Các không gian metric xác suất liên quan

Ta nói một độ đom có kiểu (NSA) khi và chỉ khi s◦m là một độ đo cộng tính hữu hạn, với s là nhân cộng tính của t-đối chuẩn S, liên tục, không chặt và Archimedean, mà độ đo m là tách đ−ợc (s(1) = 1).

Nếum làS− tách đ−ợc khi đó m là S−đánh giá, có nghĩa là S(m(A∪B), m(A∩B)) =S(m(A), m(B)).

Bổ đề 1.6.6. Cho m là một độ đo kiểu (NSA), với s là tăng chặt. Khi đó, với mọi

A, B ∈ A:

m(A∩B)T(m(A), m(B)),

với T là một t-chuẩn với nhân cộng tính t = 1−s.

Ngoài ra, nếu ta có

s(x) +s(1−x) = 1 với mọix∈[0,1] (1.7)

thì

T(x, y) = 1−S(1−x,1−y), với mọi x, y ∈[0,1]

, tức là T là một t-chuẩn đối ngẫu với t-đối chuẩn S.

Chứng minh. Vì m có kiểu (NSA), s◦m là độ đo cộng tính hữu hạn và vì thế m(A∩B) =s⁻¹(s(m(A∩B)))

s⁻¹(max(0, s◦m(A) +s◦m(B)−1)) =t⁻¹(min(1, t◦m(A) +t◦m(B))) =T(m(A), m(B)),

với t= 1−s là một nhân cộng tính của t-chuẩn T.

Nếus thỏa mZn (1.7) chúng ta có s−1(1−s(u)) = 1−u(u∈[0,1]). Với u=s⁻¹(s(1−x) +s(1−y)) (x, y ∈[0,1]) chúng ta thu đ−ợc s⁻¹(1−s(s⁻¹(s(1−x) +s(1−y)))) = 1−u và vì vậy s⁻¹(1−s(1−x)−s(1−y)) = 1−s⁻¹(s(1−x) +s(1−y)). Vì s(1−x) = 1−s(x), s(1−y) = 1−s(y), chúng ta có s⁻¹(s(x) +s(y)−1) = 1−s⁻¹(s(1−x) +s(1−y)). Vì thế, T(x, y) = 1−S(1−x,1−y), có nghĩa T là đối ngẫu của S.

Ví dụ 1.6.15.

λ)λ∈(0,∞) với nhân cộng tính sY

λ(x) =xλ :

S_λ^Y(x, y) = min(1,(x^λ+y^λ)^1/λ), và họ t-chuẩn (Tλ)λ∈(0,∞) từ bồ đề (1.6.6) cho bởi

Tλ(x, y) = (max(x^λ+y^λ−1,0))^1/λ. Nếu λ= 1, SY

λ và T_λ không đối ngẫu nhau. Với họ t-đối chuẩn (SSW

λ )_λ∈(−1,∞), với nhân cộng tính s^SW_λ (x) =        x nếu λ= 0, log(1 +λx) log(1 +λ) với λ ∈(−1,∞)\ {0}, và họ t-chuẩn t−ơng ứng nh− trong bổ đề (1.6.6) là (TSW

λ )λ∈(−1,∞) ứng với nhân cộng tính tSW

λ = 1−sSW

λ và vì thế TSW

λ và SSW

Mệnh đề 1.6.7. Cho (Ω,A, m)là một không gian đo, với m là một độ đo liên tụcS−

tách đ−ợc. Hơn nữa,m có kiểu (NSA) và nhân cộng tính củaS làsđơn điệu tăng. Khi đó (S,F, T) là một không gian Menger, trong đó S là tập tất cả các lớp t−ơng đ−ơng các biến ngẫu nhiên từ Ω→ (M, d),(M, d) là một không gian metric khả ly và vớiF

và t-chuẩn T định nghĩa nh− sau:

F_X,Y(u) =m{ω|ω∈Ω, d(X(ω), Y(ω))< u}=m{d(X, Y)< u}

( với mọi X, Y ∈S, u∈R,

T(x, y) =s⁻¹(max(0, s(x) +s(y)−1)), với mọi x, y ∈[0,1].

Chứng minh. Rõ ràng F_X,Y : R → [0,1] và vì m là đơn điệu, F_X,Y là đơn điệu tăng. Vì F_X,Y(0) =m(∅) = 0, nên giờ ta chứng minh:

lim

n→∞F_X,Y(u) = 1.

