − um−2| + + |un+1 − un| m− + + + cm−3 ≤ (c cn−1 ).|u2 − u1 | = Vì lim n→+∞ cn−1 1− cn−1(1 − cm−n) 1−c |u2 − u1 | ≤ cn−1 |u2 − u1| 1− c |u2 − u1| = nên vói moi ε > nhó tùy ý, ton tai so tn c nhiên n0 cho n−1 c cn−1 |u2 − u1 | = |u2 − u1 | − < ε, ∀n > n0 1−c 1−c Do |um − un| < ε, ∀n > n0 Theo m¾nh e (2.1), dóy un hđi tu x0 = lim { } →+∞ un, n |un+1 − f (x0)| = |f (un) − f (x0)| ≤ c|un − u0|, ∀n ≥ 1, suy lim n→+∞ |un+1 − f (x0)| ≤ n c|un − u0| = hay lim |un+1 − n lim →+∞ →+∞ f (x0) = 0, túc | lim un = f (x0) Nhưng giói han cna dãy so →+∞ {un} nhat nên f (x0) = x0 Cuoi cùng, neu có x ∈ D cho f (x) = x, |x − x0| = |f (x) − f (x0)| ≤ c|x − x0| x = x0 Ví dn 2.18 Cho so thnc a dãy so {un} xác đ%nh bói u1 = a un+1 = ln(3 + sin un + cos un) − 2008 Chúng minh rang dãy so có giói han n → +∞ Lòi giái Xét hàm so f (x) = ln(3 + sin x + cos x) − 2008, ta có u1 = a, un+1 = f (un) Rõ ràng f r(x) = Đieu cho ta cos x − sin x √ sin( π − x) = π + + sin x + cos cos( − x) √ x √ √ π sin(4 − x) |x − y| √ |f r(x)| = ≤ √ + cos(π − 3− x) √ √ < nên dãy so {un} h®i tu ve nghi¾m nhat cna phương 3− trình f (x) = x Vì Ví dn 2.19 Chúng minh dãy so {un} xác đ%nh bói u1 ∈ R un+1 = h®i tn Lòi giái Xét hàm so f (x) = 2 ln(1 + un), n ≥ 1 ln(1 + x2), x x , ∀x ∈ R r |f (x)| = + x2 ≤1 + x moi x, y ∈ R, x ƒ= y ton tai c nam giua nên theo đ%nh lý Lagrange, vói un+1 = f (un) Do f r (x) = x y cho |f (x) − f (y)| = |f r(c)|.|x − y| ≤ |x − y| Đieu dan tói f (x) m®t hàm so co the dãy so {un} h®i tu giói han cna nghi¾m nhat cna phương trình f (x) = x Đ%nh lý 2.1 (Đ%nh lý Cauchy) Giá sú hàm so f (x) g(x) liên tnc [a; b], có đao hàm (a; b) cho gr(x) ƒ= 0, vói moi x ∈ (a; b) Khi đó, ton tai c ∈ (a; b) cho f r(c) f (b) − f (a) = r(c) g g(b) − g(a) Chúng minh Xét hàm so h(x) = g(x)[f (b) − f (a)] − f (x)[g(b) − g(a)] Hàm so liên tuc [a; b] có đao hàm (a; b) Hơn nua, de dàng thay rang h(a) = h(b) Theo đ%nh lý Rolle, ton tai c ∈ (a; b) cho hr(c) = 0, túc gr(c)[f (b) − f (a)] − f r(c)[g(b) − g(a)] = Đieu tương đương vói f r(c) f (b) − f (a) = r g (c) g(b) − g(a) Trong m®t so ví du ó phan trưóc, ta biet rang neu P (x) l mđt a thỳc bắc n v x0 ∈ R, ta có (x ) n (k) P (x) = (x − )k P x k=0 k! Nhò vào đ%nh lý Cauchy, ta có the mó r®ng ket q cho hàm vi bat kì Cu the hơn, ta có M¾nh đe 2.2 (Công thúc khai trien Taylor) Giá sú hàm sof (x) có đao hàm tói cap n + (a; b), x0 ∈ (a; b) Khi đó, vói moi x ∈ (a; b), ton