Định lý điểm bất động và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu em hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc thầy Bùi Kiên Cường Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy, cô giáo khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vì em xin khẳng định nội dung đề tài: “Định lí điểm bất động số ứng dụng” khơng có trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên ĐINH THỊ NHÂM SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy, giáo tổ Giải tích, thầy khoa Tốn, thầy giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Kiên Cường – người tận tình giúp đỡ em trình hồn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế, cố gắng chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên ĐINH THỊ NHÂM MỤC LỤC Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Không gian L a, b 12 1.4 Tốn tử tích phân 16 Chương 2: Định lí điểm bất động số ứng dụng .24 Định lí Banach ánh xạ co 24 Ứng dụng định lí Banach ánh xạ co 31 2.1 Ứng dụng việc giải phương trình giá trị thực 31 2.2 Ứng dụng việc giải phương trình ma trận 32 2.3 Ứng dụng việc giải phương trình tích phân 36 2.4 Ứng dụng việc giải phương trình vi phân 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết điểm bất động phần quan trọng giải tích hàm phi tuyến - mơn tốn học vừa mang tính lí thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ngay từ đầu kỉ 20, nhà toán học giới quan tâm đến vấn đề khẳng định lí thuyết điểm bất động phát triển sâu rộng, trở thành công cụ khơng thể thiếu để giải nhiều tốn khác thực tế đặt Nói đến lí thuyết điểm bất động không nhắc đến định lí điểm bất động Vậy, nội dung định lí nào? Định lí có ứng dụng tốn học, cụ thể việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân giải phương trình vi phân? Đó lí em chọn đề tài: “Định lí điểm bất động số ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu định lí điểm bất động Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm bất động việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân giải phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Tốn Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lí điểm bất động số ứng dụng CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X   với ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực thỏa mãn tiên đề sau đây: i d (x, y) 0  x  y x, yX ii d (x, y)  d ( y, x)x, y X iii d (x, y)  d (x, z)  d (z, y)x, y, z X Ánh xạ d gọi metric X , số d  x, y  gọi khoảng cách phần tử x y Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ x   x1, x2 , , xk  , y   y1, y2 , , yk  thuộc không gian □ k  k □   ta đặt: k d  x, y    x –jj y 2 (1.1.1) j 1 Khi hệ thức (1.1.1) xác định metric □ k , dễ dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (i), (ii) metric Để kiểm tra hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) metric trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski: Với 2k số thực a j ,b j  j  1, 2, , k  , ta có: k k  j 1 a jb j  k  a 2j  j 1 j 1 b2j (1.1.2) Thật vậy: k  k 0  ab  ab   i j 2   j k k  k 2 a b  i k  aba b  i i j j k k a 2b  j i i    i j  j  i 1j   k  k k    i 1j   i 1j  2  a j   b j  2  a b  j j      j 1 j 1 j 1     Từ suy bất đẳng thức (1.1.2) Với ba vectơ x   x1, x2 , , xk  , y   y1, y2 , , yk  , z   z1, z2 , , z3 thuộc □ k ta có:  d  x, y  y x  k  j  k    x  j j 1 j j 1 k   zz   z   y 2  x j j   k z x   z  j j j 1 j j j j   y   k  j  zy j j j 1 j 1 d 2  x, z   x k  2z  j j1 j  z k   y 2 d  z, y  j j j 1  d  x, z   2d  x, z  d  z, y   d  z, y    d  x, z   d  z, y    d  x, y   d  x, z   d  z, y  Do hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) metric Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M  X , d , dãy điểm    xn   X , điểm xo  X Dãy điểm  xn  gọi hội tụ tới điểm xo  không gian M n   ,   0 no  □    n  n  d  x , o n xo    Kí hiệu: lim  xn   xo hay xn  xo  n    n Điểm x gọi giới hạn dãy x  n không gian M o  Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ dãy điểm  xn không gian □  hội tụ dãy số thực biết giải tích tốn học Định nghĩa 1.1.3 Cho khơng gian metric M  X , d Dãy điểm    xn   X gọi dãy M m, n  no  d  xm , xn    hay   0  no □   lim d  xm , xn   m,n Dễ thấy dãy điểm  xn   X hội tụ M dãy Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric M X , d  gọi không gian metric đủ dãy không gian dãy hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M   X , d  Tập hợp K chứa X gọi tập hợp compact không gian M dãy vô hạn phần tử tập hợp K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Khi K  X M gọi không gian compact Tập K gọi tập compact tương đối không gian M dãy vô hạn phần tử tập K chứa dãy hội tụ (tới phần tử thuộc X ) 1.2 Khơng gian Hilbert 1.2.1 Tích vơ hướng Định nghĩa 1.2.1 Cho khơng gian tuyến tính X trường P (P □ P □ ) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X X vào trường P , kí hiệu (.,.) thỏa mãn tiên đề: 1) ( y, x) (x, y)x, y X 2) (x  y, z) (x, z) ( y, z)x, y, z X 3) ( x, y)  (x, y)x, y X ; P 4) x X , (x, x)  , x  ( kí hiệu phần tử khơng) (x, x)  , x  Các phần tử x, y, z gọi phần tử tích vơ hướng Số (x, y) gọi tích vơ hướng hai nhân tử x y , tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng 1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz Định lí 1.2.1 (x, y X ) , ta có (x, y)  Đối với x X , ta đặt: x  (x, x) ( y, y) (x, x) Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa không gian Hilbert) Ta gọi tập hợp H  gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập hợp H thỏa mãn điều kiện: 1) H không gian tuyến tính trường P 2) H trang bị tích vơ hướng (.,.) 3) H không gian Banach với chuẩn x  (x, x), xH Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H 1.2.3 Phần bù trực giao, tập trực giao Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian Hilbert H , hai phần tử x, yH gọi trực giao với nhau, kí hiệu x  y , (x, y)  thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số Le : K  t, s, x  K  t, s, y   e x  y , x, y  □ Vì vậy, theo định lí 2.3.2, phương trình có nghiệm 0, 2 Có thể kiểm tra trực tiếp hàm số g  t    nghiệm phương trình cho t 2.4 Ứng dụng giải phương trình vi phân Trong phần ta áp dụng định lí 1.1 để chứng minh định lí Picard Định lí 2.4 (Định lí Picard) Cho f (x, y) hàm liên tục hai biến hình chữ nhật A (x, y)  a  x b,c  y  d thỏa mãn điều kiện Lipchitz thứ tự hai biến y Hơn cho (x0, y0 điểm A Khi phương trình vi phân ) dy  f (x, y) dx (2.4.1) Có nghiệm Nói cách khác y  g(x) qua điểm (x0, y0 ) Chứng minh Trước hết thấy vấn đề việc xác định nghiệm phương trình (2.4.1) tương đương với vấn đề tìm nghiệm phương trình tích phân Nếu y  g(x) thỏa mãn phương trình (2.4.1) có tính chất g(x0 )  y0 là: phương trình tích phân (2.4.1) từ x0 đến x , ta nhận x  g(x)  g(x0 )   f (t, g(t)dt  x0  x  g(x)  y0   f (t, g(t)dt x0 (2.4.2)    Do nghiệm phương trình (2.4.1) tương đương với nghiệm hệ phương trình (2.4.2) Để xác định nghiệm hệ phương trình (2.4.2) ta áp dụng định lí 1.1 Vì f (x, thỏa mãn điều kiện Lipchitz để hai biến y, y) tồn số q  cho f (x, y1)  f (x, y2 )  q y1  y2 Vì f (x, y) liên tục tập hợp compact A R2 bị chặn tồn số dương m cho f (x, y)  m (x, y)A Chọn số dương p cho pq 1 hình chữ nhật B (x, y)   p  x0  x  p  x0,  pm  y0  y  pm  y0 độc lập A Cho X tập hợp tất hàm giá trị thực liên tục y  g(x) xác định   p  x0 , p  x0  cho d (g(x), y0 )  mp X tập hợp đóng không gian metric C  x0  p, x0  với metric sup , p khơng gian metric đầy đủ Cho T : X  X xác định Tf  h , đó: x h(x)  y0   x0 f (t, g(t))dt x Vì d (h(x), y0 ) sup  x0 h(x)X f (t, g(t))dt  m(x  x0 ) mp , nên T hoàn toàn xác định Cho g, g1 X d (Tg,Tg1)  d (h, h1) x    f (t, g(t) f (t, g1(t))  dt  x0 x   sup f (t, g(t)) f (t, g(t)) dt x   sup x  q  g(t)  g1(t) dt x0  qpd (g, g1) Hay d (Tg,Tg1)  kd (g, g1) 0 k  pq 1 Do T ánh xạ co từ X vào nó, áp dụng định lí 1.1   T có điểm bất động g  X Điểm bất động g nghiệm phương trình (2.4.1) Mệnh đề 2.4: Giả sử a) Hàm số F :S  □ liên tục có đạo hàm riêng F : S  □ liên tục b) Đặt M  max F  x,u  L  max Fu  x,u  chọn số thực  x,u S  x,u S h trường hợp cho  h  r, hM  r hL  Khi đó, điều sau đúng: * i) Bài tốn ban đầu (2.4.3) có nghiệm dạng (2.4.3 ) ii) Đây nghiệm phương trình tích phân (2.4.4) iii) Dãy  un  tạo (2.4.5) hội tụ đến u không gian Banach X iv) Với n  0,1, , ta có đánh giá sai số un  u  k n 1  k  1 u – uo un1  u  k n 1  k  u 1 n1 – với k  hL u n Chứng minh Bước Định nghĩa toán tử qua x Au  x  uo   F  y,u  y   dy, xo  h  x  xo  h xo Khi phương trình (2.4.4) tương đương với tốn điểm bất động Au  u, u  M Với u  M , hàm số:  x,u  x   S, x  xo  h, xo  h Suy hàm số  xo  h, xo  hàm số h Au : xo  h, xo  h  A M   M 2) Au  Av u : xo  h, xo  h  □ F :x  F  x,u  x  liên tục liên tục  □ liên tục Vậy ta có tốn tử 1) * (2.4.4 ) A :M  X , ta chứng minh được:  k u  v , u, v  M , k 0,1 Thật vậy: 1) Với u  M bất kì, đó: x  F  y,u  y   dy  x với x  xo  h, xo  h x  xo max ( y,u)S F  y,u   hM  r max x  F  y,u  y  dy  r hay Au  uo  xo h x xo h x o Từ đó, suy Au  M 2) Theo định lí giá trị trung bình F  x,u   F  x,v  F  x, u  u  v  L u  v ,  x,u  , x, v  S Khi đó, u,v  M Ta có: max Au  Av  x   F  y,u  y    F  y, v  y    dy x h x x h o  hL max x oh x x h x u  y   v  y   k u  với k  hL  v Vậy giả thiết định lí điểm bất động Banach thỏa mãn áp * dụng định lí với phương trình (2.4.4 ) Bước Sự tương đương * Gọi u nghiệm phương trình (2.4.4 ) Lấy đạo hàm * (2.4.4 ), ta có hàm số u nghiệm toán giá trị ban đầu * (2.4.3) - (2.4.3 ) * Ngược lại, gọi u nghiệm (2.4.3) - (2.4.3 ) Tích phân (2.4.3) cho thấy hàm số u nghiệm phương trình tích phân (2.4.4) * Chứng tỏ hai toán (2.4.3) - (2.4.3 ) (2.4.4) tương đương Vậy mệnh đề chứng minh Ví dụ 2.4: Bài toán ban đầu u u '  F  x,u   x    x u     4 Có nghiệm tập S   x,u  □ : x  , u   1   4 Thật vậy, ta có hàm số: F:S □  x,u   x3  u hàm liên tục có đạo hàm riêng Fu  liên tục Đặt M  max F  x,u   1 64  16 64  x,u S L  max Fu x,u    x,u S 1 Theo giả thiết ta có: h  , r  Khi đó:  h  r, hM  r, hL  4 Do đó, mệnh đề (2.4) thỏa mãn nên tốn ln có nghiệm tập S Ta tìm nghiệm này, phương trình ban đầu có dạng: u ' u  x 1 Phương trình đặc trưng là:       4 Do    nên ta có: Tìm nghiệm riêng u*  x dạng: * u  x  Ax3  Bx2  Cx  D Thay vào phương trình ban đầu, ta có: 3Ax  2Bx  C  Ax  Bx  Cx  D Đồng hệ số, ta thu được:   x A  4, B  48, C  384, D  1536 Suy ra: u   x  4x  48x  384x 1536 Vì vậy, nghiệm phương trình là: u  C1 x e –4 x  48x  384x 1536 Do u  0   C1  1536 nên nghiệm là: u x 1536.e  4x  48x  384x 1536 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận: “Định lí điểm bất động số ứng dụng nó” Nội dung khóa luận đề cập đến là: Nêu lên khái niệm, ví dụ, định lí quan trọng không gian metric, không gian Hilbert Những kiến thức tốn tử tích phân khơng gian L2  a,b Nêu định lí điểm bất động số ứng dụng định lí điểm bất động vào tìm nghiệm phương trình, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân giải phương trình vi phân Tuy nhiên, thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đinh Thị Nhâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (1987), Giải tích hàm  Tập  Cơ sở lý thuyết, NXB Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lí điểm bất động, NXB Đại Học Sư Phạm Applied Functional Analysis, Siddiqui ... bất động số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu định lí điểm bất động Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm. .. khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lí điểm bất động số ứng dụng CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian... Định lí điểm bất động số ứng dụng .24 Định lí Banach ánh xạ co 24 Ứng dụng định lí Banach ánh xạ co 31 2.1 Ứng dụng việc giải phương trình giá trị thực 31 2.2 Ứng dụng việc giải phương