Một số ứng dụng của phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy khoa Tốn – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành đề tài luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn khoa Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Cao Thị Thanh Huệ LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Trần Văn Bằng với cố gắng thân em Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả ( nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em không trùng với kết tác giả khác.Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Cao Thị Thanh Huệ MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A Một số khái niệm Cấp phương trình vi phân Phương trình vi phân thường B Một số dạng phƣơng trình vi phân Phương trình tuyến tính Phương trình vi phân cấp 3 Phương trình cấp Phương trình vi phân tồn phần 5 Phương trình tuyến tính cấp 6 Phương trình tuyến tính với hệ số Phương trình khơng Phương pháp hệ số bất định Chƣơng ỨNG DỤNG A Một số ứng dụng vật lý Vận tốc thoát khỏi Trái Đất Vật thể rơi 11 Dao động lò xo 11 Dao động không tắt dần 13 Sự cộng hưởng 15 Dao động tắt dần 16 Con lắc đơn 18 Định luật Newton chuyển động hành tinh 19 Lực xuyên tâm định luật II Kepler 21 10 Định luật I Kepler 22 11 Định luật III Kepler 24 12 Bài toán quỹ đạo 26 B Một số ứng dụng hóa học kinh tế 33 Định luật làm lạnh Newton 33 Sự chuyển đổi hóa chất đơn giản 35 Tăng trưởng logictic giá hàng hóa 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI NÓI ĐẦU Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rự rỡ vào kỷ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Với đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt giải tích hàm tốn thực tế sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật, … giải nhanh gọn xác Ngành Giải tích tốn học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng riêng việc nghiên cứu ứng dụng Trong phương trình vi phân phần Giải tích Có thể nghiên cứu phần để thấy hay môn học thực tế mơn khoa học khác phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải tốn dao động lò xo, lắc đơn, định luật Newton… Xuất phát từ nhận thức long ham mê môn học, em mạnh dạn chọn đề tài: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN” để thực khố luận tốt nghiệp Khố luận bao gồm nội dung: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A MỘT SỐ KHÁI NIỆM Cấp phƣơng trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ phương trình cấp d y dy 3     y dx dx   Phƣơng trình vi phân thƣờng Phương trình F  x, y, y ', y n   0 gọi phương trình vi phân thường cấp n B MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng trình tuyến tính Một phương trình vi phân thường cấp n gọi tuyến tính viết dạng  d ny d nn y    b0 x  n b1 bn1 x   x dx dx dy  bn x y R x  dx Phƣơng trình vi phân cấp 2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp có dạng tổng qt F x, y, y '0 (2.1) hàm F xác định miền D R3 Hoặc từ (2.1) ta giải y '  f x, y  ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Ta viết phương trình vi phân giải đạo hàm dạng đối xứng M x, y  dx N x, y dy 0 2.2 Cách giải Ta dùng phương pháp tách biến - Đưa phương trình vi phân cấp dạng (2.2) Ax  dx B x  dy 0 A x  B y  hàm phụ thuộc x y - Tích phân hai vế phương trình (2.2) ta tích phân tổng quát (2.2) Ax  dx B y  dy C 2.3 Ví dụ 2y Giải phương trình 2x dx  Ta có tích phân tổng quát 1 x2  hay ln 1x Do dy 0 y dyC 2x dx y 1 1   y2 x2 ln 1y C , 1x 1y C '; 2 C 0 tích phân tổng qt phương trình C ' eC Phƣơng trình cấp 3.1 Định nghĩa Phương trình (3.1) M x, y dx N x, y dy 0 gọi phương trình M x, y  bậc N x, y hàm Cách giải - Đưa (3.1) dạng dy  y  g dx  x  0 - Đặt y vx , phương trình (3.2) trở thành dv v g x  v  0 dx (3.2) (3.3) - Giải (3.3) phương pháp tách biến Phƣơng trình vi phân tồn phần 4.1 Định nghĩa Phương trình M x, y dx N x, y dy 0 F x, gọi phương trình vi phân tồn phần tồn hàm y cho dF x, y M x, y dx N x, y  4.2 Cách giải x F Xác định M (4.1) khả vi Nhiệt độ vật thay đổi với tốc độ mà tỷ lệ với độ chênh nhiệt độ mơi trường bên ngồi nhiệt độ vật Giả sử số tỷ lệ dù nhiệt độ tăng hay giảm Ví dụ Một nhiệt kế 70 F nhà, đặt bên ngồi nơi có 0 nhiệt độ khơng khí 10 F Ba phút sau nhiệt kế 25 F Chúng ta dự đoán nhiệt độ thời điểm khác Giả sử u (F) nhiệt độ nhiệt kế thời điểm t (phút) Thời gian đo từ lúc nhiệt kế đặt bên ngồi Ta có u 70và t 3 u 25 t 0 Theo định luật Newton biến thiên nhiệt độ theo thời gian, du , tỷ lệ với độ chênh lệch nhiệt độ u 10 Vì nhiệt độ nhiệt kế dt giảm nên chọn  k  số tỷ lệ Khi ta có phương trình vi phân du dt k u 10  Ta có nghiệm u 10 Ce Tại t 0 kt u 10C 70 Do C  60 Vì ta kt u 10 60e có Tại t 3 u 10 3k 60e 25 Từ suy Vì (1.1) e 3k  k  ln Vậy nhiệt độ xác định phương trình 1  u 10 60exp t ln     BÀI TẬP Bài Một nhiệt kế 18 F mang vào phòng nơi có nhiệt độ 0 70 F, phút sau nhiệt kế 31 F Hãy xác định nhiệt độ hàm thời gian tìm nhiệt độ sau năm phút nhiệt kế mang vào phòng 0 Bài Một nhiệt kế 75 F mang ngồi nơi có nhiệt độ 20 F Bốn phút sau nhiệt kế 30 F Tìm nhiệt độ sau bảy phút nhiệt kế mang ngồi Sự chuyển đối hố chất đơn giản Kết thí nghiệm ra, phản ứng hố học chất A chuyển thành chất khác tốc độ chuyển hố tỷ lệ với lượng chất khơng bị chuyển hố x Giả sử lượng chất khơng bị biến đổi thời điểm t x0 Khi 0 lượng x thời điểm t 0 xác định phương trình vi (2.1) phân dx  kx dt điều kiện x x0 t 0 Vì lượng x giảm thời gian tăng lên nên số tỷ lệ (2.1) xác định  k  Từ (2.1) ta có nghiệm x Ce kt Từ x x0 t ta suy C x0 Vì ta có 0 x x kt e Ta giả sử (2.2) t 30s lượng chất ban đầu x0 vừa bị biến đổi Ta xác định lượng chất khơng bị biến đổi lại t 60s Khi lượng chất bị biến đổi Do x  lượng chất lại khơng bị biến đổi t 30 Từ (2.2) ta có x x x e 30t Từ ta có k  ln Khi với t đo giây lượng chất khơng 30 bị biến đổi xác định phương trình x x exp   t ln   30 (2.3)   Tại t 60 x x exp 1  60ln exp 2ln 3  x 30   Tăng trƣởng logictic giá hàng hoá Nhiều nỗ lực thực để phát triển mơ hình nghiên cứu phát triển dân số Một mô hình đơn giản cho việc nghiên cứu là: giả sử tỷ lệ sinh đẻ trung bình số dương tỷ lệ tử vong trung bình tỷ lệ với dân số Nếu x t là dân số thời điểm t giả sử dẫn đến phương trình vi phân dx x dt b ax (3.1) Trong b a số dương Phương trình gọi phương trình logictic phát triển dân số xác định phương trình (3.1) gọi tăng trưởng logictic Từ (3.1) ta có dx dt x b  ax  a  1 dx bdt    x b ax Từ ta có ln x bt C b  ax x C bt e e b  ax (3.2) Giả sử t 0 dân số x0 Khi ta có số x x0 b  b  ax ax Từ ta có x  t  ebt bx0e b b ax0  ax0e Ta thấy b (3.3) bt b xe a bt bx e lim x t  t   lim  t lim  bt b bt  t b ax0 ax0e abx0e Phương trình logictic (3.1) cho biết tăng trưởng hay suy giảm dân số a phụ thuộc vào dân số ban đầu hay lớn b Xét ví dụ ứng dụng phương trình vi phân cấp Xét mơ hình kinh tế thị trường hàng hố định Giả sử giá P , nguồn cung S nhu cầu D hàng hoá hàm thời gian biến thiên giá tỷ lệ với độ chênh nhu cầu nguồn cung Nghĩa dP dt k D S  (3.4) Giả sử số k dương giá tăng nhu cầu vượt nguồn cung Nhiều mơ hình khác thị trường hàng hố kết phụ thuộc vào tính chất hàm cung hàm cầu Ví dụ, giả sử D c dP S a bP (3.5) a,b,c d số dương Ta có phương trình vi phân tuyến tính P dP k  c a   d b P dt (3.6) (3.5) phản ánh xu hướng nhu cầu giảm giá tăng nguồn cung tăng giá tăng Giả sử P để D không âm c  d dP Từ (3.6) ta có dt k  d bP k c a  Nghiệm tổng quát (3.7) P t Giả sử t 0 C e  k  d b t c a  d b P P0 Khi ta có P C  ca d b Do (3.7) C P  c a d b Vì P t    P    c  k d  eb t  a  d b c a  d (3.8) b Phương trình (3.8) với giả định (3.4) (3.5) giá c ổn định giá trị t lớn a d b BÀI TẬP Một quần thể vi khuẩn biết có mẫu tăng trưởng hợp lý với quần thể ban đầu 1000 trạng thái cân quần thể 10.000 Kiểm tra cho thấy cuối có 2000 vi khuẩn diện Hãy xác định quần thể hàm thời gian Việc cung cấp thực phẩm cho dân số định tuỳ thuộc vào thay đổi theo mùa ảnh hưởng đến tốc độ tăng trưởng dân số Phương trình vi dx dx Cx t cost , C số dưong, quy phân = Cx(t)cost định dt dt mơ hình đơn giản cho tăng trưởng dân số theo mùa Giải phương trình vi phân giới hạn dân số ban đầu x0 số C Hãy xác định dân số lớn nhỏ khoảng thời gian giá trị lớn Giả sử thể người tiêu hao loại thuốc mức tỷ lệ thuận với số tiền thuốc y xuất máu thời điểm t Ở thời điểm t 0 , mũi tiêm y g thuốc vào thể mà trước thể khơng có thuốc a Tìm lượng thuốc lại máu cuối T b Nếu thời điểm T mũi tiêm thứ hai y0 g đưa vào thể tìm lượng thuốc lại cuối 2T  c Nếu cuối khoang thời gian có độ dài T liều thuốc y g  đua vào thể tìm lượng thuốc lại cuối nT  d Tìm giá trị giới hạn kết phần c n tiến vô Nếu hàm cầu cung cho thị trường hàng hoá D c dP S a sin t xác định P t phân tích dáng điệu t tăng  Nghiên cứu thị trường hàng hoá định cho thấy hàm cầu cung xác định D c dP S a bP q sin t , a, b, c, d, q  số dương Hãy xác định P t phân tích dáng điệu t tăng  Một kí túc xá đại học cho 100 sinh viên,mỗi ngườ số dễ bị nhiễm virut định Một mơ hình đơn giản dịch bệnh, giả sử suốt trình bệnh dịch tốc độ biến thiên theo thời gian số sinh viên mắc bệnh I tỷ lệ với số sinh viên mắc bệnh tỷ lệ với số sinh viên không mắc bệnh, 100 I Nếu thời điểm t  sinh viên bị mấc bệnh số sinh viên mắc bệnh thời điểm t cho phương trình 100kt I  100e 99 e100kt KẾT LUẬN Trên em trình bày xong tồn bọ khóa luận là: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN” Trong khóa luận nàyem trình bày số tốn học, vật lý, hóa học,… dẫn đến việc nghiên cứu phương trình vi phân Tuy nhiên, trình nghiên cứu, thời gian kiến thức hạn chế nên em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn khoa để khóa luận em hồn thiện Qua em xin chân thành cảm thầy Trần Văn Bằng – giảng viên trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ hướng dẫn để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Thu Cơ sở phƣơng trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2007 Earl D Rainville – Phillip E Bedient – Richard E Bedient Elementary Differential Equation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 ... trình vi phân Phương trình tuyến tính Phương trình vi phân cấp 3 Phương trình cấp Phương trình vi phân tồn phần 5 Phương trình tuyến tính cấp 6 Phương trình tuyến tính với hệ số Phương trình. .. NIỆM Cấp phƣơng trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ phương trình cấp d y dy 3     y dx dx   Phƣơng trình vi phân thƣờng Phương trình F  x,... ', y n   0 gọi phương trình vi phân thường cấp n B MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng trình tuyến tính Một phương trình vi phân thường cấp n gọi tuyến tính vi t dạng  d ny d nn y