tai ξ nam giua x x0 cho (k) (x0) n f (x) f= k=0 x k! (n+1 (ξ) (x ) (x − )fk + x − (n + 1)! )n+1 Chúng minh Neu x = x0, cơng thúc can chúng minh hien nhiên Vì the, ta chí xét x ƒ= x0 Đ¾t n f (k) G(x) = (x − n+1 F (x) = f (x) − (x0) k=0 (x − x ) x0) k k! n f (k)(x ) Khi đó, ta k có (x x ) − F (x) = f (x) − − ( (k) − 1)! k=1 n f k (x0) (x x ) k−2 rr rr F (x) = f (x) − − k=2 ( − 2)! · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·k· · · · · · · · · · · · · · · · · · r F (n) (x) = f r (n) (x) − f (n) (x0), F (n+1) (x) = f (n+1) (x) Và Gr(x) = (n + 1)(x − x0)n, Grr(x) = (n + 1)n(x − x0)n+1, · · · , G(n+1) (x) = (n + 1)! Rõ ràng, F (l)(x0) = G(l)(x0) = 0, vói moi l = 0; 1; ; n Áp dung đ %nh lý Cauchy, ton tai c1 nam giua x x0 cho F (x) G(x) = F (x) − F (x0) G(x) − G(x0) = F r(c1) Gr (c1 ) Lai áp dung đ%nh lý cho hàm F r(x), Gr(x), ton tai c2 nam giua x0 c1 đe F r(x) F r(c1) − F r Gr(x) = (x0) Gr (c1 ) − Gr (x0 ) F rr (c2 ) = Grr(c2) Cú tiep tuc v¾y, ta nh¾n đưoc dãy c1, c2, , cn mà ci+1 nam giua x0 ci thóa mãn (n) F (x) = · · · F (cn) F r = G(x) = G(n)(cn) (c1) Gr (c1) Cuoi cùng, lai theo đ%nh lý Cauchy, ton tai ξ nam giua x0 cn cho F (n) (cn) G(n)(c Vì the, túc F (x) = = n) F (n+1) (ξ) = (n+1) G (ξ) G(n)(cn) − G(n) (x0) F (x) F (n+1) = F (n+1) (ξ), G(x) = (ξ) (n + 1)! (n+1) G F (n+1)(ξ) (ξ) (x − x0)n+1, hay nói cách khác đi, ta có (n + 1)! n f (x) f= k=0 Chú ý F (n)(cn) − F (n) (x0) (k) (x0) x k! (x − )Fk + (n+1 (ξ) (x ) x (n + 1)! − )n+1 Neu ∈ (a; b) x0, ta nh¾n đưoc cơng thúc khai trien Maclaurin sau f (x) =n f (k) k=0 (x0) f k! k x + (n+1 (ξ) n+1 ) x , (n + 1)! ó ξ so nam giua x Ví dn 2.20 Khai trien Maclaurin cúa m®t so hàm so quen thu®c sau a) sin x = x x3 + x5 − 3! 5! − b) cos x = − x2 + x4 2! 4! − x7 ! x6 ! +··· +··· c) tan x = x + x2 + 16x5 + · · · 3! 5! x d) ex = + x x + +··· + 3! 2! x2 Ví dn 2.21 Hói hàm so f (x) ex − − x − có đao hàm tai x = = hay khơng? Lòi giái Theo cơng thúc khai trien Maclaurin ta có x x ex = + x +2 +3 x2 + + o(x3), + = + x + x 2! 3! ) ó o(x3) vô bé cna x3, túc lim o(x x→0 = f (x) Theo đó, lim x→0 x2 ex − − x − = f (x ) − f (0) x− = lim x→0 = Đe ý x3 x3 x + o(x3) √3 + o(x) 6 = √3 x o(x) + = √3 V¾y hàm so cho có đao hàm tai x = f r(0) √3 = Ví dn 2.22 Cho hàm so f (x) có đao hàm cap hai đoan [0; 1] cho f (0) = f (1) = f (x) = −1 Chúng minh rang max f rr (x) ≥ [0;1 ] [0;1] Lòi giái Rõ ràng, f (x) liên tuc [0; 