Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất.

Mở đầu Lý thuyết điểm bất động không gian metric xác suất đợc coi nh l phần giải tích ngẫu nhiên Hơn nữa, l mét h−íng tỉng qu¸t tèt, tiƯm cËn tèt tíi c¸c định lý điểm bất động ngẫu nhiên Một hớng nghiªn cøu nhãm Xemina khoa häc GS TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì Cấu trúc luận án gồm phần mở đầu, chơng (chơng 1-2-3), t i liệu tham khảo Nội dung chơng đợc tóm tắt nh sau: Chơng trình b y không gian metric xác suất Chơng chủ yếu trình b y định nghĩ không gian metric xác suất, topo không gian metric xác suất v số ví dụ Chơng l chơng luận văn Chơng trình b y số định lý điểm bất động không gian metric xác suất Đầu tiên l số định lý điểm bất động không gian metric xác suất đầy đủ cho ánh xạ co xác suất Trong phần n y có trình b y hai xu hớng nghiên cứu định lý điểm bất động không gian metric xác suất Xu hớng đặt điều kiện lên t-chuẩn không gian, xu hớng thứ hai l đặt điều kiện lên h m phân phối khoảng cách không gian Sở dĩ có hai xu hớng nh vậy, nguyên nhân l tồn không gian metric xác suất đủ, v ánh xạ co m điểm bất động Đây l định lý tiếng H Sherwood Kế đến, luận văn trình b y định lý điểm bất động đặt điều kiện lên h m phân phối khoảng cách với t-chuẩn T TL Các định lý n y tìm đợc ứng dụng cho số định lý điểm bất động ánh xạ ngẫu nhiên Phần tiếp theo, luận văn trình b y định lý điểm bất động cho ánh xạ q co x¸c st v mét sè tỉng qu¸t hãa cđa ánh xạ co Phần tổng quát hóa chủ yếu theo hớng Hớng thứ nhất, phát biểu định lý điểm bất động cho ánh xạ co tổng quát Hớng thứ hai l định lý cho ánh xạ q co địa phơng Trong chơng 3, xin trình b y hệ đợc rút từ định lý viết chơng cho định lý điểm bất động ánh xạ ngẫu nhiên Tôi xin b y tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Thầy đ d nh nhiều tình cảm v công sức động viên, nhắc nhở trình ho n th nh luận văn Tôi đ học tập đợc nhiều kinh nghiệm quí báu nghiên cứu khoa học m thầy hết lòng hớng dẫn từ cách đọc sách đến khả tìm t i liệu Tôi xin chân th nh cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin đ quan tâm v tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho nh học viên cao học khác trình học tập Tôi xin chân th nh cảm ơn thầy cô v bạn bè đồng nghiệp Bộ môn Đại Số v Xác Suất Thống Kê, Đại học Giao Thông Vận Tải đ động viên v tạo điều kiện thuận lợi để có điều kiện tập trung ho n th nh luận văn Tôi xin chân th nh cảm ơn th nh viên Xê mi na GS.TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì, đ học tập đợc nhiều kinh nghiệm học tập v nghiên cứu khoa học từ Xemina Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè v ngời thân đ động viên ho n th nh luận văn n y H Nội, tháng 11 năm 2009 Ngời thực Ngô Quang Quỳnh Mục lục Mở đầu 1 Không gian metric x¸c suÊt 1.1 H m tam gi¸c 1.1.1 Chuẩn tam giác v đối chuẩn tam gi¸c 1.1.2 H m tam gi¸c 1.2 Các định nghĩa không gian metric xác suất v không gian liên quan 10 1.3 