định lí điểm bất động trong không gian nón Metric trình bày

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN NĨN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN NĨN METRIC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn cung cấp đầy đủ tài liệu để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp dành thời gian quý báu để đọc cho lời nhận xét luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Q thầy, khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức cho suốt thời gian học tập Sau tơi xin kính chúc Q thầy, khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tất bạn dồi sức khỏe, đạt nhiều thành công công việc sống Tôi xin chân thành cảm ơn Học viên thực Dương Thùy Vân MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHƠNG GIAN NĨN ĐỊNH CHUẨN .3 1.1 Nón thứ tự sinh nón .3 1.2 Khơng gian nón định chuẩn .4 1.3 Định lí Krasnoselskii Chương ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHƠNG GIAN NĨN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED 10 2.1 Khơng gian lồi địa phương có thứ tự 10 2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed 13 2.3 Các định lí điểm bất động 14 2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers 18 2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm 20 Chương ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN 24 3.1 E – không gian 24 3.2 Các định lý điểm bất động E-không gian 26 3.3 Định lý Krasnoselskii E-không gian Banach 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên cho nhiều mô hình Kinh tế Xã hội Lý thuyết điểm bất động hình thành từ đầu kỷ 20, phát triển mạnh mẽ hoàn thiện ngày Định lý Banach điểm bất động ánh xạ co định lý Schauder điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục hai kết tìm sớm định lý quan trọng lý thuyết điểm bất động Năm 1955 Krasnoselskii kết hợp hai định lý định lí quan trọng điểm bất động ánh xạ tổng ánh xạ co ánh xạ hoàn toàn liên tục Định lý tìm ứng dụng sâu sắc nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân,…Do quan trọng định lý Krasnoselskii mà nhà tốn học quan tâm nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng Hướng thứ tìm cách giảm nhẹ điều kiện co điều kiện compact điều kiện bất biến miền xác định Hướng mở rộng thứ hai mở rộng không gian thay không gian định chuẩn không gian lồi địa phương khơng gian nón - định chuẩn Khơng gian nón – mêtric nón – định chuẩn đưa vào nghiên cứu năm 1950 thay miền giá trị mêtric chuẩn thông thường [0,∞) nón dương khơng gian có thứ tự Các khơng gian tìm ứng dụng quan trọng Giải tích số, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điểm bất động Các kết điểm bất động khơng gian nón – mêtric chủ yếu liên quan đến ánh xạ dạng co Việc tìm hiểu định lý Krasnoselskii cho khơng gian nón định chuẩn ứng dụng đề tài có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đó lí tơi chọn đề tài Mục tiêu luận văn trình bày chi tiết hệ thống hướng nghiên cứu định lý Krasnoselskii khơng gian nón - định chuẩn, khơng gian nón – định chuẩn phi Archimed, E – không gian; ứng dụng phương trình tích phân, phương trình hàm Việc thực đề tài giúp học viên hiểu sâu toàn diện kiến thức học Tơpơ, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, thấy rõ mối liên hệ chúng; biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn tài liệu tham khảo “ Định lý Krasnoselskii không gian nón – định chuẩn” cho học viên Cao học chun ngành Tốn Giải Tích Luận văn có ba chương Chương trình bày định lý Krasnoselskii khơng gian nón định chuẩn Chương trình bày định Krasnoselskii khơng gian nón định chuẩn phi Archimed Chương trình bày định Krasnoselskii E - không gian Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NĨN ĐỊNH CHUẨN 1.1 Nón thứ tự sinh nón 1.1.1 Các định nghĩa 1) Tập K không gian Banach thực E = (E, ) gọi nón i) K tập đóng ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ iii) K ∩ (−K) = {∅} Nếu K nón thứ tự E sinh K định x ≤ y ⇔ y − x∈K Khi đó, cặp (E, K) gọi khơng gian Banach có thứ tự 2) Nón chuẩn Nón K gọi nón chuẩn ∃N > : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y 3) Ánh xạ tăng Ánh xạ A : M ⊂ E → E gọi dương A(x) ≥ θ ∀x ∈ M, x ≥ θ Ánh xạ A tăng x, y ∈ M x ≤ y A(x) ≤ A(y) Ta dễ thấy A : E → E ánh xạ tuyến tính dương A ánh xạ tăng 4) Nón liên hợp Nếu K nón ta định nghĩa nón liên hợp K K *= {f ∈E * : f ( x) ≥ ∀x ∈ K } 1.1.2 Bổ đề 1) xo ∈ K ⇔ f ( xo ) ≥ 0, ∀f ∈ K * 2) Nếu x ∈ K {θ } tồn f ∈ K * cho f (x)>0 1.1.3 Bổ đề Cho không gian Banach (E, ) thứ tự nón K * phiếm hàm Minkowskii tập [ B(θ ,1) − K ] ∩ [ B(θ ,1) + K ] Khi * chuẩn E thỏa u * ≤ u ∀u ∈ E u * ≤ v * θ ≤ u ≤ v u *  K nón chuẩn 1.2 Khơng gian nón định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Cho (E, K) không gian Banach có thứ tự X khơng gian tuyến tính thực Ánh xạ p : X → E gọi chuẩn nón( hay K-chuẩn) i) p( x ) ≥ θ E ∀x ∈ X p( x ) = θ E ⇔ x = θ X ( θ E , θ X phần tử không E X tương ứng) ii) p= (λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ , ∀x ∈ X iii) p( x + y ) ≤ p( x ) + p( y ) ∀x , y ∈ X Nếu p chuẩn nón X cặp (X, p) gọi khơng gian nón định chuẩn ( hay K – không gian định chuẩn) Khơng gian nón định chuẩn (X, p) với tơpơ τ kí hiệu ( X , p,τ ) 1.2.2 Định nghĩa Cho (E, K) khơng gian Banach có thứ tự; (X, p) khơng gian nón định chuẩn Ta định nghĩa 1) lim x n= x ⇔ lim p(x n - x)=θ E n→∞ 2) A ⊂ X đóng ∀ { xn } ⊂ A, lim x n= x x ∈ A n→∞ Trong (X, p) ta xét hai tôpô sau τ= {G ⊂ X X } G tập đóng { τ tôpô X xác định họ nửa chuẩn f  p : f ∈ K * } (X, τ ) không gian vectơ tôpô lồi địa phương Họ tập {x ∈ X : max f  p(x) < ε } , f ∈ K , n ∈ N , ε >0 sở lân cận θ 1≤i ≤ n i i * * ∀f ∈ K * Lưới { xα } ⊂ X hội tụ x τ lim f ( p( xα − x )) = 1.2.3 Định nghĩa Cho (E, K) không gian Banach có thứ tự; (X, p) khơng gian nón định chuẩn, τ tơpơ X Ta nói 1) ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass với dãy ∞ ∑ p( x n =1 n +1 − xn ) hội { xn } ⊂ X mà tụ E { xn } hội tụ ( X , p,τ ) 2) ( X , p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich với dãy { xn } thỏa θ E { xn } hội tụ ( X , p,τ ) p( xk − xl ) ≤ an ∀k,l ≥ n, với {an } ⊂ K , lim an = n→∞ 1.2.4 Bổ đề Cho không gian Banach (E, ) thứ tự nón chuẩn K với N=1: θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ y (X, p) khơng gian nón định chuẩn Khi ánh xạ q : X → , q(x)= p( x ) chuẩn X có tính chất sau: 1)Tôpô τ1 trùng với tôpô không gian định chuẩn (X, q) 2) Nếu ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass (X, q) đầy đủ Chứng minh 1) Dễ thấy q chuẩn X lim xn = x ( X , p,τ ) ⇔ lim xn = x (X, q) n→∞ n→∞ Do A⊂ X tập đóng ( X , p,τ ) ⇔ A đóng (X, q) Vậy tơpơ τ1 trùng với tôpô không gian định chuẩn (X, q) 2) Lấy dãy { xn } ⊂ X cho ∞ ∑ q( x ) < ∞ n =1 n ∞ Chúng ta chứng minh hội tụ chuỗi ∑x n =1 n Thật vậy, đặt sn = x1 + x2 + + xn , n ∈ N * , ta có ∞ ∑ p(sn = − sn−1 ) ∞ ∑ q( x ) < ∞ = n 1= n ∞ ⇒ ∑ p(s n =1 n n − sn−1 ) hôi tụ ( E , ) (X, q) Vì ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass nên { xn } hội tụ ( X , p,τ ) (X, q) 1.2.5 Bổ đề Cho (E, K) khơng gian Banach có thứ tự, (X,p) khơng gian nón định chuẩn , τ tơpơ X ( X , p,τ ) 1) Nếu đầy đủ theo Kantorovich ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass 2) Nếu K nón chuẩn ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass ( X , p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich Chứng minh 1) Lấy dãy { xn } ⊂ X cho Đặt s = ∞ ∑ p( x n =1 n +1 − xn ) hội tụ E ∞ ∑x n =1 n sn = x1 + x2 + + xn tổng riêng thứ n chuỗi Cho l > k ≥ n , ta có θ E p( xl − xk ) ≤ sl −1 − sk −1 ≤ s − sn với lim (s − sn ) = n→∞ Vì ( X , p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich nên { xn } hội tụ ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass 2) Lấy dãy { xn } thỏa p( xl − xk ) ≤ an ∀k , l ≥ n, {an } ⊂ K , lim an = θE n→∞ Do K nón chuẩn nên p( xl − xk ) ≤ N an Do { xn } dãy Cauchy (X, q) nên { xn } hội tụ (X, q) Suy { xn } hội tụ ( X , p,τ ) theo bổ đề 1.2.4 Vậy ( X , p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich ( X , p,τ ) hay 19 Khi phương trình điểm bất động x = F(x) ổn định theo Ulam-Hyers Chứng minh Đặt u = p( xo , F ( xo )) , ta có lim S(Q n (u)) = θ n→∞ Do với ε ∈ int K , tồn số nguyên dương no cho S(Q n (u)) ≤ ε o Đặt δ = Q n (u) , áp dụng bổ đề 2.1.4, ta có δ ∈ D1 p( x ', F ( x ')) ≤ δ o p( x ', F ( x ')) ∈ D1 Áp dụng hệ 2.3.2, ta có điểm bất động F cho p( x* , x ') ≤ S ( p( x ', F ( x '))) ≤ S (δ ) ≤ ε Bây trình bày dạng khác tính chất ổn định theo UlamHyers 2.4.3 Định nghĩa Cho (E, K) khơng gian lồi địa phương có thứ tự với int K ≠ ∅ , (X, p) không gian nón định chuẩn, C ⊂ X , tốn tử F , F1 : C → X họ ζ tốn tử từ C vào X Ta nói phương trình: F1 ( x ) = F ( x ) ổn định theo Ulam – Hyers toán tử từ họ ζ với ε ∈ int K , ∃δ ∈ K cho G ∈ ζ p ( G( x ) ) ≤ δ ∀x ∈ C ( x ) F ( x ) + G( x ) có nghiệm 1) Phương trình F1= ( x ) F ( x ) + G( x ) tồn 2) Với nghiệm x’ phương trình F1= nghiệm x* phương trình F1 ( x ) = F ( x ) thỏa p( x* − x ') ≤ ε 2.4.4 Định lý Cho khơng gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) đầy đủ, int K ≠ ∅ khơng gian nón định chuẩn phi Archimed (X, p), C ⊂ X tập lồi đóng ánh xạ F , G : C → X thỏa (i) p(F ( x ) − F ( y )) ≤ Q  p( x − y ) ∀x , y ∈ C tốn tử Q : K → K có tính chất (Q) thỏa giả thuyết sau: 20 a) Tồn R : K → K mà R(θ ) = θ , R liên tục θ từ u ≤ sup {v, Q(u)} ta có u ≤ R( v ) b) lim Sk (Q n (u)) = θ theo k ∈ * u nằm tập compact K n→∞ (ii) Tồn phần tử xo ∈ C cho p(C − xo ) ⊂ D1 Khi phương trình điểm bất động x = F ( x ) ổn định theo Ulam – Hyers họ toán tử G thỏa: (a) F (C ) + G(C ) ⊂ C (b) G liên tục G(C ) tập compact Chứng minh Cho ε ∈ int K , áp dụng định lý 2.4.2 chọn δ ∈ K ,sao cho p( y − F ( y )) ≤ δ tồn điểm bất động x* F thỏa p( x* − y ) ≤ ε Nếu G thỏa (a) (b), p(G( x )) ≤ δ ∀x ∈ C phương trình= x F ( x ) + G( x ) có nghiệm( theo định lý 2.3.3) Với nghiệm x ' phương trình này, ta có p( x '− F ( x ')) ≤ δ Do theo định lý 2.4.2, tồn điểm bất động x* F thỏa p( x* − x ') ≤ ε 2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm Cho tập T ≠ ∅ Kí hiệu E = T khơng gian lồi địa phương tất hàm u : T →  , tơpơ xác định họ nửa chuẩn = pt (u) u(t ) , t ∈ T (t ) u(t ) ∀t ∈ T E đầy đủ Khi lưới {uα } ⊂ E hội tụ u lim uα = Trong E ta xét nón K hàm khơng âm Nón K nón minihedral, với u, v ∈ E ,sup {u, v} hàm sup {u(t ), v(t )} Không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) đầy đủ, có tính chất (E) { } int K = u ∈ E : inf u(t ) > t∈T 21 2.5.1 Bổ đề Cho Q : K → K toán tử tăng liên tục θ , Q(θ ) = θ Giả sử phần tử u thỏa lim Q n (u)(t )= ∀t ∈ T Khi n→∞ { } lim sup Q n (u), , Q n+ k −1 (u) = θ E k ∈ * n→∞ Do Do = D1 Chứng minh Đặt = Q n (u) , ta có lim (t )= ∀t ∈ T , max {vn (t ), , vn+ k −1 (t )} ≤ sup {vm (t ) : m ≥ n} → m → ∞ Mà tôpô E xác định họ nửa chuẩn = pt (u) u(t ) , t ∈ T nên } { lim sup Q n (u), , Q n+ k −1 (u) = θ E k ∈ * n→∞ Cho (Y , Y ) không gian Banach phi Archimed X = Y T không gian vectơ hàm x : T → Y Xét ánh xạ p : X → K , x  p( x )(t ) = x (t ) Y , ta có p( x + y )(t ) = x (t ) + y(t ) Y { ≤ max x (t ) Y , y(t ) Y } = max { p( x )(t ), p( y )(t )} ∀t ∈ T Hay p( x + y ) ≤ sup { p( x ), p( y )} E Do p nón định chuẩn phi Archimed X Tôpô (X, p) xác định họ nửa chuẩn ( pt  p )t∈T nên lim xα = x ⇔ lim pt  p( xα − x ) = lim xα (t ) − x (t ) Y = ∀t ∈ T Hay lim xα (t ) = x (t ) Y với ∀t ∈ T Rõ ràng (X, p) đầy đủ theo nghĩa thơng thường, đó, đầy đủ theo nghĩa Kantorovich Áp dụng hệ 2.3.2, ta có kết sau 22 2.5.2 Hệ Giả sử toán tử F : X → X thỏa F ( x )(t ) − F ( y )(t ) Y ≤ Q  p( x − y ) (t ) ∀x,y ∈ X,∀t ∈ T (6) Trong Q : K → K tăng liên tục θ , Q (θ ) = θ Hơn nữa, giả sử tồn uo ∈ K xo ∈ X thỏa lim= Q n (uo )(t ) 0, n→∞ F ( xo )(t ) − xo (t ) Y ≤ uo (t ) ∀t ∈ T (7) Khi phương trình x = F ( x ) ổn định theo Ulam-Hyers Chứng minh Từ (6) ta có p ( F ( x ) − F ( y ) ) ≤ Q  p( x − y ) Từ (7) ta có uo ∈ D1 , p ( F ( xo ) − xo ) ≤ uo nên p ( F ( xo ) − xo ) ∈ D1 Áp dụng hệ 2.3.2 ta có điều phải chứng minh Cho hàm α i , β j : T → T , i= 1, n, j= 1, m f : T × Y n → Y , g : T × Y m → Y Xét phương trình t, x (α1 (t ) ) , , x (α n (t ) )  : F ( x )(t ) x (t ) f= =   x (t) f t, x (α1 (t ) ) , , x (α n (t ) )  + g t, x ( β1 (t ) ) , , x ( β m (t ) )  = (8) (9) :=F ( x )(t ) + G( x )(t ) Trong x : T → T hàm cần tìm Đặt f hàm thỏa điều kiện (f) sau: tồn q ∈ (0,1) cho f (t, y1 , , yn ) − f (t, z1 , , zn ) Y ≤ q max yi − zi 1≤i ≤ n Y ∀{yi },{zi }∈ Y n Hàm f (t,θ , ,θ ) bị chặn (10) (11) Từ (10) ta có p ( F ( x ) − F ( y ) ) ≤ Q  p( x − y ) ∀x,y ∈ X q max u (α i (t ) ) với Q : K → K , Q(u)(t ) = 1≤i ≤ n n Từ (11) ta có lim Q = (uo )(t ) 0, F ( xo )(t ) − xo (t ) ≤ uo (t ) ∀t ∈ T Y n→∞ Trong xo (t ) = f (t,θ , ,θ ) uo (t ) số 23 Từ định nghĩa tôpô E ta thấy V ⊂ K tập compact ∀t ∈ T , ∃Mt > : ≤ u(t ) ≤ Mt ∀u ∈ V Từ (12) ta có ≤ Q n (u)(t ) ≤ q n Mt (12) ∀u ∈ V , ∀t ∈ T nên lim Q n (u)(t ) = u ∈ V , V ⊂ K tập compact n→∞ ( ) Suy lim Sk Q n (u) = k ∈ * n→∞ Giả sử hàm g thỏa mãn ( g1 )∀t ∈ T , toán tử ( y1 , , ym )  g(t, y1 , , ym ) liên tục ( ) ( g2 )∀t ∈ T , tập= Yt g {t}× Y m compact tương đối Y Từ (g1 ) hội tụ (X, p) tương đương với hội tụ theo điểm, ta có G liên tục Từ (g2 ) , G( x ) ⊂ ∏ Yt định lý Tychonoff ta có G( X ) tập compact t∈T Từ định lý 2.4.4, ta có hệ sau 2.5.3 Hệ Cho hàm f thỏa điều kiện ( f ) Khi phương trình: ( ) ( ) x (t ) = F ( x )(t ) với F ( x )(t ) := f t, x α1 (t ) , , x α n (t )  ổn định theo Ulam-Hyers lớp toán tử G cho bởi: G( x )(t ) = g t, x ( β1 (t ) ) , , x ( β m (t ) )  g thỏa điều kiện (g1 ) , (g2 ) 24 Chương ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHƠNG GIAN 3.1 E – khơng gian 3.1.1 Định nghĩa 1) Ta nói tập E phận số cặp x, y ∈ E có định nghĩa quan hệ " x ≤ y " cho: i) x ≤ x ∀x ∈ E ii) (x ≤ y, y ≤ x) ⇒ x = y iii) ( x ≤ y, y ≤ z ) ⇒ x ≤ z 2) ( E , ≤) gọi dàn cặp ( x, y ) tồn sup ( x, y ) inf ( x, y ) 3) Không gian tuyến tính thực E với quan hệ thứ tự " ≤ " E thỏa i) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀z ∈ E ii) x ≤ y ⇒ tx ≤ ty ∀t > gọi khơng gian tuyến tính có thứ tự 4) Khơng gian tuyến tính có thứ tự E mà ( E , ≤) dàn gọi khơng gian Riesz hay dàn tuyến tính Khi ta định nghĩa = x x + + x − với x + = sup{x ,0} , = x − sup{− x ,0} 5) Nếu xn dãy giảm inf { xn } = x ta ký hiệu xn ↓ x 6) Không gian Riesz E Archimedean x ↓ cho x ∈ E+ n E+ = { x ∈ E : x ≥ 0} nón dương E 7) Không gian Riesz E đầy đủ theo thứ tự tập khác trống E bị chặn có sup (tương đương với tập khác trống E bị chặn có inf) Khơng gian Riesz đầy đủ có thứ tự Archimedean 3.1.2 Định nghĩa Cho E không gian Riesz Dãy {bn }n E gọi hội tụ theo thứ tự o (hay o – hội tụ) đến b, ta viết bn  → b tồn dãy {an }n E thỏa an ↓ bn − b ≤ an ∀n ∈  25 3.1.3 Định nghĩa Cho E, F hai không gian Riesz f : E → F o Hàm f gọi liên tục theo thứ tự (hay o-liên tục) Nếu bn  → b E o f (bn )  → f (b) F 3.1.4 Định nghĩa 1) Cho E không gian Riesz Dãy {bn }n E dãy Cauchy theo thứ tự (hay o – Cauchy) tồn dãy {an }n E cho an ↓ bn − bn + p ≤ an * ∀n ∈  p ∈  2) Không gian Riesz E gọi o-đầy đủ dãy o - Cauchy o - hội tụ 3.1.5 Định nghĩa Cho X ≠ ∅ , E khơng gian Riesz, hàm d : X × X → E gọi E-metric a) d ( x, y ) = ⇔ x = y b) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( y, z ) ∀x, y, z ∈ X Bộ ba ( X , d , E ) gọi E-không gian metric E-không gian metric tổng qt hóa khái niệm khơng gian metric 3.1.6 Định nghĩa Cho ( X , d , E ) E-không gian metric d ,E 1) Dãy { xn }n X E-hội tụ x ∈ E , ta viết xn → x , tồn dãy {an }n E cho an ↓ d ( xn , x ) ≤ an ∀n ∈  d ,E 2) Tập Y ⊂ X E-đóng { xn } ⊂ Y xn → x x ∈ Y 3) Cho X, Y hai E-không gian metric f : X → Y Hàm f E-liên tục d ,E d ,E xn → x f ( xn ) → f ( x) Y 3.1.7 Định nghĩa 1) Cho ( X , d , E ) E-không gian metric Dãy { xn } X gọi E-Cauchy tồn dãy {an }n E cho an ↓ d ( xn , xn + p ) ≤ an ∀n ∈  p ∈ * 26 2) E-không gian metric X gọi E-đầy đủ dãy E-Cauchy X E-hội tụ phần tử X 3.1.8 Bổ đề d ,E Cho ( X , d , E ) E-không gian metric Nếu xn → x thì: 1) Giới hạn x { } 2) Dãy xnk k { xn }n E-hội tụ x o d ,E → d ( x, y ) 3) Nếu yn → y d ( xn , yn )  3.1.9 Định nghĩa Cho ( X , d , E ) E-không gian metric A ⊂ X tập khác trống, = δ ( A) sup {d ( x, y ) : x, y ∈ A} gọi E-đường kính X sup {d ( x, y ) : x, y ∈ A} nằm E Nếu ∃ a > 0, a ∈ E : d ( x, y ) ≤ a ∀x, y ∈ A A gọi tập E-bị chặn 3.2 Các định lý điểm bất động E-không gian Trong phần đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ ϕ − co E-không gian metric cách sử dụng cấu trúc dàn mối quan hệ thứ tự không gian Riesz E 3.2.1 Định nghĩa 1) Cho ( X , d , E ) E-không gian metric ϕ : E+ → E+ toán tử tăng, o → ∀t > ϕ (t ) < t ϕ n (t )  Ta nói T : X → X ánh xạ phi tuyến ϕ − co d (Tx, Ty ) ≤ ϕ[d ( x, y )] ∀x, y ∈ X 2) Toán tử ϕ : E+ → E+ thỏa mãn tính chất nêu gọi hàm o-so sánh 3.2.2 Định lý Cho ( X , d , E ) E-không gian metric đầy đủ giả sử T : X → X ánh xạ phi tuyến ϕ − co Khi d ,E i) T có điểm bất động z ∈ X với x ∈ X tùy ý, T n ( x) → z ii) d ( z, T n ( x)) ≤ ϕ n [d ( z, x)] ∀n ∈  27 Chứng minh Xét x ∈ X tùy ý Bằng quy nạp, ta có: d (T n ( x), T n + p ( x) ≤ ϕ d (T n −1 ( x), T n + p −1 ( x)) ≤ ≤ ϕ n d ( x, T p ( x)) với n ∈ , p ∈ * o Vì ϕ n (d ( x, T p ( x)))  → n → ∞ nên tồn (η n ) E cho η n ↓ ϕ n (d ( x, T p ( x))) ≤ ηn ∀n ∈  Do d (T n ( x), T n + p ( x)) ≤ ηn ∀n ∈ , p ∈ * Cho n → ∞ , ta có dãy {T n ( x)} E-Cauchy X d ,E Vì X E-đầy đủ nên tồn z ∈ X cho với x ∈ X , T n ( x) → z Do tồn dãy {ε n }n E ε n ↓ d (T n ( x), z ) ≤ ε n ∀n ∈  Ta có d ( z , Tz ) ≤ d ( z , T n +1 ( x)) + d (T n +1 ( x), Tz ) ≤ ε n +1 + ϕ[d (T n ( x), z )] ≤ ε n +1 + ϕ ( ε n ) ≤ 2ε n ↓ n → ∞ Do z điểm bất động T X Chứng minh Giả sử y ∈ X điểm bất động T y ≠ z d ( y, z ) =d (Ty, Tz ) ≤ ϕ[d ( y, z )] < d ( y, z ) Ta gặp mâu thuẫn Cuối cùng, ∀n ∈  , ta có: = d ( z , T n ( x)) d (T n ( z ), T n ( x)) ≤ ϕ n [d ( x, z )] Định lý chứng minh 3.2.3 Định lý Cho ( X , d , E ) E-không gian metric đầy đủ, x0 ∈ X , r ∈ E Giả sử T: + B( x0 , r ) → X toán tử tồn toán tử tăng ϕ :[o, r ] → [o, r ] ⊂ E+ cho ϕ n (t )  → ∀t ∈ (o, r ] , d (Tx, Ty ) ≤ ϕ[d ( x, y )] d ( x, y ) ≤ r ∀x, y ∈ B( x0 , r ) Giả sử d ( x0 , Tx0 ) ≤ r − ϕ (r ) Khi đó: d ,E i) T có điểm bất động z ∈ B( x0 , r ) ∀x ∈ B( x0 , r ) ta có T n ( x) → z ii) d ( z , T n ( x)) ≤ ϕ n (r ) ∀n ∈  28 Chứng minh ( ) Ta chứng minh T B( x0 , r ) ⊂ B( x0 , r ) Lấy x ∈ B( x0 , r ) , ta có d ( xo , Tx ) ≤ d ( xo , Txo ) + d (Txo , Tx ) r ≤ r − ϕ (r ) + ϕ  d ( xo , x ) ≤ r − ϕ (r ) + ϕ (r ) = Vậy Tx ∈ B( x0 , r ) Do T : B( x0 , r ) → B( x0 , r ) X E-đầy đủ Theo định lý 3.2.2, ta có tồn d ,E điểm bất động z ∈ B( x0 , r ) ∀x ∈ B( x0 , r ) , T n ( x) → z ∀n ∈  , ta có: d ( z , T n= ( y0 ) d (T n ( z ), T n ( y0 ) ≤ ϕ n d ( z , x) ≤ ϕ n (r ) Định lý chứng minh 3.3 Định lý Krasnoselskii E-không gian Banach 3.3.1 Định nghĩa Cho ( X , d , E ) E-không gian metric 1) Tập A ⊂ X gọi E-mở ∀x ∈ A, ∃ r > 0: B(x,r) ⊂ A B(x,r) = { y ∈ X : d ( x , y ) < r} 2) Tập C ⊂ X gọi E-compact với E-phủ mở C có phủ hữu hạn 3) Tập C ⊂ X gọi E- compact theo dãy dãy phần tử {xn }n ⊂ C lấy dãy {xn }k E hội tụ phần tử thuộc C k 4) Tập C ⊂ X gọi E-bị chặn hoàn toàn với ε ∈ E+ , ε > tồn n số hữu hạn phần tử x1 , x2 , , xn X cho C ⊂  B( xi , ε ) i =1 Tập { x1 , x2 , , xn } gọi ε –lưới hữu hạn 5) Tập C ⊂ X không gian tôpô gọi E-compact tương đối bao đóng C E-compact 29 6) Tập C ⊂ X gọi E - compact tương đối theo dãy dãy C chứa dãy E - hội tụ (giới hạn không thiết phần tử thuộc C) hay C E-dãy compact 3.3.2 Mệnh đề Nếu C tập E ta có: (i) E-compact ⇔ E-compact theo dãy ⇔ E-đóng bị chặn hồn tồn (ii) E-compact tương đối ⇔ E-compact tương đối theo dãy ⇔ E bị chặn hoàn toàn Nếu a, b hai phần tử E, tập { x | x = (1 − λ )a + λb, ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn thẳng nối a b Tập K ⊂ E gọi E-lồi cặp a, b ∈ K , đoạn thẳng nối a b nằm K Với tập A ⊂ E , giao tất tập E-lồi chứa A gọi bao lồi A, kí hiệu co (A) 3.3.3 Định nghĩa 1) Cho X không gian tuyến tính, E khơng gian Riesz Khi E-chuẩn X hàm : X → E thỏa tính chất sau: (a) x ≥ ∀x ∈ X (b) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X ( X , , E ) gọi E-không gian định chuẩn Nếu E-chuẩn X hàm d : X × X → E , d ( x, y ) = x − y Emetric X d gọi E-metric sinh E-chuẩn 2) E-không gian định chuẩn ( X , , E ) gọi E-không gian Banach dãy E-Cauchy X E-hội tụ 3.3.4 Định nghĩa: Cho X,Y hai E-không gian định chuẩn, K ⊂ X , f : K → Y tốn tử Khi ta nói: 30 (i) f E-compact với tập E-bị chặn A ⊂ K ta có f ( A) Ecompact tương đối hay f ( A) E-compact (ii) f E-hoàn toàn liên tục f E-liên tục E-compact Đối với E - khơng gian Banach ta có định lý tương tự định lý Schauder sau 3.3.5 Định lý Cho ( X , , E ) E-không gian Banach với E đầy đủ theo thứ tự, Y ⊂ X tập E-đóng, E-bị chặn E-lồi f : Y → Y toán tử với f (Y ) tập E-compact tương đối Khi f có điểm bất động Y 3.3.6 Định lý Cho ( X , , E ) E-không gian Banach đầy đủ theo thứ tự Y tập khác rỗng, E-bị chặn, E-lồi, E-đóng X Giả sử toán tử f , g:Y → X thỏa: (i) f ánh xạ ϕ − co phi tuyến ψ : E+ → E+ xác định ψ (t ) = t − ϕ (t ) thỏa Nếu {ψ (tn )} ↓ n → +∞ (tn ) ↓ n → +∞ (ii) g E-liên tục (iii) g (Y ) E-compact tương đối f ( x) + g ( y ) ∈ Y với x, y ∈ Y Khi f + g có điểm bất động Y Chứng minh *Ta chứng minh với x ∈ Y tùy ý, u x : Y → Y , u x ( y ) = f ( y ) + g ( x) ánh xạ phi tuyến ϕ − co Ta có: u x ( y1 ) − u x (y ) = f ( y1 ) − f ( y2 ) ≤ ϕ ( y1 − y2 ) ∀y1 , y2 ∈ Y Do u x ánh xạ phi tuyến ϕ − co với x + Y Theo định lý 3.2.2 với x ∈ Y , tồn y*x ∈ Y cho f ( y*x ) + g ( x) = y*x Ta định nghĩa c : Y → Y , c( x) = c( x) f [c( x)] + g ( x) ∀x ∈ Y = y*x Như * Ta chứng minh c E-liên tục 31 ,E →x Lấy { xn } dãy Y cho xn   Khi tồn {ε n } E cho ε n ↓ xn − x ≤ ε n ∀n ∈  Vì f ánh xạ phi tuyến ϕ − co , ta có ϕ tăng nên f ( xn ) − f ( x) ≤ ϕ ( xn − x ) ≤ ϕ (ε n ) ≤ ε n ↓ ,E → f ( x) n → ∞ Do f ( xn )   Vậy f E-liên tục ,E → x , tồn {an } E Vì g E-liên tục, với dãy { xn } Y: xn   cho an ↓ g ( xn ) − g ( x) ≤ an ∀n ∈  Ta có: c( xn ) − c( x= ) f [c( xn )] + g ( xn ) − f [c( x)] − g ( x) ≤ f [c( xn )] − f [c( x)] + g ( xn ) − g ( x) ≤ ϕ ( c( xn ) − c( x) ) + g ( xn ) − g ( x) Do ψ ( c( xn ) − c( x) ) ≤ g ( xn ) − g ( x) ≤ an ↓ n → +∞ Từ tính chất ψ , ta có c( xn ) − c( x ) ↓ n → +∞ (*) Vì g (Y ) E-compact tương đối nên g (Y ) E-bị chặn hoàn toàn với = Z r ∈ E+ , r > , tồn { x1 , , xn } ⊂ Y cho g (Y ) ⊂ { z1 , , zn } + B (O,ψ= (r )) { g ( x ), , g ( x )} + B(O,ψ (r )) , n = zi g ( xi ),= ∀i 1, n Từ (*) ta có c(Y ) ⊂ {c( x1 ), , c( xn )} + B(o, r ) Do c(Y ) E-bị chặn hồn tồn Vì X không gian vectơ Banach nên c(Y ) E-compact tương đối Áp dụng định lý 3.3.5 tồn x* ∈ Y cho c( x* ) = x* hay f ( x* ) + g ( x* ) = x* Định lý chứng minh 32 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày định lý Krasnoselskii khơng gian nón định chuẩn, khơng gian nón – định chuẩn phi Archimed, E – không gian; ứng dụng phương trình hàm Qua q trình làm luận văn, tơi thấy phần mối liên hệ lý thuyết ứng dụng học phần giải tích Tơpơ, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Vì khả thời gian hạn chế nên tơi chưa tìm nhiều ứng dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii lĩnh vực giải tích Tơi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài thời gian tới 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Hữu Khánh, Võ Viết Trí, Fixed point theorems via cone – norms and cone – valued measure of non compactness Fixed point Theory( nhân đăng) Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh, Fixed point theorems and the Ulam – Hyers stability in non – Archimedean cone - metric spaces J Math Anal Appl, 414( 2014), 10-20 I.R Petre, Fixed point for ϕ - contractions in E – Banach spaces Fixed point theory, 13(20) No2, 623-640 P Zabreiko, K- metric and K – normed linear spaces: survey Collect Math 48,4-6(1997), 825-859 ... Chương trình bày định Krasnoselskii khơng gian nón định chuẩn phi Archimed Chương trình bày định Krasnoselskii E - không gian 3 Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHƠNG GIAN NĨN ĐỊNH... điều kiện bất biến miền xác định Hướng mở rộng thứ hai mở rộng không gian thay không gian định chuẩn không gian lồi địa phương khơng gian nón - định chuẩn Khơng gian nón – mêtric nón – định chuẩn... 3.2 Các định lý điểm bất động E -không gian Trong phần đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ ϕ − co E -không gian metric cách sử dụng cấu trúc dàn mối quan hệ thứ tự không gian Riesz E 3.2.1 Định nghĩa