1] the ton tai x0 ∈ [0; 1] cho f (x0) = f (x) − = trùng vói [0;1] Do f (0) = f (1) = nên x0 khơng bat kì điem mút cna đoan này, túc x0 ∈ (0; 1) Đieu chúng tó x0 phái m®t điem cnc tieu the, theo bo đe Fecmat ta có f r(x0) = Ta khai trien Taylor cho hàm so f (x) tai x0, ton tai c nam giua x x0 cho f (x) = f (x0) + f r(x0)(x − x0 ) + f rr(c) 2, x ∈ [0; 1] (x − x0 ) Cho lan lưot x = 0, x = ta đưoc f = −1 + rr (c1 ) f rr (c2 ) x0 = −1 (1 − x0 ) 2 + Tù suy rr [f rr (c1) + f (c2)] = Nhưng x0 + ≥ (1 − x 0)2 max f rr(x) ≥ [0;1] 1 + − x0 x0 [f rr(c1) + f rr(c2)] Bat thúc cho ta đieu phái chúng minh .2 ≥ KET LU¾N Đ%nh lý Lagrange m®t phương pháp manh xú lý tốn giói han phúc tap đa dang Hơn nua giúp cho giáo viên sáng tao tốn ve giói han dãy so cho hoc sinh rèn luy¾n Hy vong van đe mà em đe c¾p đen đe tài se giúp ích đáng ke cho sinh viên, em hoc sinh PTTH, đ¾c bi¾t hoc sinh giói nhung muon tìm hieu, quan tâm đen khía canh day hoc tốn hoc Vói thòi gian chuan b% cha nhieu, cđng vúi kien thỳc cng nh kinh nghiắm nghiên cúu cna bán thân han che nên đe tài khơng tránh khói nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn giúp đõ cna thay giáo ban đe tìm đưoc ý tưóng tot bo xung cho e ti oc hon thiắn hn Mđt lan nua em bày tó lòng biet ơn đoi vói thay khoa Tốn, đ¾c bi¾t thay giáo Phùng ĐÚc Thang , ngưòi nhi¾t tình hưóng dan em làm khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn ! Tài li¾u tham kháo [1] Tơ Văn Ban, Giái tích - Nhung t¾p nâng cao, Nxb Giáo Duc, 2004 [2] Nguyen Văn M¾u, Giói han dãy so hàm so, Nxb Giáo Duc, 2000 [3] Nguyen Văn M¾u - Nguyen Thúy Thanh, Chuyên đe boi dưõng hoc sinh giói tốn THPT gói han dãy so hàm so, Nxb Giáo Duc, 2004 [4] Sách giáo khoa Giái tích đai so 11-B® Giáo duc Đào tao, tái bán 2009 66 ... Phùng ĐÚc Thang , chon đe tài: "бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TOÁN PHO THƠNG" Mnc đích nghiên cNu Cung cap cho hoc sinh m®t phương pháp đe có the xú lý tốn giói han dãy so khó đa dang Qua... nghĩa .15 Đ%nh lí Lagrange Nng dnng 17 2.1 Đ%nh lí Rolle .17 2.2 Đ%nh lý Lagrange 17 Khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc Bùi Th% Linh Mé ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet giói han só... sinh v¾n dung thành thao đ%nh lý Lagrange 3 Nhi¾m nghiên cNu Nhac lai kien thúc bán ve giói han Giúp hoc sinh nam chac đ %nh lý Lagrange v¾n dung sáng tao đ%nh lý đe giái tốn ve giói han Đoi