Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian tựa metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH NGỌC QUANG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH NGỌC QUANG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2015 Mục lục Lời mở đầu KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian tựa mêtric VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 15 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach kiểu Banach suy rộng 2.2 15 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan kiểu Chatterjea 25 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 38 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích số ngành toán học khác Do nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ nhà toán học Banach Sau người ta mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian khác Một hướng mở rộng là, giảm bớt điều kiện định nghĩa mêtric, từ thu lớp không gian tựa mêtric rộng lớp không gian mêtric Sau đó, người ta nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric Những người thu nhiều kết theo hướng là: J.Caristi, J.S.Ume, R.A.Stoltenbeg, C.S.Wong, Năm 2003, W.A Kirk cộng ([4]) mở rộng nguyên lý ánh xạ co kiểu Banach cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện cyclic Năm 2010, Petric ([5]) giới thiệu chứng minh vài kết liên quan tới ánh xạ co cyclic Sau nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ co cyclic không gian mêtric Năm 2010, M.Petric B.Zlatanov ([3])đã chứng minh định lý điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan Năm 2012, E.Karapınar H.K.Nashine ([6])đã chứng minh định lý điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Chatterjea Có vấn đề đặt là, kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian mêtric có cho trường hợp không gian tựa mêtric hay không? Để tập dượt nghiên cứu khoa học lĩnh hội không gian tựa mêtric lý thuyết điểm bất động, tìm hiểu, nghiên cứu tính chất không gian tựa mêtric tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian tựa mêtric Vì chọn đề tài nghiên cứu "Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian tựa mêtric" Với mục đích đó, luận văn trình bày thành hai chương Chương Không gian tựa mêtric Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết tôpô đại cương có liên quan đến nội dung luận văn Sau đó, trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất không gian tựa mêtric Để làm sở cho việc trình bày nội dung chương Chương Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian tựa mêtric Trong chương này, mở rộng số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian mêtric có tài liệu tham khảo cho không gian tựa mêtric cách đưa Định lý 2.1.3, 2.1.4, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 Hệ 2.1.5, 2.1.8 2.2.6 2.2.7 Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt bạn lớp Cao học khóa 21 - Chuyên ngành: Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2015 Tác giả Chương KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết có cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện (T1 ) ∅, X ∈ T (T2 ) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I Gi ∈ T i∈I (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T G1 ∩ G2 ∈ T Tập hợp X với tôpô T gọi không gian tôpô kí hiệu (X, T ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc T gọi tập mở Giả sử X ⊂ E Tập E gọi tập đóng X\E tập mở 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô X, tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho x ∈ V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn } không gian tôpô gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho: xn ∈ U với n ≥ n0 Khi ta viết: xn → x 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T1 − không gian hai điểm x, y ∈ X, x = y, tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho y∈ / Ux x ∈ / Uy Không gian tôpô X gọi T2 − không gian (hay không gian Hausdorff ) với hai điểm x, y ∈ X, x = y, tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x lân cận V f (x), tồn lân cận U X cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định lý Giả sử X, Y không gian tôpô, f : X → Y Khi điều kiện sau tương đương: (1) f liên tục X; (2) Nếu E tập mở Y f − 1(E) mở X; (3) Nếu E tập đóng Y f − 1(E) đóng X 1.1.7 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng ρ : X ×X → R Hàm ρ gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn: i) ρ(x, y) ≥ với x, y ∈ X ρ(x, y) = x = y; ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với x, y ∈ X; iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với x, y, z ∈ X Tôpô X với mêtric gọi không gian mêtric kí hiệu (X, ρ) X 1.2 Không gian tựa mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng d : X ×X → R Hàm d gọi tựa mêtric X thỏa mãn: i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Tập X với tựa mêtric gọi không gian tựa mêtric kí hiệu (X, d) X 1.2.2 Ví dụ ([1]) 1) Giả sử X = {1, 2, 3} Xác định hàm d : X ×X → R+ công thức: d (1, 1) = d (2, 2) = d (3, 3) = d (1, 2) = 1, d (1, 3) = 2, d (2, 1) = d (2, 3) = 3, d (3, 1) = , d (3, 2) = 2 Khi đó, d tựa mêtric X Chứng minh Thật vậy: i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y ∈ X Vì vậy, (X, d) không gian tựa mêtric Vì d(1, 2) = d(2, 1) nên d không mêtric X 2) Giả sử d : R × R → R ánh xạ cho bởi:  x = y  0 x > y d (x, y) = 1   x < y Khi đó, d tự mêtric R Chứng minh Thật vậy, theo cách xác định d hiển nhiên d(x, y) ≥ với x, y ∈ R d(x, y) = x = y; Giả sử x, y, z ∈ R Khi x = y = z hiển nhiên điều kiện ii) Định nghĩa 1.2.1 Nếu x < y < z d (x, z) = < = d (x, y) + d (y, z) ; d (z, y) = < d (z, x) + d (x, y) ; d (x, y) = < = d (x, z) + d (z, y) ; d (y, x) = = d (y, z) + d (z, x) ; d (y, z) = < = d (y, x) + d (x, z) ; d (z, x) = < = d (z, y) + d (y, x) Nếu x = y < z x < y = z dễ dàng chứng minh d thỏa mãn điều kiện ii) Định nghĩa 1.2.1 Vậy (R, d) không gian tựa mêtric Vì = d(0, 1) = d(1, 0) nên d không mêtric X 10 Tương tự ta chứng minh d(xn+p , xn ) → n → ∞, với p = 1, 2, Từ suy {xn } dãy Cauchy Vì X không gian đầy đủ nên tồn p Ai xn ∈ Ai x ∈ X cho xn → x Mặt khác, từ {xn } ⊂ i=1 xn+1 ∈ Ai+1 suy xn có p dãy {xjm }m∈N cho {xjm }m∈N với i = 1, 2, , p Vì Ai đóng với i = 1, 2, , p {xjm }m∈N → x p p n → ∞ nên x ∈ i=1 p Ai đóng khác rỗng Vì X đầy đủ Ai Do đó, i=1 Ai đầy đủ nên i=1 p Từ điều kiện (2.7) suy T thu hẹp Ai ánh xạ co Do đó, i=1 theo nguyên lý ánh xạ co Banach, T có điểm bất động p p Ai Vì T ánh xạ p-cyclic nên điểm bất động thuộc i=1 Ai Vậy, T i=1 có điểm bất động 2.1.8 Hệ Cho X không gian tựa mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ cho tồn α ∈ S thỏa mãn d(F x, F y) ≤ α(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X d(F y, F x) ≤ α(d(y, x))d(y, x), ∀x, y ∈ X với S = {α : [0, +∞) → [0; 1) hàm đơn điệu tăng } Khi đó, F có điểm bất động z ∈ X {F n x} hội tụ đến z với x ∈ X Chứng minh Đặt A1 =A2 = =Ap =X Khi đó, F thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.7 