Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN TH± NGA ĐIEM BAT Đ®NG VÀ ÚNG DUNG TRONG BÀI TỐN TUA CÂN BANG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN GIÁI TÍCH B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN TH± NGA ĐIEM BAT Đ®NG VÀ ÚNG DUNG TRONG BÀI TỐN TUA CÂN BANG Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN GIÁI TÍCH Ngưài hưáng dan khoa hoc: GS TSKH Nguyen Xn Tan LèI CÁM ƠN Trưóc trình bày nđi dung chớnh cna khúa luắn, tụi xin by tú lòng biet ơn sâu sac tói GS TSKH Nguyen Xn Tan ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành khóa lu¾n Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay giáo giáng day chun ngành Tốn giái tích trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè đ®ng viên tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành luắn ny H Nđi, thỏng nm 2012 Nguyen Th% Nga LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Nguyen Xuân Tan lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng úng dung toán tna cân bang” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân, khơng trùng vói bat cú lu¾n văn khác Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Nguyen Th% Nga Mnc lnc Báng kí hi¾u Má đau Chương Các kien thNc bán 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian đ%nh chuan 15 1.3 Không gian Hilbert 17 1.4 Ánh xa đa tr% 18 Chương Điem bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr% 20 2.1 Điem bat đ®ng cna ánh xa dang co 20 2.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn 24 2.3 Điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc 29 Chương Điem bat đ®ng cúa ánh xa đa tr% 39 3.1 Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Nadler 39 3.2 Đ%nh lý Caristi 45 3.3 Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Ky Fan 47 Chương Úng dnng 54 4.1 Bài tốn tna cân bang suy r®ng loai m®t .54 4.2 M®t so toán liên quan .55 4.3 Sn ton tai nghi¾m cna tốn cân bang 58 Ket lu¾n 63 BÁNG KÍ HIfiU R đưòng thang thnc R đưòng thang thnc mó r®ng Rn khơng gian Euclid n - chieu d (x, y) khống cách giua x y (x, y) tích vơ hưóng cna x y "x" conv C o intC( hay C) C chuan cna x bao loi cna t¾p C phan cna t¾p C bao đóng cna t¾p C f −1 hàm ngưoc cna hàm f inf f c¾n dưói cna hàm f sup f c¾n cna hàm f f giá tr% nhó nhat cna hàm f max f giá tr% lón nhat cna hàm f rge f ánh cna hàm f Gr f dom f Fix f đo th% cna hàm f mien huu hi¾u cna hàm f t¾p điem bat đ®ng cna hàm f Mé ĐAU Lí chon đe tài Lý thuyet điem bat đ®ng đòi gan m®t the ký đưoc phát trien manh me th¾p ký gan Sn đòi cna Ngun lý ánh xa co Banach (1922) Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) hình thành hai hưóng cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa dang co sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc Đen nhung năm 60, Nguyên lý ánh xa co Banach tiep tuc đưoc mó r®ng nghiên cúu theo hai hưóng: đưa khái ni¾m co mói, ánh xa co đa tr% mó r®ng ánh xa co đen ánh xa khơng giãn Tù vi¾c tìm moi quan h¾ giua ánh xa co vói ánh xa khơng giãn sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa co đ%nh hưóng cho nhung nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn đưoc rõ ràng Tuy nhiên, nhà khoa hoc chí đưoc rang sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn thưòng gan vói cau trúc hình hoc cna khơng gian Banach, hay không gian khác không gian metric siêu loi, khơng gian trac đ%a v.v Tiep đó, mó r®ng tn nhiên cho lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn nghiên cúu sn ton tai iem bat đng cna ỏnh xa Lipschitz vúi hắ so lón Khói đau, Kakutani chí ton tai ánh xa Lipschitz vói h¾ so đn gan hình cau đơn v% đóng cna khơng gian Hilbert mà khơng có điem bat đ®ng Sau đó, bang vi¾c đưa khái ni¾m Lipschitz đeu, K Goebel W A Kirk (1973) nêu mó r®ng hop lý cho ánh xa không giãn Song song vói sn mó r®ng cna Ngun lý ánh xa co Banach, Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer đưoc phát trien manh Ban đau, ngưòi ta mó r®ng ket q lóp khơng gian tong qt là: đ%nh lý Schauder (1930) không gian đ%nh chuan, đ%nh lý Tikhonov (1935) không gian loi đ%a phương, Sau sn mó r®ng đen ánh xa đa tr% núa liên tuc trên, mó đau ket cna Kakutani (1941), tiêu bieu ket cna Ky Fan (1952), Browder - Ky Fan (1965), M®t đieu thú v% vào năm 1929 ba nhà toán hoc Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz đưa Bo đe KKM, bo đe tương tn vói Nguyên lý Brouwer chí cách chúng minh đơn gián Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer mà trưóc cách chúng minh cna phúc tap phái dna vào m®t so cơng cu cna tơpơ Sn xuat hi¾n Bo đe KKM mó m®t hưóng nghiên cúu mói Lý thuyet KKM Bưóc ngo¾t phát trien cna lý thuyet đưoc đánh dau bang vi¾c Ky Fan (1961) chúng minh m®t dang tưong tn cna Bo đe KKM cho khơng gian vô han chieu, goi Nguyên lý ánh xa KKM, đưoc xem trung tâm cna Lý thuyet KKM Nhò đó, đưoc sú dung r®ng rãi m®t cơng cu huu ích cho lý thuyet điem bat đ®ng, lý thuyet bien phân, tốn kinh te, Tam quan cna lý thuyet điem bat đ®ng Lý thuyet KKM ngành toán hoc khác nhung úng dung cna can đưoc nghiên cúu, tìm hieu ky nua Chính v¾y, vói sn hưóng dan cna thay Nguyen Xn Tan, tơi chon đe tài “Điem bat đ®ng úng dung toán tna cân bang” đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái ni¾m úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng đe bo sung kien thúc, cnng co hieu biet sâu ve Tốn giái tích úng dung cna Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve điem bat đ®ng úng dung tốn tna cân bang Đoi tưang pham vi nghiên cNu Lý thuyet điem bat đ®ng úng dung Phương pháp nghiên cNu - Tìm hieu thơng tin sách báo liên quan đen n®i dung nghiên cúu - Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu NhĐng đóng góp mái cúa đe tài Trình