Không gian Menger 1.4 Topo không gian metric xác suất, tính đầy đủ không gian metric 11 xác suất 14 1.4.1 Topo m¹nh 14 1.4.2 Sù héi tô không gian metric xác suất 14 1.4.3 Kh«ng gian metric xác suất đầy đủ 15 1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên v kh«ng gian tiỊn chn 17 1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đợc 22 1.6.1 Độ đo tách đợc 22 1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan 26 Các định lý điểm bất động không gian metric xác suất 2.1 Các nguyên lý B co x¸c suÊt 31 31 2.2 Mét số tổng quát hóa nguyên lý B co xác suất cho ánh xạ đơn trị 2.2.1 Các định nghĩa liên quan 50 2.2.2 50 Các định lý 53 ¸p dơng v o định lý điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 68 3.1 Một số định lý áp dụng E-kh«ng gian 68 3.2 Hai lớp đặc biệt q co xác suất 72 Ch−¬ng Không gian metric xác suất 1.1 H m tam giác 1.1.1 Chuẩn tam giác v đối chuẩn tam giác Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn tam giác( t- chuẩn) l toán tử nhị phân đoạn đóng [0, 1], cã nghÜa l , mét h m T : [0, 1]2 → [0, 1] cho víi mäi x, y, z [0, 1] tiên đề sau đợc thỏa m n: T (x, y) = T (y, x) (Giao ho¸n); T (x, T (x, z)) = T (T (x, y), z) (KÕt hỵp); T (x, y) ( Đơn điệu); T (x, z) T (x, 1) = x với y z (chuẩn hóa) Định nghĩa 1.1.2 NÕu T l mét t- chuÈn, ®ã t- ®èi chn ®èi ngÉu ví nã S : [0, 1]2 → [0, 1] đợc cho dới dạng S(x, y) = − T (1 − x, − y) VÝ dô 1.1.1 Minimum TM v maximum SM cho bëi TM (x, y) = min(x, y), SM (x, y) = max(x, y); TÝch TP v tỉng x¸c st SP cho bëi TP (x, y) = x.y, SP (x, y) = x + y − x.y; t- chuÈn Lukasiewicz TL v t- ®èi chuÈn Lukasiewicz SL cho bëi TL (x, y) = max(x + y − 1, 0), SL (x, y) = min(x + y, 1); t- chuÈn yÕu nhÊt ( tÝch drastic) TD v t- ®èi chuÈn m¹nh nhÊt SD cho bëi   min(x, y) nÕu max(x, y) = 1; TD (x, y) =  trờng hợp khác, SD (x, y) = Ví dụ 1.1.2   max(x, y) nÕu min(x, y) = 0, trờng hợp khác F Họ t- chuẩn Frank (Tλ )λ∈[0,+∞] cho bëi  T (x, y)  M nÕu λ = 0,       TP (x, y) nÕu λ = 1, F Tλ (x, y) =  TL (x, y)  nÕu λ = +∞,      log (1 + (x 1)(y 1) ) trờng hợp khác Y Hä t-chuÈn Yager (Tλ )λ ∈ [0, +∞] cho bëi   T (x, y)  D    Y Tλ (x, y) = TM (x, y)     max(0, − ((1 − x)λ + (1 − y)λ ) λ )  nÕuλ = 0, = +, trờng hợp khác Hä t- chuÈn Sugeno -Weber cho bëi   T (x, y)  D    SW Tλ (x, y) = TP (x, y)      max(0, x+y−1+λxy ) 1+λ Hä lòy linh minimum T nM đợc cho min(x, y) nM T (x, y) =  0 nÕu λ = −1 = , trờng hợp khác x + y > 1, trờng hợp khác Định nghĩa 1.1.3 t -chuẩn T1 đợc gọi l yếu T2 T1 (x, y) T2(x, y) ®óng víi mäi (x, y) ∈ [0, 1]2 Ta nói T2 l mạnh T1 Nhận xÐt 1.1.1 Ta cã thø tù m¹nh yÕu sau: TD < TL < TP < TM Định nghĩa 1.1.4 Một t-chuẩn T đợc gọi l Archimedean với (x, y) (0, 1)2 tồn mọt số tự nhiên n ∈ N cho (n) xT < y Bæ ®Ò 1.1.1 Mét t-chuÈn T l Archimedean nÕu v chØ với x (0, 1) có (n) lim xT = n (n) Định nghĩa 1.1.5 Mét t-chuÈn T gäi l cã kiÓu H nÕu hä (xT )nN l liên tục đồng bậc điểm x = 1.1.2 H m tam giác Định nghĩa 1.1.6 Một h m phân phối khoảng cách F : [, ∞] → [0, 1] l mét h m ph©n phèi víi gi¸ chøa [0, ∞] Hä c¸c h m phân phối khoảng cách ký hiệu l + Ta ký hiÖu D+ = {F |F ∈ △+ , lim F (x) = 1} x→∞ Ta ký hiÖu △ l họ tất h m phân phối [, ] Định nghĩa 1.1.7 (H m Dirac) Ta có víi a ∈ [−∞, ∞) th×   0 nÕu u ∈ [−∞, a], Ha (u) =  1 nÕu u ∈ (a, ∞], Cßn víi a = ∞ ta cã H∞ (u) =   0  1 nÕu a ∈ [−∞, ∞), nÕu u = ∞ Trong △ đặt v o thứ tự sau: nÕu F v G l hai h m ph©n phèi th× ta nãi F G v chØ F (x) G(x) ∀x ∈ [−∞, ∞] Khi ®ã, ta cã (△+ , ) l s¾p thø tù bé phËn víi H−∞ l phÇn tư lín nhÊt v H∞ l phÇn tư bÐ nhÊt Chóng ta cã Ha ∈ [0, ∞] Định nghĩa 1.1.8 Một h m tam giác l phép toán hai : + ì + + + m thỏa m n tính chÊt TÝnh chÊt giao ho¸n: τ (F, G) = τ (G, F )∀F, G ∈ △+ TÝnh chÊt kÕt hỵp: τ (τ (F, G), H) = τ (F, τ (G, h))∀F, G, H ∈ △+ Không giảm theo biến: với F, G + v F G, th× τ (F, H) τ (G, H)∀H + Nhận H0 l phần tử đơn vÞ: τ (H0, F ) = F ∀F ∈ △+ Nhận thấy H l phần tử không Tøc l , víi mäi F ∈ △+ chóng ta cã H∞ τ (H∞, F ) τ (H∞ , H0 ) = H∞ NÕu τ1 v τ2 l hai h m tam giác l yếu ( hay l mạnh 1) , nÕu víi mäi F, G △+ v víi x in R+ τ1(F, G)(x) τ2(F, G)(x) VÝ dụ 1.1.3 Cho T l t-chuẩn liên tục trái Khi h m T : + ì + + xác định T (F, G)(x) = T (F (x), G(x)) l mét h m tam gi¸c VÝ dơ 1.1.4 TM xác định TM (F, G)(x) = TM (F (x), G(x)) l h m tam gi¸c lín nhÊt ThËt vËy víi bÊt kú h m tam gi¸c τ ta cã τ (F, G) τ (F, H0 ) = F τ (F, G) τ (H0, G) = G v V× thÕ ta cã τ (F, G)(x) TM (F (x), G(x)) = TM (F, G)(x) (x ∈ R+ ) VÝ dụ 1.1.5 Nếu T l t-chuẩn liên tục trái, T , đợc định nghĩa T (F, G)(x) = sup {T (F (u), G(v))|u + v = x} u,v∈R l mét h m tam gi¸c Mét h m tam giác l liên tục, liên tục topo héi tô yÕu △+ VÝ dô 1.1.6 NÕu F, G ∈ △+ ®ã tÝch chËp F G [0, ) định nghĩa (F ∗ G)(0) = 0, (F ∗ G)(∞) = v (F ∗ G)(x) = F (x − t)dG(t) víi x (0, ) [0,x) Định nghĩa 1.1.9 L l lớp tất phép toán hai [0, ) thỏa m n điều kiện: 10 L ánh xạ [0, ∞)2 v o [0, ∞); L l kh«ng giảm theo hai tọa độ; L l liên tục [0, )2 ( ngoại trừ hai điểm (0, ) v (, 0)) Định nghĩa 1.1.10 Víi mét t-chuÈn T v L ∈ L, h m T,L định nghĩa + ì + v với giá trÞ [0, ∞) cho bëi τT,L (F, G)(x) = sup{T (F (u), G(v))|L(u, v) = x} Trong tr−êng hỵp ®Ỉc biƯt L(x, y) = x + y chóng ta nhận đợc T,L = T Định lý 1.1.2 Nếu T l t-chuẩn liên tục trái v L từ L l giáo hoán, kết hợp, có l phần tử đơn vị v thỏa m n điều kiện u1 < u2 v v1 < v2 th× L(u1 , v1) < L(u2 , v2 ), (1.1) ®ã τT,L l h m tam giác Điều kiện (1.1) l yếu tính tăng ngặt L theo biến T i liệu tham khảo chuẩn tam giác xem [6] 1.2 Các định nghĩa không gian metric xác suất v không gian liên quan Định nghĩa 1.2.1 Một không gian metric xác suất theo nghÜa cña Serstnev l mét bé ba (S, F, τ ) với S l tập khác rỗng, F : S × S → △+ cho bëi (p, q) → Fp,q , τ l mét h m tam gi¸c, cho điều kiện sau đợc thỏa m n với mäi p, q, r S : Fp,p = H0; Fp,q = H0 , víi p = q; Fp,q = Fq,p ; 65 Chøng minh Cho tr−íc < a < b, v gi¶ sư dF (x, y) ∈ [a, b] Khi ®ã a < dF (x, y) b Chän t1 > cho F (t1) > Khi ®ã Fx,y (bt1) F (t1 ) > v cho α(b) = bt1 > V× dF (x, y) > a/2 nên tồn tx,y > cho Fx,y (atx,y /2) < F (txy ) Khi ®ã Fx,y ( a ) Fxy ( a tx,y ) < F (tx,y ), v đặt (a) = a/2 > NÕu f l B− co tæng qu¸t theo (2.32) chóng ta cã Ff x,f y (t) Fx,y ( t ) L(α(b), β(a)) F( t ) víi mäi t > 0, L(α(b), β(a))dF (x, y) ®iỊu n y kÐo theo dF (f x, fy) F (α(b), β(a))dF (x, y) Đặt L(a, b) = L((b), (a)) nhận đợc dF (fx, f y) L(a, b)dF (x, y) Vì m f l co tổng quát kiểu Krasnoselski tơng ứng với dF Định lý 2.2.13 Ta giả sử tất điều kiện định lý (2.2.8) ®−ỵc tháa m n Khi ®ã f cã mét ®iĨm bÊt ®éng nhÊt Chøng minh Cho p l mét phÇn tư bÊt kú thc S v X = {x S|dF (p, x) < } Theo định nghĩa metric dF , víi F = Fp,f p, ta suy dF (p, f p) 1, kÐo theo f p ∈ X VËy (X, dF ) l mét kh«ng gian metric ®đ víi f (X) ⊂ X Sau ®ã, ta ¸p dụng định lý (2.2.9) v p l điểm S, đợc điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.14 Cho (S, F, T ) l mét kh«ng gian Menger đủ, T l t-chuẩn liên tục kiểu H v (bn )n∈N l mét d y (0, 1) cho T (bn , bn ) = bn (n ∈ N) v lim bn = Khi ®ã (S, F , TM ) l không gian Menger đủ víi cïng topo (ǫ, λ) n→∞ gièng nh− (S, F , T ), víi mäi u ∈ R   0     Fx,y (u) = bn     1  nÕu Fx,y (u) < b1, nÕu bn Fx,y (u) < bn+1, nÕu Fx,y (u) = 66 Chøng minh DÔ d ng thÊy Fx,y ∈ D+ Ta sÏ chøng minh r»ng Fx,z (u + v) (2.36) TM (Fx,y (u), Fy,z (v)) víi mäi x, y, z ∈ S v víi mäi u, v > NÕu Fx,y (u) = hc Fy,z = (2.36) Nếu Fx,y (u) = bn , Fy,z (v) = bm(n Fx,z (u + v) ta suy Fx,z (u + v) m) th× ta cã Fx,y (u) T (Fx,y (u), Fy,z (v)) bn , Fy,z (v) bm v tõ T (bn , bn ) = bn bn = TM (Fx,y (u), Fy,z (v)) V× bn > − λ ta cã N (ǫ, − bn ) ⊂ N (ǫ, λ), N (ǫ, − bn ) ⊂ N (ǫ, λ) v nh− vËy F v F có topo (, ) Định lý 2.2.15 Cho (S, F , T ) l mét kh«ng gian Menger đầyđủ, với T l t-chuẩn liên tục kiểu H Khi với ánh xạ B co tổng quát f : S → S cã ®iĨm bÊt ®éng nhÊt Chøng minh Chóng ta sÏ chøng minh (2.32) ®óng cho F v f, với F đợc xác định mệnh đề (2.2.14) Giả sử , với , > v x, y ∈ S, chóng ta cã Fx,y (α) > 0, Fx,y (β) < Khi ®ã Fx,y (α) > v Fx,y (β) < v theo ( 2.32) Ff x,f y (u) Fx,y u L(α, β) víi mäi u > (2.37) u L(α, β) víi mäi u > (2.38) Chóng ta chøng minh (2.37) kÐo theo Ff x,f y (u) NÕu Fx,y u L(α,β) Fx,y = ®ã (2.38) ®óng NÕu Fx,y u L(α,β) u L(α, β) Ff x,f y (u) Fx,y Ff x,f y (u) bn = Fx,y = bn th× bn Vì m u L(, ) Từ định lý (2.2.13) ta thu đợc điều phải chứng minh 67 Vì ánh xạ q co xác suất n o l ánh xạ B co tổng quát, sử dụng định lý (2.1.8) có định lý sau: Định lý 2.2.16 Nếu T l t-chuẩn thỏa m n với ánh xạ B co tổng quát f : S → S cã mét ®iĨm bÊt ®éng víi bÊt kú (S, F, T ) l mét kh«ng gian Menger đủ, T có kiểu H Định lý 2.2.17 Cho (S, F, TM ) l mét kh«ng gian Menger ®đ v f : S → S l thuộc lớp [MK] Khi tồn điểm bất động x S ánh xạ f v x = lim f n p víi mäi p S n Chơng áp dụng v o định lý điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 3.1 Một số định lý áp dụng E-không gian Từ định lý v hệ trên, ta ¸p dơng cho kh«ng gian metric x¸c st hay Ekh«ng gian (M, d), với (M, d) l không gian metric đầy đủ (S, F , TL ) Trong đó, S l tập hợp tất lớp tơng đơng biến ngẫu nhiên M giá trị Với định nghĩa h m phân phối khoảng cách S nh sau: FX,Y (x) = P {ω|d(X(ω), Y (ω)) < x}, víi X ∈ X, Y ∈ Y HƯ qu¶ 3.1.1 Cho (M, d) l không gian metric khả ly, đầy đủ v ( , A, P ) l không gian xác suất Khi đó,nếu với mäi X, Y ∈ LM ( ) l c¸c biÕn ngẫu nhiên M giá trị với FX,Y (x) = P (ω|d(X(ω), Y (ω)) < x) Khi ®ã, víi mäi ánh xạ ngẫu nhiên q co xác suất f : P ({ω|ω ∈ , d(f (ω, X(ω)), f (ω, Y (ω)) < qx}) 68 × M → M; q ∈ (0, 1): P ({ω|ω ∈ , d(X(ω), Y (ω)) < x}), 69 tháa m n, tån t¹i mét X0 ∈ LM ( ) với quỹ đạo A = O(X0, f ) tháa m n (3.1) lim sup P (d(X(ω), Y (ω)) > t) = t→∞ X,Y ∈A ta có tồn điểm bất động ngẫu nhiên f Hơn nữa, gọi l điểm bất động ngẫu nhiên ta có: () = lim f n (ω, X(ω)) n→∞ ∀X ∈ L0 (M) Trong ®ã, f 1(ω, X(ω)) = f (ω, X(ω)), f n (ω, X(ω)) = f (ω, f n−1 (ω, X())) n > Chứng minh Điều kiện (3.1) tơng đơng với quỹ đạo A = O(X0, f ) l bị chặn xác suất Thật vậy, ta có lim supX,Y ∈A P (d(X(ω), Y (ω)) > t) =0 ⇔ lim inf X,Y ∈A P (d(X(ω), Y (ω) < t) =1 t→∞ t→∞ ⇔ supt supu t inf X,Y ∈A P (d(X(ω), Y (ω) < u)) = ⇔ supt DO(X0,f ) = Chính vậy, theo hệ định lý (2.1.3), ta có điều phải chứng minh Hệ 3.1.2 Cho (M, d) l không gian metric khả ly đầy đủ v ( , A, P ) l không gian xác suất Khi đó,nếu víi mäi U, V ∈ L0(M) l c¸c biÕn ngÉu nhiên M giá trị với FU,V (x) = P (|d(U (ω), V (ω)) < x) tháa m n ∞ ln(u)dFU,V (u) < Khi đó, với ánh xạ ngẫu nhiên q co xác suất f : P ({| ∈ , d(f (ω, X(ω)), f (ω, Y (ω)) < qx}) × M → M; q ∈ (0, 1): P ({ω|ω ∈ , d(X(ω), Y (ω)) < x}), 70 ta có tồn điểm bất động ngẫu nhiên f Hơn nữa, gọi l điểm bất động ngẫu nhiên ta có: () = lim f n (ω, X(ω)) n→∞ ∀X ∈ L0 (M) Trong ®ã, f 1(ω, X(ω)) = f (ω, X(ω)), f n (ω, X(ω)) = f (ω, f n−1 (ω, X())) n > Chứng minh Đây l hệ định lý (2.1.13) Hệ 3.1.3 Cho (M, d) l không gian metric khả ly đầy đủ v ( , A, P ) l mét kh«ng gian xác suất Cho f : ì M M l ánh xạ qco xác suất với q (0, 1) Khi đó, tồn X0 L0 (M) cho víi F (x) = P (ω|d(X0(ω), f (ω, X0(ω)) < x) m ∞ ln(u)dF (u) < Khi đó, tồn điểm bất động ngẫu nhiên cho f v gọi l điểm bất động ngẫu nhiên ξ(ω) = lim f n (ω, X(ω)) n→∞ ∀X ∈ L0 (M) Trong ®ã, f 1(ω, X0(ω)) = f (ω, X0 (ω)), f n (ω, X0 (ω)) = f (ω, f n1 (, X0 ()))n > Chứng minh Đây l kết luận rút đợc từ hệ (2.1.14) Hệ 3.1.4 Cho (M, d) l không gian metric khả ly đầy đủ v ( , A, P ) l không gian xác suất Thỏa m n, với U, V L0 (M), đặt FU,V (x) = P (ω|d(U (ω), V (ω)) < x) m ∞ xdFU,V (x) < ∞ − moment cÊp hữu hạn Khi đó, với f : ì M M l ánh xạ qco xác suất với q (0, 1), tồn điểm bất động ngẫu nhiên cho ánh xạ ngẫu nhiên f 71 Chứng minh Kết luận đợc rút từ hệ (2.1.15) với E không gian (S, F, TL ) HƯ qu¶ 3.1.5 Cho (M, d) l mét không gian metric khả ly v đầy đủ v ( , A, P ) l không gian xác suất Với X, Y : M l hai biến ngẫu nhiên M giá trị ta đặt FX,Y (x) = P {d(X(ω), Y (ω)) < x} XÐt f : ì M M l ánh xạ ngẫu nhiên q co xác suất tức l thỏa m n: P {d(f (ω, X(ω)), f (ω, Y (ω))) < qx} P {d(X(ω), Y (ω)) < x} Khi ®ã, nÕu tån k > v biến ngẫu nhiên X0 tháa m n: sup xk (1 − FX0,f (ω,X0 (ω)) (x)) < x>0 Khi đó, tồn điểm bất ®éng ngÉu nhiªn nhÊt cho f Chøng minh Bỉ ®Ị 3.1.6 Cho q ∈ (0, 1) Khi ®ã, ta cã TL l q− héi tô Chøng minh Ta cã ∞ q n < ∞ V× thÕ ta cã, n=1 ∞ (1 − (1 − q n )) < ∞ M ta cã n=1 n ⊤n (1 i=1 i n i − q ) = max( i=1 V× thÕ ta cã ∞ (1 − q i − 1) + 1, 0) (1 − q − (n − 1), 0) = max( i=1 (1 − (1 − q n )) < ∞ v chØ n=1 ∞ lim (TL )∞ (1 i=n n→∞ M ta cã ∞ i=1 i ((1 − q i ) − 1) + 1, 0) = − q ) = max( lim n→∞ i=n q i < ∞ ⇒ lim ⊤∞ (1 − q i ) = Hay ta cã TL l q− hội tụ i=n n Từ bổ đề trên, ta suy l hệ trực tiếp định lý (2.1.20) Hệ 3.1.7 Cho (M, d) l không gian metric khả ly v đầy đủ v ( , A, P ) l không gian xác suất b¶n Víi X, Y : → M l hai biÕn ngẫu nhiên M giá trị ta đặt FX,Y (x) = P {d(X(ω), Y (ω)) < x} 72 XÐt f : ì M M l ánh xạ ngẫu nhiên q co xác suất tức l thỏa m n: P {d(f (ω, X(ω)), f (ω, Y (ω))) < qx} P {d(X(ω), Y (ω)) < x}.∀x, ∀X, Y ∈ LM ( ) Khi đó, điều kiện cần v ®đ ®Ĩ f cã ®iĨm bÊt ®éng ngÉu nhiªn l n k > v biến ngẫu nhiên X0 tháa m n: ∞ xk dFX0 ,f (ω,X0 (ω)) (x)) < 3.2 Hai lớp đặc biệt q co xác suất Định nghĩa 3.2.1 Cho (S, F , TL ) l E-không gian xác định kh«ng gian metric (M, d) víi ( , A, P ) l không gian xác suất Một ánh xạ f : S S l q co chặt, víi q ∈ (0, 1), nÕu víi mäi p1 , p2 ∈ S v víi mäi x ∈ R ta cã {ω|ω ∈ , d(p1 (ω), p2(ω)) < x} ⊆ {| , d((f p1)(), (f p2)()) < qx} Định lý 3.2.1 (Sherwood) Mọi ánh xạ q co chặt f : S → S, víi (S, F, TL ) l không gian E đủ, có điểm bất động Chứng minh Với d y (pm)mN , xác định bëi pm = f m p0, m ∈ N v p0 ∈ S, chóng ta cã víi mäi m ∈ N v x ∈ R {ω|ω ∈ , d(p0(ω), p1(ω)) < (1 − q)x} ⊆ {ω|ω ∈ , (1 − q m )d(p0 (ω), p1 (ω)) < (1 − q)x} ⊆ {ω|ω ∈ , (1 + q + + q m−1)d(p0(ω), p1(ω)) < x} ⊆ {ω|ω ∈ , d(p0 (ω, p1(ω)) + + d(pm−1(ω), pm (ω)) < x} ⊆ {ω|ω ∈ , d(p0(ω), pm (ω)) < x} V× thÕ Fp0 ,pm (x) Fp0,p1 ((1 − q)x), kÐo theo (f mp0 )mN l bị chặn xác suất 73 Nhận xét 3.2.16 Ta xét trờng hợp ánh xạ ngẫu nhiên f : ì M M thỏa m n điều kiÖn: d(f (ω, x), f (ω, y)) k(ω)d(x, y) ∀x, y ∈ M, ∀ω ∈ (3.2) víi k(ω) l biến ngẫu nhiên nhận giá trị đoạn (0, 1) NÕu gi¶ thiÕt sup k(ω) q < víi q l số ta có điều kiện d(f (ω, x), f (ω, y)) qd(x, y) ∀x, y ∈ M, ∀ω ∈ (3.3) Tõ ®iỊu kiƯn n y, ta suy f cịng l q−co chỈt, hƯ l tồn điểm bất động cho f Định nghĩa 3.2.2 Cho (S, F ) l không gian metric xác suất Một ánh xạ f : S S đợc gọi l q co kiĨu (ǫ, λ), víi q ∈ (0, 1), nÕu ta cã víi mäi p1 , p2 ∈ S m (∀ǫ > 0)(∀λ ∈ (0, 1))(Fp1,p2 (ǫ) > − λ th× ⇒ Ff p1,f p2 (qǫ) > − qλ) (3.4) Rõ r ng f l ánh xạ q co xác suất kiểu (, ) f l ánh xạ q co xác suất Thật vậy, giả sử ngợc lại với > 0, p1, p2 S v λ ∈ (0, 1) n o ®ã ta cã Ff p1 ,f p2 (qǫ) < − λ < Fp1 ,p2 (ǫ) V× thÕ Ff p1,f p2 (qǫ) > − qλ > − λ ta cã mâu thuẫn Định lý 3.2.2 Cho (S, F, TL ) l không gian Menger đủ v f : S S l ánh xạ q co xác suất kiểu (, ) Khi đó, tồn điểm bất động x S ánh xạ f v x = lim f n p víi mäi p ∈ S n Định nghĩa 3.2.3 Cho (S, F ) l không gian metric xác suất Một ánh xạ f : S S đợc gọi l (q, q1) co kiĨu (ǫ, λ), víi q, q1 ∈ (0, 1), nÕu víi mäi p1 , p2 ∈ S : (∀ǫ > 0)(∀λ ∈ (0, 1))(Fp1 ,p2 (ǫ) > − λ th× ⇒ Ff p1,f p2 (qǫ) > − q1λ) (3.5) 74 VÝ dô 3.2.19 Cho (S, F ) l không gian metric xác suất v f : S → S cho víi q, q1 ∈ (0, 1) − Ff p1,f p2 (qu) (3.6) q1(1 − Fp1 ,p2 (u)) víi mäi p1 , p2 ∈ S v víi mäi u > Khi f l mét ¸nh x¹ (q, q1 )− co kiĨu (ǫ, λ) ThËt vËy, nÕu Fp1 ,p2 (u) > − λ ®ã − Ff p1,f p2 (qu) q1(1 − Fp1,p2 (u)) < q1 λ v v× vËy m Ff p1 ,f p2 (qu) > q1 Định nghĩa 3.2.4 Cho (S, F) l không gian metric xác suất v f : S S Khi đó, ánh xạ f đợc gọi l q co xác suất mạnh (q ∈ (0, 1)) nÕu tån t¹i q1 ∈ (0, 1) cho (3.6) ®óng NhËn xÐt 3.2.17 NÕu f l ánh xạ q co xác suất mạnh Ff n+1 p,f n+1+mp (u) n+1 − q1 − Ff p,f m p u q n+1 n+1 − q1 víi mäi p ∈ S, n, m ∈ N v víi mäi u > Khi ®ã (f n p)nN l d y Cauchy Định lý 3.2.3 Cho (S, F , T ) l mét kh«ng gian Menger ®ñ cho sup T (a, a) = a cho Fp,f p () > Vì Fp,f p D+ nên nh− vËy l tån t¹i Cho λ1 ∈ (0, 1) cho Fp,f p(δ) > − λ1 Tõ phơng trình (3.5) có Ff p,f 2p (q) > q11 75 v , tổng quát ta cã n Ff n p,f n+1 p (q n δ) > − q1 λ1 (3.8) Chóng ta sÏ chøng minh (f n p)n∈N l mét d y Cauchy, cã nghÜa l víi mäi ǫ > v λ ∈ (0, 1) tån t¹i n0(ǫ, λ) ∈ N cho Ff n p,f n+mp (ǫ) > − λ víi mäin ∞ Cho tr−íc ǫ > v λ (0, 1) Vì chuỗi n0 (, ) với mäi m ∈ N q n δ héi tơ, nªn tån t¹i n0 = n0(ǫ) cho n=1 n q δ < ǫ Khi ®ã, víi mäi n n0 n=n0 ∞ F f n p,f n+m p (ǫ) F q nδ f n p,f n+m p n=n0 n+m−1 qiδ Ff n p,f n+m p i=n T ( (T (Ff n p,f n+1p (q n δ), Ff n+1p,f n+2p (q n+1 δ)), (m-1)-lÇn , Ff n+m−1 p,f n+m p(q n+m−1 δ)) i Cho n1 = n1(λ) ∈ N cho ⊤∞ (1 − q1 ) > − λ V× (3.7) đúng, nên n1 nh i=n tồn Sử dụng (3.8) thu đợc với n Ff n p,f n+mp (ǫ) max n0, n1 v víi mäi m ∈ N i ⊤n+m−1(1 − q1 λ1) i=n i ⊤n+m−1(1 − q1 ) i=n i ⊤∞ (1 − q1) i=n > − λ Râ r ng ta cã f l liên tục Thật vậy, với > v η ∈ (0, 1) cho tr−íc LÊy ǫ = µ/q, λ = η/q1 chóng ta cã víi Fp1 ,p2 (ǫ) > − λ th× → Ff p1,f p2 (qǫ) = Ff p1,f p2 (µ) > − q1λ = − η Khi ®ã víi x = lim f n p kÐo theo n→∞ fx = f ( lim ) = lim f n p = x n→∞ n→∞ 76 Ta sÏ chØ x nh− vËy l nhÊt Gi¶ sư y = fy, y = x Víi ǫ > cho Fx,y (ǫ) > v Fx,y (ǫ) > − λ chóng ta cã Ff x,f y (qǫ) > − q1λ v t−¬ng tù n Fx,y (q n ǫ) = Ff n x,f n y (q n ǫ) > − q1 λ víi mäi n ∈ N V× vËy, Fx,y (u) = 1, víi mäi u > 0, dÉn tíi m©u thn x = y HƯ qu¶ 3.2.4 Cho (S, F , T ) l không gian Menger đủ cho T l t-chuẩn chặt với nhân nhân tính θ v f : S → S l mét ¸nh xạ (q, q1) co xác suất kiểu (, ) Nếu ∞ i θ(1 − q1 ) = 1, lim n→∞ (3.9) i=n tồn điểm bất động ánh xạ f v x = lim f n p víi mäi p ∈ S n→∞ Chøng minh Vì l liên tục nên ta thu đợc tõ (3.9) ∞ lim n→∞ ⊤∞ (1 i=n − i q1 ) =θ −1 i θ(1 − q1 ) lim n→∞ = i=n HƯ qu¶ 3.2.5 Cho (S, F , T ) l không gian Menger đủ cho T T0 víi T0 ∈ Υ0 v f : S S l ánh xạ (q, q1) co xác suất kiểu (, ) Khi đó, tồn nhÊt mét ®iĨm bÊt ®éng x cđa f v x = lim f n p víi mäi p ∈ S n→∞ HƯ qu¶ 3.2.6 Cho ( , A, m) l không gian đo, với m l đo đo liên tục S tách đợc có kiểu (NSA), s l nhân cộng tính đơn điệu tăng S, (M, d) l không gian metric khả ly đủ v f : ì M M l ánh xạ ngẫu nhiªn cho víi q, q1 ∈ (0, 1) v mäi biÕn ngÉu nhiªn X, Y : → M ta cã (∀u > 0)(∀λ ∈ (0, 1)) (m({ω|ω ∈ , d(X(ω), Y (ω)) < u}) > − λ ⇒ m({ω|ω ∈ , d((fX), (fY )) < qu}) > q1 ) Nếu t-chuẩn T định nghĩa T (x, y) = s−1(max(0, s(x) + s(y) − 1), x, y ∈ [0, 1], l q1− héi tô, tồn điểm bất động ngẫu nhiên ánh xạ ngẫu nhiên f 77 Hệ 3.2.7 Cho ( , A, P ) l mét kh«ng gian đo, (M, d) l không gian metric khả ly ®đ v f : × M → M l mét ánh xạ ngẫu nhiên cho với q, q1 (0, 1) v mäi biÕn ngÉu nhiªn X, Y : → M ta cã (∀u > 0)(∀λ ∈ (0, 1)) (P ({ω|ω ∈ , d(X(ω), Y (ω)) < u}) > − λ ⇒ P ({ω|ω ∈ , d((f (ω, X(ω)), (f (ω, Y (ω))) < qu}) > − q1 ) tồn điểm bất động ngẫu nhiên ánh xạ ngẫu nhiên f T i liƯu tham kh¶o [1] A T Bharucha-Reid (1976) Fixed point theorems in probabilistic analysis, Bull Amer Math Soc 82, 641-657 [2] V M Sehgal, A T Bharucha-Reid (1972) Fixed points of contraction mappings on probabilistic metric spaces, Math Syst Theory 6, 97-102 [3] A T Bharucha-Reid (1972) Random Integral Equations, Academic Press New York and London [4] H Sherwood (1971) Complete probabilistic metric spaces, Z Wahr verw Geb 20, 117-128 [5] C A Drossos(1977) Stochastic Menger spaces and convergence in probability, Rev Roun Math Pures Appl, 22, 1069 -1076 [6] Olga Hadzic, Endre Pap(2001) Fixed point theory in probabilistic metric spaces, 282p, Kluwer Academic Pulishers ă [7] S Hahn, F Pătter (1970) U ber Fixpunkte kompakter Abbildungen in topologiso chen Vektorrăumen, Studia Math 50, 1-16 a [8] Donal O’Regan, Reza Saadati(2008) Nonlinear contraction theorems in probabilistic spaces, Applied Mathematics and Computation, 195, 86-93 [9] H.E Kunze, D La Torre, E R Vrscay Random fixed point equations and inverse problems by collage theorem, J Math Anal Appl v334 1116-1129 78 79 [10] Erich Peter Klement, Radko Mesiar(2005) Logical, Algebraic, analytic, and probabilistic aspects of triangular norms, Elesevier 481pp ... xét 2.1.6 Định lý điểm bất động tất định không gian metric cổ điển l trờng hợp riêng định lý điểm bất động không gian metric xác suất Chứng minh Bất đẳng thức (2.1) l tổng quát hóa bất đẳng thức... 22 1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan 26 Các định lý điểm bất động không gian metric xác suất 2.1 Các nguyên lý B co xác suất 31... F) đợc gọi l không gian nửa metric xác suất 1.3 Không gian Menger Định nghĩa 1.3.1 Cho T l t-chuẩn liên tục trái Khi đó, không gian metric xác suất (S, F, ) l không gian metric xác suất với =