Điểm bất động trong không gian Metric xác suất có kỳ vọng toán học

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ TH± THANH HOA ĐIEM BAT Đ®NG TRONG KHƠNG GIAN METRIC XÁC SUAT CĨ KÌ VONG TỐN HOC Chun ngành: Tốn Giái tích Mã so: 604601 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan: TS Hà ĐNc Vưang Hà N®i - 2010 LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà Đúc Vưong, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m q báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln quan tâm, đ®ng viên, khích l¾ t¾n tình hưóng dan đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat đen thay Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thõn ó đng viờn v tao moi ieu kiắn e tác giá có the hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Lê Th% Thanh Hoa LèI CAM ĐOAN Tác giá xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tác giá dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Lê Th% Thanh Hoa Mnc lnc Lài cám ơn i Lài cam đoan ii Mnc lnc iii Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian metric xác suat 1.1.1 Hàm phân bo 1.1.2 Chuan tam giác 1.1.3 M®t so chuan tam giác bán 1.1.4 Không gian metric xác suat 10 1.2 Không gian đ%nh chuan xác suat 23 Chương Điem bat đ®ng khơng gian metric cau 30 2.1 Không gian metric 30 2.1.1 Không gian metric 30 2.1.2 Ánh xa co điem bat đ®ng khơng gian metric 45 2.1.3 M®t so ví du úng dung 48 iv 2.2 Không gian metric cau 53 Chương Điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc 59 3.1 Khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc 59 3.2 Điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc 64 Ket lu¾n 68 Tài li¾u tham kháo 69 Lý chon đe tài Trong khoa hoc ky thu¾t nhieu tốn dan tói vi¾c nghiên cúu van đe sau: Vói khơng gian X bat kỳ, M l mđt hop cna X, A : M −→ M ánh xa tù M vào Xét phương trình Ax = x, vói đieu ki¾n cu the ta khang đ%nh sn ton tai nghi¾m cna Khi đó, điem x ∈ M thóa mãn phương trình Ax = x đưoc goi điem bat đng cna ỏnh xa A trờn hop M Viắc nghiờn cỳu ve iem bat đng ó thu hỳt đơng đáo nhà tốn hoc quan tâm Các ket nghiên cúu ve lĩnh vnc hình thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng” Sn phát trien cna “Lý thuyet điem bat đ®ng” gan lien vói tên tuoi cna nhà tốn hoc lón the giói như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, M®t nhung đ%nh lý noi tieng lý thuyet đ%nh lý điem bat đ®ng Banach Nguyên lý ánh xa co Banach Theo dòng l%ch sú, Lý thuyet điem bat đ®ng đưoc nghiên cúu theo hai hưóng chính: Hưóng thú nhat nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc, mó đau Ngun lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) Hưóng thú hai nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa dang co, mó đau Nguyên lý ánh xa co Banach (1922) Năm 1942, K Menger đưa khái ni¾m “metric xác suat ” Đó sn mó rđng xỏc suat cna khỏi niắm metric thụng thũng: thay cho vi¾c xét khống cách d(x, y) giua hai điem x, y khơng gian metric (X, d), ngưòi ta xét hàm phân bo Fx,y (t) bieu dien xác suat đe cho d (x, y) < t, vói t l mđt so thnc Khỏi niắm ny ó thu hỳt sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc, đ¾c bi¾t Schweizer Sklar xây dnng lý thuyet ve không gian metric xác suat, viet thành sách chuyên kháo xuat bán năm 1983 Đ¾c bi¾t, năm 1972, V M Sehgal A T Bharucha – Reid công bo ket ve dang xác suat cna nguyên lý ánh xa co Banach Năm 2009, m®t ket q rat mói đưoc công bo báo: “Mathematical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem” cna hai nhà Tốn hoc: Gao Junyu Su Yongfu Đó ngun lý ánh xa co không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc đưoc đ%nh nghĩa vói metric l tớch phõn suy rđng: + tFx,y (t) dt < +∞ Sn huu han cna tích phân dan đen xác đ%nh đưoc cna m®t metric tương úng, goi metric cau Đong thòi báo này, hai nhà Tốn hoc nói đưa moi quan h¾ cna khơng gian metric cau khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc, tù mó r®ng đưoc ngun lý ánh xa co cho khơng gian metric xác suat Vói mong muon đưoc tìm hieu ve lý thuyet điem bat đ®ng đưoc tiep c¾n vói nhung ket q mói lĩnh vnc tác giá chon đe tài nghiên cúu: "ĐIEM BAT Đ®NG TRONG KHƠNG GIAN METRIC XÁC SUAT CĨ KÌ VONG TỐN HOC" Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương nđi dung v mđt danh muc ti liắu tham khỏo Chương trình bày khái ni¾m ve hàm phân bo, chuan tam giác đe tù xây dnng đ%nh nghĩa ve không gian metric xác suat không gian đ%nh chuan xác suat Như ta biet, “Nguyên lý ánh xa co Banach (1922)” ket kinh đien cna “Lý thuyet điem bat đ®ng” Năm 1972, V M Sehgal A T Bharucha – Reid mó r®ng ket ve điem bat đ®ng cna ánh xa co Banach không gian metric sang không gian metric xác suat Ket q đưoc trình bày Đ%nh lý 1.1.1 Trong không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆), neu t chuan thóa mãn đieu ki¾n ∆ (a, a) “ a, ∀a ∈ [0; 1) (X, F, ∆) chúa m®t ho giá metric Đó n®i dung Đ%nh lý 1.1.2 Phan cuoi cna chương này, tác giá trình bày ve khơng gian đ%nh chuan xác suat Vói moi khơng gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min) ta có the xây dnng đưoc m®t khơng gian loi đ%a phương tách {X, pλ : λ ∈ (0; 1)} (vói pλ núa chuan X) mà tơpơ cna chúng trùng Chương nói ve điem bat đ®ng khơng gian metric cau Đau chương, tác giá trình bày nhung kien thúc bán ve khơng gian metric như: đ%nh nghĩa khơng gian metric, sn h®i tu, dãy Cauchy, khơng gian metric đay đn Tiep đó, tác giá trình bày nguyên lý ánh xa co Banach m®t so ví du úng dung cna Phan cuoi tỏc giỏ trỡnh by mđt khỏi niắm múi l không gian metric cau Không gian metric cau đưoc đ%nh nghĩa gan tương tn không gian metric Tuy nhiên ó đieu ki¾n cuoi thay bat thúc tam giác thơng thưòng, bat thúc tam giác ó õy xuat hiắn mđt hang so K : dK (x, y) ™ K (dK (x, z) + dK (z, y)) Trong không gian metric cau, nhung đ%nh nghĩa ve h®i tu, dãy Cauchy, tính đay đn tương tn khơng gian metric N®i dung quan cna chương đ%nh lý 2.2.1 ve điem bat đ®ng khơng gian metric cau Chương tác giá trình bày ve điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Trong chương tác giá trình bày ve đ%nh nghĩa khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc, sau trình bày moi quan h¾ giua khơng gian metric cau khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc (Đ%nh lý 3.1.1) Tiep theo tác giá trình bày cách xây dnng tôpô không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc (Đ%nh lý 3.1.2) Cuoi Đ%nh lý 3.2.2 nói ve điem bat đ®ng cna ánh xa co xác suat không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna Lu¾n văn tong ket, h¾ thong lai ket ve nguyên lý ánh xa co không gian metric xác suat, không gian metric cau khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Lu¾n văn dna ket q cna Gao Junyu Su Yongfu báo: “ Mathematical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem” Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ket đat đưoc ve điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat, không gian metric cau không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve: “Điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc” Phương pháp nghiên cNu - Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u chuyên kháo Chương Điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Trong chương tác giá trình bày khái ni¾m bán ve khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc điem bat đ®ng cna ánh xa co Tiep theo, tác giá se trình bày đ%nh lý ve moi quan h¾ giua không gian metric cau không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Vói K = ¸ d (x, y) = metric +∞ tdFx,y (t) metric xác suat khơng gian xác suat có kỳ vong toán hoc metric cau d2 X Tù moi quan h¾ giua khơng gian metric cau khơng gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc, ta chúng minh đưoc ánh xa co khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc có điem bat đ®ng nhat 3.1 Khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Đ%nh nghĩa 3.1.1 [22] M®t khơng gian metric xác suat (X, F ) đưoc goi có kỳ vong tốn hoc (mathematical expectation) neu chí neu ¸ +∞ tdFx,y (t) < +∞ 86 Đ%nh lý 3.1.1 [22] Cho (X, F, ∆) m®t khơng gian metric xác suat Menger có kỳ vong toán hoc, giá thiet ∆ = max {a + b − 1, 0}, xác đ %nh ¸ d (x, y) = +∞ tdFx,y (t) d metric cau d2 X (d (x, y) kỳ vong toán hoc cúa metric xác suat Fx,y (t)) ChÚng minh Do Fx,y (t) ∈ [0; 1] , t > ¸ nên tdFx,y (t) “ +∞ d (x, y) = d (x, y) = ⇐⇒ ¸ +∞ tdFx,y (t) = 0 V¾ y Fx,y (t) = ⇐⇒ x = y Do d (x, y) = ⇐⇒ x = y Theo tính chat cna hàm phân bo Fx,y (t) = Fy,x (t) Ta có ¸ d (x, y) = = ¸ +∞ tdFx,y (t) tdFy,x (t) +∞ = d (y, x) V¾y d (x, y) = d (y, x) Ta kiem tra đieu ki¾n cna Đ%nh nghĩa 2.2.1 vói K = Chú ý rang vói x, y ∈ X bat kỳ, tù bat thúc tam giác Menger, vói (X, F ) m®t khơng gian metric xác suat, ∀t1, t2 > 0, ∀x, y ∈ X Fx,y (t1 + t2) “ max (Fx,z (t1) , Fz,y (t2)) Khi ta có ¸ d (x, y) = +∞ = ¸ ¸ +∞ tdFx,y (t) t + t tdFx,y t t +∞ Fx,z ™ td max ¸ +∞ td = , Fz,y Fx,z t + Fz,y t − 1, max 2 ¸ +∞ td Fx,z t + = t Fz,y 2 ¸ +∞ ¸ +∞ tdFz, tdFx,z t = t + y 2 ¸ +∞ ¸ tdFx,z (t) + +∞ tdFz,y (t) = 2 = 2d (x, z) + 2d (z, y) V¾y d (x, y) ™ 2d (x, z) + 2d (z, y) Đ%nh lý đưoc chúng minh ✷ Đ%nh nghĩa 3.1.2 [22] Cho (X, F ) m®t khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc M®t dãy {xn} X đưoc goi h®i tu trung bình tói x ∈ X neu ¸ +∞ lim tdFx ,x (t) = n→∞ n M®t dãy {xn} X đưoc goi dãy Cauchy trung bình neu ∀m ¸ +∞ lim n→∞ tdFxn,xn+m (t) = (X, F ) đưoc goi đay đn trung bình neu moi dãy Cauchy trung bình X đeu h®i tu trung bình đen m®t điem thu®c X Đ%nh lý 3.1.2 [22] Cho (X, F ) m®t khơng gian metric xác suat có kỳ vong toỏn hoc, cỏc mắnh e sau luụn ỳng Mđt dãy {xn} X h®i tn trung bình tói x ∈ X {xn} h®i tn tói x ∈ X M®t dãy {xn} X dãy Cauchy trung bình {xn} dãy Cauchy (X, F ) khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc đay đú trung bình (X, F ) không gian metric xác suat đay đú ChÚng minh Xét dãy {xn} Do {xn} dãy h®i tu trung bình nên ta có ¸ +∞ li tdFxn,x (t) = m Khi đó, ∀t > 0, ta có n→∞ li m Fxn,x (t) = V¾y {xn} dãy h®i tu n→∞ Ta có {xn} dãy Cauchy trung bình, ta phái chúng minh {xn} dãy Cauchy Th¾t v¾y, vói t0 > bat kỳ ta có +∞ +∞ t0 ¸ ¸ tdFxn,xn+m (t) = ¸ tdFxn,xn+m (t) + “ ¸ tdFxn,xn+m (t) + +∞ “ t0 t0 +∞ ¸ t0 ¸ tdFxn,xn+m (t) t0dFxn,xn+m (t) t0dFxn,xn+m (t) t0 Ta có +∞ ¸ t0 +∞ t0dFxn,xn+m (t) = t0Fxn,xn+m (t) t = lim t→+∞ t0F.xn,xn+m (t) − t0 Fxn,xn+m (t0) = t0 − t0 Fxn,xn+m (t0) = t0 − Fxn,xn+m (t0) Theo đ%nh nghĩa cna dãy Cauchy ta có ∀m, t > lim Fxn,xn+m (t) = n→+∞ Suy +∞ ¸ tdFxn,xn+m (t) “ t0 − Fxn,xn+m (t0) Lay giói han hai ve cho n → +∞ ta có +∞ lim ¸ n→+∞ tdFxn,xn+m (t) “ lim t0 − Fx ,x (t ) n n+m n→+∞ Mà +∞ ¸ lim tdFxn,xn+m (t) = n→+∞ Nên ta có lim n→+∞ t0 − Fxn,xn+m (t0) = Vì t0 > nên ta có lim Fxn,xn+m (t0) = n→+∞ Do t0 > bat kỳ nên lim n→+∞ V¾y{xn} dãy Cauchy Fxn,xn+m (t) = 1, ∀t > Theo ta có (X, F ) khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc đay đn trung bình (X, F ) khơng gian metric xác suat đay đn Đ%nh lý đưoc chúng minh 3.2 ✷ Điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Đ%nh lý 3.2.1 Trong khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc (X, F ), moi ánh xa co xác suat đeu ánh xa co không gian metric cau ChÚng minh Giá sú (X, F ) không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc T : X → X ánh xa co Banach xác suat, nghĩa ∃h ∈ (0; 1) cho t (3.1) FT x,T y “ Fx,y h Ta can chúng minh T ánh xa co không gian metric cau (X, dK ) Nghĩa ∃h ∈ (0; 1): dK (T x, T y) ™ hdK (x, y) Ta chúng minh đieu bang phán chúng Giá sú ∀h ∈ (0; 1) ta có dK (T x, T y) > hdK (x, y) Đ¾t t0 = dK (T x, T y) Ta có hdK (x, y) < t0 t0 Hay dK (x, y) < h Theo đ%nh nghĩa cna hàm phân bo ta có t0 > − λ, ∀λ > dK (x, y) ⇐⇒ Fx,y t < h h (3.2) M¾t khác, tù đ%nh nghĩa cna hàm phân bo ta có FT x,T y (t0) = FT x,T y (dK (T x, T y)) ™ − λ, ∀λ > (3.3) Tù (3.2) (3.3) suy FT x,T y (t0) < Fx,y t h Đieu mâu thuan vói (3.1) giá thiet T ánh xa co xác suat V¾y T ánh xa co không gian metric cau (X, dK ) Đ%nh lý đưoc chúng minh ✷ Đ%nh lý 3.2.2 [22] Cho (X, F, ∆) m®t khơng gian metric xác suat Menger đay đú có kỳ vong tốn hoc, T : X → X m®t ánh xa co Giá thiet ∆ (a, b) = max {a + b − 1, 0} Khi T có điem bat đ®ng nhat ChÚng minh Ta có (X, F, ∆) m®t khơng gian metric xác suat Menger đay đn có kỳ vong tốn hoc, theo Đ%nh lý 3.1.1, vói +∞ ¸ d2 (x, y) = tdFx,y (t), ∀x, y ∈ X (X, F, ∆) khơng gian metric cau (X, d2) Xét {xn} dãy Cauchy (theo nghĩa Cauchy trung bình) (X, F, ∆) Ta có +∞ lim n,m→∞ ¸ tdFxn,xm (t) = 0 Hay lim d (x , x ) = n m n,m→∞ V¾y {xn} dãy Cauchy (X, d2) Theo giá thiet (X, F, ∆) không gian metric xác suat Menger đay đn có kỳ vong tốn hoc (theo nghĩa trung bình), dãy Cauchy {xn} h®i tu (theo nghĩa trung bình) tói x0 ∈ X Ta có li ¸+∞ m n→∞ tdFxn,x0 (t) = 0 Hay lim n→∞ d2 (xn, x0) = V¾y {xn} h®i tu tói x0 (X, d2) Do (X, d2) không gian metric cau đay đn T : X → X ánh xa co xác suat khơng gian metric xác suat Menger đay đn có kỳ vong toán hoc (X, F, ∆) Theo Đ%nh lý 3.2.1, T ánh xa co không gian metric cau (X, d2) Như v¾y, khơng gian metric xác suat Menger đay đn có kỳ vong tốn hoc (X, F, ∆) ánh xa T thóa mãn đay đn đieu ki¾n cna Đ%nh lý 2.2.1 đoi vói khơng gian metric cau (X, d2) Theo ket cna Đ%nh lý 2.2.1, T có điem bat đ®ng nhat Đ%nh lý đưoc chúng minh ✷ Không gian metric cau không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc đeu nhung không gian đưoc xây dnng tù nhung metric có tính chat đ¾c bi¾t Tuy nhiên dna theo ky thuắt cna nguyờn lý iem bat đng Banach, chỳng ta có ket q ve điem bat đ®ng cho khơng gian metric cau dna vào moi quan h¾ giua không gian metric cau không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc ta có ket q ve điem bat đ®ng khơng gian Ket luắn Luắn ó trỡnh by mđt cỏch ngan gon, có h¾ thong khái ni¾m ve khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc điem bat đng cna nú Cu the l: Chng 1: Hắ thong lai mđt so khỏi niắm c bỏn v trỡnh bày m®t so kien thúc cơng cu nghiên cúu n®i dung ó nhung chương sau như: hàm phân bo, chuan tam giác, khái ni¾m khơng gian metric xác suat Chương 2: Trình bày kien thúc ve khơng gian metric điem bat đ®ng khơng gian metric cau Chương 3: Trình bày ve điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Tiep moi quan h¾ cna khơng gian metric cau khơng gian metric xác suat có kỳ vong toỏn hoc Sn mú rđng khỏi niắm metric xỏc suat rat huu ích cho sn phát trien cna lý thuyet iem bat đng Ngoi cỏc khỏi niắm ve iem bat đng oc trỡnh by luắn cũn nhieu khái ni¾m nhieu van đe ve điem bat đ®ng đưoc mó r®ng phát trien Vói pham vi thòi gian có han chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Mong q thay ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2005), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc v Ky thuắt, H Nđi [2] o Vn Lu (1998), Tô pô đai cương, Nhà xuat bán Khoa hoc Ky thuắt, H Nđi [3] o Hong Tõn, Nguyen Th% Thanh Hà (2002), Các đ%nh lý điem bat đ®ng, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, Hà N®i [4] Hồng Tuy (2003), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán hoc Quoc Gia, H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [5] A T Bharucha - Reid (1976), “Fixed point theorems in probabilistic analysis”, Bull Amer Math Soc, 82, 641 - 657 [6] Gh Bocsan (1974), “On some fixed point theorems in probabilistic metric spaces”, Math Balkamca, 4, 67-70 [7] GL Jr Cain and R H Kasriel (1976), “Fixed and periodic points of local contraction mappings of probabilistic metric spaces”, Math System Theory, 9, 289-297 [8] J Caristi (1976), “Fixed point theorems for mappings sastisfying inwardness conditions”, Trans Amer Math Soc, 215, 241-251 [9] S S Chang (1983), “On some fixed point theorems in probabilistic metric spaces and its applications”, Z Wahr verw Gebiete, 63, 463474 [10] S S Chang (1985), “On the theory of probabilistic metric spaces with applications”, Acta Math Sinica, New Series, (4), 366-377 [11] S S Chang (1985), “Probabilistic metric spaces and fixed point theorems for mappings”, J Math Research Expos, 3, 23-28 [12] S S Chang (1990), “Fixed point theorems for single-valued mappings in non-Archimedean Menger probabilistic metric spaces”, Math Japonica, 35 (5), 875-885 [13] S S Chang, S W Xiang (1990), “Topological structure and metriza- tion problem of probabilistic metric spaces and application”, J Qufu Normal Univ, 16 (3), 1-8 [14] S S Chang, B S Lee, Y J Cho, Y Q Chen, S M Kang, and J S Jung (1996), “Generalized contraction mapping principle and differential equations in probabilistic metric spaces”, Proc Amer Math Soc, 124, N.8, 2367 - 2376 [15] Y J Cho, P P Murphy and M Stojakovic (1992), “Compatible mappings of type (A) and common fixed points in Menger spaces”, Comm of Korean Math Soc, (2), 325-339 [16] G Constantin, I Istrătescu (1989), Elements of probabilistic analysis, Kluwer Academic publishers [17] I Ekeland (1979), “Nonconvex minimization problems”, Bull Amer Math Soc, 1, 443-447 71 [18] O Hadˇzi´c (1979), “A fixed point theorems in Menger spaces”, Publ Inst Math Beograd, 20 (40), 107-112 [19] O Hadˇzi´c (1981), “Some theorems on the fixed points in probabilistic metric and random normed spaces”, Boll Un Mat Ital, 13 (5), 18, 1-11 [20] T L Hicks (1983), “Fixed point theory in probabbilistic metric spaces”, review og research, Fac Sci Math Series, Univ of Novi Sad, 13, 63-72 [21] V Istrătescu and Sacuiu (1973), “Fixed point theorems for contraction mappings on probabilistic metric spaces”, Rev Roumainne Math Pures Appl, 18, 1375-1381 [22] Gao Junyu, Su Yongfu (2009), “Mathematical expectation of probabilistic metric spaces and Banach fixed point theorem”, Applied Math- ematical Sciences, (33), 1647-1654 [23] K Menger (1942), “Statistical metric”, Proc Nat Acad Sci USA, 28, 535-537 [24] Walter Rudin (1976), Functional Analysis, McGraw Hill, Inc, New York [25] B Schweier and Sklar (1960), “A Statistical metric spaces”, Pacific J Math, 10, 313-334 [26] B Schweier and Sklar (1983), A Probabilistic metric spaces, NorthHolland Series in Probability and Applied Math [27] V M Sehgal and A T Bharucha - Reid (1972), “Fixed points of contraction mappings of probabilistic metric spaces”, Math System Theory, 6, 92-102 [28] M Stojakovic (1985), “Fixed point theorem in probabilistic metric spaces”, Kobe J Math, 2, 1-9 [29] M Stojakovic (1987), “Common fixed point theorems in complete metric and probabilistic metric spaces”, Bull Austral Math Soc, 36, 73-88 [30] M Stojakovic (1988), “A common fixed point theorem in probabilis- tic metric spaces and its applications”, Glasnik Math, 23 (43), 203- 211 [31] N X Tan (1986), “A common fixed point theorem in probabilistic metric spaces and fixed point theorems”, Math Nachr, 129, 205-218 [32] Ha Duc Vuong (2006), “A fixed point theorem for nonexpansive map- pings in locally convex spaces”, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (2), 149-155 [33] Cho Yeolje, Park Keun Saeng, Chang Shih-Sen (1996), “Fixed point theorems in metric spaces and probabilistic metric spaces”, Internat J Math & Math Sci USA, 19 (2), 243-252 ... khơng gian metric xác suat, không gian metric cau không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve: “Điem bat đ®ng khơng gian metric xác suat có kỳ vong toán. .. co xác suat không gian metric xác suat có kỳ vong tốn hoc Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna Lu¾n văn tong ket, h¾ thong lai ket ve nguyên lý ánh xa co không gian metric xác suat, không gian metric. .. metric xác suat 10 1.2 Không gian đ%nh chuan xác suat 23 Chương Điem bat đ®ng không gian metric cau 30 2.1 Không gian metric 30 2.1.1 Không gian metric