bày oc mđt cỏch cú hắ thong cỏc kien thỳc c bán ve điem bat đ®ng m®t so tính chat Nghiên cúu m®t so úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng tốn tna cân bang úng dung lý thuyet toi ưu Chúng minh Cho U l mđt lõn cắn loi mú cna M Vì A compact F núa liên tuc nên theo bo đe 3.3.1 F (A) t¾p compact Do đó, ton tai x1, , xn ∈ A đe [n (xi + U ) (3.8) F (A) ⊂ i= Đ¾t Exi = x ∈ A : Fx ∩ xi + U = φ Vì xi + U đóng F núa liên tuc nên theo Bo đe 3.3.2 Exi t¾p mó Ta có \n A : Fx [n i + U = φ, Ex = ,x i=1 ∩ i= x i ∈ T n Tù (3.8) suy i= Exi = φ Theo Đ%nh lý Shih, E không phái ánh xa KKM, v¾y ton tai I ⊂ {1, 2, , n} xU ∈ conv {xi : i ∈ I} cho ∈/ Exi vói moi i ∈ I V¾y F xU xU ∩ xi + U ƒ= φ vói ∀i ∈ I K = span {x1, , xn} , H = x ∈ K : F xU ∩ x + U ƒ= φ Theo trên, xi ∈ H vói ∀i ∈ I Vì K, F xU , U đeu loi nên H loi V¾y xU ∈ H ta có F xU ∩ xU + U ƒ= φ Lay yU ∈ F xU ∩ xU + U , ta có yU ∈ F xU , yU − xU ∈ U Chon dóy suy rđng {U} cỏc lõn cắn cna θ ∈ M h®i tu ve θ Vì A compact nên dãy suy r®ng {xλ} {yλ} có điem tu tương úng x∗ y∗ Vì F ánh xa núa liên tuc nên y∗ ∈ F x∗ Vì M tách nên x∗ = y∗ V¾y ta có x∗ ∈ F x∗ Đ%nh lý đưoc chúng minh Q Sau đây, se đưa Đ%nh lý Browder - Fan, m®t nhung đ%nh lý điem bat đ®ng có nhieu úng dung lĩnh vnc toi ưu hố, phương trình vi phân tích phân Đ%nh lý 3.3.4 (Browder - Fan, 1968) Cho A l mđt hop loi, compact mđt khụng gian vectơ tôpô tách M, F : A → 2A ánh xa đa tr% thố mãn: (i) Vói moi x ∈ A, t¾p hop Fx loi khác rong; (ii) Vói moi y ∈ A, t¾p F −1 y mó Khi đó, ton tai x∗ cho x∗ ∈ F x∗ Chúng minh Vì vói moi x ∈ A, Fx ƒ= φ nên ton tai y ∈ A đe y ∈ F x, túc x ∈ F −1 y V¾y mien giá tr% cna ánh xa F −1 A, hay [ A= F −1 x x∈A Do A compact nên ton tai n điem x1, , xn ∈ A cho [ −1 A = n F xi i=1 Giá sú H khơng gian tuyen tính cna M sinh bói {x1, , xn} d khoáng cách H tương thích vói tơpơ cám sinh tù M Ký hi¾u Ω = conv {x1, , xn} , Pi = A\F−1xi, Qi = Pi ∩ H Khi đó, Qi t¾p đóng M H đóng M , Pi đóng A A đóng M ài (x) = d (x, Qi) , x A Ta có µi (x) > chi x Qi Vói moi x ∈ A ton tai i, ≤ i ≤ n cho ∈/ x∈F −1 ∈/ xi, túc x Qi, hay µi (x) > Vỡ vắy n àj (x) > vói j= moi x ∈ A Xét ánh xa αi : A → [0, 1] xác đ%nh bói µi (x) , (i = 1, , n) αi (x) = µj n j=1 (x) Hien nhiên, hàm αi đeu liên tuc,i= αi (x) = αi (x) > n chí x ∈ F−1xi Ta xét ánh xa t : Ω → Ω vói t (x) = n i= αi (x) xi Vì t liên tuc Ω t¾p loi compact khơng gian huu han chieu nên theo nguyên lý Brouwer ton tai x∗ ∈ Ω cho x∗ = t(x∗) Nhưng ∗ t (x ) = n α i=1 i ∗ (x ) xi = αi (x∗) xi, i∈I I = {i : αi (x∗) > 0} = i : x∗ ∈ F−1xi = {i : xi ∈ Fx∗} Do F x∗ t¾p loi, xi ∈ F x∗ i∈I ∗ α i (x ) = n i= αi (x∗) = nên x∗ = t(x∗) ∈ F x∗ Đ%nh lý đưoc chúng minh Q Chương Úng dnng 4.1 Bài toán tNa cân bang suy r®ng loai m®t Ta xét tốn thnc te sau: cho só sán xuat hàng tiêu dùng A só tiêu thu B có quan h¾ hop tác vói Cơ só A có t¾p chien lưoc K, só B có t¾p chien lưoc H Chien lưoc cna ngưòi lãnh đao moi só quyet đ%nh nhieu đen sn thành cơng hay that bai cna moi só Vói moi chien lưoc x thu®c K y thu®c H, lãnh đao só A có t¾p chí đao S(x, y), lãnh đao só B có t¾p chí đao T (x, y) Muc đích cna moi só tìm m®t phương án sán xuat thơng qua chí đao cna lãnh đao só đoi tác đe sán xuat cna ln đưoc cân bang, túc có muc tiêu sán xuat on đ%nh Ta có the mơ hình hố toán sau: Bài toán: Cho X, Y, Z khơng gian tuyen tính, t¾p K ⊆ X, H ⊆ Z Cho ánh xa đa tr% S : K × H → 2K, T : K × H → 2H, F : H × K × K × K → 2Y vói giá tr% khác rong Bài tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) ∈ F (y, x, x, z) vói moi z ∈ S (x, y) đưoc goi toán tna cân bang tong quát loai I, ký hi¾u (GQEP )I Các ánh xa S, T goi ràng bu®c, F đưoc goi ánh xa muc tiêu 55 4.2 M®t so toán liên quan Ta thay, toán F ánh xa vói bien Khi ánh xa F khác se dan đen toán khác Tù vi¾c đ%nh nghĩa ánh xa muc tiêu F thích hop, tốn tna cân bang tong qt sn mó r®ng, tong qt cna lóp tốn tốn tna cân bang vói bien ràng bu®c phu thuđc vo mđt tham so, tna bien phõn hoắc bao hàm thúc tna bien phân cna nhieu ánh xa đa tr% Dưói đây, ta đưa m®t so ví du minh hoa sn mó r®ng cna tốn (GQEP )I đoi vói tốn lý thuyet toi ưu (1) Bài toán tna toi ưu loai I Cho G : H × K × K → R hàm so Bài tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) G (y, x, z) ≥ G (y, x, x), vói moi z ∈ S (x, y) ho¾c, G (y, x, x) = G (y, x, z) z∈S(x,y) đưoc goi toán tna toi ưu loai I Ta đ%nh nghĩa ánh xa M : H × K × K → 2X, F : H × K × K × K → 2X sau M (y, x, z) = {t ∈ K|G (y, x, z) ≥ G (x, y, t)} , (y, x, z) ∈ H × K × K; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z) , (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K Khi đó, tốn se đưa ve tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) ∈ F (y, x, x, z) vói moi z ∈ S (x, y) (2) Bài tốn tna cân bang vơ hưóng Cho hàm so g : H ×K ×K → R thố mãn g(y, x, x) = 0, vói moi x ∈ K, y ∈ H Bài tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) g (y, x, z) ≥ vói moi z ∈ S (x, y) goi tốn tna cân bang vơ hưóng đưoc đưa ve tốn (GQEP )I , ánh xa M : H × K × K → 2X, F : H × K × K × K → 2X đưoc đ%nh nghĩa bói M (y, x, z) = {t ∈ K|g (y, x, z) ≥ g (y, x, t)} , (y, x, z) ∈ H × K × K; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z) , (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K (3) Bài tốn tna quan h¾ bien phân loai I Goi R(y, x, t, z) l mđt quan hắ bon ngụi cna y ∈ H, x, t, z ∈ K Quan h¾ R có the thúc, bat thúc cna mđt hm so hoắc hop, giao cna cỏc ỏnh xa đa tr% Xét tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) R (y, x, x, z) xáy vói moi z ∈ S (x, y) đưoc goi tốn tna quan h¾ bien phân loai I Neu đ%nh nghĩa ánh xa M : H × K × K → X, F : H × K × K × K → 2X bói M (y, x, z) = t ∈ K| ton tai quan h¾ R (y, x, t, z) vói (y, x, z) ∈ H × K × K, F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z) , vói (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K, tốn se tró thành tốn (GQEP )I (4) Bài tốn bao hàm thúc tna bien phân lý tưóng loai I Đ¾t P, Q 57 ánh xa đa tri xác đ%nh H × K × K vói giá tr% khơng gian Y Goi C : H × K → 2Y ánh xa đa tr% vói giá tr% nón loi khác rong Bài tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) P (y, x, z) ⊆ Q (y, x, x) + C (y, x) vói moi z ∈ S (x, y), đưoc goi toán bao hàm thúc tna bien phân lý tưóng loai I Ta đ%nh nghĩa ánh xa M : H × K × K → 2X, F : H × K × K × K → 2X sau M (y, x, z) = {t ∈ K|P (y, x, z) ⊆ Q (y, x, t) + C (y, x)} vói (y, x, z) ∈ H × K × K; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z) , vói (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K, tốn đưoc đưa ve toán (GQEP )I (5) Bài toán tna cân bang vectơ Cho ánh xa Q : H × K × K → 2Y vói giá tr% khác rong, C : H × K → 2Y ánh xa vói giá tr% nón loi khác rong thố mãn Q (y, x, x) ⊆ C (y, x), vói moi (y, x, x) ∈ H × K × K Bài tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) Q (y, x, z) ⊆ C (y, x) vói moi z ∈ S (x, y), đưoc goi toán tna cân bang vectơ Đ%nh nghĩa ánh xa đa tr% M : H × K × K → 2X, F : H × K × K × K → 2X bói M (y, x, z) = {t ∈ K|Q (y, x, z) ⊆ Q (y, x, t) + C (y, x)} vói (y, x, z) ∈ H × K × K; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z) , vói (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K Khi đó, tốn đưoc đưa ve tốn (GQEP )I (6) Bài tốn tna quan h¾ bien phân suy r®ng Cho ánh xa đa tr% C : H × K × K × K → 2Y , Q : H × K × K × K → 2Y vói giá tr% khác rong Bài tốn: tìm (x, y) ∈ K × H cho: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) αi (Q (y, x, x, z) , C (y, x, x, z)) vói moi z ∈ S (x, y), αi quan h¾ đưoc xác đ%nh bói α1 = (M, N ) ∈ 2Y × 2Y |M ƒ⊂ N ; α2 = (M, N ) ∈ 2Y × 2Y | M⊆N ; α3 = (M, N ) ∈ 2Y × 2Y |M ∩ N ƒ= φ ; α4 = (M, N ) ∈ 2Y × 2Y |M ∩ N =φ, đưoc goi toán tna quan hắ bien phõn suy rđng Neu ta %nh ngha cỏc ánh xa M : H × K × K → K, F : H × K × K × K → 2Y bói M (y, x, z) = {t ∈ S (x, y) |αi (Q (y, x, t, z) , C (y, x, t, z))} ; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z) , (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K, tốn đưoc đưa ve tốn (GQEP )I 4.3 SN ton tai nghi¾m cúa toán cân bang Đe nghiên cúu sn ton tai nghi¾m cna tốn trên, nhà khoa hoc tìm đieu ki¾n t¾p K, H ánh xa S, T, F đe toán tna cân bang tong qt loai I có nghi¾m Tù đó, ta suy sn ton tai nghi¾m cna tốn liên quan lý thuyet toi ưu M®t nhung phương pháp đưoc đưa sú dung cỏc %nh lý iem bat đng hoắc Bo e KKM Ta giá thiet X, Y, Z không gian tơpơ tuyen tính loi đ%a phương, K ⊆ X, H ⊆ Z t¾p khác rong Các ánh xa S, T, F đưoc xác đ%nh Ta có đinh lý sau Đ%nh lý 4.3.1 Cho K ⊆ X, H ⊆ Z t¾p loi chap nh¾n đưoc Giá sú rang: (i) S ánh xa liên tnc, compact vói giá tr% đóng; (ii) T ánh xa compact loi; (iii) Vói moi (x, y) ∈ K × H co đ%nh, ton tai t ∈ S(x, y) cho ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ S(x, y); (iv) Vói moi (y, x) H ì K, A = t ∈ S(x, y)|0 ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ S(x, y) t¾p loi; (v) F ánh xa đóng Khi đó, tốn (GQEP )I có nghi¾m Chúng minh Ta đ%nh nghĩa ánh xa đa tr% M : H × K → 2K sau: M (y, x) = t ∈ S (x, y) |0 ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ S(x, y) vói (x, y) ∈ K ì H Tự cỏc ieu kiắn (iii) v (iv) ta suy M (y, x) t¾p loi khác rong vói moi (x, y) ∈ K × H Tiep theo, ta chúng minh M ánh xa đóng Th¾t v¾y, giá sú xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ, xβ ) , tβ → t, ta chí t ∈ M (y, x) Tù tβ ∈ M (yβ, xβ ), ta có tβ ∈ S (xβ, yβ ) ∈ F (yβ, xβ, tβ, z) vói moi z ∈ S (xβ, yβ ) Do S núa liên tuc vói giá tr% đóng nên S ánh xa đóng, v¾y vói tβ ∈ S (xβ, yβ ) , tβ → t dan đen t ∈ S(x, y) M¾t khác, tù giá thiet S núa liên tuc dưói xβ → x ta suy vói bat kỳ z ∈ S(x, y), ton tai zβ ∈ S (xβ, yβ ) cho zβ → z Vì v¾y, ∈ F (yβ, xβ, tβ, zβ ) vói moi zβ ∈ S (xβ, yβ ) (4.1) Do (yβ, xβ, tβ, zβ ) → (y, x, t, z) F ánh xa đóng, ket hop vói (4.1) ta có ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ S(x, y) Đieu chúng tó t ∈ M (y, x) ta ket lu¾n M ánh xa đóng Đ%nh nghĩa ánh xa L : K × H → 2K×H bói L (x, y) = M (y, x) × T (x, y) , (x, y) ∈ K × H De thay rang, M ánh xa đóng vói giá tr% compact loi nên M ánh xa compact Tích Descarter cna hai ánh xa compact ánh xa compact, L ánh xa compact vói ánh khác rong, loi đóng Theo đ%nh lý điem bat đ®ng Ky Fan, ton tai điem (x, y) ∈ K × H cho (x, y) ∈ L (x, y) = M (y, x) × T (x, y) Nghĩa là: (i) x ∈ S (x, y); (ii) y ∈ T (x, y); (iii) ∈ F (y, x, x, z) vói moi z ∈ S (x, y) V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh Q Dưói õy, ta trỡnh by mđt so hắ quỏ ỏp dung đ%nh lý 4.3.1 H¾ 4.3.1 Cho K t¾p loi, compact, khác rong cúa X H t¾p loi chap nh¾n đưoc cúa Z Cho ánh xa đa tr% T : K × H → 2H, Q : K × H × H → 2X Giá thiet đieu ki¾n sau thố mãn: (i) T ánh xa compact loi; (ii) Vói moi điem (x, y) ∈ K × H co đ%nh, ánh xa Q (y, x, ) : K → 2K KKM; (iii) G ánh xa đóng vói giá tr% khác rong, vói moi điem (x, y) ∈ K × H co đ%nh, t¾p A = t ∈ K|t ∈ Q (y, x, z) , vói moi z ∈ K loi Khi đó, ton tai điem (x, y) ∈ K × H thố mãn: (1) y ∈ T (x, y); (2) x ∈ Q (y, x, z) vói moi z ∈ K Chúng minh Đ%nh nghĩa ánh xa F : K × H × H × H → 2X bói F (y, x, t, z) = t − Q (y, x, z) , (y, x, t, z) ∈ K × H × H × H Tù Q (y, x, ) ánh xa KKM, Q đóng nên Q có giá tr% đóng, áp dung Bo đe Fan - KKM ta có \ Q (y, x, z) ƒ= φ z∈K Vì v¾y, ton tai t ∈ Q (y, x, z) vói moi z ∈ K Do ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ K Tù đieu ki¾n (iii) ta có t¾p t ∈ K|0 ∈ F (y, x, t, z) , vói moi z ∈ K = t ∈ K|t ∈ Q (y, x, z) , vói moi z ∈ K = A t¾p loi Do Q ánh xa đóng kéo theo F ánh xa đóng Theo đ%nh lý 4.1.1, ton tai điem (x, y) ∈ K × H cho: (1) y ∈ T (x, y); (2) ∈ F (y, x, x, z) vói moi z ∈ K Nghĩa x ∈ Q (y, x, z) vói moi z ∈ K Ta có đieu can chúng minh Q H¾ 4.3.2 Cho K, H, T H¾ 4.1.1 ánh xa Q : H × K × K → 2X Giá thiet đieu ki¾n sau thố mãn: (i) T ánh xa núa liên tnc trên; (ii) Vói moi điem (y, x) ∈ H × K co đ%nh, ta đ%nh nghĩa ánh xa P : K → 2K bói P (t) = x − Q (y, x, t) , t ∈ K KKM; (iii) Q ánh xa đóng vói giá tr% khác rong, vói moi điem (x, y) ∈ K × H co đ%nh, t¾p A = t ∈ K|t ∈ x − Q (y, x, z) , vói moi z ∈ K loi Khi đó, ton tai điem (x, y) ∈ K × H cho: (1) y ∈ T (x, y); (2) ∈ Q (y, x, z) vói moi z ∈ K Chúng minh Đ%nh nghĩa ánh xa F : H × K × K × K → 2X sau F (y, x, t, z) = t − x + Q (y, x, z) , (y, x, t, z) ∈ H × K × K × K Do ánh xa x − Q (y, x, ) KKM \ (x − Q (y, x, z)) ƒ= φ z∈K Vì v¾y, ton tai điem t ∈ K thoá mãn t ∈ (x − Q (y, x, z)) vói moi z ∈ K Đieu dan đen ∈ t − x + Q (y, x, z) vói moi z ∈ K Do đó, ton tai t ∈ K cho ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ K T¾p t ∈ K|0 ∈ F (y, x, t, z) vói moi z ∈ K = t ∈ K|t ∈ x − Q (y, x, z) vói moi z ∈ K = A loi Hơn nua, F ánh xa đóng Q ánh xa đóng Theo Đ%nh lý 4.1.1, ton tai điem (x, y) ∈ K × H thố mãn: (1) y ∈ T (x, y); (2) ∈ F (y, x, x, z) vói moi z ∈ K Nghĩa ∈ Q (y, x, z) vói moi z ∈ K Q KET LU¾N Lu¾n văn trình bày kien thúc bán ve điem bat đ®ng theo trình tn l%ch sú phát trien cna úng dung tốn tna cân bang Cu the Chương 1: Nhac lai m®t so khơng gian bán hay g¾p nghiên cúu giái tích tính chat liên quan Chương 2: Giúi thiắu mđt so ket quỏ ve sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa đơn tr%, cu the ánh xa dang co, dang không giãn, dang liên tuc Chương 3: Trình bày m®t so đ%nh lý ve sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% như: Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Nadler, Đ%nh lý Caristi, Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Ky Fan Chương 4: Trên só xây dnng khỏi niắm v cỏc tớnh chat iem bat đng cna ánh xa đơn tr% đa tr%, chương nghiên cúu úng dung cna tốn tna cân bang Vói pham vi lu¾n văn thòi gian han che, vi¾c nghiên cúu lý thuyet điem bat đ®ng úng dung cna can đưoc nghiên cúu sâu đe tìm đưoc nhieu ket úng dung giái tích thnc te cu®c song ...2 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN TH± NGA ĐIEM BAT Đ®NG VÀ ÚNG DUNG TRONG BÀI TỐN TUA CÂN BANG Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46... cna Ky Fan 47 Chương Úng dnng 54 4.1 Bài toán tna cân bang suy r®ng loai m®t .54 4.2 M®t so tốn liên quan .55 4.3 Sn ton tai nghi¾m cna tốn cân bang 58 Ket lu¾n 63 BÁNG... giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng úng dung tốn tna cân bang” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân, khơng trùng vói bat cú lu¾n văn khác Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành