Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp 2

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Thầy luôn hướng dẫn nhiệt tình và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy gi áo, cô giáo trong nhà trườ ng và các thầy, cô giáo g iảng dạy chuyên ngà nh To án Giải tích đã g iúp đỡ tác gi ả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin được cả m ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Đỗ Thị Hương LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Đỗ Thị Hương Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 8 1.1. Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Định lý điểm bất động Leray-Schauder . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPT IC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI 18 2.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange . . . . . . 19 2.1.3. Ví dụ 2: Phương trình mặt cực tiểu . . . . . . . . 21 2.2. Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phươ ng trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Đánh giá tiên nghiệm H¨older đối với nghiệm bài toán Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó . . 21 2.2.2. Áp dụng dạng đặc biệt của định lý Leray-Schauder 25 2.2.3. Áp dụng Định lý Leray-Schauder dạng tổng quát 30 4 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclid n-chiều R n + nửa không gian R n = {x ∈ R n |x n > 0} ∂S tập của các điểm trên biên của tập S ¯ S bao đóng của S, ¯ S = ∂S ∪ S C 0 (Ω) tập các hàm liên tục trên Ω C 0 ( ¯ Ω) tập các hàm liên tục trên ¯ Ω C k (Ω) tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong Ω (k ≥ 0, k ∈ Z hoặc k = ∞) C k ( ¯ Ω) tập tất cả các hàm trong C k (Ω) có đạo hàm đến cấp ≤ k liên tục trong ¯ Ω C k 0 (Ω) tập các hàm trong C k (Ω) có giá compact trong Ω B R (x 0 ) hình cầu tâm x 0 bán kính R trong R n C(∗, ., ∗) hằng số C chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên trong dấu ngoặc đơn MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của ngành giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930). Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ l iên tục trong không gian hữu hạn chiều. Đây cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tôpô đại số và làm nền móng cho các hướng ng hiên cứu tiếp theo của nhiều nhà toán học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chi ều (áp dụng cho không gian Banach). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ trong các không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩ nh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: lý thuyết điểm bất động. Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng . Mặt khác, trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, các định lý điểm bất động thường được ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của cá c bài toán, như bài toán biên, bài toán Cauchy hoặc bài toán biên-giá trị ban đầu. Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm của các phương trình hoặc các bài toán sẽ được dùng để kiểm tra các giả thiết của các định lý điểm bất động. Một đánh giá tiên nghiệm là một đánh giá đối với nghiệm u(x) thông qua các hệ số, vế phải của phương 7 trình và các dữ kiện của bài toán, trên cơ sở giả thiết nghiệm tồn tại. Việc nghiên cứu các định lý điểm bất động và ứng dụng của nó là một vấn đề có ý nghĩa quan trọng. Trong luận văn này tôi đã chọn đề tài: “Các định lý đ iểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai”. Nội dung cơ bản của luận văn được dựa trên chương 11 của tài liệu [5]. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của định lý điểm bất động, sau đó nêu ra ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elli ptic á tuyến tính cấp hai. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ nội dung của các định lý đi ểm bất động và ứng dụng cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kết quả về các định lý điểm bất động, một số ứng dụng của nó cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Cụ thể l uận văn gồm 2 chương: Chương 1: Một số định lý điểm bất động. Chương 2: Ứng dụng Định lý Leray-Schauder vào phương trình el- liptic á tuyến tính cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tài liệu, sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm, 8 Phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu một số định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày hệ thống các vấ n đề nghiên cứu. Chi tiết hoá các chứng minh trong tài liệu. Chương 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1. Định lý điểm bất động Brouwer Định lý điểm bấ t động Brouwer là một định lý quan trọng về điểm bất động. Nó khẳng đị nh một ánh xạ từ tập lồi đóng, bị chặn trong không gian hữu hạn chiều và o chính nó thì có một điểm bất động. Định lý điểm bất động dưới đây được xét trong không gian R n . Để chứng minh ta cần có bổ đề: Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm véc tơ cột khả vi vô hạn của n+1 biế n (x 0 , , x n ) với những giá trị thuộc R n . Kí hiệu D i là đạo hàm riêng của định thức n cột f x 0 , , f x i−1 , f x i+1 , , f x n . Khi đ ó: n  i=0 (−1) i ∂ ∂x i D i = 0. (1.1) Chứng minh. Với ∀ (i, j) ∈ N, 0 ≤ i, j ≤ n, i = j, ký hiệu C ij là định thức mà cột đầu là f x i x j và các cột còn lại là f x 0 , , f x n sắp xếp theo thứ tự tăng dần và f x i , f x j bị bỏ qua khi liệt kê. Rõ ràng C ij = C ji , do phép lấy vi phân các cột của định thức được hoán vị cho nhau nên ta có: ∂ ∂ x i D i =  j<i (−1) j C ij +  j>i (−1) j−1 C ij . Hơn nữa (−1) i ∂ ∂ x i D i = n  i=0 (−1) i+j C ij σ (i, j) , 10 ở đó σ (i, j) = 1 nếu j < i, σ (i, j) = 0 nếu i = j, σ (i, j) = −1 nếu j > i. Khi đó n  i=0 (−1) i ∂ ∂x i D i = n  i,j=0 (−1) i+j C ij σ (i, j) . Đổi chỗ các chỉ số i, j trong biểu thức cuối cùng và sử dụng σ (i, j) = −σ (j, i), ta có n  i,j=0 (−1) i+j C ij σ (i, j) = n  i,j=0 (−1) j+i C ij σ (j, i) = (−1) n  i,j=0 (−1) i+j C ij σ (i, j) . Từ đây, ba biểu thức bằng nhau trong các đẳng thức trên phải bằng 0, ta suy ra công thức (1.1) được chứng minh. Định lý 1.1. (Brouwer) Nế u φ là một ánh xạ liên tụ c từ hình cầu đơn vị đóng B = {x ∈ X, |x | ≤ 1} tro ng R n vào chính nó thì có một đ i ể m bất động, tức là ∃y ∈ B : φ (y) = y. Chứng minh. Ta xét ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều R n , theo định lý x ấp xỉ Weierstrass cho các hàm liên tục của n biến nói rằng, với mỗi ánh xạ φ li ên tục của B vào chính nó là g iới hạn đều của một dãy (φ k ) của các ánh xạ khả v i vô hạn l ần của B vào chính nó. Giả sử định lý này được chứng minh với cá c ánh xạ khả vi vô hạn lần thì với mỗi số nguyên k có một điểm y k ∈ B thoả mãn φ k (y k ) = y k . Từ B là compact, với mỗi dãy con (y k i ) hội tụ tới mộ t điểm y tr ong B. Khi đó lim i→∞ φ k i (x) = φ(x) đều trên B thì φ (y) = lim i→∞ φ k i (y k i ) = lim i→∞ y k i = y. [...]... elliptic tuyến tính L1w1 = D1 a11 2a 12 b D w + 22 D2 w2 + D22w1 = −D1 22 , 22 1 1 a a a 23 L2w2 = D11w2 + D2 a 22 2a 12 D1 w2 + 11 D2w2 a11 a = −D2 b a11 Giả sử tồn tại các số dương λK , ΛK và µK sao cho các bất đẳng thức sau được thoả mãn 0 < λK < λ (x, z, p) , ΛK ≥ aij (x, z, p) , µK ≥ |b (x, z, p)| với ∀x ∈ Ω, |z| + |p| ≤ K, i, j = 1, 2, trong đó λ (x, z, p) được xác định bởi (2. 2) Trong [5] đã đưa ra các. .. dạng (2. 11) thì phương trình Qu = 0 tương đương với: a11 2a 12 D11 u + 22 D12u + D22u = 0, a 22 a khi đó ( 2a 12 a11 1 D11 u + 22 D 12 u + D22u)ηdx = 0, ∀η ∈ C0 (Ω) 22 a a Ω Thay thế η bởi D1 η và lấy tích phân từng phần với w = D1 u ta được: 2a 12 a11 ( 22 D1 w + 22 D2 w)D1η + D2wD2 η dx = 0, a a Ω 31 và hơn nữa w là nghiệm yếu của phương trình elliptic tuyến tính Di aij (x)Dj w = 0, i, j = 1, 2 1 (2. 15)... 1 và T là liên tục nên T 1 xk → T (x, 1) và x cũng là điểm bất động của T1 k Chương 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Trong chương này, trước tiên ta phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai Sau đó, ta đi nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trên cơ sở về điểm. .. điểm bất động Định lý Leray-Schauder 2. 1 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 2. 1.1 Phát biểu bài toán Cho Ω ∈ Rn là miền bị chặn Xét phương trình: Qu = aij (x, u, Du) Dij u + b (x, u, Du) = 0, x ∈ Ω (2. 1) aij (x, u, Du) ξi ξj ≥ λ |ξ |2 (2. 2) trong đó và ∂ 2u Du = (D1 u, , Dnu), Dij u = , x = (x1, , xn) ∂xi∂xj Phương trình (2. 1) được gọi là phương trình elliptic á tuyến tính. .. giá sup |Du| qua sup |u| ∂Ω Ω Ω ∂Ω Bước 3: Đánh giá sup |Du| qua sup |Du| và sup |u| Ω Bước 4: Đánh giá [Du]β;Ω với β > 0 nào đó qua sup |Du|, sup |u| Ω Ω Dưới đây sẽ trình bày cách tiến hành đánh giá trong mỗi bước đối với một số lớp phương trình 2. 2.3 .2 Bước 1: Đánh giá sup |u| Ω Để đánh giá sup |u| ta sẽ sử dụng các nguyên lý so sánh và nguyên lý Ω cực đại đối với phương trình á tuyến tính ([5]) Định. .. aij 1 (x) = a11 a 22 (x, u(x), Du(x)) 0 2a 12 a 22 (x, u(x), Du(x)) 1 Tương tự D2 u là nghiệm yếu của phương trình elliptic tuyến tính, dựa vào nguyên lý cực đại yếu ta có đánh giá (2. 14) Bước 4: Từ các phương trình (2. 13) và (2. 15) ta sẽ có các phương trình đối với đạo hàm Dk u Hệ thức thu được trong đánh giá H¨lder đối o ′ với Du đó là với mỗi miền con Ω ⊂⊂ Ω ta có: [Du]β;Ω′ ≤ Cd−β , (2. 16) ở đây C là... dương và β không phụ thuộc vào u và σ và d = ′ dist(Ω , ∂Ω) Khi ∂Ω là trơn ta sẽ thu được đánh giá toàn cục [Du]β;Ω ≤ C 2. 2.3 (2. 17) Áp dụng Định lý Leray-Schauder dạng tổng quát 2. 2.3.1 Các điều kiện đủ khác cho tính giải được của bài toán Dirichlet Định lý 1.3 là trường hợp đặc biệt của Định lý 1.4, ở đây T (x, σ) = σT1x Cho Q là một toán tử dạng (2. 7) và giả sử Q, Ω và ϕ thoả mãn giả thiết của Định lý. .. bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 2. 2.1 Đánh giá tiên nghiệm H¨lder đối với nghiệm bài toán o Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó 2. 2.1.1 Trường hợp hai biến độc lập (n = 2) Nếu u ∈ C 2 (Ω) thoả mãn phương trình elliptic Qu = aij (x, u, Du) Dij u + b (x, u, Du) = 0 trong Ω ⊂ R2 , thì các đạo hàm w1 = D1 u, w2 = D2 u là nghiệm suy rộng trong Ω của phương trình elliptic. .. là tương đương với tính giải được của phương trình u = T (u, 1) trong không gian ¯ ¯ Banach C 1,β Ω và T (u, 0) = 0 với ∀v ∈ C 1,β Ω Tính liên tục và tính compact của ánh xạ T có được nhờ điều kiện ii) và iii) Áp dụng định lý 1.4 ta có định lý sau Định lý 2. 10 Cho Ω là miền xác định và bị chặn trong Rn với biên ¯ ∂Ω ∈ C 2, α và cho ϕ ∈ C 2, α Ω Cho {Qσ , 0 ≤ σ ≤ 1} là một họ các toán tử thoả mãn điều... , và β = β (n, K, µK /λK ) ¯ Định lý 2. 7 Cho u ∈ C 2 Ω thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q là el¯ ¯ ¯ liptic trong Ω và các hệ số aij ∈ C 1 Ω × R × Rn , b ∈ C 0 Ω × R × Rn ¯ Khi đó nếu ∂Ω ∈ C 2, ϕ ∈ C 2 Ω với u = ϕ trên ∂Ω ta có đánh giá: [Du]β;Ω ≤ C, ở đó C = C(n, K, µK /λK , Ω, φ), K = |u|1;Ω , φ = |ϕ |2; Ω , β = β (n, K, µK /λK , Ω) > 0 2. 2 .2 Áp dụng dạng đặc biệt của định lý Leray-Schauder 2. 2 .2. 1 Các . thống làm sáng tỏ nội dung của các định lý đi ểm bất động và ứng dụng cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kết quả về các định lý điểm bất động, một. cứu các định lý điểm bất động và ứng dụng của nó là một vấn đề có ý nghĩa quan trọng. Trong luận văn này tôi đã chọn đề tài: Các định lý đ iểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến. số ứng dụng của nó cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Cụ thể l uận văn gồm 2 chương: Chương 1: Một số định lý điểm bất động. Chương 2: Ứng dụng Định lý Leray-Schauder vào phương trình