Định lí ostrogradsky – gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí (2018)

Đối tượng nghiên cứu Trường vector Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector điện trường và từ trường Một số bài toán vật lí 4.. Một trong số trường vector thường gặp nhất đó

HÀ NỘI, 2018

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

HÀ NỘI, 2018

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Thư viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 đã tạo điều kiện cho cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành công trình nghiên cứu này

Do những điều kiện chủ quan và khách quan chắc chắn luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng… năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Anh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những gì viết trong khóa luận “Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí” là kết quả nghiên cứu của cá nhân dưới sự hướng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Phương Lan Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng… năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Anh

Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến

Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy

Hình 1.8: Đường sức trong điện trường

Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước

Hình 1.10: Ống dòng

Hình 1.8: Mặt S và các vector vi phân diện tích d SndS

Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

CHƯƠNG I: TRƯỜNG VECTOR 4

1.1 Trường vector 4

1.1.1 Khái niệm trường vector 4

1.1.2 Ví dụ cụ thể về trường vector 5

1.2 Rotation 7

1.3 Đường dòng 11

1.3.1 Trường vận tốc 11

1.3.2 Đường dòng 12

1.4 Thông lượng và Divergence của trường vector 15

1.4.1 Thông lượng của một trường vector 15

1.4.2 Divergence của trường vector 16

1.4.3 Ý nghĩa của divergence 19

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƯỜNG VECTOR 20

2.1 Đinh lí Ostrogradsky- Gauss 20

2.2 Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trường 21

2.3 Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trường 26

Chương 3 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector vào giải các bài toán vật lí 30

3.1 Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ 32 3.2 Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu 40

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

thiết

Vật lí lí thuyết là bộ môn khoa học nghiên cứu về các vấn đề như cơ học

lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, cơ học lượng tử Là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí Dựa trên nền tảng là các

mô hình vật lí , các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí Thuyết vật lí

là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lí nhất định Dựa trên một mô hình vật lí tưởng tượng, các nhà vật lí lí thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lí vật lí dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn

Sau khi tìm hiểu bộ môn tôi đã biết một số nguyên lí đặc trưng và trong

đó có định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector là một định lí quan trọng Tôi nhận thấy đây là một phần khó phải biết được bản chất vật lí và phương pháp toán học ( giải tích vector hay tính các loại tích phân, ) trong khi đó kiến thức toán học còn hạn chế Do vậy việc giải các bài toán vật lí sẽ

gặp rất nhiều khó khăn Chính vì lí do đó nên tôi chọn đề tài:“ Định lí

Ostrogradsky – Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí ”

2 Mục đích nghiên cứu

2

Tìm hiểu về trường vector

Tìm hiểu về định lí Ostrogradsky- Gauss trong trường vector ( điện trường và trong từ trường)

Phương pháp giải một số bài toán vật lí

3 Đối tượng nghiên cứu

Trường vector

Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector (điện trường và từ trường)

Một số bài toán vật lí

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về trường vector

Nghiên cứu về định lí Otragradsky – Gauss trong trường vector (điện trường và từ trường)

Nghiên cứu một số phương pháp giải các bài toán vật lí

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo

Thống kê, lập luận, diễn giải

6.Cấu trúc của đề tài

Chương 1.Trường véc tơ

1.1 Khái niệm trường véc tơ

1.2 Rotation

1.3 Đường dòng

1.4 Thông lượng và Divergence của trường vector

Chương 2 Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector

2.1 Định lí Ostrogradsky – Gauss

2.2 Định lí Ostrogradsky – Gauss trong điện trường

2.3 Định lí Ostrogradsky – Gauss trong từ trường

4

CHƯƠNG I: TRƯỜNG VECTOR 1.1 Trường vector

1.1.1 Khái niệm trường vector

( ) ( , , )

A  A M  A x y z

Cho một trường vector tức là cho hàm A x y z ( , , ) được xác định trên miền không gian cụ thể Vì vậy để nghiên cứu các đặc trưng của trường ta chỉ cần nghiên cứu hàm vector A

Trong vật lí chúng ta bắt gặp rất nhiều đại lượng có hướng được mô tả thông qua trường vector

5

Ví dụ: Khi xét chuyển động của chất lỏng, vận tốc v của phần tử chất lỏng tại M được biểu diễn như sau: v  v M ( )  v x y z ( , , ) Như vậy trong chất lỏng có một trường vận tốc v

Ta đã biết gradient của một vô hướng là một vector, vì vậy khi cho một trường vô hướng thì ta cũng có tương ứng một trường vector qua phép biến đổi gradient

Trường vector biểu thị thông qua những phần sau:

- Điểm gốc (nơi vector đi ra từ 1 điểm)

- Điểm chìm (nơi vector biến mất trong một cái hố, như hiệu ứng lỗ đen

6

F x y  P x y iQ x y j

với i, j là các vector đơn vị hướng theo trục x và y

Tại mỗi điểm trong trường vector đều có 1 vector có chiều và độ lớn xác định

Ví dụ:Xét một trường lực f có dạng: f x y ( , )    yi 3 x j với i j, là vector đơn vị theo hướng trục x và y

a) Tại gốc tọa độ (0,0) ta có lực f(0,0)= −0i+3.0j suy ra f x y( , )0tức là không có lực nào ở gốc tọa độ

b) Tại điểm (1,1) ta có lực f(1,1)=−1i+3j, chiều hướng lên, lệch trái có độ

e) Điểm (4,4) ta có lực f(4,4)= −4i+12j hướng lên, lệch trái và độ lớn

là √ Như vậy lực ở giữa trường vector rất nhỏ và nó sẽ lớn hơn khi ta tính thêm nhiều vector hơn

Hình 1.5: Hình ảnh của của trường lực f tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2);

(-2,-4); (4,4)

Hướng của rota chính là trục xoay của nó và được xác định bởi quy tắc bàn tay phải và độ lớn của rota biểu thị mức độ xoáy của trường Nếu trường vector tượng trưng cho vận tốc dòng chảy của một chất lỏng đang lưu chuyển thì rota chính là mật độ xoáy của chất lỏng đó

Một trường vector E có rotE = 0 được gọi là trường không xoáy

Trong trường vector A ta xét một vòng kín nhỏ L nằm trong mặt phẳng

có pháp tuyến n người ta định nghĩa lưu thông Q (hay lưu số) của trường vector A dọc theo đường cong kín L được tính theo tích phân đường loại 2:

(L)

Q   Ad l (1.1)

Với d l là vi phân của vector dịch chuyển trên L

8

Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến

Lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và L mà còn phụ thuộc vào hướng của L Khi thay đổi chiều của L thì lưu thông cũng đổi dấu Nếu A vuông góc với tiếp tuyến của L thì tại điểm đó Adl 0

Trong trường vector A, xét một điểm M bất kì được bao quanh bằng một

đường cong kín L vô cùng bé và có diện tích giới hạn bởi L là S Tỉ số Q/ S

là mật độ lưu thông trung bình của trường vector A trên diện tích S Vậy định nghĩa rotation (viết tắt là rota) của A tại M(x, y, z) được kí hiệu là rot A

đặc trưng cho độ xoáy tại M như sau:

( ) 0

lim L

n

S

Ad l rot A

(với i j k, , là các vector đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz)

Để tính rot A tại điểm M thì ta cần tính các hình chiếu của rot A lên ba trục

tọa độ Ox, Oy, Oz và chọn S là mặt tạo bởi hình hộp chữ nhật qua M có cạnh

rất bé là   x, y, z

9

*Tính hình chiếu của rot A lên phương z: Chọn chu tuyến (L) nằm trong mặt Oxy như hình (1.7)

Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy

Hình chiếu của A lên hướng đoạn 1 là Ax(x,y) nên ta có:

A A rot A

M(x, y, z) và được kí hiệu là rot A M( ) là một vector

Lưu số của trường vector dọc theo chu tuyến L là:

( )

C   A M dS  rot A M dS (1.3)Kết luận: Vậy (1.3) là lưu số của trường vector A dọc theo đường cong

kín L thì đúng bằng thông lượng của trường vectorA qua mặt cong S nào đó được giới hạn bởi đường cong kín L

Nếu rot A M( ) 0 thì điểm M(x, y, z) được gọi là điểm xoáy của trường A

Nếu rot A(M) 0 thì điểm M(x, y, z) được gọi là điểm không xoáy của

trường A

11

Một trường vector mà tại mọi điểm của nó đều có rot A0 thì từ trường A

này được gọi là trường không xoáy hay trường thế

Điều kiện cần và điều kiện đủ để trường vector A là một trường thế là

rot E= 0 Từ đây suy ra trường vector E là một trường thế

1.3 Đường dòng

1.3.1 Trường vận tốc

Như đã tìm hiểu ở trên, chúng ta đã biết khái niệm của trường vector Một trong số trường vector thường gặp nhất đó là trường vận tốc – đó là không gian tại mỗi điểm , vào mỗi thời gian vector vận tốc được xác định bởi:

V  ui  v j  pk

12

Khi nghiên cứu về sự chuyển động ta đã đưa ra nhiều cách phân loại

Trong đó có cách phân loại ra hai loại là chuyển động ổn định và chuyển động

Ta đã biết quỹ đạo là đường đi của một phần tử trong không gian

Ðường dòng là đường cong tại một thời điểm cho trước– đó là đường cong C trong trường dòng chảy mà tại mỗi điểm trên đó vector tiếp tuyến có phương trùng với phương của vector vận tốc tại điểm đó

13

Ví dụ : Các đường sức trong điện trường, từ trường đều là các đường dòng hoặc trên một dòng chảy ổn định thì đường dòng của dòng nước là đường dòng của trường vector vận tốc dòng nước

Hình 1.8: Đường sức trong điện trường Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước

Có thể vẽ đường dòng trong môi trường như sau: Tại một thời điểm t phần tử M có tốc độ u, cũng tại thời điểm đó phần tử M1 ở sát phần tử chất lỏng

M và nằm trên vector u có tốc độ u1, tương tự như vậy cũng ở cùng thời điểm

ta cũng có M2 có tốc độ u2…Mi có tốc độ ui Đường cong C nối tất cả các điểm M1, M2 Mi và lấy tốc độ u1, u2 ui làm tiếp tuyến chính là một

đường dòng ở thời điểm t

Từ đây ta có ứng với những thời điểm khác nhau sẽ có những đường dòng khác nhau Và đường dòng có liên quan mật thiết đến thời gian vì vận tốc có thể thay đổi theo thời gian

Trong không gian 3- chiều ( hệ tọa độ Đề - các) đường dòng được xác đinh theo phương trình sau:

Ta thấy đường dòng là một khái niệm động học mà nhờ đó chúng ta thuận tiện hơn trong việc xây dựng cấu trúc tức thời của trường dòng chảy Đối

14

với dòng chảy không tĩnh đường dòng không trùng với quỹ đạo của phần tử chất lỏng Còn trong trường hợp dòng chảy tĩnh ( hay dòng dừng) thì đường dòng và quỹ đạo là một, điều này nghĩa là phần tử chuyển động dọc theo đường dòng

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dS, tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên đường cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống dòng.

Hình 1.10: Ống dòng

Khối lượng chất lỏng chuyển động trong không gian của ống dòng được gọi là dòng nguyên tố Vì tính chất không giao nhau của những đường dòng nên chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên

tố

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn bao gồm vô số diện tích dS vô cùng nhỏ, tạo nên vô số dòng nguyên tố Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi

là dòng chảy Môi trường chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trường đó có thể coi là môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, môi trường đó gọi là một dòng chảy

15

1.4 Thông lượng và Divergence của trường vector

1.4.1 Thông lượng của một trường vector

Thông lượng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lượng chỉ lượng chảy qua bề mặt vuông góc với hướng chảy trong một đơn vị thời gian

Xét một mặt hữu hạn bất kì có diện tích S được đặt trong một trường vector A liên tục Chọn hướng xác định cho mặt và gọi là hướng dương, khi đó hướng ngược lại gọi là hướng âm Nếu S là mặt kín thì ta thường quy ước hướng dương là hướng từ trong ra ngoài Mặt S được chọn như vậy là mặt định hướng

Chia S thành những phần có diện tích dS vô cùng nhỏ (gọi là vi phân diện tích) sao cho trường vector A là không đôit trên mỗi phần đó Gọi n là vector đơn vị trên phương pháp tuyến tại M nằm trong dS Khi đó đại lượng:

d   AndS  Ad S (1.4) được gọi là thông lượng của trường vector A(không đổi) gửi qua vi phân diện tích dS, trong đó d S ndSlà vi phân vector diện tích

Hình 1.11: Mặt S và các vector vi phân diện tích d S ndS

Từ biểu thức (1.3) ta có thể mở rộng cho tính thông lượng của trường vector A gửi qua mặt S bất kì theo công thức:

16

( )S ( )S

      (1.5) Dựa vào tính chất vô hướng ta thấy chỉ có thành phần vuông góc với bề mặt S của A mới đóng góp vào thông lượng (1.5)

Nhận xét:

+) Thông lượng là một đại lượng vô hướng

+) Thông lượng phụ thuộc vào hình dạng của S và hướng của vectorA

trên toàn mặt đó KhiA hướng ra ngoài mặt S thì thông lượng dương và ngược lại

Chú ý: Nếu ta xét trong thể tích V được giới hạn bởi mặt S không có nguồn nào thì thông luộng vào sẽ bằng thông lượng ra tức là thông lượng tổng

bị triệt tiêu Nếu trong V có nguồn dương sẽ dẫn đến   0, còn nguồn âm thì 0

 

1.4.2 Divergence của trường vector

Về mặt kỹ thuật, sự phân kỳ đại diện cho mật độ khối lượng của dòng chảy ra ngoài của một trường vectơ từ một khối lượng cực nhỏ xung quanh một điểm nhất định

Về mặt vật lý, sự phân kỳ của trường vectơ ba chiều là mức độ mà dòng trường vector hoạt động như một nguồn tại một điểm nhất định Đó là một thước đo về "tính đi" của nó - mức độ mà có nhiều số lượng thoát ra khỏi một vùng không gian vô hạn hơn là đi vào nó Nếu sự phân kỳ không đồng hóa tại một số điểm thì có nén hoặc mở rộng tại thời điểm đó

