Phương Pháp Lặp Tìm Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Giả Co Mạnh Trong Không Gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TốNG VĂN HUY PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUN, 2013 Số hóa trung tâm học liệu u.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  Tống văn huy PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngưới hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Nguyên – 2013 Mnc lnc Má đau Ánh xa giá co tốn điem bat đ®ng 1.1 Mđt so %nh ngha v ký hiắu 1.1.1 Không gian Banach loi đeu, trơn đeu 1.1.2 Ánh xa đoi ngau chuan tac 1.1.3 Ánh xa giá co 1.2 Bài tốn điem bat đ®ng 10 1.2.1 Bài tốn điem bat đ®ng 10 1.2.2 M®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng 11 Phương pháp l¾p tìm điem bat đ®ng cúa ánh xa giá co manh 14 2.1 Xap xớ iem bat đng vúi dóy lắp chớnh xỏc .14 2.2 Xap xí điem bat đ®ng vói dãy l¾p có nhieu .24 2.3 Xap xí điem bat đ®ng cna ánh xa khơng xác đ%nh tồn không gian 28 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham kháo 44 Số hóa trung tâm học liệu u.vn/ Báng ký hi¾u X Không gian Banach thnc X∗ Không gian liên hop cna X ∅ T¾p rong x := y x đưoc đ%nh nghĩa bang y ∀x Vói moi x ∃x Ton tai x I Ánh xa đơn v% J Ánh xa đoi ngau chuan tac J A∗ liên hop cna toán tú A Toán tú (x∗, x) Giá tr% cna phiem hàm x∗ tai điem x D(A) Mien xác đ%nh cna toán tú A R(A) Mien ánh cna toán tú A N (A) T¾p khơng điem cna tốn tú A F ix(A) Tắp cỏc iem bat đng cna toỏn tỳ A xn → x∗ Dãy {xn} h®i tu manh tói x∗ Má đau M®t so đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng xuat hi¾n tù đau the kí XX, phái ke đen nguyên lý điem bat đ®ng Browder năm 1912 nguyên lý ánh xa co Banach năm 1922 Các ket q đưoc mó r®ng cho nhieu lóp ánh xa khác nhau, chang han ánh xa không giãn, ánh xa giá co Lý thuyet điem bat đ®ng có nhieu úng dung lý thuyet toi ưu, toán cân bang, bat thúc bien phân Do đó, vi¾c nghiên cúu phương pháp giái tốn điem bat đ®ng van đe thòi sn thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc nưóc the giói Muc đích cna đe tài lu¾n văn nghiên cúu m®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng cna ánh xa giá co manh khơng gian Banach só phương pháp l¾p Mann v phng phỏp lắp Ishikawa Nđi dung cna luắn đưoc trình bày hai chương Chương giói thi¾u mđt so khỏi niắm ve khụng gian Banach trn eu, không gian Banach loi đeu, ánh xa đoi ngau chuan tac, ánh xa giá co toán điem bat đ®ng M®t so phương pháp co đien xap xí điem bat đng khụng gian Hilbert oc e cắp phan cuoi cna chương Chương trình bày m®t so %nh lý hđi tu manh cna dóy lắp Mann v dóy lắp Ishikawa ve iem bat đng cna ỏnh xa giá co manh không gian Banach Phan đau cna chng nghiờn cỳu sn hđi tu cna dóy lắp oc cho xác Phan thú hai nghiên cúu sn h®i tu Mé đau cna dãy l¾p đưoc cho có nhieu Phan cuoi cna chương dành đe trình bày nghiên cúu ve đieu ki¾n đe dãy l¾p Mann Ishikawa xác đ %nh mien xác đ%nh cna ánh xa l mđt chớnh thũng cna ton khụng gian Đóng góp cna tác giá tìm đoc, d%ch tong hop kien thúc [1]-[4] Lài cám ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Khoa hoc, Đai hoc Thái Nguyên dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Nguyen Th% Thu Thny Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành sâu sac ve sn t¾n tâm nhi¾t tình cna Cơ suot q trình tác giá thnc hi¾n lu¾n văn Trong q trình hoc t¾p làm lu¾n văn, tù giáng cna Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác tai Vi¾n Tốn hoc, Vi¾n Cơng nghắ Thụng tin thuđc Viắn Hn lõm v Khoa hoc Vi¾t Nam, Thay Cơ Đai hoc Thái Ngun, tác giá trau doi thêm rat nhieu kien thúc phuc vu cho vi¾c nghiên cúu cơng tác cna bán thân Tù đáy lòng mình, tác giá xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói Thay Cơ Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u, phòng Đào tao Khoa hoc Quan h¾ quoc te, Khoa Tốn - Tin trưòng Đai hoc Khoa hoc, Đai hoc Thái Nguyên quan tâm giúp đõ tác giá suot thòi gian hoc t¾p tai trưòng Cuoi tơi xin gúi lòi cám ơn tói gia đình, ban bè, lãnh đao đơn v% công tác đong nghiắp ó đng viờn, giỳp v tao ieu kiắn tot nhat cho tơi hoc t¾p nghiên cúu Tác giá Tong Văn Huy Chương Ánh xa giá co tốn điem bat đ®ng Trong chương chỳng tụi trỡnh by mđt so khỏi niắm v ket bán ve ánh xa giá co m®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng khơng gian Banach Các kien thúc cna chương đưoc tong hop tự cỏc ti liắu [1]-[5] 1.1 1.1.1 Mđt so đ%nh nghĩa ký hi¾u Khơng gian Banach loi đeu, trơn đeu Cho X m®t khơng gian Banach thnc, X ∗ không gian liên hop cna X (x∗, x) ký hi¾u giá tr% cna x∗ ∈ X ∗ tai x ∈ X Ký hi¾u 2X mđt ho cỏc khỏc rong cna X Cho T m®t ánh xa vói mien xác đ%nh D(T ) mien giá tr% R(T ) N (T ) t¾p khơng điem F ix(T ) l iem bat đng cna ỏnh xa T tương úng, nghĩa N (T ) = {x ∈ D(T ) : Tx = 0}, F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : Tx = x} Ký hi¾u m¾t cau đơn v% cna X SX , {x ∈ X : "x" = 1} SX = Chương Ánh xa giá co toán đi›m bat đ®ng Đ%nh nghĩa 1.1.1 Khơng gian Banach X đưoc goi khơng gian (i) loi ch¾t neu vói x, y ∈ SX , x ƒ= y "(1 − λ)x + λy" < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) loi đeu neu vói moi ε thóa mãn < ε ≤ 2, moi x, y thóa mãn "x" ≤ 1, "y" ≤ "x − y" ≥ ε suy ton tai δ = δ(ε) ≥ cho x + y ≤ − δ Chú ý rang moi không gian Banach loi đeu đeu khơng gian phán xa loi ch¾t Đ%nh nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X đưoc goi (i) có chuan vi Gâteaux (ho¾c khơng gian trơn) neu giói han lim t→0 "x + ty" − "x" t ton tai vói moi x, y ∈ SX ; (ii) có chuan vi Gâteaux đeu neu giói han đat đưoc đeu vói x ∈ S X Đ%nh nghĩa 1.1.3 Giá sú X m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan thnc vói so chieu lón ho¾c bang 2, x, y ∈ X Mô đun trơn cna X đưoc xác đ%nh bói " x + y " + "x − y " ρX (τ ) := − : "x" = 1, "y" sup =τ (1.1) Ta có đ%nh nghĩa khác ve khơng gian trơn đeu sau: Đ%nh nghĩa 1.1.4 M®t không gian Banach X đưoc goi trơn đeu neu lim hX (τ ) := ρX (τ = lim ) (1.2) Chương Ánh xa giá co tốn đi›m bat đ®ng τ→0 τ→0 τ Các khơng gian Lp, lp ví du ve khơng gian trơn đeu Bây giò ta chí dãy {xn} hồn toàn xác đ%nh nam B Đau tiên ta chí yn ∈ B vói xn ∈ B Cho xn ∈ B, ta có ||yn − q|| ≤ r + βnM ≤ 2r, ||xn − yn|| ≤ δ kr2 Ta có en = ||j(yn − q) − j(xn − q)|| 2(M + r) ≤ Sú dung Đ%nh lý 1.4, cơng thúc (2.64) đánh giá ta có ||yn − q||2 ≤(1 − βn)22 ||xn − + 2βn (T xn − q, j(yn − q)) q|| ≤(1 − βn)2r2 + 2βn(M + r)en + (2.65) 2βnr2 ≤(1 − kβn)r2 + kβnr2, suy ||yn − q|| ≤ r Bây giò ta chí xn ∈ B, ∀n ≥ Bang cách chon x0, ta có x0 ∈ B Giá sú xn ∈ B Khi tù lý lu¾n ta suy yn ∈ B Hơn nua ta có ||xn+1 − q|| ≤ r + αn(M + βnM ) ≤ 2r, ||xn+1 − yn|| ≤ δ, fn = ||j(xn+1 − q − j(yn − q))|| ≤ ε Vì v¾y ta có đánh giá sau ||xn+1 − q|| ≤(1 − αn) ||xn − q|| + 2αn (T yn − q, j(xn+1 − q)) ≤(1 − αn)2r2 + 2αn(M + r)fn + 2αn(1 (2.66) − k)r2 ≤(1 − kαn)r2 + kαnr2 = r2, tù suy xn+1 ∈ B Bang quy nap ta chí xn ∈ B, ∀n ≥ Phan lai cna chúng minh lý lu¾n tương tn Đ%nh lý 2.3.5 Q H¾ 2.3.5 Cho X, T, B {αn} Đ%nh lý 2.3.6 Đ%nh nghĩa dãy l¾p Mann bói cơng thúc:   x0 ∈ B  xn+1 = (1 − αn)xn + αn T xn , n ≥ (2.67) Khi dãy l¾p {xn} đưoc đ%nh nghĩa bói (2.67) h®i tn manh tói điem bat đ®ng nhat cúa T {αn} thóa mãn đieu ki¾n sau: δ r i) αn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, r) 4(M + 2M ii) αn → n → ∞, ∞ iii) n= αn = ∞ ChNng minh Trong Đ%nh lý 2.3.6 thay βn ≡ 0, ∀n ≥ Q Ket lu¾n Trong luắn ny, chỳng tụi trỡnh by lai mđt so phương pháp xap xí điem bat đ®ng cna ánh xa giá co manh khơng gian Banach só phương pháp l¾p Mann phương pháp l¾p Ishikawa Cu the chúng tơi trình bày m®t so đ%nh lý h®i tu manh cna dãy l¾p Mann dãy l¾p Ishikawa cá trưòng hop dãy l¾p đưoc cho xác dãy l¾p đưoc cho có nhieu Đóng góp cna tác giá tìm đoc, d%ch tong hop kien thúc [1]-[5] 74 Số hóa trung tâm học liệu u.vn/ Tài li¾u tham kháo [1] Shih-sen Chang, Yeol Je Cho and Haiyun Zhou, Iterative methods for nonlinear operator equations in Banach spaces , Nova Science Publishers, Inc, Huntington, New York, 2001 [2] K Deimling, Zeros of accretive oprators, Manuscripta Math., 13(1974), 283-288 [3] S Ishikawa, Fixed point by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 44(1974), 147-150 [4] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc., 4(1953), 506-510 [5] W V Petryshyn, A characterization of strict convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings, J Funct Anal., 6(1970), 282-291 75 Số hóa trung tâm học liệu u.vn/ 76 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 77 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 78 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 79 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 80 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 81 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 82 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 83 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ 84 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/  85 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  Tống văn huy PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC... M®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng Trong muc nhac lai m®t so phương pháp xap xí điem bat đ®ng co đien, phương pháp l¾p Mann, phương pháp l¾p Ishikawa Đ%nh lý 1.2.2 Cho (X, d) không gian mêtric... X ∗ khơng gian loi ch¾t Trong trưòng hop X khơng gian Hilbert J ≡ I -ánh xa đơn v% X Neu X khơng gian Banach trơn ánh xa đoi ngau chuan tac J đơn tr% Neu X không gian Banach trơn đeu ánh xa đoi