Xét A_n ={d(X, Y) < n}(n ∈N). Khi đó A₁ ⊆ A₂ ⊆ ...và từ tính liên tục của m và m(Ω) = 1ta có: m n∈N An =m(Ω) = 1 = lim n→∞F_X,Y(n) = lim n→∞F_X,Y(u). Nh− vậy, ta có F_X,Y ∈ D+.

Tiếp theo, ta chứng minh nếu F_X,Y(u) = 1 với mọi u > 0 ⇒ X = Y . Thật vậy, giả sử F_X,Y(u) = 1 với mọi u > 0 kéo heo F_X,Y(1/n) = 1, với mọi n ∈ N tức là m(An) = 1∀n ∈ N, với An = {d(X, Y) < 1/n}. Ta có {d(X, Y) = 0} =

n∈N

An và theo tính liên tục của m ta suy ra

m{d(X, Y) = 0}= lim

n→∞m(An) = 1

và vì thế mà X =Y.

Cho(X, Y , Z)∈SìSìS vàu, v >0.Đặt A={d(X, Y)< u}, B ={d(Y, Z)< v}, C ={d(X, Z)< u+v}. Khi đó, A∩B ⊆C và vìmlà đơn điệu ta cóm(A∩B)

m(C).Theo bổ đề (1.6.6) ta cóm(C)m(A∩B)T(m(A), m(B)),vớiT là t-chuẩn cho bởi

T(x, y) =s⁻¹(max(0, s(x) +s(y)−1)), x, y ∈[0,1]

Nhận xét 1.6.4.

TL(x, y) = max(x+y−1,0).Độ đo xác suấtm=P làSL−tách đ−ợc, với SL(x, y) = min(x+y,1).Vì vậy, mệnh đề 1.6.7 là một tổng quát hóa ví dụ của Drossos.

Chứng minh. 1. Rõ ràng,P làSLtách đ−ợc. Ta cóSL(x, y) = min(x+y,1), x, y ∈

[0,1]. Nh− vậy, ∀A, B :AB =∅

P(A+B) = P(A) +P(B)

= min(P(A) +P(B),1) = SL(P(A), P(B)).

2. P có kiểu NSA với SL. Ta có SL là một t− đối chuẩn liên tục, không chặt, Archimedean với nhân cộng tính là s(x) = x (ta có SL(x, y) = min(x+y,1) =

s⁻1(min(s(x) +s(y)),1)). Do vậy mà s◦P =P là cộng tính hữu hạn. Lại do s(x) +s(1−x) = 1∀x⇐TL(x, y) = max(x+y−1,0).

Từ đó mà ví dụ của Drossos là một tr−ờng hợp riêng của mệnh đề 1.6.7.

Mệnh đề 1.6.8. Cho (Ω,A, m) giống trong bổ đề 1.6.7 và (M, d) là một không gian metric khả ly. Khi đó (S,F, T)ở bổ đề 1.6.7 là một không gian metric xác suất đủ. Chứng minh. Giả sử (_Xn)n∈N là một dZy Cauchy trong S theo topo(ǫ, λ). Có nghĩa, với mọi ǫ >0 và λ ∈(0,1) tồn tạin0(ǫ, λ)∈N sao cho

m{d(Xn, Xn+p)< ǫ}=F_Xn,Xn+p(ǫ)>1−λ với mọi nn0(ǫ, λ)và với mọi p∈N.

Chọn (ǫk)k∈N là một dZy thuộc (0,1) sao cho

k∈N

ǫk là hội tụ. Vì s là liên tục và s(1) = 1, từ đó suy ra tồn tại λk ∈ (0,1)(k ∈N) sao chos(1−λk)>1−ǫk(k ∈N). Cho Ns ∈N(s∈N) thỏa mZnN1 < N2 < ...

m{d(Xn, Xn+p)< ǫ}>1−λs, nNs, p∈N.

Khi đó s◦m{d(XN, XNs+1)< ǫs}> s(1−λs)>1−ǫ,với mọi s∈N.Vì độ đos◦m là hữu hạn cộng tính nên chúng ta có

s◦m{d(XNs, XNs+1 > ǫs}<1−s(1−λs)< ǫs với mọi s∈N.

Nếu B_s={d(S_Ns, X_Ns+1)> ǫ_s} (s∈N)chúng ta có s◦m(B_s)< ǫ_s(s ∈N). Vì vậy,

s∈N

s◦m(Bs)là hội tụ. Theo bổ đề Borel-Cantelli ta có s◦m({ω|ω ∈Ω,

s∈N

d(XNs, XNs+1)<∞}) = 1.

Vì (M, d)là một không gian metric đủ, nh− vậy tồn tạiX ∈S,Ω0 ∈ A, s◦m(Ω0) = 1

sao cho

lim

s→∞XNs(ω) = X(ω), ω ∈Ω0.

Vì s◦m là một độ đo xác suất nên Xn hội tụ tới X theo xác suất s◦m. Điều này suy ra từ (_Xn)n∈N là một dZy Cauchy ứng với độ đo s◦m. Mà hội tụ theos◦m kéo theo hội tụ theo m và ta có điều phải chứng minh.

Ch−ơng 2

Các định lý điểm bất động trong

không gian metric xác suất

2.1 Các nguyên lý B₋ co xác suất

Cho(M, d)là một không gian metric và f :M →M.Nếu tồn tại một số q∈[0,1)

sao cho

d(f x, f y)qd(x, y) với mọi x, y∈M, khi đó f đ−ợc gọi làq− co.

Mội ánh xạ q− co f :M →M trên một không gian metric đủ (M, d)có duy nhất một điểm bất động. Đây chính là nội dung của nguyên lý Banach( gọi tắt là nguyên lý B− co).

Định nghĩa 2.1.1. Cho (S,F)là một không gian metric xác suất. Một ánh xạ f :S → S là ánh xạ q− co xác suất (q∈(0,1)) nếu

Ff p1,f p2(x)Fp1,p2(^x

q⁾ (2.1)

với mọi p1, p2 ∈S và với mọi x∈R.

Nhận xét 2.1.5.

p1, p2 ∈S và với mọix∈R ta có

(∀α∈(0,1))(Fp1,p2(x)>1−α⇒Ff p1,f p2(qx)>1−α).

Nhận xét 2.1.6.

Chứng minh. Bất đẳng thức (2.1) là tổng quát hóa của bất đẳng thức

d(f p1, fp2)qd(p1, p2), (2.2) với f :M →M và (M, d) là không gian metric. Để chứng minh (2.2) kéo theo ( 2.1) ta có(M, d) cũng là một không gian Menger (M,F, TM), nếuF định nghĩa theo cách sau: Fp1,p2(x) =              1 nếu d(p1, p2)< x, (x∈R). 0 nếu d(p1, p2)x

Giả sử f : M → M thỏa mZn (2.2) ta sẽ chứng minh (2.1) đúng. Thật vậy, với mọi x >0 Fp1,p2(^x q^{) = 1}⇒Ff p1,f p2(x) = 1. Nếu F_p1,p2(x q) = 1, khi đó d(p₁, p₂)< x q và (2.2) kéo theo d(f p1, f p2)< q.^x q ^=x, tức là Ff p1,f p2(x) = 1.

Ví dụ 2.1.16.

có nghĩa là ánh xạω →f(ω, x)là đo đ−ợc trênΩ. Một ánh xạ ngẫu nhiênf : ΩìM → M đ−ợc gọi là liên tục nếu với mọi ω∈Ω ánh xạ x→f(ω, x)là liên tục trên M.

Nếuf : ΩìM →M là ánh xạ liên tục khi đó với mọi biến ngẫu nhiên X : Ω→M ta có ánh xạ ω →f(ω, X(ω))là đo đ−ợc trên Ω.

Cho S là tập tất cả các lớp t−ơng đ−ơng của các ánh xạ đo đ−ợc X : Ω→M và f là một ánh xạ ngẫu nhiên. Khi đó ánh xạ _{f:S →S,} định nghĩa bởi

(_{fX)(ω) =f(ω, X(ω))} với mọi _{X ∈S (ω∈Ω, X ∈X),}

đ−ợc gọi là ánh xạ N emytskij của f. Nếu f : ΩìM →M là một ánh xạ ngẫu nhiên khi đó biến ngẫu nhiên X : Ω→M đ−ợc gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của ánh xạ f nếu

X(ω) =f(ω, X(ω)) a. e (2.3) Nếu f là một ánh xạ ngẫu nhiên liên tục khi đó (2.3) đúng khi và chỉ khi X =

fX, X ∈X. Với mọi X, Y ∈S và với mọi x >0

P({ω|ω ∈Ω, d(f(ω, X(ω)), f(ω, Y(ω))< qx})

P({ω|ω ∈Ω, d(X(ω), Y(ω))< x}), (2.4) với q∈(0,1).(S,F, TL)là một không gian Menger, với

F_X,Y(x) =P({ω|ω ∈Ω, d(X(ω), Y(ω))< x})

với mọi _{X, Y ∈S và x∈}R. Khi đó, (2.4) kéo theo F_{fX,f Y}(qx)F_X,Y(x). Vì vậy _flà q− co xác suất khi và chỉ khi (2.4) đúng.

Hệ quả 2.1.1. Vấn đề tồn tại điểm bất động cho ánh xạ ngẫu nhiên quy về vấn đề tồn tại điểm bất động cho ánh xạ N emytskij_fcủaf. Cũng tức là các định lý về điểm bất động ngẫu nhiên chỉ là các tr−ờng hợp riêng của các định lý trong không gian metric xác suất.

Định nghĩa 2.1.2. Với mọi x0 ∈S ta đặt

O(x0, f) ={fn(x0)|n∈N∪ {0}}.

Khi đó tập O(x0, f) đ−ợc gọi là quỹ đạo của ánh xạ f :S →S tạix0.

Định nghĩa 2.1.3. Ta gọi DO(x₀,f):R→[0,1]đ−ợc định nghĩa bởi

DO(x0,f)(x) = sup

s<x

inf

u,v∈O(x0,f)Fu,v(s).

là đ−ờng kính của O(x₀, f).

Định nghĩa 2.1.4. Nếu sup

x∈R

DO(x₀,f)(x) = 1 thì quỹ đạo O(x0, f) là một tập con bị chặn xác suất của S.

Định nghĩa 2.1.5. Cho τ_T là một hàm tam giác và(F_i)_i∈N là một d'y trongD+. Cho

τ_T¹(Fi) =τT(F1, F2), τ_Tⁿ(Fi) =τT(τ_Tⁿ⁻¹(Fi), Fn+1)(n 2).

Vì τT là không giảm theo mỗi biến từ đó ta có giới hạn yếu τn

T(Fi), khi n → ∞, tồn tại và đ−ợc ký hiệu là τ∞

T (Fi).

Định nghĩa 2.1.6. Cho τT là một hàm tam giác, q ∈ (0,1), và G ∈ D+. Khi đó

GτT,q ∈ D+ đ−ợc xác định bởi G^τT,q(x) = lim t<x lim n→∞G^τT,q n (t), x >0, với GτT,q n =τn T(Fi), Fi =G(jqi), i∈N, n∈N.

Định nghĩa 2.1.7. Một t-chuẩn T gọi là có tính chất điểm bất động khi và chỉ khi với mọi ánh xạ q− co xác suất f : S → S, với (S,F, T) là một không gian Menger đầy đủ bất kỳ, đều có điểm bất động.

Định lý 2.1.2. Cho (S,F, TM) là một không gian Menger đủ và f : S → S là q−

co xác suất. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của ánh xạ f và hơn nữa

x= lim

Chứng minh. Xét họ nửa chuẩn (db)b∈(0,1) xác định bởi

dp(p, q) = sup{x|x∈R, Fp,q(x)b}, b∈(0,1), p, q ∈S.

Khi đó họ nửa chuẩn (db)b∈(0,1) cảm sinh topo (ǫ, λ)của S. Chúng ta có p1, p2 ∈S và ∀b∈(0,1)

db(f p1, f p2)qdb(p1, p2).

Tức là, nếu db(p1, p2)< r khi đóFp1,p2(r)> b, và ta có Ff p1,f p2(qr)> b, có nghĩa là db(f p1, f p2)< qr.

T−ơng tự trong chứng minh của nguyên lý co Banach ta có một tổng quát hóa cho không gian đều (S,(db)b∈(0,1)).

Nhận xét 2.1.7.

Định lý 2.1.3. Nếu (S,F, T) là một không gian Menger đầy đủ, T là một t-chuẩn sao cho sup

a<1

T(a, a) = 1và f :S →S là một ánh xạ q− co. Nếu O(x0, f) là bị chặn xác suất với x0 ∈Snào đó. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động x của ánh xạ f và

x= lim

n→∞fnp với mọi p∈S.

Chứng minh. Đặt xn=fⁿx0, n ∈N. Chúng ta sẽ chứng minh (xn)n∈N là dZy Cauchy. Cho n, m∈N, ǫ >0 và λ∈(0,1). Chúng ta có Fxn+m,xn(ǫ) = Ffn+mx0,fnx0(ǫ) Ffn+m−1x0,fn−1x0 ǫ q . . . Ffmx0,x0 ǫ qn DO(x0,f) ǫ qn .

VìDO(x0,f)

ǫ

qn →1khin → ∞,khi đó tồn tạin0(ǫ)sao cho với mọin n0(ǫ, λ)

và với mọi m∈N

Fxn+m,xn(ǫ)>1−λ.

Vì vậy (xn)n∈N là một dZy Cauchy và vì S là đầy đủ, suy ra sự tồn tại của x ∈S sao cho x = lim

n→∞xn. Bởi tính liên tục của f và xn+1 =f xn với mọi n ∈ N, chúng ta có x=f x.

Ta cũng có nếuO(x0, f) là bị chặn xác suất vớix0 ∈S nào đó khi đóO(p, f) là bị chặn xác suất với bất kỳ p∈S.

Hệ quả 2.1.4. Cho (S,F, T) là một không gian Menger đủ, T là một t-chuẩn kiểu H

và f : S → S là q− co xác suất. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động x ∈ S

của ánh xạ f và x= lim

n→∞fnp với mọi p∈S.

Chứng minh. Ta có T là một t-chuẩn kiểu H, vì thế quỹ đạo O(x₀, f) là bị chặn xác suất với mọi x0 ∈S. Thật vậy, với x0 ∈S, m∈N và u∈R. Khi đó,

Ffmx0,x0(u) T(Ffmx0,f x0(qu), Ff x0,x0(u−qu)) T(F_fm₋1x0,x0(u), Ff x0,x0(u−qu)) . . . (Ff x₀,x₀(u−qu))⁽_T^m) và vì lim

u→∞Ff x0,x0(u−qu) = 1,từ tính đồng liên tục của họ (x⁽_T^m))m∈N tại điểmx= 1, tức là ta có DO(x0,f)∈ D+.

Định lý 2.1.5. Cho (S,F, T) là một không gian Menger đủ, T là một t-chuẩn sao cho sup

a<1

T(a, a) = 1 và f : S → S là q− co xác suất sao cho τ∞

T (Fi) ∈ D+, với Fi(x) =Fp,f p x qi (i∈N, x∈R) và p∈S. Khi đó DO(p,f)∈ D+. Chứng minh. Ta có Fp,rτT(Fp,w, Fw,r)(p, w, r ∈S),

vì (S,F, T)là một không gian Menger. Với pm =fmp, m∈N, chúng ta có Fp,pm τT(τT(....(τT (m−1)− lần (Fp,p1, Fp1,p2), ..., Fpm₋1,pm) τT(τT(....(τT (m−1)− lần (Fp,p1, Fp,p1(jq)), ..., Fp,p1(jqm−1)) =τ_T^m−1(F_p,p1(j_qi)), với jα(x) = ^x_α(x∈R, α ∈(0,1)).Vì vậy mà Fp,pm τ_T^∞(Fi) với mọi m∈N. (2.5) Bất đẳng thức (2.5) kéo theo DO(p,f) ∈ D+.

Hệ quả 2.1.6. Cho (S,F, T) là một không gian Menger đủ, T là một t− chuẩn sao cho sup

a<1T(a, a) = 1, f : S → S là một ánh xạ q− co và τ_T^∞(Fi) ∈ D+ với Fi(x) =

Fp,f p

x

qi (i∈N, x∈ R) và p∈S. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động z của ánh xạ f vàz = lim

n→∞fnx0 với mọi x0 ∈S.

Định lý 2.1.7. Cho T là một t-chuẩn tam giác liên tục d−ới và τT là một hàm tam giác liên tục d−ới sinh bởi T. Khi đó tồn tại một không gian metric xác suất đầy đủ

(S,F, τT) và một ánh xạ q− co f :S →S mà không có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại G∈ D+ sao choGτT,q ∈ D+.

Chứng minh. Giả sử với mọiG∈ D+ và với mọiq ∈(0,1) ta có GτT,q ∈ D+. Ta cũng giả sử f là một ánh xạ co trên không gian metric xác suất đầy đủ(S,F, τT). Ta sẽ chỉ ra rằng f cũng có điểm bất động. Thật vậy, lấyp∈S và xét dZy (fnp)_n∈N.Khi đó, ta có với q∈(0,1), F_p,fnp τn i=1F_fi−1p,fip τn i=1F_{p,f p}(j_qi−1)τ_i^∞₌₁F_{p,f p}(j_qi−1). Vì thế ta có, D_O(p,f)τ_i^∞₌₁Fp,f p(j_qi₋1);

Hệ quả là f có điểm bất động.

Ng−ợc lại, giả sử G ∈ D+ và q ∈ (0,1) sao cho GτT,q ∈ D+. Chúng ta sẽ định nghĩa một không gian metric xác suất đủ và một ánh xạ co trên đó mà không có điểm bất động. Ta lấy S = N, là tập các số tự nhiên. Với m, n ∈ S ta định nghĩa Fn+m,n=Fn,n+m =τm

i=1G(jqn+i₋1),và

Fn,n =H0.

Ta có thể kiểm tra đ−ợc3tiên đề thỏa mZn. Ta chứng minh tiên đề thứ 4. Ta chứng minh cách định nghĩa F nh− vậy thỏa mZn 3tr−ờng hợp sau:

1. Fn,n+m+kτ(Fn,n+m, Fn+m,n+m+k), 2. Fn,n+m τ(Fn,n+m+k, Fn+m+k,n+m), 3. Fn+m,n+m+kτ(Fn+m,n, Fn,n+m+k). Tr−ờng hợp 1, vì τ là kết hợp, Fn,n+m+k =τ_i^m₌₁^+kG(j_qn+i₋1) =τ(τ_i^m₌₁G(jqn+i₋1), τ_i^m₌⁺_m^k₊₁G(jqn+i₋1) =τ(Fn,n+m, τ_i^k₌₁G(j_qn+m+i₋1)) = τ(Fn,n+m, Fn+m,n+m+k). Tr−ờng hợp 2, với bất kỳ F, G ∈ D+, F =τ(F, H0) τ(F, G); và vì do tính kết hợp. Vì thế ta có Fn,n+m =τ_i^m₌₁G(j_qn+i−1) τ(τ_i^m₌₁G(j_qn+i−1), τ_i^m₌⁺_m^k₊₁G(j_qn+i−1)) =τ_i^m₌₁^+kG(j_qn+i−1) =Fn,n+m+kτ(Fn,n+m+k, Fn+m+k,n+m). Tr−ờng hợp 3, chứng minh hoàn toàn t−ơng tự tr−ờng hợp 2.

Ta chứng minh (S,F) là một không gian metric xác suất đầy đủ. Ta sẽ chỉ ra rằng nếu (pn)n∈N là một dZy Cauchy trong S thì đây là một dZy hằng. Thật vậy, nếu giả

sử (pn)n∈N là một dZy Cauchy trong S mà không phải là một dZy hằng. Khi đó, có 2

tr−ờng hợp, hoặc là có một số d−ơng N sao cho pn N với mọi n hoặc với mọi số d−ơng k tồn tại một số d−ơng nk sao cho pn_k > pn_k−1 với n0 = 1.

Tr−ờng hợp 1, vì (pn)n∈N không là dZy hằng nên với mọi số nguyên d−ơng K, tồn tại m, n > K sao cho pm =pn;với

Fpm,pn(x)max{Fi,k(x) : 0i, j N, i=j}< H0(x)

với x >0 nào đó. Vì thế mà (pn)n∈N không là một dZy Cauchy.

Tr−ờng hợp 2, Giả sử(pn)n∈N là một dZy Cauchy trong (S,F). Khi đó, ta có

lim

k→∞F1,p_nk

là một hàm phân phối xác suất và vì thế có 1là sup. Tuy nhiên, vớix bất kỳ,

lim k→∞F1,p_nk = lim k→∞(τ^pnk−1 i=1 G(jq1+i−1))(x) = lim k→∞sup{τ^pnk−1 i=1 G(βix/qⁱ) : p_nk−1 i=1 βi = 1,0βi 1} = lim k→∞τ^pnk−1 i=1 G(jqi₋1)(x/q) =τ_i^∞₌₁G(jqi−1)(x/q).

Sup ở đẳng thức này với x là nhỏ hơn hẳn 1, vì thế mà ta có điều mâu thuẫn. Nh− vậy ta có (S,F) là đầy đủ.

Giờ ta xét ánh xạf :S →S xác định bởi f(n) =n+ 1 với mọi n ∈S. Ta có f là một ánh xạ co, thật vậy, với mọi n > mvà x >0,

Fm+1,n+1(x) = (τ_iⁿ₌₁^−mG(j_qm+i))(x) = sup τ_iⁿ₌₁^−mG(βix/q^m+i) : n−m i=1 βi = 1,0βi 1 = (τ_iⁿ₌₁^−mG(j_qm+i−1))(x/q) =Fm,n(x/q). Nh− thế f là một ánh xạ co mà f lại không có điểm bất động.

Định lý 2.1.8. Bất kỳ một t-chuẩn T liên tục nào có tính chất điểm bất động thì có