Một cách chặt chẽ hơn, sự phân kỳ của trường vector tại điểm bất kì có thể được định nghĩa là giới hạn của lưu lượng dòng của trường vector trên ranh giới của một vùng ba chiều cho thể tích khi co lại thành điểm bất kì

17

Định nghĩa: Xét trong trường vector A một điểm M được bao quanh bằng một mặt kín nhỏ có diện tích S ứng với thể tích V Vậy thông lượng của trường vector A qua mặt kín S là:

Khi giảm dần S (V cũng giảm theo) thì kéo theo  cũng giảm Lúc

ấy tỉ số    / V khi V tiến đến 0 (tức là tất cả các điểm trên S đều tiến về M)

sẽ là một số nào đó phụ thuộc vào dáng điệu của vector A ở lân cận nhỏ của điểm M và đặc trưng cho mức độ “chảy” của trường ra khỏi điểm lân cận này

Ta gọi con số này là divergence (viết tắt là dive) của trường vector A tại điểm

phía trong trường vector V thì thông lượng  của V qua mặt cong S được tính như sau:

Vn là hình chiếu của V theo vector pháp tuyến ngoài của mặt S

Nếu G là miền được giới hạn bởi mặt ngoài đường cong S đã cho thì theo công thức Oxtrogratxki ta có:

* Nếu divV M( )  0 thì suy ra f > 0; M(x, y, z) (thông lượng từ trong

hướng ra ngoài sẽ lớn hơn thông lượng từ ngoài hướng vào trong) cho nên

điểm M là điểm nguồn của trường vector V

* Nếu divV M( ) 0  thì suy ra f < 0; M(x, y, z) được gọi là điểm rò của

trường vector V

*Một trường vector V mà tại mọi điểm của trường divV M( ) 0  thì trường

vector V được gọi là trường ống nghĩa là trường không có điểm nguồn và điểm

rò (tức là tổng thông lượng bằng không) Điều đó có nghĩa là, có bao nhiêu

đường dòng chảy vào bề mặt khảo sát, thì có bấy nhiêu chảy ra từ đó Vì thế

trường vận tốc của chất lỏng không bị nén được gọi là hình ống hay là sôlênôit

19

2 2 2 3/2 2 2 2 5/2 3

Điều này chứng tỏ rằng trường vector E là một trường ống tại mọi điểm

không trùng với điểm trên (điểm ta đặt) S là mặt cầu tâm O bán kính R trong

trường hợp này ta cũng coi pháp tuyến n hướng ra ngoài Ta có En là hình

chiếu của E theo chiều dương pháp tuyến n Với En =

Nghĩa là  của trường E qua mặt cầu S này không phụ thuộc vào bán

kính của mặt cầu Do đó điểm đặt điện tích q là điểm nguồn

1.4.3 Ý nghĩa của divergence

Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lí như tính thông lượng của

một trường vector Ngoài ra qua biến đổi tích phân khi tính thông lượng người

ta còn dẫn đến các phương trình Macxuen trong điện động lực học

20

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƯỜNG

VECTOR 2.1 Đinh lí Ostrogradsky- Gauss

Xét một yếu tố vi phân thể tíchV k chứa điểm M k được bao bọc bởi mặt kín S k nằm trong trường vector A Dựa trên định nghĩa của dive ta có:

( ) 0

k

S k

V

k

Ad S div A

Lấy tổng biểu thức trên theo tất cả các yếu tố vi phân thể tích:

Biểu thức (2.1) là công thức định lí Ostrogradsky- Gauss Biểu thức này

cho biết mối liên hệ giữa tích phân theo thể tích V với tích phân mặt kín S bao

quanh thể tích đó

Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss

21

Định nghĩa: Điện trường là một dạng tồn tại vật chất trong không gian bao quanh các điện tích mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lực nên các điện tích đặt trong nó Lực này được gọi là lực điện và được xác định bằng định luật Cu-lông

Ta xét hai điện tích điểm q và qo, theo định luật Cu-lông lực điện tương tác giữa hai điện tích điểm này là:

2

14

o qq F

q E

Biểu thức (2.5) là cách biểu diễn khác của định luật Cu-lông và nó có ý nghĩ tổng quát hơn công thức (2.2) Biểu thức (2.5) phù hợp với nguyên lí tác dụng gần nó đúng trong mọi trường hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện trường

độ điện trường E trong nó coi như đều

Vẽ vector pháp tuyến n cho dS, ta có d S ndS (2.7)

Với d S là vector đặc trưng cho nguyên tố diện tích dS

Điện thông (hay thông lượng điện trường) qua nguyên tố diện tíchd S là: