Về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ OANH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI, BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ OANH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI, BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2013 ii MỤC LỤC Trang Mục lục ii Mở đầu Chương Sự tồn điểm bất động đôi .3 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự tồn điểm bất động đôi ánh xạ co suy rộng không gian mêtric có thứ tự phận Chương Sự tồn điểm bất động ba không gian mêtric có thứ tự phận .16 2.1 Sự tồn điểm bất động ba ánh xạ đơn điệu hỗn hợp 16 2.2 Sự tồn điểm bất động ba ánh xạ Φ-co 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo .44 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích, có nhiều ứng dụng lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, bao hàm thức vi phân nhiều ngành kỹ thuật khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian khác Một hướng mở rộng đưa khái niệm điểm bất động ánh xạ từ không gian tích X × X X × X × X vào X (gọi điểm bất động đôi, ba) tìm điều kiện cho tồn điểm bất động đôi, ba Năm 2006, Bhashkar Lakshmikantham [5] đưa khái niệm điểm bất động đôi nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba giới thiệu nghiên cứu Berinde Borcut [4] vào năm 2011 Những người đạt nhiều kết hướng B.Samet, L.Civic, Jay G.Mehta, M.L.Joshi, Berinde, Borcut Mục đích tiếp cận hướng để tìm hiểu lý thuyết điểm bất động đôi điểm bất động ba ánh xạ không gian mêtric đầy đủ với thứ tự phận Với mục đích đó, luận văn viết thành hai chương Chương Sự tồn điểm bất động đôi Mục chương trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, ánh xạ liên tục, thứ tự phận, mà cần dùng luận văn Mục thứ hai trình bày số định lý tồn điểm bất động đôi ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Chương Sự tồn điểm bất động ba không gian mêtric có thứ tự phận Mục chương trình bày số định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Mục tiếp theo, trình bày số định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ Φ-co đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo Chúng tìm hiểu, trình bày theo bố cục mục đích mình, chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh, đưa ví dụ minh họa cho số khái niệm định lý Bên cạnh đó, đưa chứng minh số kết mới, Định lý 2.1.15 Hệ 2.1.16, 2.1.17, 2.1.18 Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo cô TS Vũ Thị Hồng Thanh thầy PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán Quý thầy cô khoa Toán trường Đại học Vinh nhiệt tình truyền đạt kiến thức Toán học quý báu, phong phú Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại Học Sài Gòn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập Cuối tác giả cảm ơn gia đình bạn lớp Cao học Giải tích khóa 19 chia sẻ, động viên, giúp đỡ tác giả thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều nỗ lực, cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, ánh xạ liên tục, thứ tự phận, mà chúng cần dùng luận văn Các kết lấy [1] [2] 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X khác rỗng Hàm d : X → R thỏa mãn điều kiện 1) d(x, y) ≥ 0, với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với x, y, z ∈ X; gọi mêtric (hay khoảng cách) X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) tập M X Ta xác định hàm dM : M → R cho dM (x, y) = d(x, y) với x, y ∈ M Khi dM mêtric M Ta gọi không gian mêtric (M, dM ) không gian không gian (X, d) Mêtric dM gọi mêtric cảm sinh mêtric d M 1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn } không gian mêtric (X, d) gọi hội tụ tới x ∈ X kí hiệu xn → x lim xn = x d(x, xn ) → n→∞ n → ∞ 1.1.4 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric (X, d) dãy hội tụ hội tụ tới điểm 2) Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) 1.1.5 Mệnh đề Giả sử xi ∈ (X, d), với i = 1, 2, , n Khi đó, d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + + d(xn−1 , xn ) 1.1.6 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = 0, nghĩa m,n→∞ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : d(xn , xm ) ≤ ε, ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.7 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d), (Y, ρ) ánh xạ f :X →Y Ta nói ánh xạ f liên tục điểm x0 ∈ X ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x ∈ X, d(x, x0 ) < δ suy ρ(f (x), f (x0 )) < ε Ta nói f liên tục X f liên tục x ∈ X 1.1.8 Định lý Giả sử f : (X, d) → (Y, ρ) f liên tục x ∈ X dãy {xn } ⊂ X mà xn → x f (xn ) → f (x) 1.1.9 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi thứ tự phận X với x, y, z ∈ X ta có 1) x ≤ x; 2) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y (tính phản xứng); 3) Từ x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z (tính bắc cầu) Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ≤) X Nếu x ≤ y mà x = y ta viết x < y Ta viết y ≥ x thay cho x ≤ y y > x thay cho x < y Tập X gọi tuyến tính X có quan hệ hai ≤ có tính bắc cầu với x, y ∈ X mà x = y x < y y < x 1.2 Sự tồn điểm bất động đôi ánh xạ co suy rộng không gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động đôi ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận 1.2.1 Định nghĩa ([10]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận ánh xạ F : X → X Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp với x, y ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy F (x1 , y) ≤ F (x2 , y), y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 suy F (x, y1 ) ≥ F (x, y2 ) 1.2.2 Định nghĩa ([10]) Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X điểm bất động đôi ánh xạ F : X → X F (x, y) = x F (y, x) = y Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận Khi đó, không gian tích X ta xác định thứ tự phận sau (x, y), (u, v) ∈ X , (u, v) ≤ (x, y) x ≥ u, y ≤ v Sau đưa ví dụ minh hoạ cho khái niệm tính đơn điệu hỗn hợp điểm bất động đôi 1.2.3 Ví dụ 1) Giả sử p : R2 → R hàm cho công thức p(x, y) = x với (x, y) ∈ R2 Khi đó, R ta xét quan hệ ≤ thông thường p có tính đơn điệu hỗn hợp điểm (x, y) ∈ R2 điểm bất động đôi p Chứng minh Với x1 , x2 ∈ R, x1 ≤ x2 ta có p(x1 , y) = x1 ≤ x2 = p(x2 , y), ∀y ∈ R với y1 , y2 ∈ R, y1 ≤ y2 ta có p(x, y1 ) = x = p(x, y2 ), ∀x ∈ R Do đó, p có tính đơn điệu hỗn hợp Với (x, y) ∈ R2 ta có p(x, y) = x, p(y, x) = y Do đó, (x, y) điểm bất động đôi p Kết Luận Vậy không gian hai chiều điểm điểm bất động đôi phép chiếu song song với trục Oy 2) Trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường Khi đó, hàm T (x, y) = x + y, ∀(x, y) ∈ R2 tính đơn điệu hỗn hợp có điểm bất động đôi (0, 0) Chứng minh Ta có T (0, 1) = < T (0, 2) = 2, suy T tính đơn điệu hỗn hợp Mặt khác (x, y) ∈ R2 điểm bất động đôi T     T (x, y) = x  x+y =x  x=0 ⇔ ⇔  T (y, x) = y  x+y =y  y=0 Vậy (0, 0) điểm bất động đôi Sau trình bày định lý tồn tính điểm bất động đôi ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận 1.2.4 Định lý ([10]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận, d mêtric X cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ liên tục có tính đơn điệu hỗn hợp X Với (x, y), (u, v) ∈ X , đặt + d(u, F (u, v)) + d(v, F (v, u)) , + d(x, u) + d(y, v) + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x)) d(u, F (u, v)) + d(x, u) + d(y, v) M ((x, y), (u, v)) = d(x, F (x, y)) Khi đó, i) Tồn α, β > với α + β < cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) + với (x, y), (u, v) ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v; β [d(x, u), d(u, v)] (1.1) ii) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) y0 ≥ F (y0 , x0 ) (1.2) F có điểm bất động đôi (x, y) ∈ X Chứng minh Đặt F (x0 , y0 ) = x1 , F (y0 , x0 ) = y1 , x2 = F (x1 , y1 ) y2 = F (y1 , x1 ) Ta kí hiệu F (x0 , y0 ) = F (F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 )) = F (x1 , y1 ) = x2 F (y0 , x0 ) = F (F (y0 , x0 ), F (x0 , y0 )) = F (y1 , x1 ) = y2 Dựa vào tính đơn điệu hỗn hợp F , ta có x2 = F (x1 , y1 ) ≥ F (x0 , y1 ) ≥ F (x0 , y0 ) = x1 y2 = F (y1 , x1 ) ≤ F (y0 , x1 ) ≤ F (y0 , x0 ) = y1 Hơn nữa, với n = 1, 2, , ta có xn+1 = F n+1 (x0 , y0 ) = F (F n (x0 , y0 ), F n (yn , xn )) yn+1 = F n+1 (y0 , x0 ) = F (F n (y0 , x0 ), F n (xn , yn )) Ta dễ dàng chứng minh x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn+1 ≤ y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn+1 ≥ Với n ∈ N∗ d(xn+1 , xn ) ≤ ( β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) ) 1−α (1.3) β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) ) 1−α Thật vậy, với n = từ x1 ≥ x0 , y1 ≤ y0 từ (1.1) ta có d(yn+1 , yn ) ≤ ( (1.4) d(x2 , x1 ) = d(F (x1 , y1 ), F (x0 , y0 )) d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 ) 2 + d(x0 , F (x0 , y0 )) + d(y0 , F (y0 , x0 )) ≤ αd(x1 , F (x1 , y1 )) + d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 ) ≤ αM ((x1 , y1 ), (x0 , y0 )) + β 30 g(yn+1 ) = F (yn , xn , yn ), g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn ) ∀ n = 0, 1, Khi đó, từ tính g - đơn điệu hỗn hợp F điều kiện 5) suy với n = 0, 1, ta có g(xn ) ≤ g(xn+1 ), g(yn+1 ≤ g(yn ), g(zn ) ≤ g(zn+1 ) (2.41) Đặt g(xn ) = an , g(yn ) = bn , g(zn ) = cn ; n = 0, 1, 2, Từ (2.41) điều kiện 4) ta có d(an+1 , an+2 ) = d(F (xn , yn , zn ), F (xn+1 , yn+1 , zn+1 )) ≤ φ(max{d(an , an+1 ), d(bn , bn+1 ), d(cn , cn+1 )}), d(bn+1 , bn+2 ) = d(F (yn , xn , yn ), F (yn+1 , xn+1 , yn+1 )) ≤ φ(max{d(bn , bn+1 ), d(an , an+1 )}) ≤ φ(max{d(an , an+1 ), d(bn , bn+1 ), d(cn , cn+1 )}), d(cn+1 , cn+2 ) = d(F (zn , yn , xn ), F (zn+1 , yn+1 , xn+1 )) ≤ φ(max{d(cn , cn+1 ), d(bn , bn+1 ), d(an , an+1 )}) với n = 0, 1, Từ đó, suy max{d(an+1 , an+2 ), d(bn+1 , bn+2 ), d(cn+1 , cn+2 )} ≤ φ(max{d(an , an+1 ), d(bn , bn+1 ), d(cn , cn+1 )}), (2.42) với n = 0, 1, Từ (2.42) tính không giảm φ suy max{d(an+1 , an+2 ), d(bn+1 , bn+2 ), d(cn+1 , cn+2 )} ≤ φ(φ(max{d(an−1 , an ), d(bn−1 , bn ), d(cn−1 , cn )})) = φ2 (max{d(an−1 , an ), d(bn−1 , bn ), d(cn−1 , cn )}) ≤ ≤ φn+1 (max{d(a0 , a1 ), d(b0 , b1 ), d(c0 , c1 )}) (2.43) ∀ n = 0, 1, Đặt α = max{d(a0 , a1 ), d(b0 , b1 ), d(c0 , c1 )} Sử dụng bất đẳng thức tam giác (2.43) ta có d(an , an+p ) ≤ d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + + d(an+p−1 , an+p ) 31 ≤ φn (α) + φn+1 (α) + + φn+p−1 (α) ∞ φj (α) ≤ (2.44) j=n với n = 1, 2, p = 0, 1, 2, ∞ Vì chuỗi φj (α) hội tụ nên vế phải (2.44) dần tới n → ∞ Từ j=1 đó, suy {an } dãy Cauchy Tương tự, ta chứng minh {bn } {cn } dãy Cauchy X Vì X đầy đủ nên tồn x, y, z ∈ X cho an → x, bn → y cn → z Bây giờ, ta chứng minh (x, y, z) điểm chung ba g F Vì g liên tục nên g(g(xn )) = g(an ) → g(x) Tương tự, ta có g(g(yn )) → g(y) g(g(zn )) → g(z) Mặt khác, g F giao hoán nên với n = 0, 1, ta có g(g(xn+1 )) = g(F (xn , yn , zn )) = F (g(xn ), g(yn ), g(zn )), g(g(yn+1 )) = g(F (yn , xn , yn )) = F (g(yn ), g(xn ), g(yn )), g(g(zn+1 )) = g(F (zn , yn , xn )) = F (g(zn ), g(yn ), g(xn )) Giả sử F liên tục Khi đó, g(x) = lim g(g(xn+1 )) = lim F (g(xn ), g(yn ), g(zn )) = F (x, y, z) n→∞ n→∞ Tương tự, ta có g(y) = F (y, x, y) g(z) = F (z, y, x) Do đó, (x, y, z) điểm chung ba g F Giả sử X có tính chất i) ii) Khi đó, từ (2.41) suy g(xn ) ≤ x, g(yn ) ≥ y g(zn ) ≤ z ∀ n = 0, 1, Do d(g(x), F (x, y, z)) ≤ d(g(x), g(g(xn+1 ))) + d(g(g(xn+1 )), F (x, y, z)) = d(g(x), g(an+1 )) + d(F (an , bn , cn ), F (x, y, z)) ≤ d(g(x), g(an+1 )) +φ(max{d(g(an ), g(x)), d(g(bn ), g(y)), d(g(cn ), g(z))}), (2.45) với n = 0, 1, Mặt khác, φ(t) ≤ t với t ∈ [0, +∞) Thật vậy, tồn t0 ∈ (0, +∞) 32 cho φ(t0 ) > t0 φn (t0 ) ≥ t0 > với n = 1, 2, , điều mâu thuẫn ∞ với chuỗi φn (t0 ) hội tụ Nếu φ(0) = t1 > từ tính không giảm φ suy n=1 t1 t1 t1 = φ(0) ≤ φ( ) ≤ Ta có điều mâu thuẫn Như vậy, φ(t) ≤ t với 2 t ∈ [0, +∞) Do đó, từ (2.45) suy với n = 0, 1, ta có d(g(x), F (x, y, z)) ≤ d(g(x), g(an+1 )) + max{d(g(an ), g(x)), d(g(bn ), g(y)), d(g(cn ), g(z))} (2.46) Vì g(an ) → g(x), g(bn ) → g(y) g(cn ) → g(z) nên vế phải (2.46) dần tới n → ∞ Từ đó, suy d(g(x), F (x, y, z)) = tức g(x) = F (x, y, z) Tương tự, ta chứng minh g(y) = F (y, x, y) g(z) = F (z, y, x) Vậy, (x, y, z) điểm chung ba g F 2.1.16 Hệ Giả sử điều kiện Định lý 2.1.15 thoả mãn điều kiện 4) thay d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(w)) ) ∀ (x, y, z), (u, v, w) ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y, z ≤ w d(F (x, y, z), F (u, v, w)) ≤ φ( Khi đó, g F có điểm chung ba Chứng minh Vì φ không giảm d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(w)) ≤ max{d(g(x), g(u)), d(g(y), g(v)), d(g(z), g(w))} với x, y, z, u, v, w ∈ X nên kết luận Hệ suy từ việc áp dụng Định lý 2.1.15 2.1.17 Hệ Giả sử giả thiết Định lý 2.1.15 thoả mãn điều kiện 4) thay α [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(w))] với (x, y, z) (u, v, w) ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y, z ≤ w α số d(F (x, y, z), F (u, v, w)) ≤ ∈ [0, 1) Khi đó, g F có điểm chung ba Chứng minh Ta xác định hàm φ : [0, +∞) → [0, +∞) 33 φ(t) = αt ∀ t ∈ [0, +∞) Khi đó, φ thoả mãn điều kiện 3) Định lý 2.1.15 Từ đó, suy kết luận Hệ suy từ Hệ 2.1.16 Trong Hệ 2.1.17, lấy g : X → X ánh xạ đồng ta nhận hệ sau 2.1.18 Hệ ([4]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận (X, d) không gian mêtric đầy đủ Cho F : X → X ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp thoả mãn điều kiện sau 1) Tồn α ∈ [0, 1) cho α [d(x, u) + d(y, v) + d(z, w)] ∀ (x, y, z) (u, v, w) ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y, z ≤ w; d(F (x, y, z), F (u, v, w)) ≤ 2) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), F (y0 , x0 , y0 ) ≤ y0 , z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) Khi đó, F liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng X xn → x suy xn ≤ x với n = 1, 2, ; ii) Từ {yn } dãy giảm X yn → y suy y ≤ yn với n = 1, 2, F có điểm bất động ba 2.2 Sự tồn điểm bất động ba ánh xạ Φ-co Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ Φ-co đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Ta kí hiệu Φ tập hợp tất hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) thoả mãn (iϕ ) ϕ liên tục không giảm, (iiϕ ) ϕ(t) = t = 0, (iiiϕ ) ϕ(t + s) ≤ ϕ(t) + ϕ(s) với t, s ∈ [0, ∞) Đặt Ψ tập hợp tất hàm ψ : [0, ∞) → [0, ∞) thoả mãn (iψ ) lim ψ(t) > với r > 0; t→r (iiψ ) lim+ ψ(t) = t→0 34 2.2.1 Định lý ([6]) Cho (X, ≤) tập thứ tự phận (X, d) không gian mêtric đầy đủ Giả sử F : X → X ánh xạ đơn điệu hỗn hợp tồn ϕ ∈ Φ, ψ ∈ Ψ, cho với x, y, z, u, v, w ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v z ≥ w ϕ d(F (x, y, z), F (u, v, w)) + d(F (y, x, y), F (v, u, v)) + d(F (z, y, x), F (w, v, u)) d(x, u), d(y, v) + d(z, w) d(x, u), d(y, v) + d(z, w) ≤ϕ −ψ (2.47) 3 Giả sử (a) F liên tục, (b) X có tính chất sau đây: (i) Nếu dãy không giảm {xn } → x, xn ≤ x với n; (ii) Nếu dãy không tăng {yn } → y, y ≤ yn với n Khi đó, tồn x0 , y0 , z0 cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) (2.48) x0 ≥ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≤ F (y0 , x0 , y0 ) z0 ≥ F (z0 , y0 , x0 ) (2.49) tồn x, y, z ∈ X cho x = F (x, y, z), y = F (y, x, y) z = F (z, y, x) Chứng minh Xét hàm d3 : X × X → R+ xác định d3 (Y, V ) = d(x, u) + d(y, v) + d(z, w) , Y = (x, y, z), V = (u, v, w) ∈ X Khi đó, d3 mêtric X (X , d3 ) không gian mêtric đầy đủ Xét toán tử T : X → X xác định T (Y ) = (F (x, y, z), F (y, x, y), F (z, y, x)), Y = (x, y, z) ∈ X Với Y = (x, y, z), V = (u, v, w) ∈ X ta có d3 (T (Y ), T (V )) = d(F (x, y, z), F (u, v, w)) + d(F (y, x, y), F (v, u, v)) + d(F (z, y, x), F (w, v, u)) Như vậy, (2.47) = ϕ(d3 (T (Y ), T (V ))) ≤ ϕ(d3 (Y, V )) − ψ(d3 (Y, V )), với Y ≥ V ∈ X (2.50) 35 Giả sử (2.48) thoả mãn Khi đó, tồn x0 , y0 , z0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) Kí hiệu x1 = F (x0 , y0 , z0 ) ≥ x0 , y1 = F (y0 , x0 , y0 ) ≤ y0 z1 = F (z0 , y0 , x0 ) ≥ z0 Với n ≥ 1, tính đơn điệu hỗn hợp F ta có xn = F (xn−1 , yn−1 , zn−1 ), yn = F (yn−1 , xn−1 , yn−1 ) zn = F (zn−1 , yn−1 , xn−1 ) Từ đó, suy x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ xn+1 ≤ y0 ≥ y1 ≥ ≥ yn ≥ yn+1 ≥ z0 ≤ z1 ≤ ≤ zn ≤ zn+1 ≤ Kí hiệu a0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ X xét phép lặp Picard T a0 điểm xuất phát, tức xét dãy {an } ⊂ X xác định an+1 = T (an )n ≥ 0, (2.51) với an = (xn , yn , zn ) ∈ X , n ≥ Từ F đơn điệu hỗn hợp (2.1) Định nghĩa 2.1.3 ta có a0 = (x0 , y0 , z0 ) ≤ ((F (x0 , y0 , z0 ), F (y0 , x0 , y0 ), F (z0 , y0 , x0 )) = (x1 , y1 , z1 ) = a1 Bằng phép quy nạp, ta an = (xn , yn , zn ) ≤ (F (xn , yn , zn ), F (yn , xn , yn ), F (zn , yn , xn )) = (xn+1 , yn+1 , zn+1 ) = an+1 Điều chứng tỏ ánh xạ T đơn điệu (không giảm) dãy {an } không giảm Trong (2.50) lấy Y = an ≥ an−1 = V ta nhận ϕ(d3 (T (an ), T (an−1 ))) ≤ ϕ(d3 (an , an−1 )) − ψ(d3 (an , an−1 )), n ≥ (2.52) Do ψ ≥ nên ta có ϕ(d3 (an+1 , an )) ≤ ϕ(d3 (an , an−1 )), n ≥ Từ (iϕ ) ta có d3 (an+1 , an ) ≤ d3 (an , an−1 ), n ≥ (2.53) Đặt δ = d3 (an+1 , an ), n ≥ Khi đó, {δn } dãy giảm, tồn δ ≥ cho lim δn = lim n→∞ n→∞ d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) + d(zn+1 , zn ) = δ (2.54) 36 Chúng ta chứng minh δ = Giả sử δ > Khi đó, lấy giới hạn hai vế (2.52) n → ∞ tính chất (iψ ) (iϕ ) nên ta có ϕ(δ) = lim ϕ(δn ) ≤ lim [ϕ(δn−1 ) − ψ(δn−1 )] = ϕ(δ) − lim ψ(δn−1 ) < ϕ(δ) n→∞ n→∞ δn−1 →∞ Đây điều mâu thuẫn, Vậy δ = 0, tức lim δn = lim n→∞ n→∞ d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) + d(zn+1 , zn ) = (2.55) Bây chứng minh {an } dãy Cauchy (X , d3 ) tức {xn }, {yn } {zn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, tức có dãy {xn }, {yn } {zn } không dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > mà ta tìm dãy {xn(k) } {xm(k) } {xn }, {yn(k) } {ym(k) } {yn } {zn(k) } {zm(k) } {zn } với n(k) > m(k) ≥ k cho d(xn(k) , xm(k) ) + d(yn(k) , ym(k) ) + d(zn(k) , zm(k) ) ≥ ε (2.56) Hơn nữa, tương ứng với m(k), ta chọn n(k), số nguyên nhỏ với n(k) > m(k) ≥ k thoả mãn (2.56) Khi đó, d(xn(k)−1 , xm(k) ) + d(yn(k)−1 , ym(k) ) + d(zn(k)−1 , zm(k) ) < ε (2.57) Sử dụng (2.56), (2.57) bất đẳng thức tam giác ta có d(xn(k) , xm(k) ) + d(yn(k) , ym(k) ) + d(zn(k) , zm(k) ) d(xn(k) , xn(k)−1 ) + d(xn(k)−1 , xm(k) ) ≤ d(yn(k) , yn(k)−1 ) + d(yn(k)−1 , ym(k) ) + d(zn(k) , zn(k)−1 ) + d(zn(k)−1 , zm(k) ) + d(xn(k) , xn(k)−1 ) + d(yn(k) , yn(k)−1 ) + d(zn(k) , zn(k)−1 ) ≤ + ε ε ≤ rk := Cho k → ∞ sử dụng (2.55) ta ε ≤ lim rk ≤ lim k→∞ k→∞ d(xn(k) , xn(k)−1 ) + d(yn(k) , yn(k)−1 ) + d(zn(k) , zn(k)−1 ) +ε = ε, tức lim rk ≤ lim k→∞ k→∞ d(xn(k) , xm(k) ) + d(yn(k) , ym(k) ) + d(zn(k) , zm(k) ) = ε (2.58) 37 Từ bất đẳng thức tam giác ta có d(xn(k) , xm(k) ) ≤ d(xn(k) , xn(k)+1 ) + d(xn(k)+1 , xm(k)+1 ) + d(xm(k)+1 , xm(k) ) Tương tự d(yn(k) , ym(k) ) ≤ d(yn(k) , yn(k)+1 ) + d(yn(k)+1 , ym(k)+1 ) + d(ym(k)+1 , ym(k) ), d(zn(k) , zm(k) ) ≤ d(zn(k) , zn(k)+1 ) + d(zn(k)+1 , zm(k)+1 ) + d(zm(k)+1 , zm(k) ) Điều cho thấy d(xn(k) , xm(k) ) + d(yn(k) , ym(k) ) + d(zn(k) , zm(k) ) d(xn(k) , xn(k)+1 ) + d(xn(k)+1 , xm(k)+1 ) + d(xm(k)+1 , xm(k) ≤ d(yn(k) , yn(k)+1 ) + d(yn(k)+1 , ym(k)+1 ) + d(ym(k)+1 , ym(k) ) + d(zn(k) , zn(k)+1 ) + d(zn(k)+1 , zm(k)+1 ) + d(zm(k)+1 , zm(k) ) + rk = = δn(k) + δm(k) d(xn(k)+1 , xm(k)+1 ) + d(yn(k)+1 , ym(k)+1 ) + d(zn(k)+1 , zm(k)+1 ) (2.59) Vì n(k) > m(k) nên ta có xn(k) ≥ xm(k) ,yn(k) ≤ ym(k) zn(k) ≥ zm(k) Do đó, + ta sử dụng (2.47) với x := xn(k) , y := yn(k) , z := zn(k) u := xm(k) , v := ym(k) , w := zm(k) , ta có d(xn(k)+1 , xm(k)+1 ) + d(yn(k)+1 , ym(k)+1 ) + d(zn(k)+1 , zm(k)+1 ) d(F (xn(k) , yn(k) , zn(k) ), F (xm(k) , ym(k) , zm(k) )) =ϕ d(F (yn(k) , xn(k) , yn(k) ), F (ym(k) , xm(k) , ym(k) )) + d(F (zn(k) , yn(k) , xn(k) ), F (zm(k) , ym(k) , xm(k) )) + ϕ d(xn(k) , xm(k) ) + d(yn(k) , ym(k) ) + d(zn(k) , zm(k) ) d(xn(k) , xm(k) ) + d(yn(k) , ym(k) ) + d(zn(k) , zm(k) ) ≤ψ ≤ϕ = ϕ(rk ) − ψ(rk ) Mặt khác, từ (2.59) sử dụng tính chất (iiiϕ ), ta có ϕ(rk ) ≤ ϕ(δn(k) + δm(k) ) (2.60) 38 d(xn(k)+1 , xm(k)+1 ) + d(yn(k)+1 , ym(k)+1 ) + d(zn(k)+1 , zm(k)+1 ) (2.61) +ϕ Từ (2.60), ta có ϕ(rk ) ≤ ϕ(δn(k) + δm(k) ) + ϕ(rk ) − ψ(rk ) (2.62) Trong bất đẳng thức (2.62), cho k → ∞, sử dụng (2.55), (2.58) tính chất ϕ ψ ta có ϕ(ε) = lim ϕ(rk ) = ϕ( lim rk ) k→∞ k→∞ ≤ lim [ϕ(δn(k) + δm(k) ) + ϕ(rk ) − ψ(rk )] k→∞ = ϕ( lim (δn(k) + δm(k) )) + ϕ( lim rk ) − lim ψ(rk ) k→∞ k→∞ k→∞ = ϕ(0) + ϕ(ε) − lim ψ(rk ) < ϕ(ε) k→∞ Đây điều mâu thuẫn Điều cho thấy {xn }, {yn } {zn } dãy Cauchy Vì X không gian mêtric đầy đủ nên tồn x, y, z ∈ X cho lim xn = x, lim yn = y, lim zn = z n→∞ n→∞ n→∞ Bây giờ, giả sử (a) thoả mãn Khi đó, x = lim xn+1 = lim F (xn , yn , zn ) = F (x, y, z), n→∞ n→∞ y = lim yn+1 = lim F (yn , xn , yn ) = F (y, x, y), n→∞ n→∞ z = lim zn+1 = lim F (zn , yn , xn ) = F (z, y, x) n→∞ n→∞ Giả sử (b) thoả mãn Khi đó, {xn } dãy không giảm hội tụ đến x nên ta có xn ≤ x với n Tương tự zn ≤ z yn ≥ y với n Do d(x, F (x, y, z)) ≤ d(x, xn+1 ) + d(F (xn , yn , zn ), F (x, y, z)), d(y, F (y, x, y)) ≤ d(y, yn+1 ) + d(F (yn , xn , yn ), F (y, x, y)), d(z, F (z, y, x)) ≤ d(z, zn+1 ) + d(F (zn , yn , xn ), F (z, y, x)) Vì d(x, F (x, y, z)) − d(x, xn+1 ) ≤ d(F (xn , yn , zn ), F (x, y, z)), d(y, F (y, x, y)) − d(y, yn+1 ) ≤ d(F (yn , xn , yn ), F (y, x, y)), d(z, F (z, y, x)) − d(z, zn+1 ) ≤ d(F (zn , yn , xn ), F (z, y, x)) 39 Do [d(x, F (x, y, z)) − d(x, xn+1 ) + d(y, F (y, x, y)) − d(y, yn+1 ) + d(z, F (z, y, x)) − d(z, zn+1 )] ≤ [d(F (xn , yn , zn ), F (x, y, z)) + d(F (yn , xn , yn ), F (y, x, y)) + d(F (zn , yn , xn ), F (z, y, x))] Do ϕ không giảm (2.47) nên (d(x, F (x, y, z)) − d(x, xn+1 ) + d(y, F (y, x, y)) − d(y, yn+1 ) d(z, F (z, y, x)) − d(z, zn+1 ) + d(F (xn , yn , zn ), F (x, y, z)) + d(F (yn , xn , yn ), F (y, x, y)) ≤ϕ d(F (zn , yn , xn ), F (z, y, x)) + d(xn , x) + d(yn , y) + d(zn , z) d(xn , x) + d(yn , y) + d(zn , z) ≤ϕ −ψ 3 ϕ Sử dụng tính chất ψ, ta có ϕ (d(x, F (x, y, z)) − d(x, xn+1 ) + d(y, F (y, x, y)) − d(y, yn+1 ) d(z, F (z, y, x)) − d(z, zn+1 ) d(xn , x) + d(yn , y) + d(zn , z) ≤ϕ Trong bất đẳng thức lấy giới hạn n → ∞ , ta + ϕ (d(x, F (x, y, z)) + d(y, F (y, x, y)) + d(z, F (z, y, x)) ≤ ϕ(0) = Kết hợp với (iϕ ) (iiiϕ ) suy x = F (x, y, z), y = F (y, x, y) z = F (z, y, x) 2.2.2 Định lý ([6]) Giả sử với (x, y, z), (x∗ , y ∗ , z ∗ ) ∈ X tồn (u, v, w) ∈ X cho (u, v, w) so sánh với (x, y, z) (x∗ , y ∗ , z ∗ ) Nếu thêm điều kiện vào giả thiết Định lý 2.2.1 F có điểm bất động ba Chứng minh Từ Định lý 2.2.1, tập hợp điểm bất động ba F 40 khác rỗng Giả sử (x, y, z) (x∗ , y ∗ , z ∗ ) hai điểm bất động ba F Ta chứng minh x = x∗ , y = y ∗ z = z ∗ Vì (x, y, z) (x∗ , y ∗ , z ∗ ) ∈ X nên tồn (u, v, w) ∈ X cho (u, v, w) so sánh với (x, y, z) (x∗ , y ∗ , z ∗ ) Ta định nghĩa dãy {un }, {vn } {wn } sau: u0 = u, v0 = v, w0 = w, un+1 = F (un , , wn ), vn+1 = F (vn , un , ) wn+1 = F (wn , , un ) với n ≥ Hơn nữa, đặt x0 = x, y0 = y, z0 = z, x∗0 = x∗ , y0∗ = y ∗ , z0∗ = z ∗ tương tự ta định nghĩa dãy {xn }, {yn }, {zn }, {x∗n }, {yn∗ } {zn∗ } xn+1 = F (xn , yn , zn ), yn+1 = F (yn , xn , yn ), zn+1 = F (zn , yn , xn ) ∗ ∗ x∗n+1 = F (x∗n , yn∗ , zn∗ ), yn+1 = F (yn∗ , x∗n , yn∗ ), zn+1 = F (zn∗ , yn∗ , x∗n ) với n ≥ Vì (u, v, w) so sánh với (x, y, z) nên ta giả sử (x, y, z) ≥ (u, v, w) = (u0 , v0 , w0 ) Sử dụng phép quy nạp toán học, ta chứng minh (x, y, z) ≥ (un , , wn ) với n ≥ Từ (2.47), ta có d(x, un+1 ) + d(y, vn+1 ) + d(z, wn+1 ) d(F (x, y, z), F (un , , wn )) + d(F (y, x, y), F (vn , un , )) =ϕ d(F (z, y, x), F (wn , , un )) + d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) ≤ϕ ϕ −ψ d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) (2.63) Sử dụng tính chất ψ, ta ϕ d(x, un+1 ) + d(y, vn+1 ) + d(z, wn+1 ) d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) ≤ϕ 3 Do ϕ không giảm nên d(x, un+1 ) + d(y, vn+1 ) + d(z, wn+1 ) d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) ≤ 3 Kí hiệu d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) , n ≥ Vì {δn } không giảm nên tồn α ≥ cho δn = 41 lim δn = lim n→∞ n→∞ d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) = α Ta chứng minh α = Giả sử ngược lại α > Trong (2.63) lấy giới hạn n → ∞, ta có d(x, un+1 ) + d(y, vn+1 ) + d(z, wn+1 ) n→∞ d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) ≤ lim ϕ n→∞ d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) − lim ψ n→∞ d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) = ϕ(α) − lim ψ n→∞ Do tính chất ψ ta có ϕ(α) < ϕ(α) Đây điều mâu thuẫn Vì α = 0, ϕ(α) = lim ϕ tức lim δn = lim n→∞ n→∞ d(x, un ) + d(y, ) + d(z, wn ) = Từ đó, suy lim d(x, un ) = lim d(y, ) = lim d(z, wn ) n→∞ n→∞ n→∞ Tương tự, ta có lim d(x∗ , un ) = lim d(y ∗ , ) = lim d(z ∗ , wn ) n→∞ n→∞ n→∞ Do đó, x = x∗ , y = y ∗ z = z ∗ Vậy F có điểm bất động ba Ví dụ sau minh hoạ cho Định lý 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Ví dụ ([6]) Cho X = R, d(x, y) = |x − y| F : X → X xác định x−y+z , (x, y, z) ∈ X 18 t t Ta kiểm tra F thoả mãn điều kiện (2.47) với ϕ(t) = ψ(t) = (0, 0, 0) điểm bất động ba F F (x, y, z) = Chứng minh Dễ thấy F ánh xạ đơn điệu hỗn hợp liên tục Từ x−y+z u−v+w F (x, y, z) = ; F (u, v, w) = 18 18 Suy x−y+z−u+v−w d(F (x, y, z), F (u, v, w)) = 18 Ta có 42 F (y, x, y) = −u + 2v −x + 2y ; F (v, u, v) = 18 18 Do d(F (y, x, y), F (v, u, v)) = −x + 2y + u − 2v 18 Vì F (z, y, x) = z−y+x w−v+u ; F (w, v, u) = 18 18 Nên d(F (z, y, x), F (w, v, u)) = x−y+z+v−w 18 Từ đó, ta có d(F (x, y, z), F (u, v, w)) + d(F (y, x, y), F (v, u, v)) + d(F (z, y, x), F (w, v, u)) |x − y + z − u + v − w| + | − x + 2y + u − 2v| + |x − y + z + v − w| =ϕ 18.3 |x − y + z − u + v − w| + | − x + 2y + u − 2v| + |x − y + z + v − w| = 18.3.2 |(x − u) + (−y + v) + (z − w)| + |(−x + u) = 22 33 (2y − 2v)| + |(x − u) + (−y + v) + (z − w)| + 22 33 |x − u| |y − v| |z − w| ≤ + + 33 2.33 |x − u| |x − u| |y − v| |y − v| |z − w| |z − w| ≤ + + + + + 9 |x − u| + |y − v| + |z − w| |x − u| + |y − v| + |z − w| =φ −ψ 3 d(x, u) + d(y, v) + d(z, w) d(x, u) + d(y, v) + d(z, w) =φ −ψ 3 d(x, u) + d(y, v) + d(z, w) d(x, u) + d(y, v) + d(z, w) ≤φ −ψ 2 ϕ Mặt khác, với (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0) ta có F (x0 , y0 , z0 ) = = x0 = y0 = z0 Do đó, điều kiện Định lý 2.2.1 thoả mãn Vì F có điểm bất động ba Ta thấy (0, 0, 0) điểm bất động ba F 43 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau 1) Tìm hiểu, trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết số định lý tồn điểm bất động đôi, ba ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận 2) Trình bày chứng minh chi tiết số định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ φ-co đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận 3) Chứng minh chi tiết số định lí ví dụ minh họa cho số định lý mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt không chứng minh Định lí 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6, 1.2.7, 1.2.8 Ví dụ 2.1.12, 2.1.13, 2.2.3 4) Đưa Ví dụ 1.2.3 minh hoạ cho tính đơn điệu hỗn hợp điểm bất động đôi, đồng thời đưa chứng minh Định lý 2.1.15, Hệ 2.1.16, 2.1.17, 2.1.18 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyên Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001),Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo Dục [2] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch), Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] H Aydi, E Karapinar (2012), Triple fixed points in ordered metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, Kosova, pp 197-207 [4] V Berinde, M Borcut (2011), Tripled fixed point theorems for contractive type mappings in partially ordered metric spaces, Nonlinear Anal 74 (15) 48894897 [5] G Bhashkar, V Lakshmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal TMA 65, pp 1379-1393 [6] P Charoensawan (2012), Tripled Fixed Points Theorems for ϕ-Contractive Mixed Monotone Operators on Partially Ordered Metric Spaces, Applied Mathematical Sciences, Thailand, pp 5229 - 5239 [7] Jay G Mehta and M.L Joshi (2010), On coupled Fixed Point Theorem in Partially Ordered complete metric space, Int J Pure Appl Sci Technol.1(2), pp 87-92 [8] J.J Nieto, R R López (2007), Existence and uniqueness of fixed point in partially ordered sets and applications to ordinary differential equation, Acta Math Sin 9Engl Ser 23 (12), pp 2205-2212 [9] A.C.M Ran, M.C.B Reurings (2004) A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations, Proc Amer Math Soc 132 (2004), pp 1435-1443 [10] B Samet and H.Yazidi, Coupled fixed point theorems in partially ordered ε-chainable metric space, Preprint [...]... ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ co có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận 2.1 Sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ đơn điệu hỗn hợp Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric. .. là dãy giảm trong X và yn → y suy ra y ≤ yn với mọi n = 1, 2, thì F có điểm bất động bộ ba 2.2 Sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ Φ-co Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ Φ-co đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận Ta kí hiệu Φ là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) thoả mãn (iϕ ) ϕ liên tục và không giảm, (iiϕ... một không gian mêtric đầy đủ và X có các tính chất sau i) Nếu dãy không giảm {xn }trong X hội tụ tới x ∈ X thì xn ≤ x, với mọi n, ii) Nếu dãy không tăng {yn } trong X hội tụ tới y ∈ X thì yn ≥ y,với mọi n Cho F : X 2 → X là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong X sao cho tồn tại α, β > 0 với α + β < 1 thoả mãn β [d(x, u) + d(y, v)] 2 với mọi (x, y),(u, v) ∈ X 2 mà x ≥ u, y ≤ v Khi đó, nếu tồn tại x0... Cauchy trong X Vì X là không gian mêtric đầy đủ, nên tồn tại x, y ∈ X sao cho lim xn = x và lim yn = y Từ (1.11), n→+∞ n→+∞ ta có x = lim xn = lim F (xn−1 , yn−1 ) = F ( lim xn−1 , lim yn−1 ) = F (x, y) n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ và y = lim yn = lim F (yn−1 , xn−1 ) = F ( lim yn−1 , lim xn−1 ) = F (y, x) n→+∞ n→+∞ n→+∞ Do đó x = F (x, y) và y = F (y, x) Vậy, F có điểm bất động bộ đôi n→+∞ CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM... thì F có duy nhất điểm bất động bộ ba (x, y, z) Chứng minh Từ Định lý 2.1.6 suy ra tập điểm bất động bộ ba của F là không rỗng Bây giờ giả thiết rằng (x, y, z) và (u, v, r) là hai điểm bất động bộ ba, tức là, F (x, y, z) = x, F (u, v, r) = u, 25 F (y, x, y) = y, F (v, u, v) = v, F (z, y, x) = z, F (r, v, u) = r Ta sẽ chứng minh (x, y, z) và (u, v, r) là bằng nhau Do giả thiết, nên tồn tại (a, b, c) sao... x), y) = 0, suy ra F (y, x) = y Vậy, F có điểm bất động bộ đôi (x, y) 1.2.6 Định lý ([10]) Giả sử với mọi (x, y), (x∗ , y ∗ ) ∈ X 2 tồn tại (z1 , z2 ) ∈ X 2 sao cho (z1 , z2 ) so sánh được với (x, y) và (x∗ , y ∗ ) Nếu thêm điều kiện này vào giả thiết của Định lý 1.2.4 thì F có duy nhất một điểm bất động bộ đôi Chứng minh Giả sử (x∗ , y ∗ ) là một điểm bất động bộ đôi khác của F thì F (x∗ , y ∗ ) =... F liên tục, hoặc b) X có các tính chất sau: i) Nếu dãy không giảm xn → x, thì xn ≤ x với mọi n, ii) Nếu dãy không tăng yn → y, thì yn ≥ y với mọi n Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ), thì tồn tại x, y, z ∈ X sao cho F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z, tức là F có điểm bất động bộ ba Chứng minh Hệ quả... +∞) 2.1.10 Nhận xét Trong Hệ quả 2.1.9 lấy T = IdX là đồng nhất thức trong k X, ta nhận được Định lý 2.1.5 của Brinde và Borcut (với j = l = r = ) 3 Bây giờ, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động bộ ba 2.1.11 Định lý ([3]) Nếu trong Định lý 2.1.6 giả sử thêm rằng, với mọi (x, y, z), (u, v, r) ∈ X 3 , tồn tại (a, b, c) ∈ X 3 sao cho (F (a, b, c), F (b, a, b), F (c, b, a)) là... → y, thì y ≤ yn với mọi n Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ), thì sẽ tồn tại x, y, z ∈ X sao cho F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z, nghĩa là F có một điểm bất động bộ ba 2.1.6 Định lý ([3]) Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ Giả sử T : X → X là một... F liên tục, hoặc b) X có các tính chất sau: i) Nếu dãy không giảm xn → x, thì xn ≤ x với mọi n, ii) Nếu dãy không tăng yn → y, thì yn ≥ y với mọi n Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≤ F (y0 , x0 , y0 ) và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ), thì tồn tại x, y, z ∈ X sao cho F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z, tức là F có điểm bất động bộ ba Chứng minh Vì d(T ... có điểm bất động đôi n→+∞ CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ co có tính đơn điệu hỗn hợp không gian. .. Chương Sự tồn điểm bất động đôi .3 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự tồn điểm bất động đôi ánh xạ co suy rộng không gian mêtric có thứ tự phận Chương Sự tồn điểm bất động. .. đủ có thứ tự phận Chương Sự tồn điểm bất động ba không gian mêtric có thứ tự phận Mục chương trình bày số định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric đầy đủ có thứ tự