Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Hà Đức Vượng Qua đây, cho phép bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS Hà Đức Vượng - người thầy giúp đỡ, bảo tận tình để tơi hồn thành Luận văn Tơi bày tỏ lòng biết ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học thầy giáo tận tình giảng dạy quan tâm suốt thời gian học tập Trường ĐHSP Hà Nội Hà nội, ngày tháng 10 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu hồn thành luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà nội, tháng năm 2010 Tác giả MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric xác suất 1.3 Không gian metric xác suất Menger 11 17 Chương Điểm bất động ánh xạ co không gian metric 2.1 Các lớp ánh xạ co 2.2 Điểm bất động 26 28 Chương Các lớp ánh xạ co không gian metric xác suất 3.1 Các lớp ánh xạ co xác suất 38 46 54 3.2 Điểm bất động Kết luận Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán khác khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X không gian bất kỳ, ánh xạ T : M → M ánh xạ từ tập hợp M khơng gian X vào Phương trình Tx = x ∈ M ), điều kiện cụ thể, ta khẳng định tồn (x nghiệm Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình Tx = x gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp M Việc nghiên cứu vấn đề góp phần đắc lực cho việc giải hàng loạt toán quan trọng Tốn học nói riêng, Khoa học kỹ thuật nói chung Điều dẫn đến lĩnh vực nghiên cứu thu hút nhiều nhà toán học quan tâm kết lĩnh vực hình thành nên:"Lý thuyết điểm bất động" Lý thuyết điểm bất động phát triển theo hướng chính: Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động ánh xạ liên tục, mở đầu Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động ánh xạ dạng co, mở đầu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Năm 1922, Banach đưa kết quan trọng điểm bất động cho lớp ánh xạ co, Nguyên lý ánh xạ co Banach Từ lớp ánh xạ mở rộng nhiều tác giả khác Rakotch, Sadovskij, Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler, Năm 1942 Menger đưa khái niệm "metric xác suất" Đó mở rộng " xác suất" khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x,y), người ta xét hàm phân bố F x ,y (t biểu diễn xác ) suất d(x,y) < t , với t số thực Khái niệm thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, đặc biệt Schweizer Sklar xây dựng thành lý thuyết không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất năm 1983 Các lớp ánh xạ co với kết điểm bất động chúng nghiên cứu không gian Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, nhờ hướng dẫn tận tình TS Hà Đức Vượng, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Các lớp ánh xạ co không gian metric xác suất điểm bất động” Luận văn trình bày với chương nội dung danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm công cụ cho nội dung nghiên cứu chương sau như: khái niệm không gian metric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác không gian metric xác suất Menger Chương 2: Trình bày khái niệm lớp ánh xạ co không gian metric: ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, lớp ánh xạ co Meir – Keeler Cuối kết định lý điểm bất động lớp ánh xạ co Chương 3: Nội dung chương mở rộng khái niệm lớp ánh xạ co nói sang khơng gian metric xác suất Mối quan hệ lớp ánh xạ co không gian metric xác suất Cuối kết điểm bất động lớp ánh xạ co khơng gian metric xác suất Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn xây dựng tổng quan lớp ánh xạ co điểm bất động không gian metric Mở rộng kết sang khơng gian metric xác suất Cơng trình nghiên cứu dựa kết PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân báo: "A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces" đăng tạp chí Acta Mathematica Vietnamica năm 1998 Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kết đạt điểm bất động ánh xạ co không gian metric lớp ánh xạ co không gian metric xác suất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về: “Các lớp ánh xạ co không gian metric xác suất điểm bất động” Phương pháp nghiên cứu − Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu − Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp Đây tổng quan lớp ánh xạ co điểm bất động Mối quan hệ lớp ánh xạ co điểm bất động không gian metric không gian metric xác suất Chương Kiến thức chuẩn bị Năm 1942 Menger đưa khái niệm "metric xác suất" Đó mở rộng " xác suất" khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x,y), người ta xét hàm phân bố F x ,y (t biểu diễn xác ) suất d(x,y) < t , với t số thực Khái niệm thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, đặc biệt Schweizer Sklar xây dựng thành lý thuyết không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo suất năm 1983 Trong chương hệ thống lại khái niệm không gian metric không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1] Tập hợp X ≠ ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực  gọi không gian metric, ký hiệu (X,d ) , d thoả mãn: d (x,y ) ≥ 0,d (x,y ) = ⇔ x =y, ∀x,y ∈ X d (x,y ) = d (y, x ), ∀x,y ∈ X d (x,y ) ≤ d (x, z )+ d ∀x,y ∈ X (z,y ), Ánh xạ d :X × X →  gọi metric X, số d (x,y ) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm, tiên đề 1, 2, gọi hệ tiên đề metric Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X,d ) Một tập hợp M ≠ ∅ tập hợp X với metric d X làm thành không gian metric Không gian metric ) (M,d gọi không gian metric khơng gian metric cho Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ x , , x ), y = (y ,y = (x , , ,y ) x k k k thuộc không gian vectơ thực k chiều  (k số nguyên dương đó) ta đặt: k d(x,y) = (x j y j ) j 1 (1.1) k  Ta có d (x,y) metric Chứng minh Hiển nhiên ta có: k  x j 1 Vậy d (x,y ) ≥ j y j  ≥ với x,y ∈  k Nếu k  x j 1 j y j  = , ta có:  ... 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric xác suất 1.3 Không gian metric xác suất Menger 11 17 Chương Điểm bất động ánh xạ co không gian metric 2.1 Các lớp ánh xạ co 2.2 Điểm bất động. .. rộng khái niệm lớp ánh xạ co nói sang không gian metric xác suất Mối quan hệ lớp ánh xạ co không gian metric xác suất Cuối kết điểm bất động lớp ánh xạ co không gian metric xác suất 2 Mục đích... quan lớp ánh xạ co điểm bất động Mối quan hệ lớp ánh xạ co điểm bất động không gian metric không gian metric xác suất Chương Kiến thức chuẩn bị Năm 1942 Menger đưa khái niệm "metric xác suất"