Định lí ostrogradsky – gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƯỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN VẬT LÍ Chun ngành: Vật lí lí thuyết KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƯỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Chun ngành: Vật lí lí thuyết KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành khoa Vật lí, ngành Sư phạm Vật lí – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Với lòng biết ơn sâu sắc, xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Thị Phương Lan, người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Vật lí lí thuyết – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Thư viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho cho thời gian học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ trình học tập hồn thành cơng trình nghiên cứu Do điều kiện chủ quan khách quan chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng… năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan viết khóa luận “Định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector ứng dụng việc giải tốn vật lí” kết nghiên cứu cá nhân hướng dẫn Thạc sĩ Nguyễn Thị Phương Lan Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng… năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt Từ đầy đủ Rota Rotation Dive Divergence O–G Ostrogradsky – Gauss DANH MỤC HÌNH Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt tác động từ trường tạo thành từ phổ biểu đồ gió Hình 1.2: Điểm gốc Hình 1.3: Điểm uốn Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo Hình 1.5: Hình ảnh của trường lực f điểm (0,0); (1,1); (-1,2); (-2,-4); (4,4) Hình 1.6: Minh họa chiều dương chu tuyến Hình 1.7: Chu tuyến L mặt phẳng Oxy Hình 1.8: Đường sức điện trường Hình 1.9: Đường dòng dòng nước Hình 1.10: Ống dòng Hình 1.8: Mặt S vector vi phân diện tích d S  ndS Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu CHƯƠNG I: TRƯỜNG VECTOR 1.1 Trường vector 1.1.1 Khái niệm trường vector 1.1.2 Ví dụ cụ thể trường vector 1.2 Rotation 1.3 Đường dòng 11 1.3.1 Trường vận tốc 11 1.3.2 Đường dòng 12 1.4 Thông lượng Divergence trường vector 15 1.4.1 Thông lượng trường vector 15 1.4.2 Divergence trường vector 16 1.4.3 Ý nghĩa divergence 19 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƯỜNG VECTOR 20 2.1 Đinh lí Ostrogradsky- Gauss 20 2.2 Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trường 21 2.3 Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trường 26 Chương Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector vào giải tốn vật lí 30 3.1 Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho tốn đối xứng trụ 32 3.2 Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng cầu 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài tập vật lí có vai trò quan trọng nhận thức phát triển tư cho người học Nó giúp cho người học đào sâu mở rộng kiến thức học, từ hình thành kĩ kĩ xảo để giải lạo tập Vì việc đưa dạng phương pháp giải chung cho dạng cần thiết Vật lí lí thuyết mơn khoa học nghiên cứu vấn đề học lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, học lượng tử Là môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lí Dựa tảng mơ hình vật lí , nhà khoa học vật lí xây dựng thuyết vật lí Thuyết vật lí hiểu biết tổng quát người lĩnh vực, phạm vi vật lí định Dựa mơ hình vật lí tưởng tượng, nhà vật lí lí thuyết phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đề hệ thống quy tắc, định luật, nguyên lí vật lí dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lí để tạo khả tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Sau tìm hiểu mơn tơi biết số ngun lí đặc trưng có định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector định lí quan trọng Tơi nhận thấy phần khó phải biết chất vật lí phương pháp tốn học ( giải tích vector hay tính loại tích phân, ) kiến thức tốn học hạn chế Do việc giải tốn vật lí gặp nhiều khó khăn Chính lí nên tơi chọn đề tài:“ Định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector ứng dụng việc giải tốn vật lí ” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trường vector Tìm hiểu định lí Ostrogradsky- Gauss trường vector ( điện trường từ trường) Phương pháp giải số tốn vật lí Đối tượng nghiên cứu Trường vector Định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector (điện trường từ trường) Một số tốn vật lí Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trường vector Nghiên cứu định lí Otragradsky – Gauss trường vector (điện trường từ trường) Nghiên cứu số phương pháp giải toán vật lí Phương pháp nghiên cứu Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo Thống kê, lập luận, diễn giải 6.Cấu trúc đề tài Chương 1.Trường véc tơ 1.1 Khái niệm trường véc tơ 1.2 Rotation 1.3 Đường dòng 1.4 Thông lượng Divergence trường vector Chương Định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector 2.1 Định lí Ostrogradsky – Gauss 2.2 Định lí Ostrogradsky – Gauss điện trường 2.3 Định lí Ostrogradsky – Gauss từ trường Chương Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector vào giải tốn vật lí 3.1 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng trụ 3.2 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng cầu 3.3 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho tốn đối xứng phẳng phân bố điện tích âm -Ze phân bố hình cầu bán kính R Điện trường E điểm nằm nguyên tử cách tâm khoảng r: Ze 1 E  (  Hãy kiểm nghiệm phương trình ) 4 o r R Bài Dựa vào phương trình điện trường điểm gần mặt dẫn điện tích điện Áp dụng phương trình cho cầu điện trường điện tích điểm nằm tâm cầu Bài Một vỏ kim loại mỏng hình cầu, khơng tích ddienj có điện tích điểm q nằm Suy biểu thức cho điện trường: a vỏ b ngồi vỏ c Vỏ có ảnh hưởng lên điện trường điện tích q khơng? d Sự có mặt q có ảnh hưởng lên phân bố điện tích vỏ khơng? e Nếu điện tích điểm thứ hai giữ ngồi vỏ, điện tích ngồi có chịu tác dụng lực khơng? f Điện tích có chịu tác dụng lực khơng? g Có mâu thuẫn với định luật III Niu- tơn khơng? Tại sao? Bài Ở hình bên hình ảnh cầu có bán kính a tích điện +q phân bố thể tích đặt đồng tâm với vỏ dẫn điện hình cầu có bán kính b bán kính ngồi c Vỏ tích điện tồn phần -q Tìm biểu thức điện trường dạng hàm bán kính r: a Ở cầu (r < a) b Giữa cầu vỏ (a < r < b) c Ở vỏ (b < r < c) d Ngoài vỏ (r > d) e Hỏi điện tích mặt mặt vỏ Bài Hình bên cho thấy vỏ cầu với mật độ điện tích Biểu diễn đồ thị E vỏ tạo khoảng cách r cách tâm từ đến 30cm Giả thiết -6 = 10 C/m , a = 10cm, b = 20cm Bài Hình bên cho thấy điện tích điểm -7 q = 10 C có tâm nằm hốc cầu bán kính 3cm mẩu kim loại Dùng định lí O-G để tìm điện thơng ở: a Điểm P1 đoạn từ tâm đến mặt hốc b Điểm P2 Bài 10 Một proton với vân tốc v = 3.10 m/s quay theo quỹ đạo sát phía ngồi cầu bán kính r = 1cm tích điện Hỏi điện tích cầu Bài 11 Một cầu rắn khơng dẫn điện có bán kính r có phân bố điệ tích khơng với mật độ điện tích thể tích   o r /  o R số r khoảng cách tính từ tâm cầu Chứng minh rằng: a Điện tích cầu Q  o 3R b Q r 4 o R Điện trường cầu có độ lớn E  Bài 12 Hình bên mơ tả cầu khơng dẫn điện với bán kính lad a bán kính ngồi b có mật độ điện thể tích  = A/r A số r khoảng cách tính từ tâm đến vỏ Ngồi điện tích điểm q đặt tâm Hỏi A phải có giá trị điện trường vỏ đều? Bài 13 Một cầu không dẫn điện có mật độ điện tích thể tích  Gọi r vector từ tâm cầu đến điểm P cầu: a Chứng minh điện trường P cho ( ý kết khơng phụ thuộc vào bán kính mặt cầu) b Một hốc cầu khoét cầu hình bên Dùng khái niệm chồng chất chứng tỏ điện trường tất điểm hốc ( điện trường đều) a vector có gốc tâm cầu có tâm hốc Bài 14 Hãy chứng minh cân bền tác dụng lực tĩnh điện khơng thể có( Gợi ý: giả sử điện tich +q nằm trạng tái cân bền đặt điểm P điện trường E Vẽ mặt Gauss hình cầu quanh P, tưởng tượng E phải hướng áp dụng định luật Gauss để chứng minh điều đó) 3.3 Dạng 3: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng phẳng Các bước làm tương tự hai dạng Ở phần nầy chọn mặt Gauss mặt trụ Ví dụ 5: Tĩnh điện trường mặt phẳng tích điện đều: Ta xét mặt phẳng rộng vơ hạn tích điện với mật độ điện tích mặt lớn Xác định cường độ điện trường mắt tích điện gây điểm A cách mặt phẳng khoảng h Giải: Mặt phẳng tích điện chia khơng gian có điện trường thành hai nửa đối xứng Vì mặt phẳng rộng vơ hạn nên đường thẳng vng góc với mặt coi trục đối xứng hệ điện tích Do vector cường độ điện trường E điểm ngồi mặt phẳng đêú song song với vng góc với mặt phẳng, hướng xa mặt tích điện dương có độ lớn Ta chọn mặt Gauss mặt hình trụ có đường sinh vng góc với mặt phẳng, hai đáy song song cách mặt phẳng khoảng h có diện tích S Với mặt Gauss việc tính tích phân đơn giản Ta chọn chiều dương pháp truyến hướng mặt Gauss Vì pháp tuyến mặt xung quanh hình trụ vng góc với đường sức nên điện thơng qua mặt bên Điện thơng tồn phần qua mặt Gauss điện thông hai đáy:   2ES E Như nửa không gian hai bên mặt phẳng tích điện đều, điện trường Điện tích q có bên mặt Gauss điện tích phần mặt phẳng có diện tích S giới hạn mặt trụ có giá trị: q   S Do theo định lí O-G ta có: E  2ES   S /  o  E   / 2 o Ta thấy điện trường gây mặt phẳng vơ hạn tích điện dều điện trường Vector cường độ điện trường E điểm song song vng góc với mặt phẳng có chiều hướng xa mặt phẳng mặt phẳng tích điện dương BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Một electron bắn thẳng đến tâm kim loại rộng có -6 điện tích âm dư với mật độ điện tích mặt 2,0.10 C/m Nếu động ban đầu electron 100eV dừng (do lực đẩy tĩnh điện) đạt đến phải bắn cách bao nhiêu? Bài Hai kim loại có diện tích 1m nằm đối diện nhau, cách 5cm có điện tích trái dấu mặt cong chúng Nếu E 55N/C độ lớn điện tích bao nhiêu? Bỏ qua hiệu ứng mép Bài Trong thí nghiệm, trọng lượng electron cân lực điện trường tác dụng lên Nếu điện trường gây điện tích hai khơng dẫn điện, đặt song song tích điện trái dấu cách 2,3cm a Độ lớn mật độ điện tích b Điện trường hướng theo chiều nào? KẾT LUẬN Khóa luận hình thành dựa sở lý thuyết điện động lực học số kiến thức giải tích có liên qua thơng qua việc tìm hiểu qua sách, tài liệu tham khảo Nội dung trình bày sở lý thuyết cách khái quát, hệ thống phân loại cụ thể dạng toán tập ứng dụng chọn lọc kỹ lưỡng xếp từ đơn giản đến phức tạp theo loại toán phù hợp với mức độ sinh viên Cuối đề xuất tiến trình giải chung để sinh viên áp dụng giải toán độc lập Khóa luận đề cập đến định lí Ostrogradsky – Gauss cho điện trường từ trường dạng tích phân vi phân Nội dung định lí đưa cách với hi vọng cung cấp cho sinh viên kiến thức định trước áp dụng vào toán cụ thể Với bố cục luận văn trình bày gồm ba phần, hai phần đầu đưa kiến thức trọng tâm định lí Ostrogradsky – Gauss phần cuối áp dụng định luật vào giải tập cụ thể từ đưa phương pháp giải chung cho dạng TÀI LIỆU THAM KHẢO Lương Duyên Bình, Nguyễn Quang Hậu (2000), Giải tập tốn sở vật lí, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Chính Cương ( Tái lần thứ nhất), Bài tập phương pháp tốn lí, Nhà xuất Đại học Sư phạm Nguyễn Văn Hùng ( Tái lần 2), Điện động lực hoc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi, Vũ Ngọc Hồng (1982), Điện đại cương (tập 1+ 2), Nhà xuất Giáo dục Đinh Xn Khoa, Nguyễn Huy Băng, Phương pháp tốn lí, Nhà xuất Đại học Vinh Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tưởng (1983), Bài tập vật lí lí thuyết, Nhà xuất Đại học Giáo dục Đào Văn Phúc (1976), Điện động lực, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội Đỗ Đình Thành (Tái lần 1), Phương pháp Tốn lí, Nhà xuất Giáo dục q q ... Ostrogradsky – Gauss điện trường 2.3 Định lí Ostrogradsky – Gauss từ trường Chương Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector vào giải tốn vật lí 3.1 Dạng Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss. .. Ostrogradski – Gauss cho từ trường 26 Chương Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trường vector vào giải tốn vật lí 30 3.1 Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho toán đối xứng...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƯỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN VẬT LÍ Chun ngành: Vật lí lí thuyết