Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp 2

L ỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy hướng dẫn nhiệt tình truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm trình học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo nhà trường thầy, giáo giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Đỗ Thị Hương LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Đỗ Thị Hương Mục lục Mở đầu Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1 Định lý điểm bất động Brouwer 1.2 Định lý điểm bất động Schauder 13 1.3 Định lý điểm bất động Leray-Schauder 14 1.3.1 Dạng đặc biệt 14 1.3.2 Dạng tổng quát .15 Chương ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI 18 2.1 Bài tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 18 2.1.1 Phát biểu toán 18 2.1.2 Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange 19 2.1.3 Ví dụ 2: Phương trình mặt cực tiểu 21 2.2 Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 21 2.2.1 ỏnh giỏ tiờn nghim Hoălder i với nghiệm toán Dirichlet đạo hàm cấp 21 2.2.2 Áp dụng dạng đặc biệt định lý Leray-Schauder 25 2.2.3 Áp dụng Định lý Leray-Schauder dạng tổng quát 30 Tài liệu tham khảo 42 BẢNG KÝ HIỆU Rnn R + ∂S S¯ C0(Ω) C 0(Ω¯ ) Ck(Ω) C k (Ω¯ ) k không gian Euclidnn-chiều nửa không gian R = {x ∈ n |xn > 0} R tập điểm biên tập S bao đóng S, S¯ = ∂S ∪ S tập hàm liên tục Ω tập hàm liên tục Ω¯ tập hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k Ω (k ≥ 0, k ∈ Z k = ∞) tập tất hàm C k (Ω) có đạo hàm đến cấp ≤ liên tục Ω¯ tập hàm k (Ω) (Ω) có giá compact Ω C0 k C BR(x0) hình cầu tâm x0 bán kính R Rn C(∗, , ∗) số C phụ thuộc vào đại lượng bên dấu ngoặc đơn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động lý thuyết quan trọng ngành giải tích, với nhiều thành tựu mà bật nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) Schauder (1930) Nguyên lý điểm bất động Brouwer Brouwer chứng minh dựa lý thuyết bậc tôpô ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều Đây định lý xem thành tựu sớm tôpô đại số làm móng cho hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học, dẫn đến kết khác Định lý điểm bất động Schauder mở rộng nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (áp dụng cho không gian Banach) Các kết kinh điển mở rộng lớp ánh xạ không gian khác nhau, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tập hợp lại tên chung: lý thuyết điểm bất động Trong lý thuyết này, định lý tồn điểm bất động, người ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, phương pháp tìm điểm bất động ứng dụng chúng Mặt khác, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, định lý điểm bất động thường ứng dụng việc chứng minh tồn nghiệm toán, toán biên, toán Cauchy toán biên-giá trị ban đầu Các đánh giá tiên nghiệm nghiệm phương trình toán dùng để kiểm tra giả thiết định lý điểm bất động Một đánh giá tiên nghiệm đánh giá nghiệm u(x) thông qua hệ số, vế phải phương trình kiện toán, sở giả thiết nghiệm tồn Việc nghiên cứu định lý điểm bất động ứng dụng vấn đề có ý nghĩa quan trọng Trong luận văn chọn đề tài: “Các định lý điểm bất động ứng dụng vào phương trình elliptic tuyến tính cấp hai” Nội dung luận văn dựa chương 11 tài liệu [5] Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức định lý điểm bất động, sau nêu ứng dụng vào việc nghiên cứu tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ nội dung định lý điểm bất động ứng dụng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kết định lý điểm bất động, số ứng dụng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Cụ thể luận văn gồm chương: Chương 1: Một số định lý điểm bất động Chương 2: Ứng dụng Định lý Leray-Schauder vào phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tài liệu, sử dụng phương pháp Giải tích hàm, Phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu số định lý điểm bất động ứng dụng vào phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Những đóng góp đề tài Trình bày hệ thống vấn đề nghiên cứu Chi tiết hoá chứng minh tài liệu Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1 Định lý điểm bất động Brouwer Định lý điểm bất động Brouwer định lý quan trọng điểm bất động Nó khẳng định ánh xạ từ tập lồi đóng, bị chặn khơng gian hữu hạn chiều vào có điểm bất động Định lý điểm bất động xét khơng gian Rn Để chứng minh ta cần có bổ đề: Bổ đề 1.1 Cho f hàm véc tơ cột khả vi vô hạn n+1 biến (x0, , xn) với giá trị thuộc Rn Kí hiệu Di đạo hàm riêng định thức n cột fx0 , , fxi−1 , fxi+1 , , fxn Khi đó: n ∂ i (−1) Di = ∂xi (1.1) i=0 Chứng minh Với ∀ (i, j) ∈ N, ≤ i, j ≤ n, i ƒ= j, ký hiệu Cij định thức mà cột đầu fxixj cột lại fx0 , , fxn xếp theo thứ tự tăng dần fxi , fxj bị bỏ qua liệt kê Rõ ràng Cij = Cji, phép lấy vi phân cột định thức hốn vị cho nên ta có: ∂ Di = ∂xi j (−1) Cij + ji n Hơn i=0 = i+j (−1) Cij Cij σ (i, j) , (2.18) ||u||C 1,β (Ω¯ ) < M Khi tốn Dirichlet Qu = Ω, u = ϕ ∂Ω giải 2,α ¯ C Ω Định lý 2.10 đưa tính giải tốn Dirichlet Qu = Ω, u = ϕ ∂Ω đánh giá (2.18) không gian C 1,β Ω¯ , với β > nghiệm liên quan đến họ tốn Thơng thường đánh giá (2.18) tiến hành theo bốn bước: Bước 1: Đánh giá sup |u| Ω Bước 2: Đánh giá sup |Du| qua sup |u| Ω ∂Ω Bước 3: Đánh giá sup |Du| qua sup |Du| sup |u| Ω ∂Ω Ω Bước 4: Đánh giá [Du]β;Ω với β > qua sup |Du|, sup |u| Ω Ω Dưới trình bày cách tiến hành đánh giá bước số lớp phương trình 2.2.3.2 Bước 1: Đánh giá sup |u| Ω Để đánh giá sup |u| ta sử dụng nguyên lý so sánh nguyên lý Ω cực đại phương trình tuyến tính ([5]) Định lý 2.11 (Nguyên lý so sánh) Cho phương trình Qu = aij (x, Du) Diju + b (x, u, Du) = 0, x ∈ Ω với aij, b hàm trơn Ω × R × Rn cho Q elliptic đều, aij (x, p) không phụ thuộc vào z, ¯ ∩ C (Ω) ∂ ≤ Nếu u, v ∈ C Ω ∂b z cho Qu ≥ Qv Ω, u ≤ v ∂Ω, u ≤ v Ω 34 Chứng minh Ta có Qu − Qv = aij (x, Du) Dij (u − v) + aij (x, Du) − aij (x, Dv) Dijv + b (x, u, Du) − b (x, v, Dv) ¸ = aij (x, Du) Dij (u − v) + k aij (x, Dwt) Dijvdt.Dk (u − v) Dp + ¸ Dpk b(x, wt, Dwt)dt.Dk (u − v) + ¸ Dzb (x, wt, Dwt) dt.(u − v) ≥ với wt = (1 − t) u (x)+tv (x) 1thì u−v nghiệm phương trình elliptic tuyến tính với u − v ≤ ∂Ω Do nguyên lý cực đại ta có u − v ≤ Ω Định lý 2.12 (Nguyên lý cực đại) Cho Qu = aij (x, u, Du) Diju + b (x, u, Du) Ω với aij b hàm trơn Ω × R × Rn, Q elliptic Ω giả sử tồn số µ1, µ2 > cho µ1 |p| + µ2 b (x, z, p) ≤ , signz aij (x, z, |p| p) pipj (2.19) với ∀ (x, z, p) ∈ Ω × R × Rn Nếu u ∈ C Ω¯ ∩ C (Ω) thoả mãn Qu ≥ Ω, ta có sup u (|u|) ≤ sup u+ (|u|) + C (µ1, diam Ω) µ2 Ω Chứng minh Cho u ∈ C Ω định nghĩa toán tử Q¯ ∂Ω Ω¯ (2.20) ∩ C (Ω) thoả mãn Qu ≥ 35 Q¯ v = aij (x, u, Dv) Dij v + b(x, u, Dv) ta lựa chọn so sánh hàm v v = sup u+ + (eαd − eαx1 ) sup Ω ∂Ω |f− | λ Với µ2 > 0, ta có tập v(x) = sup u+ + µ2(eαd − eαx1 ), ∂Ω < x1 < d α ≥ µ1 + Q¯ v = −µ2 α2 a11 (x, u, Dv) eαx1 + b (x, u, Dv) e−αx1 ≤− µ o (x, u, Dv) − µ2 α e−αx1 < ≤ Q¯ u − α2 Theo Định lý 2.11 ta có u ≤ v Ω Do hệ nguyên lý so sánh, nghiệm nguyên lý cực đại Qu = Ω, u = ϕ ∂Ω miễn giả thiết Nguyên lý so sánh thoả mãn Ví dụ, nghiệm tốn Dirichlet Di Ai (Du) = Ω, u = ϕ ∂Ω Ngoài ra, sử dụng định lý so sánh ta cận sup |u| Từ Định lý 2.11 nguyên Ω lý cực đại ta thu cận sup |u| phương trình Ω Qu = Di(Ai(Du)) = Ω, u = σϕ ∂Ω với σ ∈ [0, 1] sup |u| = sup |u| Ω 2.2.3.3 ∂Ω Bước 2: Đánh giá sup |Du| ∂Ω Cho ξ ∈ ∂Ω N ⊂ Rn lân cận mở ξ giả sử có hàm cản địa 36 phương w+ , w− ∈ C (N ∩ Ω) ∩ C N ∩ Ω¯ cho i) Qw− > > Qw+ N ∩ Ω, ii) w± (ξ) = u (ξ), iii) w− (x) ≤ u (x) ≤ w+ (x), x ∈ ∂(N ∩ Ω) Theo nguyên lý so sánh ta có w− (x) ≤ u (x) ≤ w+ (x) với ∀x ∈ N ∩ Ω Khi w− (x) − w− (ξ) |x − ξ| ≤ u (x) − u (ξ) |x − ξ| ≤ w+ (x) − w+ (ξ) |x − ξ| N ∩ Ω, Dτ u (ξ) = Dτ ϕ (ξ) với véc tơ τ ∈ Rn tiếp xúc với ∂Ω ∂w− (ξ) ∂ν ≤ ∂u ∂ν (ξ) ≤ ∂w+ (ξ) ∂ν Khi tồn hàm cản địa phương có sup |Du| Sự tồn ∂Ω hàm cản địa phương phụ thuộc vào điều kiện Q hình học Ω Xét phương trình i Qu = D A (Du) = i Ω u = σϕ ∂Ω, với σ ∈ [0, 1] Nếu Ω miền bị chặn C , ϕ ∈ C Ω¯ ∂Ω lồi với ξ ∈ ∂Ω ta tìm thấy m±ặt phẳng đồ thị Π , hàm afin cho Π ± ξ ξ − + 37 (i) Π ≤ ϕ ≤ Π ∂Ω, (ii) sup DΠ± ≤ K với số K > ξ ξ∈∂Ω ij Thì a (Du) Dij Π± ξ = Ω, với Π+ ξ Π− ξ hàm cản ξ ∈ ∂Ω 37 Khi ta có sup |Du| ≤ σK ≤ K ∂Ω Định lý 2.13 Cho u ∈ C (Ω) ∩ C Ω¯ thoả mãn Qu = aij (x, u, Du) Diju + b (x, u, Du) = Ω u = ϕ ∂Ω Giả sử Ω thoả mãn điều kiện hình cầu ngồi ϕ ∈ C Ω¯ giả sử giữ nguyên điều kiện Λ (x, z, p) |p| + |b (x, z, p)| ≤ µ (|z|) aij (x, z, p) pipj sup |Du| ≤ C, ∂Ω C = C(n, M, µ(M ), φ, δ), M = sup |u| , φ = |ϕ|2;Ω δ giả thiết Ω bán kính hình cầu 2.2.3.4 Bước 3: Đánh giá sup |Du| Ω sup |Du| phụ thuộc vào điều kiện Q Ω Xét phương trình: Qu = Di Ai (Du) = (2.21) Ω u = σϕ ∂Ω, với σ ∈ [0, 1] Hoặc aij (Du) Diju = (2.22) Ω, với aij (p) hàm trơn Do tính quy elliptic, u ∈ C ∞ (Ω) Ứng dụng Dk vào (2.22) nhân với Dku với k = 1, 2, ta có aij (Du) DkuDijku + Dplaij (Du) DijuDkuDklu = Ω Cho v = |Du| ta có n k=1 n 2DkuDijku = Dijv − k=1 2DikuDjku (2.23) 38 Từ (2.23) ta có aij (Du) Dijv − 2aij (Du) DikuDjku + Dplaij (x, u, Du) DijuDplv = Ω Do aij (Du) DikuDjku ≥ tính elliptic, aij (Du) Dijv + Dplaij (Du) DijuDplv ≥ Ω Do nguyên lý cực đại ta có sup v = sup v Ω ∂Ω Nghĩa ta có sup |Du| = sup |Du| Ω ∂Ω Định lý 2.14 Cho u ∈ C (Ω) ∩ C Ω¯ thoả mãn Qu = aij (x, u, Du) Diju + b (x, u, Du) = Ω Giả sử aij không phụ thuộc (x, z) thoả mãn điều kiện b (x, z, p) |p| Dzb (x, z, p) + p kDx ta có đánh giá k trace (aij ) sup |Du| = sup |Du| Ω 2.2.3.5 b (x, z, p) ≤ ∂Ω Bước 4: Đánh giá [Du]β;Ω Xét phương trình Qu = Di(Ai(Du)) = Ω, tương đương ¸A i (Du) D ξ = 0, ∀ξ ∈ C (Ω) i (2.24) Ω u = σϕ ∂Ω với σ ∈ [0, 1] Thay ξ Dkξ lấy tích phân phần biểu thức (2.24) ta Ai (Du) ¸D ωD ξ = 0, ∀ξ ∈ C (Ω) D pj j i Ω ω = Dku Theo Định lý DeGiorgi-Nash có [ω]β;Ω′ ≤ sup |ω| + |ϕ|2;Ω , Ω C nghĩa [Du]β;Ω′ ≤ C sup |Du| + |ϕ|2;Ω Ω ′ với ⊂⊂ Ω, β ∈ (0, 1) C > phụ thuộc vào n, ′ Ω sup |DpA| / inf λ với K = |u| , Ω 1;Ω |p| |p| Ω ≤K ≤K Để nhận đánh giá toàn cục ta xét dạng tổng quát (2.24) ¸A i (x, Du) D ξ = 0, ∀ξ ∈ C (Ω) i (2.25) Ω Giả sử u = ∂Ω Ω ∩ BR (ξ) = {xn > 0} ∩ BR (ξ) với R > gần ξ ∈ ∂Ω Thay ξ Dkξ lấy tích phân phần biểu thức (2.25) ta có Ai (x, Du) ωD ξ = ¸D D f i (x) D ξ, ∀ξ ∈ C (Ω) ¸ pj j Ω ω = Dku f i = −Dx i i k Ai (x, Du) Do ỏnh giỏ Hoălder ta có [Dku]β;Ω′ ≤ C sup |Du| Ω với k = 1, , n − C > phụ thuộc vào n, sup |DA| / inf λ, với |p|≤K K = |u|1;Ω Cho ξ = η2 (ω − ω (ξ)) với ω = Dku, k = 1, , n − ta có |p| ≤K ¸ η Dp j Ω i A (x, Du) Dj ωD ω = − i ¸ Ω Dp j i η (ω − ω (ξ)) A (x, Du) Dj ωDiη ¸ + Diη 40 f i (x) η2Diω + 2η (ω − ω (ξ)) Ω Do tính elliptic bất đẳng thức Cauchy có ¸η Ω |Dω| ≤ C ¸ η 2 + |Dη| (ω − ω (ξ)) Ω với C > phụ thuộc vào n, sup |DA| / inf λ, K = |u|1;Ω |p|≤K |p| ≤K Chọn hàm η với ≤ η ≤ Với η = BR/2 (ξ) |Dη| ≤ 6/R ¸ 2 |Dω| ≤ CRn(1 + R−2 |ω − ω (ξ)| ) ≤ CRn−2+2β sup BR/2(ξ) BR(ξ) Với C > phụ thuộc vào n, sup |DA| / inf λ, K = |u|1;Ω có |p|≤K |p| ≤K ¸ |Dij u|2 ≤ CRn−2+2β BR/2(ξ) Do đánh giá Morrey với ω = Dnu có ¸ |Dω| ≤ CRn−2+2β BR/2(y) Với y ∈ Ω R > , C > Theo đánh giá Hoălder ta cú []; C hay [Dnu]; C Định lý 2.15 Cho u ∈ C Ω¯ thoả mãn Qu = aij (x, u, Du) Diju + b (x, u, Du) = 41 Ω u = ϕ ∂Ω, Q elliptic hệ số ¯ Ω ij n n ¯ ¯ a ∈ C Ω × R × R , b ∈ C Ω × R × R Khi ∂Ω ∈ C 2, ϕ ∈ C Ω¯ với u = ϕ ∂Ω Ta có đánh giá: [Du]β;Ω ≤ C, với β ∈ (0, 1) C > phụ thuộc vào n, K = |u|1;Ω , sup |b| / |z|+|p|≤K |ϕ|2;Ω Ω inf |z|+|p|≤K λ, KẾT LUẬN Luận văn trình bày vài định lý điểm bất động ứng dụng chúng vào việc nghiên cứu tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Cụ thể: Trong chương nghiên cứu số định lý điểm bất động điểm bất động Brouwer, điểm bất động Schauder, điểm bất động Leray- Schauder Trong chương việc áp dụng định lý điểm bất động nêu việc chứng minh tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai đưa tới đánh giá tiên nghiệm toán C1,β (Ω) Tác giả mong đề tài có đóng góp đáng kể, hữu ích việc áp dụng để giải số tốn có sử dụng công cụ lý thuyết điểm bất động Do thời gian khả hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý thầy, cô giáo bạn Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thừa Hợp (2004), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2007), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Đỗ Hồng Tân (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [B] Tiếng Anh [5] D Gilbarg, N S Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [6] R.Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narosa Publishing House, New Delhi [7] J Jost (2002), Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York ... sáng tỏ nội dung định lý điểm bất động ứng dụng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kết định lý điểm bất động, số ứng dụng cho phương trình elliptic tuyến. .. Chi tiết hoá chứng minh tài liệu Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1 Định lý điểm bất động Brouwer Định lý điểm bất động Brouwer định lý quan trọng điểm bất động Nó khẳng định ánh xạ từ tập... Việc nghiên cứu định lý điểm bất động ứng dụng vấn đề có ý nghĩa quan trọng Trong luận văn chọn đề tài: Các định lý điểm bất động ứng dụng vào phương trình elliptic tuyến tính cấp hai” Nội dung