Do F có điểm bất động z ∈ X Theo cách chứng minh Định lý 2.1.7 ta có F n x → z với 24 x ∈ X 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan kiểu Chatterjea Trong mục này, mở rộng số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian mêtric cho không gian tựa mêtric 2.2.1 Định nghĩa ([7]) Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ T : X → X gọi ánh xạ co kiểu Kannan tồn α ∈ 0, 21 cho d(T x, T y) ≤ α (d(x, T x) + d(y, T y)) với x, y ∈ X 2.2.2 Định nghĩa ([6]) Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ T : X → X gọi ánh xạ co kiểu Chatterjea tồn α ∈ 0, 12 cho d(T x, T y) ≤ α (d(x, T y) + d(y, T x)) với x, y ∈ X 2.2.3 Định lý Cho {Ai }pi=1 họ tập đóng khác rỗng p p Ai → không gian tựa mêtric đầy đủ X T : i=1 Ai ánh xạ cyclic i=1 tức T (Ai ) ⊂ Ai+1 , i = 1, 2, p Ap+1 = A1 25 (2.8) Khi đó, tồn a ∈ 0, 12 cho d (T x, T y) ≤ a [d (x, T x) + d (y, T y)] , (2.9) d (T y, T x) ≤ a [d (T y, y) + d (T x, x)] với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , ≤ i ≤ p ∗ p Ai ; (i) T có điểm bất động x i=1 (ii) Dãy lặp Picard {xn } cho xn+1 = T xn , n ≥ (2.10) p ∗ hội tụ đến x với điểm x0 ∈ Ai i=1 p Chứng minh Lấy x0 ∈ Ai xác định dãy {xn } theo công thức i=1 xn+1 = T xn với n = 0, 1, Khi đó, với n = 1, 2, tồn i ∈ {1, 2, , p} cho xn ∈ Ai từ (2.8) ta có xn+1 = T xn ∈ Ai+1 Khi từ (2.9) ta d (x1 , x2 ) ≤ a d (x0 , x1 ) 1−a a Vì a ∈ 0, 12 nên ta có ≤ λ < 1, Từ bất đẳng thức 1−a d(x1 , x2 ) ≤ λd(x0 , x1 ), phép quy nạp ta Đặt λ := d(xn , xn+1 ) ≤ λn d(x0 , x1 ), ∀n = 1, 2, Do đó, với n, m ∈ N ta có m+n−1 d (xn , xn+m ) ≤ d (xk , xk+1 ) k=1 λn − λm d (x1 , x0 ) ≤ d (x1 , x0 ) ≤λ 1−λ 1−λ n1 (2.11) Vì λ ∈ [0, 1) nên λn → n → ∞ Kết hợp với (2.11) suy d(xn , xn+m ) → 0, n → ∞, với m = 0, 1, 26 Tương tự ta chứng minh d(xn+m , xn ) → n → ∞, với m = 0, 1, Do đó, {xn } dãy Cauchy X, X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến x∗ ∈ X Tuy nhiên từ cách xây dựng {xn } (2.8) dãy {xn } có vô số số hạng Ai , với i ∈ {1, 2, , p} Do đó, x∗ ∈ p p Ai = ∅ Ai Vì i=1 i=1 Bây ta chứng minh x∗ điểm bất động T Thật vậy, x∗ ∈ Ai T x∗ ∈ Ai+1 , với i = 1, 2, , p Nên theo bất đẳng thức (2.9), ta d (x∗ , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn+1 )+d (xn+1 , T x∗ ) = d (x∗ , xn+1 )+d (T xn , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn+1 ) + a [d (xn , T xn ) + d (x∗, T x∗ )] = d (x∗ , xn+1 ) + a [d (xn , xn+1 ) + d (x∗ , T x∗ )] Lấy giới hạn n → ∞, ta d(x∗ , T x∗ ) = 0, tức x∗ điểm bất động T Ta chứng minh x∗ điểm bất động T Thật vậy, giả sử tồn y ∗ ∈ p Ai cho T y ∗ = y ∗ Từ (2.9) ta có i=1 d (x∗ , y ∗ ) = d (T x∗ , T y ∗ ) ≤ α [d (x∗ , T x∗ ) + d (y ∗ , T y ∗ )] = Do đó, d(x∗ , y ∗ ) = 0, tức x∗ = y ∗ Như điểm bất động T 2.2.4 Định lý Giả sử A1 , , Ap tập đóng khác rỗng p i=1 27 p Ai → không gian tựa mêtric đầy đủ X T : Ai Khi đó, i=1 tồn số a ∈ [0; 1) cho  min{d(x, y), d(y, x)},     d(T x, T y) ≤ a max {d (x, T x) , d (T x, x)} ,     {d (y, T y) , d (T y, y)}      (2.12)     với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 x ∈ Ai+1 , y ∈ Ai với Ap+1 = Ap , T có điểm bất động p Chứng minh Lấy x0 ∈ Ai đặt xn = T xn−1 với n = 1, 2, Khi i=1 với n ≥ 1, tồn i ∈ {1, 2, , p} cho xn−1 ∈ Ai xn ∈ Ai+1 Do đó, theo (2.12) ta có: d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn )  {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn−1 )} ,     ≤ a max {d (xn−1 , T xn−1 ) , d (T xn−1 , xn−1 )} ,     {d (xn , T xn ) , d (T xn , xn )}   d (x , x ),   n−1 n       = a max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn−1 )} ,        {d (xn , xn+1 ) , d (xn+1 , xn )}  = a max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} = ad (xn−1 , xn ) Như ta có d(xn , xn+1 ) ≤ ad(xn−1 , xn ), ∀n ≥          (2.13) Vì a ∈ [0; 1) nên từ (2.13) ta suy d (xn , xn+1 ) ≤ ad (xn−1 , xn ) ≤ a2 d (xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ an d (x0 , x1 ) , ∀n ≥ 28 Do đó, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có d (xn , xn+m ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xn+2 ) + + d (xn+m−1 , xn+m ) ≤ an + an+1 + + an+m−1 d (x0 , x1 ) = an − am d (x0 , x1 ) 1−a an ≤ d (x0 , x1 ) , ∀n ≥ 1, m > − an a Vì a ∈ [0; 1) nên d(x0 , x1 ) → n → ∞ Do ta có 1−a d(xn , xn+m ) → 0, ∀n ≥ 1, m > Tương tự ta chứng minh d(xn+m , xn ) → 0, ∀n ≥ 1, m > Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x Tương tự chứng minh Định lý 2.2.3, từ T ánh xạ cyclic p cách xây dựng {xn } ta suy x ∈ Ai i=1 p Bây giờ, ta chứng tỏ x điểm bất động T Vì x ∈ Ai nên i=1 ta có d (x, T x) ≤ d (x, T xn ) + d (T xn , T x)   {d (x , x) , d (x, x )} ,   n n       {d (x , T x ) , d (T x , x )} , ≤ d (x, T xn ) + a max n n n n         {d (x, T x) , d (T x, x)}   d (x , x) ,   n       = d (x, xn+1 ) + a max {d (xn , xn+1 ) , d (xn+1 , xn )} ,         {d (x, T x) , d (T x, x)} ≤ d (x, xn+1 ) + a max {d (xn , x) , d (xn , xn+1 ) , d (x, T x)} ≤ d (x, xn+1 ) + a [d (xn , x) + d (x, T x) + d(xn , xn+1 )] , ∀n ≥ 29 Do ta có (1 − a) d (x, T x) ≤ d (x, xn+1 ) + a [d (xn , x) + d (xn , xn+1 )] , ∀n ≥ (2.14) Vì xn → x d(xn , xn+1 ) → n → ∞, nên từ (2.14) cho n → ∞ ta có (1 − a)d(x, T x) = Vì a ∈ [0; 1) nên d(x, T x) = 0, tức T x = x Như x điểm bất động T Giả sử y điểm bất động T X Khi theo điều kiện (2.12) ta có d (x, y) = d (T x, T y) ≤ a max {d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y)} = ad (x, y) Vì a ∈ [0; 1) nên d(x, y) = hay x ≡ y Vậy điểm bất động T 2.2.5 Định lý Giả sử {Ai }pi=1 họ tập đóng khác rỗng không gian tựa mêtric đầy đủ X T : p i=1 Ai → p i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho α1 + α2 + α3 + 2α4 < 1, d(T x, T y) ≤ α1 {d (x, y) , d (y, x)} + α2 d (x, T x) + (2.15) +α3 d (y, T y) + α5 {d (y, T x) , d (T x, y)} d(T y, T x) ≤ α1 d(y, x) + α2 d(T x, x) + α3 d(T y, y) (2.16) +α4 d(T y, x) + α5 d(T x, y) với x ∈ Ai , với y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , p Hơn nữa, thêm p giả thiết α1 + α5 < T có điểm bất động Ai i=1 Chứng minh Giả sử x0 ∈ Ai với i mà ≤ i ≤ p Đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 , , xn = T xn−1 = T n x0 , 30 Đầu tiên ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Vì T ánh xạ cyclic nên xn ∈ Ai xn+1 ∈ Ai+1 (1 ≤ i ≤ p) với n = 0, 1, Do đó, với n = 1, 2, sử dụng (2.15) ta có d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ α1 min{d(xn−1 , xn ), d(xn , xn−1 )} + α2 d(xn−1 , T xn−1 ) +α3 d(xn , T xn ) + α5 min{d(xn , T xn−1 ), d(T xn−1 , xn )} = α1 {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn−1 )} + α2 d (xn−1 , xn ) +α3 d (xn , xn+1 ) + α5 {d (xn , xn ) , d (xn , xn )} ≤ α1 d (xn−1 , xn ) + α2 d (xn−1 , xn ) + α3 d (xn , xn+1 ) = (α1 + α2 ) d(xn−1 , xn ) + α3 d (xn , xn+1 ) Suy d(xn , xn+1 ) ≤ α1 + α2 d(xn−1 , xn ), ∀n = 1, 2, − α3 α1 + α2 Vì α1 +α2 +α3 +2α4 < nên ≤ λ < Do ta có − α3 d (xn , xn+1 ) ≤ λd (xn−1 , xn ) ≤ λ2 d (xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ λn d (x0 , x1 ) , ∀n = Đặt λ := 1, 2, Do d(xn , xn+1 ) → 0, n → ∞ Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác, với n = 1, 2, với m = 0, 1, ta có d (xn , xn+m ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xn+2 ) + + d (xn+m−1 , xn+m ) ≤ λn + λn+1 + + λn+m−1 d (x0 , x1 ) − λm =λ d (x0 , x1 ) 1−λ n1 λn d (x0 , x1 ) ≤ 1−λ Vì λ ∈ [0; 1) nên vế phải bất đẳng thức dần tới n → ∞ Từ suy d(xn , xn+m ) → n → ∞ với m = 0, 1, Tương tự trên, sử dụng (2.16)ta chứng minh d (xn+1 , xn ) ≤ α1 + α2 + α4 d (xn , xn−1 ) , ∀n = 1, 2, − α3 − α4 31 Đặt q := α1 + α2 + α4 Vì α1 + α2 + α3 + 2α4 < nên ≤ q < Do − α3 − α4 đó, ta có d (xn+1 , xn ) ≤ qd (xn , xn−1 ) ≤ q d (xn−1 , xn−2 ) ≤ ≤ q n d (x1 , x0 ) , ∀n = 1, 2, Vì q ∈ [0; 1) nên d(xn+1 , xn ) → n → ∞ Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác, với n = 1, 2, với m = 0, 1, ta có d (xn+m , xn ) ≤ d (xn+m , xn+m−1 ) + d (xn+m−1 , xn+m−2 ) + + d (xn+1 , xn ) ≤ q n+m−1 + q n+m−2 + + q n d (x1 , x0 ) = qn − qm d (x1 , x0 ) 1−q qn d (x1 , x0 ) ≤ 1−q Vì q ∈ [0; 1) nên vế phải bất đẳng thức dần tới n → ∞ Từ suy d(xn+m , xn ) → n → ∞ với m = 0, 1, Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên xn → x∗ ∈ X Từ cách xây dựng dãy {xn } suy rằng, với i = 1, 2, , p tồn dãy {xn } nằm Ai , mà Ai tập đóng X nên x∗ ∈ Ai Do ∗ p đó, x ∈ Ai i=1 Tiếp theo, ta chứng minh x∗ điểm bất động T Vì x∗ ∈ p Ai i=1 nên sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức (2.15) ta có d (x∗ , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn+1 ) + d (xn+1 , T x∗ ) = d (x∗ , xn+1 ) + d (T xn , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn+1 ) + α1 d (x∗ , xn ) + α2 d (xn , xn+1 ) + +α3 d (x∗ , T x∗ ) + α5 d (x∗ , xn+1 ) ≤ (1 + α5 ) d (x∗ , xn+1 ) + α1 d (x∗ , xn ) + +α2 d (xn , xn+1 ) + α3 d (x∗ , T x∗ ) , ∀n = 1, 2, Vì xn → x∗ d(xn , xn+1 ) → n → ∞ nên cho n → ∞ ta 32 d(x∗ , T x∗ ) ≤ α3 d(x∗ , T x∗ ) Vì α3 < nên d(x∗ , T x∗ ) = 0, tức T x∗ = x∗ Vậy x∗ điểm bất động T Cuối cùng, giả sử có thêm α1 + α5 < y ∗ điểm bất động p T Ai Khi đó, từ x∗ , y ∗ ∈ Ai với i = 1, 2, , p nên i=1 d (x∗ , y ∗ ) = d (T x∗ , T y ∗ ) ≤ α1 d (x∗ , y ∗ ) + α2 d (x∗ , T x∗ ) + +α3 d (y ∗ , T y ∗ ) + α5 d (T x∗ , y ∗ ) = (α1 + α5 ) d (x∗ , y ∗ ) Vì α1 + α5 < nên d(x∗ , y ∗ ) = hay x∗ ≡ y ∗ Vậy điểm bất động T Vì không gian mêtric không gian tựa mêtric (X, d) không gian mêtric d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X Nên Định lý 2.2.4 Định lý 2.2.5, lấy X không gian mêtric đầy đủ ta nhận hai hệ sau 2.2.6 Hệ Giả sử A1 , A2 , , Ap tập đóng khác rỗng p p Ai → không gian mêtric đầy đủ X T : i=1 Ai ánh xạ cyclic i=1 Khi đó, tồn số α ∈ [0; 1) cho d (T x, T y) ≤ a max {d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y)} với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , Ap+1 = A1 T có điểm bất động Chứng minh Dễ dàng chứng minh cách suy trực tiếp từ Định lý 2.2.4 2.2.7 Hệ Giả sử A1 , A2 , , Ap tập đóng khác rỗng p Ai → không gian mêtric đầy đủ X T : i=1 33 p Ai ánh xạ i=1 cyclic Khi đó, tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α5 cho α1 + α2 + α3 < d (T x, T y) ≤ α1 d (x, y)+α2 d (x, T x)+α3 d (y, T y)+α5 d (y, T x) (2.17) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , Ap+1 = A1 T có điểm bất động p Ai Hơn thêm giả thiết a1 + a5 < điểm bất động i=1 T Chứng minh Vì α1 + α2 + α3 < nên tồn α4 > cho α1 + α2 + α3 + 2α4 < Khi từ (2.17) d(a, b) = d(b, a) với a, b ∈ X suy điều kiện (2.16) thỏa mãn Mặt khác, từ (2.17) suy điều kiện (2.15) thỏa mãn Do từ Định lý 2.2.5 suy khẳng định hệ Ví dụ sau minh họa cho Định lý 2.2.5 2.2.8 Ví dụ Lấy X = {1, 2, 3, 4} d : X → R cho   x = y   d (x, y) = (x, y) ∈ {(2, 4), (4, 2), (3, 2)}  (x, y) ∈ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4),   (4, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 3)} Dễ dàng chứng minh d tựa mêtric (X, d) không gian tựa mêtric đầy đủ Đặt A1 = {1, 4}, A2 = {2, 3, 4} T : A1 A2 → A1 A2 hàm cho T (1) = 2; T (2) = T (3) = T (4) = Khi đó, T ánh xạ cyclic có điểm bất động Bây ta T thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2.5 34 Thật vậy, ta lấy α1 = , α2 = α3 = α4 = α5 = 0, đó: d(T 1, T 2) = (2, 4) = ≤ α1 d(1, 2) d(T 1, T 3) = (2, 4) = ≤ α1 d(1, 3) d(T 1, T 4) = (2, 4) = ≤ α1 d(1, 4) d(T 2, T 1) = (4, 2) = ≤ α1 d(2, 1) d(T 3, T 1) = (4, 2) = ≤ α1 d(3, 1) d(T 4, T 1) = (4, 2) = ≤ α1 d(4, 1) Vậy Định lý 2.2.5 thỏa mãn với α1 ∈ [ 21 , 1), α2 = α3 = α4 = α5 = 35 Kết luận Luận văn đạt kết sau Trình bày lại cách chi tiết có hệ thống định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian tựa mêtric Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian tựa mêtric, mở rộng kết tương tự không gian mêtric, chúng thể Định lý 2.1.3, 2.1.4, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 Hệ 2.1.5, 2.1.8 2.2.6 2.2.7 36 Tài liệu tham khảo [1] N.T.Thủy (2010), Các định lý điểm bất động không gian tựa mêtric, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [2] P.T.T.Trang (2013), Về ánh xạ co cyclic không gian mêtric, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học vinh [3] M.Petric, B.Zlatanov (2010), Fixed point theorems of Kannan type for cyclical contractive conditions, Anniversary International Conference REMIA, Plovdiv, Bulgaria, 187-194 [4] W.A.Kirk, P.S.Srinivasan, P.Veeramani (2003), Fixed point for mappings satisfying cyclical contractive conditions, Fixed Point Theory, Volume 4, No.1, 79-89 [5] M.A.Petric (2010), Some results concerning cyclical contractive mapping, General Mathematics Vol.18, No.4, 213-226 [6] E.Karapınar, H.Kumar Nashine (2012), Fixed point theorem for Cyclic Chatterjea type contractions, Hindawi Publishing Corporation, Journal of Applied Mathematics, Volume 2012, Article ID 165698, 15 pages 37 [7] C.T Aage, J.N Salunke (2008), The resutls on fixed points in dislocated Quasi - Metric space, Applied Mathematical Sciences, Vol.2, No.59, 2941-2948 38 [...]... x ∈ X Vì Y là tập đóng trong X và {xn } là dãy trong Y nên x ∈ Y Vậy Y là tập đầy đủ 14 Chương 2 VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian tựa mêtric 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Banach và... đạt được các kết quả chính sau đây Trình bày lại một cách chi tiết và có hệ thống về định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian tựa mêtric Đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian tựa mêtric, đó là các mở rộng của các kết quả tương tự trong không gian mêtric, chúng được thể hiện trong các Định... điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian mêtric cho không gian tựa mêtric 2.2.1 Định nghĩa ([7]) Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ 0, 21 sao cho d(T x, T y) ≤ α (d(x, T x) + d(y, T y)) với mọi x, y ∈ X 2.2.2 Định nghĩa ([6]) Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ. .. Mục này xem xét một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach và kiểu Banach suy rộng trong không gian mêtric còn đúng cho không gian tựa mêtric nữa hay không? 2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho A1 , A2 , , Ap , Ap+1 = A1 là các tập khác p p Ai → rỗng của không gian mêtric X và ánh xạ T : i=1 Ai Ánh xạ i=1 T được gọi là p -cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (Ai ) ⊂ Ai+1 với... nhất điểm bất động z ∈ X và {F n x} hội tụ đến z với mỗi x ∈ X Chứng minh Đặt A1 =A2 = =Ap =X Khi đó, F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.7 Do đó F có duy nhất điểm bất động z ∈ X Theo cách chứng minh của Định lý 2.1.7 ta có F n x → z với mỗi 24 x ∈ X 2.2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea Trong mục này, chúng tôi mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm. .. Do đó, theo Định lý 2.1.3, F có duy nhất điểm bất động p Ai Vì F là ánh xạ p -cyclic nên điểm bất động của F thuộc trong p i=1 Ai Vậy, F có duy nhất điểm bất động i=1 Định lý sau đây là mở rộng của Định lí 2.1.6 2.1.7 Định lý Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , Ap p p Ai → là các tập con đóng khác rỗng của X; T : i=1 Ai là ánh xạ pi=1 cyclic sao cho d(T x, T y) ≤ g (d(x, y))... Từ điều kiện (2.7) suy ra T thu hẹp trên Ai là ánh xạ co Do đó, i=1 theo nguyên lý ánh xạ co Banach, T có duy nhất điểm bất động trong p p Ai Vì T là ánh xạ p -cyclic nên điểm bất động thuộc i=1 Ai Vậy, T i=1 có duy nhất điểm bất động 2.1.8 Hệ quả Cho X là không gian tựa mêtric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại α ∈ S thỏa mãn d(F x, F y) ≤ α(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X và d(F y, F x) ≤ α(d(y,... là điểm bất động của T Giả sử y cũng là điểm bất động của T trong X Khi đó theo điều kiện (2.12) ta có d (x, y) = d (T x, T y) ≤ a max {d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y)} = ad (x, y) Vì a ∈ [0; 1) nên d(x, y) = 0 hay x ≡ y Vậy điểm bất động của T là duy nhất 2.2.5 Định lý Giả sử {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng khác rỗng trong không gian tựa mêtric đầy đủ X và T : p i=1 Ai → p i=1 Ai là ánh xạ cyclic. .. nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p -cyclic và T có 15 p điểm bất động x thì x ∈ Ai i=1 2.1.2 Bổ đề Nếu X là không gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ, F : X → X là ánh xạ liên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(F x, F 2 x) ≤ kd(x, F x), ∀x ∈ X và d(F 2 x, F x) ≤ kd(F x, x), ∀x ∈ X thì F có điểm bất động trong X Hơn nữa, với mỗi x0 ∈ X, dãy {F n x0 } hội tụ tới điểm bất động của F (Ở đây, ta viết F x... với giả thiết X là không gian Hausdorff nên ta có x = F x Vậy, x là điểm bất động của F 17 2.1.3 Định lý Giả sử (X,d) là không gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co kiểu Banach, tức là tồn tại hằng số α ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X và d(T y, T x) ≤ αd(y, x), ∀x, y ∈ X Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động Chứng minh Giả sử T : X → X là ánh xạ co với hằng số ... Chương VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC Chương trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian tựa. .. hội không gian tựa mêtric lý thuyết điểm bất động, tìm hiểu, nghiên cứu tính chất không gian tựa mêtric tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian tựa mêtric Vì chọn đề tài nghiên cứu "Về tồn điểm. .. chất không gian tựa mêtric Để làm sở cho việc trình bày nội dung chương Chương Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic không gian tựa mêtric Trong chương này, mở rộng số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic