Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động

Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản là công cụ chonhững nội dung nghiên cứu ở chương sau như: khái niệm về không gianmetric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam gi

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm HàNội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng Qua đây, chophép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS Hà Đức Vượng - ngườithầy đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này

Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học

và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và quan tâm trong suốt thờigian học tập tại Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hà nội, ngày 1 tháng 10 năm 2010

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

tôi

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừathành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 4

1.2 Không gian metric xác suất 11

1.3 Không gian metric xác suất Menger 17

Chương 2 Điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric 2.1 Các lớp ánh xạ co 26

2.2 Điểm bất động 28

Chương 3 Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất 3.1 Các lớp ánh xạ co xác suất 38

3.2 Điểm bất động 46

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M.

Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giảiquyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trongKhoa học kỹ thuật nói chung Điều này dẫn đến một lĩnh vực nghiên cứumới thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này

đã hình thành nên:"Lý thuyết điểm bất động".

Lý thuyết điểm bất động đã phát triển theo 2 hướng chính:

Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên

tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).

Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng

co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).

Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất

động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach Từ đó lớp ánh

xạ này đã được mở rộng bởi nhiều tác giả khác như Rakotch, Sadovskij,Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler,

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" Đó là sự

mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x,y), người ta xét hàm phân bố

) biểu diễn xác

x ,y

suất để cho d(x,y) < t , với t là một số thực Khái niệm này đã thu

hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar

đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viếtthành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983 Các lớp ánh xạ co cùng vớikết quả về điểm bất động của chúng đã được nghiên cứu trong các khônggian này

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫntận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

“Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động”.

Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh mụctài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản là công cụ chonhững nội dung nghiên cứu ở chương sau như: khái niệm về không gianmetric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác vàkhông gian metric xác suất Menger

Chương 2: Trình bày khái niệm về các lớp ánh xạ co trong khônggian metric: ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ coKrasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh

xạ co Meir – Keeler Cuối cùng là kết quả về định lý điểm bất động củacác lớp ánh xạ co này

Chương 3: Nội dung chính của chương này là sự mở rộng kháiniệm các lớp ánh xạ co nói trên sang không gian metric xác suất Mốiquan hệ giữa lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất Cuối cùng

là các kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co trong không gianmetric xác suất

5

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là xây dựng một bài tổng quan về các lớpánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric Mở rộng các kếtquả đó sang không gian metric xác suất Công trình nghiên cứu dựa trênkết quả của PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trong bài báo:

"A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces" đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica năm 1998

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động của ánh xạ cotrong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xácsuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về: “Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động”.

5 Phương pháp nghiên cứu

− Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp mới

Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động.Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gianmetric và không gian metric xác suất

Chương

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" Đó là sự

mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x,y), người ta xét hàm phân bố

) biểu diễn xác

x ,y

suất để cho d(x,y) < t , với t là một số thực Khái niệm này đã thu

hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer vàSklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất,viết thành sách chuyên khảo suất bản năm 1983 Trong chương nàychúng tôi hệ thống

lại các khái niệm cơ bản về không gian metric và không gian metric xácsuất, không gian metric xác suất Menger

1.1 Không gian metric

con bất kỳ M ≠ ∅ của tập hợp X cùng với metric d trên

X làm thành một

không gian metric Không gian metric (M,d

)

con của không gian metric đã cho

gọi là không gian metric

Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ bất kỳ x

Vì vậy hệ thức (1.1) là một metric trên không gian k .

Không gian metric tương ứng ký hiệu là k

Dễ dàng thấy ánh xạ (1.3) thoả mãn các tiên đề về metric

Thật vậy, với x,y, z ∈C

a, b

a, b

a, b

a, b

a, b

d (x,y) 

Chứng minh.

Thật vậy hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes X

×X vào tập hợp số thực  Ta kiểm tra hệ thức (1.4) về các tiên

đề metric Với hai phần tử bất kỳ x,y ∈ X

thỏa mãn tiên đề 1 về metric Bây giờ ta

kiểm tra tiên đề 2 về metric

Với hai phần tử bất kỳ x,y ∈ X

Vì vậy d (x,y) = d (y, x ) với

mọi x,y ∈ X Do đó (1.4) thỏa mãn

z ≠ x , z

thì d (x, z ) = d (z,y) = 1, khi đó ta có

Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 3 về metric

Vậy hệ thức (1.4) là một metric trên X Không gian metric tương ứng

gọi là không gian metric rời rạc

Nhận xét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định được các

metric khác nhau Chẳng hạn trên cùng tập hợp

Eukleides, có thể xác định các metric sau đây:

1.2 Không gian metric xác suất

minh F (t) là hàm nửa liên tục dưới.

Do F (t) là hàm liên tục nên nó là hàm nửa liên tục dưới.Cuối cùng ta

(

Định nghĩa 1.2.2 [12] Không gian metric xác suất (probabilistic metric

là một metric xác suất trên X

Khi đó (X,  ) là một không gian metric xác suất

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh

Vậy F (t) là hàm nửa liên tục

dưới, Cuối cùng ta chứng minh

F (t) = P {d (x,y) < t}

= P {d (y, x ) < t} = F y,x (t) ∀t ∈ .Vậy F (t) = F

Ta có(X,  ) là một không gian metric xác suất

1.3 Không gian metric xác suất Menger

chuẩn tam giác, viết tắt là t - chuẩn (triangular norm) nếu những

điều kiện sau đây được thỏa mãn:

3 ∆(a,b) ≤ ∆(c,d) nếu a ≤ c,b ≤ d;a,b,c,d

Các t - chuẩn có thể được sắp xếp theo thứ tự sau:

Định nghĩa 1.3.2 [8] Không gian metric xác suất Menger (Menger

proba-bilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự (X, , ∆) Trong đó (X,

 ) là không gian metric xác suất, ∆ là t - chuẩn thỏa mãn các

điều kiện sau:

Nhận xét 1.3.2 Ta nhận thấy không gian metric xác suất Menger là

trường hợp riêng của không gian metric xác suất Vì các điều kiện từ 1đến 3 của Định nghĩa 1.2.2 trùng với các điều kiện từ 1 đến 3 của Địnhnghĩa 1.3.2 nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện 4 của Định nghĩa 1.2.2

Thật vậy, giả sử F (t) = 1, F (s) = 1, ∀t,s ∈  ,với mọi x,y, z ∈ X

Nhận xét 1.3.3 Nếu (X, ,

là một không gian metric xác suất Menger

thì nó là một không gian tô pô Hausdorff , tô pô sinh bởi một họ (,) lân cận:

tại một số nguyên dương N = N

(,) sao cho F > − 1 với mọi

x n x m =

N (,), N ∈  saocho F () > 1

Định nghĩa 1.3.5 [8] Một không gian metric xác suất Menger (X, ,

∆) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

đến một điểm thuộc X

20

,

thì không gian metric xác suất Menger (X,

F, ∆)

Chứng minh.

Với  ∈ (0;1) và mọi x,y ∈ X , ta đặt

chứa một họ giả metric

d (x,y) = sup {t : F (t) ≤ 1 − }.Hiển nhiên d : X

Theo định nghĩa của supremum,

Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tam giác bằng phản chứng.Giả sử ∃ ∈ (0;1),

F (d (x,y) ) ≤ 1 − , ∀x,y ∈ X, ∀ ∈

(0;1).Vậy b = d



được gọi là đầy đủ nếu với mỗi dãy Cauchy

trong X hội tụ tới một điểm thuộc X

Trong chương này chúng tôi đã trình bày lại các khái niệm, tínhchất cơ bản của không gian metric và không gian metric xác suất Đó làcác kiến thức nền tảng để phục vụ cho việc nghiên cứu những khái niệm

về các lớp ánh xạ co và điểm bất động của chúng trong không gianmetric, không gian metric xác suất ở các chương tiếp theo

 n

Chương 2

Điểm bất động của các ánh xạ co

trong không gian metric

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm các lớp ánh xạ co

Đó là lớp ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co Krasnoselskij,ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh xạ co Meir –Keeler Sau đó chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của các lớpánh xạ co nói trên

2.1 Các lớp ánh xạ co

)

vào chính nó

được gọi là ánh xạ co Banach nếu tồn tại hằng số k ∈ 0,1) sao cho

với mọi x,y





với mọi x,y

d (Tx,Ty) ≤ k (d (x,y) )d (x,y),

cho d (Tx,Ty) ≤ k (, )d (x,y),

với mọi x,y

được gọi là ánh xạ co Sadovskij nếu tồn tại một hàm

thỏa mãn điều kiện

Định nghĩa 2.1.5 [8] Ánh xạ T từ không gian metric (X,d

với mọi x,y ∈ X

là một không gian metric đầy đủ và T là một

ánh xạ co Banach trong X Khi đó, tồn tại duy nhất x * ∈ X mà Tx *

x

0



n

Kết hợp với 0 ≤ k < 1, ta có d (Tx *, x ) = 0

Vậy Tx * = x * ,

nghĩa là x * là điểm bất động của ánh xạ T .

Cuối cùng ta chứng minh

x * là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T

Giả sử tồn tại điểm

(1 − k )d (x *,y* ) ≤ 0

30

Một trong những ứng dụng lý thú khác của nguyên lý ánh xạ co làđiều khẳng định sau đây:

Cho X là một không gian Banach, I là ánh xạ đồng nhất và T là một ánh xạ co trong X Khi đó, I – T là một phép đồng phôi trong X.

Klee (1956) đã sử dụng sự kiện này để chứng minh rằng: nếu X là một không gian định chuẩn vô hạn chiều và C là một tập compact trong



58

Sau đây chúng tôi xin trình bày, không chứng minh các kết quả về điểm bất động của Rakotch, Krasnoselskij, Sadovskij và Boyd – Wong.

∈ X thỏa mãn 0 <  ≤ d (x,y) ≤  < +∞

(Krasnoselskij).

3 Tồn tại một hàm k : (0, +∞) → 0,1) thỏa mãn điều kiện







sup {k (t) : a ≤ t

d (Tx,Ty) ≤ k (d (x,y) )d (x,y) (Sadovskij).

4 Nếu tồn tại một hàm nửa liên tục trên, bên

Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của Meir –Keeler.

x = Tx và x n n

− 1 , n = 1, 2,

Xét dãy c

= d (x n , x n +1 ), n = 1, 2, Nếu c

thì khoảng cách giữa hai điểm là bằng 0 và như thế là

chúng trùng nhau Đây là trường hợp tầm thường

=

n

n

Có thể giả thiết c > 0 Vì T là ánh xạ co nên

Bây giờ ta chứng minh {x n } là dãy Cauchy bằng phản chứng

Giả sử dãy {x n } không là dãy Cauchy

, x n

k + 2

), ,d (x n , x ).Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là:



d (x , x )− d

(x , x 1 ) ≤ d

(x , x 1 ) = c = ,với i

)

Bây giờ ta chứng minh x

* là điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là

x * là điểm bất động duy nhất của T trong X .

Thật vậy, giả sử y* ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T , ta có

d (x *,y* ) = d (Tx *,Ty* )

≤ kd (x *,y* ),k ∈ 0,1).Suy ra

nên các lớp ánh xạ co khác nhau Đồng thời chúng tôi cũng trình bàycác kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ đó.

Do kỹ thuật chứng minh các định lý về điểm bất động của các lớpánh xạ co là giống nha u, nên chúng tô i chỉ trình bày cách chứng minh

của định lý điểm bất động Banach và định lý điểm bất động Meir –Keeler.

Dựa vào khái niệm về các ánh xạ co trình bày ở trên, ta có các kháiniệm về các lớp ánh xạ co tương ứng cùng với các kết quả về điểm bấtđộng của chúng trong không gian metric xác suất mà chúng tôi sẽ trìnhbày ở chương tiếp theo

Chương

trong không gian metric xác suất

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về các lớp ánh xạ cotrong không gian metric xác suất

Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất cũng được hìnhthành từ sự thay đổi điều kiện của k Đồng thời trong chương này chúng

tôi trình bày kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co xác suất nóitrên Đặc biệt là định lý về mối quan hệ của các lớp ánh xạ này

3.1 Các lớp ánh xạ co xác suất

∆) Giả sử ∆(a,b) = min {a,b} Một ánh xạ T từ không gian metric xác suất





Nhận xét 3.1.2 Hàm k trong (3.2) có thể giả thiết không tăng theo  và

không giảm theo  Thật vậy, có thể thay thế nó bằng hàm

h (, ) = inf {k (′, ′) : ′ ≤ , ′ ≥ },

729





  F () ≥ F (

+ ), (3.4)với mọi x,y ∈ X

Ta có thể sắp xếp các các lớp ánh xạ co xác suất như sau:

Tx ,Ty x

,y

Định lý 3.1.1 [8].

Lớp ánh xạ co Meir – Keeler chứa lớp ánh xạ co Boyd – Wong Lớp ánh xạ co Boyd – Wong chứa lớp ánh xạ co Sadovskij.

Lớp ánh xạ co Sadovskij chứa lớp ánh xạ co Krasnoselskij

Lớp ánh xạ co Krasnoselskij chứa lớp ánh xạ co Rakotch

Lớp ánh xạ co Rakotch chứa lớp ánh xạ co Banach.

Vậy k thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 3.1.3

Suy ra ánh xạ T là ánh xạ co Rakotch xác suất, hay

2 Tiếp theo ta chứng minh lớp ánh xạ co Rakotch xác suất nằm tronglớp ánh xạ co Krasnoselskij xác suất, nghĩa là

Nghĩa là có một hàm không tăng k : (0,

Vì k (t) nhận giá trị trong (0,1), nên h : (0, +∞)×(0,

+∞) → (0,1) Khi đó với k là hàm không tăng, theo Nhận xét 3.1.1 ta có

Theo nhận xét 3.1.2, giả sử hàm k trong (3.5) là một hàm

không tăng theo  và không giảm theo 

4 Ta chứng minh ánh xạ co Sadovskij nằm trong lớp ánh xạ co Boyd –



   

5 Cuối cùng, ta chỉ ra lớp ánh xạ co Boyd – Wong nằm trong lớp ánh

xạ co Meir – Keeler, nghĩa

3.2 Điểm bất động

Tương tự như trong không gian metric Trong không gian metricxác suất Menger, Nguyên lý điểm bất động Banach được phát biểutrong không gian metric xác suất Menger như sau:

đủ (X, ,

min)

vào chính nó gọi là ánh xạ co Banach xác suất (thuộc lớp

Khi đó ánh xạ T có một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn

0

với k là hằng số, k ∈ (0;1) Khi đó {x n } là dãy Cauchy trong (X, ,

min) Thật vậy, theo giả thiết ta có