Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động

Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach.. Các lớp ánh xạ co cùng với kết quả về điểm bất động của chúng đã

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà

Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS Hà Đức Vượng - người thầy đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này

Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học

và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và quan tâm trong suốt thời gian học tập tại Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hà nội, ngày 1 tháng 10 năm 2010

Tác giả

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 4

1.2 Không gian metric xác suất 11

1.3 Không gian metric xác suất Menger 17

Chương 2 Điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric 2.1 Các lớp ánh xạ co 26

2.2 Điểm bất động 28

Chương 3 Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất 3.1 Các lớp ánh xạ co xác suất 38

3.2 Điểm bất động 46

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều bài toán khác nhau của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề sau:

Cho X là một không gian bất kỳ, ánh xạ : T M  M là một ánh

xạ đi từ tập hợp con M của không gian X vào chính nó Phương trình

Tx  x x M , dưới các điều kiện cụ thể, ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của nó Điểm x M thỏa mãn phương trình Tx  x được gọi là

điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M

Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong Khoa học kỹ thuật nói chung Điều này dẫn đến một lĩnh vực nghiên cứu mới thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này

đã hình thành nên:"Lý thuyết điểm bất động"

Lý thuyết điểm bất động đã phát triển theo 2 hướng chính:

Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên

tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912)

Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng

co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)

Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất

động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach Từ đó lớp ánh

xạ này đã được mở rộng bởi nhiều tác giả khác như Rakotch, Sadovskij, Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler,

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" Đó là sự

mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc

xét khoảng cách ( , )d x y , người ta xét hàm phân bố F t x y, ( ) biểu diễn xác suất để cho ( , )d x y t , với t là một số thực Khái niệm này đã thu hút sự

quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983 Các lớp ánh xạ co cùng với kết quả về điểm bất động của chúng đã được nghiên cứu trong các không gian này

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

“Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất và điểm bất động”

Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản là công cụ cho những nội dung nghiên cứu ở chương sau như: khái niệm về không gian metric, hàm phân bố, không gian metric xác suất, chuẩn tam giác và không gian metric xác suất Menger

Chương 2: Trình bày khái niệm về các lớp ánh xạ co trong không gian metric: ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh

xạ co Meir – Keeler Cuối cùng là kết quả về định lý điểm bất động của các lớp ánh xạ co này

Chương 3: Nội dung chính của chương này là sự mở rộng khái niệm các lớp ánh xạ co nói trên sang không gian metric xác suất Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất Cuối cùng là các kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là xây dựng một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric Mở rộng các kết quả đó sang không gian metric xác suất Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trong bài báo:

"A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces" đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica năm 1998

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về: “Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất

và điểm bất động”

5 Phương pháp nghiên cứu

− Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp mới

Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric và không gian metric xác suất

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" Đó là sự

mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc

xét khoảng cách ( , )d x y , người ta xét hàm phân bố F t x y, ( ) biểu diễn xác suất để cho ( , )d x y t , với t là một số thực Khái niệm này đã thu hút sự

quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo suất bản năm 1983 Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm cơ bản về không gian metric và không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ tích

Descartes X × X vào tập hợp số thực  được gọi là không gian metric,

ký hiệu là  X d, , nếu d thoả mãn:

cách giữa hai phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm, các

tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề metric

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric  X d, Một tập hợp con bất

kỳ M   của tập hợp X cùng với metric d trên X làm thành một

không gian metric Không gian metric M d,  gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho

Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ bất kỳ x ( , , , ),x x1 2 x k y ( , , , )y y1 2 y k thuộc không gian vectơ thực k chiều k (k là số nguyên dương nào đó)

 2 1

Ta có

( , ) ( , ) ( , )

d x y d x z d z y , x y z, ,  k

Vì vậy hệ thức (1.1) là một metric trên không gian k

Không gian metric tương ứng ký hiệu là k

Ví dụ 1.1.2 Ta ký hiệu Ca b, 

 

  là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị thực, xác định và liên tục trên đoạn a b, ,     a b 

  Suy ra hệ thức (1.3) xác định một ánh xạ từ tích Descartes Ca b,  Ca b, 

  là không gian metric, với metric d được xác định bởi (1.3)

Ví dụ 1.1.3 Cho tập hợp X   Với hai phần tử bất kỳ x y, X, ta đặt  , 1

Chứng minh

Thật vậy hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes X Xvào tập hợp số thực  Ta kiểm tra hệ thức (1.4) về các tiên đề metric Với hai phần tử bất kỳ x y, X

Ta thấy nếu x y thì theo (1.4) ta có d x y  , 0

Nếu x y thì theo (1.4) ta có d x y  , 1

Vậy ta có d x y ,  0, x y, X

d x y   x y

Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 1 về metric

Bây giờ ta kiểm tra tiên đề 2 về metric

Với hai phần tử bất kỳ x y, X

Nếu x y thì y x, do đó d x y , d y x ,  0

Nếu x y thì y x, do đó d x y , 1,d y x , 1

Vì vậy d x y , d y x , với mọi x y, X

Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 2 về metric

Cuối cùng, ta kiểm tra tiên đề 3 về metric, đó là bất đẳng thức tam giác Với ba phần tử x y z, , X ta có:

Giả sử x y thì d x y  , 0 Theo chứng minh trên ta có

d x z  ,d y z  , 0

Do đó d x y , d x z   , d z y,

Nếu x y thì d x y  , 1 Với hai phần tử còn lại:

Nếu z  x thì z  y, khi đó d x z  , 0, d z y  , 1 Suy ra

Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 3 về metric

Vậy hệ thức (1.4) là một metric trên X Không gian metric tương ứng

gọi là không gian metric rời rạc

Nhận xét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định được các metric khác nhau Chẳng hạn trên cùng tập hợp k, ngoài metric Eukleides, có thể xác định các metric sau đây:

Với hai phần tử bất kì x x x1, , ,2 x k,y y y1, , ,2 y k thuộc  ta k

 



Dễ dàng ta kiểm tra được d1 và d2 cũng là các metric trên k

1.2 Không gian metric xác suất

Định nghĩa 1.2.1 [8] Một ánh xạ :F    0,1 được gọi là hàm phân bố (distribution function) nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và

Vậy F u v,  t là hàm không giảm

Tiếp theo ta chứng minh F u v,  t là hàm nửa liên tục dưới

Do F u v,  t là hàm liên tục nên nó là hàm nửa liên tục dưới Cuối cùng ta tính sup u v,  

u v t

Định nghĩa 1.2.2 [12] Không gian metric xác suất (probabilistic metric space) là một cặp sắp thứ tự X,, ở đây X là một tập hợp khác rỗng

và F x y,  t  là họ các hàm phân bố thỏa mãn các điều kiện sau:

1 F x y,  0  0 với mọi x y, X

2 F x y,  t 1,  t 0 nếu và chỉ nếu x  y

3 F x y,  t F y x,  t ,  t  với mọi x y, X

4 Nếu F x z,  t 1 1 và F z y,  t 2 1, thì F x y, t1t21, với mọi x y z, , X

Định lý 1.2.1 [12] Mọi không gian metric đều là không gian metric xác suất

Giả sử t1 t2, t t1 2,   ta có:

( ) ( , )

( , )( )

Thật vậy, theo định nghĩa của hàm phân bố ta có:

Do tính chất trù mật của tập hợp  ,  t2 0 sao cho 0 t1 t2.

Ta có P d x y  , t2 0, mâu thuẫn với (1.5)

Ta cóX, là một không gian metric xác suất 

1.3 Không gian metric xác suất Menger

Định nghĩa 1.3.1 [17] Một ánh xạ : 0;1     0;1  0;1

      được gọi là một

chuẩn tam giác, viết tắt là t - chuẩn (triangular norm) nếu những điều

kiện sau đây được thỏa mãn:

1  a,1 a với mọi a   0;1

2  a b,   b a, với mọi ,a b   0;1

Mặt khác do ,a b   0;1 nên ab min , a b hay   2 3

Vậy ta có    1 2 3

Định nghĩa 1.3.2 [8] Không gian metric xác suất Menger (Menger bilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự X, ,  Trong đó X,

proba-là không gian metric xác suất,  là t - chuẩn thỏa mãn các điều kiện

trường hợp riêng của không gian metric xác suất Vì các điều kiện từ 1 đến 3 của Định nghĩa 1.2.2 trùng với các điều kiện từ 1 đến 3 của Định nghĩa 1.3.2 nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện 4 của Định nghĩa 1.2.2 Thật vậy, giả sử F x y,  t 1, F y z,  s  1, ,t s  , với mọi x y z, , X thì

Nhận xét 1.3.3 Nếu X, ,  là một không gian metric xác suất Menger thì nó là một không gian tô pô Hausdorff , tô pô sinh bởi một họ   , - lân cận:

Định nghĩa 1.3.5 [8] Một không gian metric xác suất Menger X, , 

được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm thuộc X

Định nghĩa 1.3.6 [8] Cho tập hợp X khác rỗng, ánh xạ : d X X   được gọi là một giả metric nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Định lý 1.3.1 [8] Cho không gian metric xác suất Menger X F , , , nếu

t- chuẩn  thỏa mãn điều kiện:

 a a, a

  ,    a 0;1 , thì không gian metric xác suất Menger X F , ,  chứa một họ giả metric

 

sup t   :F x x t  1   0 Vậy d x x  ,  0

Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tam giác bằng phản chứng

Giả sử    0;1 ,x y z, , X sao cho

d x z  d x y  d y z  Khi đó t s,   sao cho

d x y  , s và d y z  , t để d x z  ,  t s (1.8) Đặt d x z  , a, d x y  , b, d y z  , c, ta có a b c  0

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.3.8 [8] Cho không gian metric X d,  

1 Một dãy  x n trong X được gọi là hội tụ tới x X nếu với mỗi

về các lớp ánh xạ co và điểm bất động của chúng trong không gian metric, không gian metric xác suất ở các chương tiếp theo

Chương 2

Điểm bất động của các ánh xạ co

trong không gian metric

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm các lớp ánh xạ co

Đó là lớp ánh xạ co Banach, ánh xạ co Rakotch, ánh xạ co Krasnoselskij, ánh xạ co Sadovskij, ánh xạ co Boyd – Wong, và lớp ánh xạ co Meir – Keeler Sau đó chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của các lớp ánh xạ co nói trên

Định nghĩa 2.1.2 [8] Ánh xạ T từ không gian metric  X d, vào chính nó được gọi là ánh xạ co Rakotch nếu tồn tại một hàm không tăng

k    , sao cho

Định nghĩa 2.1.4 [8] Ánh xạ T từ không gian metric  X d, vào chính nó được gọi là ánh xạ co Sadovskij nếu tồn tại một hàm k : 0,    0,1

thỏa mãn điều kiện

n

T x x khi n   Chứng minh

Lấy x0 tùy ý trong X và đặt x n1 Tx n với n  0,1,2,

Vì T là ánh xạ co Banach, nghĩa là tồn tại hằng số k  0;1 thỏa mãn:





  0, 0

1

n k

d Tx x k



Vì 0 k 1 nên lim 0

1

n n

k k

Vậy Tx*  x*, nghĩa là x* là điểm bất động của ánh xạ T

Cuối cùng ta chứng minh x* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T

Giả sử tồn tại điểm y* X cũng là điểm bất động của ánh xạ T ,

Một trong những ứng dụng lý thú khác của nguyên lý ánh xạ co là điều khẳng định sau đây:

Cho X là một không gian Banach, I là ánh xạ đồng nhất và T là một ánh xạ co trong X Khi đó, I – T là một phép đồng phôi trong X

Klee (1956) đã sử dụng sự kiện này để chứng minh rằng: nếu X là một không gian định chuẩn vô hạn chiều và C là một tập compact trong

Sau đây chúng tôi xin trình bày, không chứng minh các kết quả về điểm bất động của Rakotch, Krasnoselskij, Sadovskij và Boyd – Wong

Định lý 2.2.2 [8] Cho  X d, là một không gian metric đầy đủ, ánh xạ

với mọi x y, X (Rakotch)

2 Tồn tại một hàm k : 0,   0,   0,1 sao cho

d Tx Ty k   d x y , với mọi x y, X thỏa mãn 0  d x y ,    (Krasnoselskij)

3 Tồn tại một hàm k : 0,    0,1 thỏa mãn điều kiện

Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của Meir – Keeler

Định lý 2.3.6 [8] Cho  X d, là một không gian metric đầy đủ, ánh xạ

Xét dãy c n d x x n, n1, n 1,2,

Nếu c  n 0 thì khoảng cách giữa hai điểm là bằng 0 và như thế là chúng trùng nhau Đây là trường hợp tầm thường

Có thể giả thiết c  n 0 Vì T là ánh xạ co nên  c n là dãy số không âm và giảm, do đó c n   0 khi n  

Nếu   0 thì tồn tại   0 để có (2.1) Chọn k  sao cho nếu

n k thì c n    Theo (2.1) ta có c n1   là điều vô lý

Vậy   0 tức là c  n 0 khi n  

Bây giờ ta chứng minh  x n là dãy Cauchy bằng phản chứng

Giả sử dãy  x n không là dãy Cauchy Khi đó   0 sao cho