Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng. Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS. Hà Đức Vượng - người thầy đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này. Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và quan tâm trong suốt thời gian học tập tại Trường ĐHSP Hà Nội 2. Hà nội, ngày 1 tháng 10 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả MỤC LỤC Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Không gian metric xác suất Menger . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. Điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric 2.1. Các lớp ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất 3.1. Các lớp ánh xạ co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán khác nhau của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X là một không gian bất kỳ, ánh xạ :TM M là một ánh xạ đi từ tập hợp con M của không gian X vào chính nó. Phương trình   Tx x x M , dưới các điều kiện cụ thể, ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của nó. Điểm xM thỏa mãn phương trình Tx x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M. Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong Khoa học kỹ thuật nói chung. Điều này dẫn đến một lĩnh vực nghiên cứu mới thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này đã hình thành nên:"Lý thuyết điểm bất động". Lý thuyết điểm bất động đã phát triển theo 2 hướng chính: Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912). Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach. Từ đó lớp ánh xạ này đã được mở rộng bởi nhiều tác giả khác như Rakotch, Sadovskij, Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler, Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự 2 mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách (, )dxy , người ta xét hàm phân bố , () xy Ft biểu diễn xác suất để cho (, )dxy t , với t là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983. Các lớp ánh xạ co cùng với kết quả về điểm bất động của chúng đã được nghiên cứu trong các không gian này. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động”. Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản là công cụ cho những nội dung nghiên cứu ở chương sau như: khái niệm về không gian metric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác và không gian metric xác suất Menger. Chương 2: Trình bày khái niệm về các lớp ánh xạ co trong không gian metric: ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh xạ co Meir – Keeler. Cuối cùng là kết quả về định lý điểm bất động của các lớp ánh xạ co này. Chương 3: Nội dung chính của chương này là sự mở rộng khái niệm các lớp ánh xạ co nói trên sang không gian metric xác suất. Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. Cuối cùng là các kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. 3 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là xây dựng một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric. Mở rộng các kết quả đó sang không gian metric xác suất. Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trong bài báo: "A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces" đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica năm 1998. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về: “Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động”. 5. Phương pháp nghiên cứu − Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu. − Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp mới Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động. Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric và không gian metric xác suất. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách (, )dxy , người ta xét hàm phân bố , () xy Ft biểu diễn xác suất để cho (, )dxy t , với t là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo suất bản năm 1983. Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm cơ bản về không gian metric và không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger. 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1]. Tập hợp X  cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực  được gọi là không gian metric, ký hiệu là   ,Xd , nếu d thoả mãn: 1.     , 0, , 0 , ,d xy d xy x y xy X     . 2.     , ,, ,d xy dyx xy X  . 3.       , ,,dxy dxz dzy , ,xy X . Ánh xạ :dX X gọi là metric trên X, số   ,d xy gọi là khoảng 5 cách giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề metric. Định nghĩa 1.1.2 [1]. Cho không gian metric   ,Xd . Một tập hợp con bất kỳ M  của tập hợp X cùng với metric d trên X làm thành một không gian metric. Không gian metric   ,Md gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho. Ví dụ 1.1.1. Với hai vectơ bất kỳ 12 12 ( , , , ), ( , , , ) kk x xx x y yy y thuộc không gian vectơ thực k chiều k  ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt: 2 1 (, ) ( ) k jj j dxy x y    . (1.1) Ta có   ,d xy là một metric trên k  . Chứng minh. Hiển nhiên ta có:   2 1 0 k jj j xy    với mọi , k xy  . Vậy   ,0d xy  . Nếu   2 1 0 k jj j xy    , thì ta có: 6   2 1 0 k jj j xy    . Ta suy ra   2 0, 1,2, , . jj xy j k   Hay , 1,2, , . jj x yj k  Do đó ta có xy . Vậy   , 0 ,, . k d xy x y xy  Hiển nhiên ta có:         2 1 2 1 , ,. k jj j k jj j d xy x y yx d yx        Vậy     , ,, , . k d xy dyx xy  Bây giờ ta kiểm tra tiên đề 3 về metric. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski. Với 2k số thực a j , bj (j = 1, 2, ,k) ta có: 22 1 11 . k kk jj j j j jj ab a b      . (1. 2) Thật vậy: 7 2 11 0 () kk ij ji ij ab ab        22 22 11 11 11 2. kk kk kk i j ii j j j i ij ij ij ab abab ab         2 22 11 1 22 kk k j j jj jj j a b ab                                . Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.2). Với 3 vectơ bất kỳ 12 12 12 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ) k kk x xx x y yy y z zz z  thuộc k  ta có: 22 1 (, ) ( ) k jj j d xy x y        2 1 k jj jj j xz zy           22 11 1 ( ) 2. ( ) kk k jj jjjj jj jj j xz xzzy zy           2 2 22 11 ( , ) 2. ( ) . ( ) ( , ) kk jj jj jj dxz x z z y dzy       22 (, ) 2.(, ).(, ) (, )d xz dxz dzy d zy  2 (, ) (, )dxz dzy     . Ta có (, ) (,) (, )dxy dxz dzy , ,, k xyz . [...]... của không gian metric và không gian metric xác suất Đó là các kiến thức nền tảng để phục vụ cho việc nghiên cứu những khái niệm về các lớp ánh xạ co và điểm bất động của chúng trong không gian metric, không gian metric xác suất ở các chương tiếp theo Chương 2 Điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm các lớp ánh xạ co Đó là lớp ánh xạ co. .. lớp ánh xạ co Đó là lớp ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh xạ co Meir – Keeler Sau đó chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co nói trên 2.1 Các lớp ánh xạ co Định nghĩa 2.1.1 [8] Ánh xạ T từ không gian metric X , d  vào chính nó được gọi là ánh xạ co Banach nếu tồn tại hằng số k  0,1 sao... [8] Ánh xạ T từ không gian metric X , d  vào chính nó được gọi là ánh xạ co Meir – Keeler nếu với mỗi   0 ,   0 sao cho   d x , y      Khi đó d Tx ,Ty    Lớp ánh xạ này còn được gọi là ,   -co 2.2 Điểm bất động Trước tiên chúng tôi trình bày một kết quả kinh điển trong lý thuyết điểm bất động, đó là nguyên lý ánh xạ co Banach Định lý 2.2.1 [2] Cho X , d  là một không gian metric. .. là không gian metric đầy đủ, dãy Cauchy đó hội tụ về một điểm thuộc không gian Sau đó ta chứng minh đó là điểm bất động của ánh xạ Cuối cùng ta chứng minh điểm bất động đó là duy nhất 32 Sau đây chúng tôi xin trình bày, không chứng minh các kết quả về điểm bất động của Rakotch, Krasnoselskij, Sadovskij và Boyd – Wong Định lý 2.2.2 [8] Cho X , d  là một không gian metric đầy đủ, ánh xạ T : X  X ...   1, với mọi x , y, z  X Định lý 1.2.1 [12] Mọi không gian metric đều là không gian metric xác suất Chứng minh Cho không gian metric X , d  , xác suất P Với x , y  X , t   đặt Fx ,y (t )  P d (x , y )  t , t   Họ các hàm phân bố   Fx ,y , x , y  X  là một metric xác suất trên X Khi đó X ,   là một không gian metric xác suất Thật vậy, trước tiên ta chứng minh Fx ,y t  là... 1 t  Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của không gian metric xác suất Nhận xét 1.3.3 Nếu X ,  ,  là một không gian metric xác suất Menger thì nó là một không gian tô pô Hausdorff , tô pô sinh bởi một họ ,   lân cận: 20 U ,  : x  X ,   0,   0 , x ở đây   U x ,    y  X : Fx ,y   1   Định nghĩa 1.3.3 [8] Cho không gian metric xác suất Menger... nghĩa là x * là điểm bất động của ánh xạ T Cuối cùng ta chứng minh x * là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Giả sử tồn tại điểm y *  X cũng là điểm bất động của ánh xạ T , thì ta có:    d x *, y *  d Tx *,Ty *  * *    kd x , y Hay 1  k d x *, y *   0 31 Vì k  0,1 nên 1  k  0 , suy ra    d x *, y *  0 Vậy x *  y * Hay x * là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Định lý... x , y  với mọi x , y  X Định nghĩa 2.1.2 [8] Ánh xạ T từ không gian metric X , d  vào chính nó được gọi là ánh xạ co Rakotch nếu tồn tại một hàm không tăng k : 0,   0,1 , sao cho 27   d Tx ,Ty   k d x , y  d x , y  , với mọi x , y  X Định nghĩa 2.1.3 [8] Ánh xạ T từ không gian metric X , d  vào chính nó được gọi là ánh xạ co Krasnoselskij nếu tồn tại một hàm k : 0,  ... Định nghĩa 2.1.4 [8] Ánh xạ T từ không gian metric X , d  vào chính nó được gọi là ánh xạ co Sadovskij nếu tồn tại một hàm k : 0,    0,1  thỏa mãn điều kiện   sup k t  : a  t  b  1 , với 0  a  b  , sao cho   d Tx ,Ty   k d x , y  d x , y  , với mọi x , y  X Định nghĩa 2.1.5 [8] Ánh xạ T từ không gian metric X , d  vào chính nó được gọi là ánh xạ co Boyd – Wong nếu... một không gian định chuẩn vô hạn chiều và C là một tập compact trong X thì X \ C đồng phôi với X Sau khi có kết quả về điểm bất động của Banach, nhiều nhà toán học đã tìm cách mở rộng kết quả này bằng cách mở rộng từ hằng số k thành các hàm số với những tính chất riêng Việc chứng minh các định lý về điểm bất động này đều dựa trên cùng một kỹ thuật là: xây dựng một dãy Cauchy, với giả thiết là không gian . của ánh xạ co trong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về: Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất. Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động. Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric và không gian metric xác suất. Chương 1 Kiến. về không gian metric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác và không gian metric xác suất Menger. Chương 2: Trình bày khái niệm về các lớp ánh xạ co trong không gian metric: