Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS. Hà Đức Vượng – người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này. Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học và các thầy cô giáo đã tận tình quan tâm giảng dạy trong suốt quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Lại Thị Thanh Huệ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Lại Thị Thanh Huệ Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 5 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . 17 2 Không gian metric xác suất và điểm bất động 21 2.1 Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Không gian metric xác suất Menger . . . . . . . . . 31 2.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất 41 3.1 Quan hệ ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất . . . . . . . . . 44 3.3 Các hệ quả và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Cho M là một tập hợp bất kì, T là một ánh xạ đi từ M vào chính nó. Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M. Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ đã thu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này hình thành nên: “Lý thuyết điểm bất động”. Năm 1922, một kết quả kinh điển về điểm bất động được công bố, đó là nguyên lý ánh xạ co Banach. Năm 1942, Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”. Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố F x,y (t) biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó. Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất và viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983. Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng sang lớp không gian này. 2 Năm 1993, Singh giới thiệu khái niệm các ánh xạ giao hoán yếu trong không gian metric xác suất qua bài báo “Fixed points of weakly commuting mappings on Menger spaces”. Sử dụng khái niệm các ánh xạ R-giao hoán yếu từng điểm (pointwise R-weakly commuting) và các ánh xạ liên tục nghịch đảo (reciprocally continuous), Kumar và Chugh đã công bố một số kết quả về điểm bất động chung cho các ánh xạ này trong không gian metric. Năm 2005, Mihet đã có kết quả mở rộng về điểm bất động cho lớp ánh xạ co xác suất, công bố trong bài báo: “A generalization of a contraction principle in probabilistic metric spaces, Part II”. Năm 2010, một kết quả về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co xác suất với quan hệ ẩn của các tác giả thuộc trường Đại học Delhi của Ấn Độ: J. K. Kohli, Sachin Vashistha và Durgesh Kumar được công bố trong bài báo: “A Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contrac- tive Type Implicit Relations”. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất”. Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo. 3 Chương 1: trình bày về không gian metric, không gian metric đầy đủ và nguyên lý ánh xạ co Banach. Chương 2: trình bày về không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger và sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong lớp không gian này. Chương 3: trình bày về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất, các hệ quả và ví dụ. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là nghiên cứu về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của J. K. Kohli, Sachin Vashistha và Durgesh Kumar trong bài báo: “A Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contractive Type Implicit Relations”, đăng trên tạp chí Int. Journal of Math. Analysis, năm 2010. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. 4 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Đây sẽ là một bài tổng quan về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. Giúp người đọc hiểu những khái niệm và tính chất cơ bản về không gian metric xác suất, đặc biệt là điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Cho M là một tập hợp bất kì, T là một ánh xạ đi từ M vào chính nó. Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M. Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ đã góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong khoa học kĩ thuật nói chung. Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về không gian metric và kết quả kinh điển về điểm bất động, đó là nguyên lý ánh xạ co Banach. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y. 6 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X. 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X. Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Ví dụ 1.1.1. Cho không gian R n , với mọi x = (x 1 , x 2 , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) thuộc R n , ta đặt: d (x, y) = max 1≤i≤n |x i − y i | . Ta có d là một metric trên R n . Chứng minh. Ta kiểm tra 3 tiên đề metric: Hiển nhiên ta có |x i − y i | ≥ 0, ∀i = 1, 2, , n. Suy ra max 1≤i≤n |x i − y i | ≥ 0. Vậy d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R n . Nếu max 1≤i≤n |x i − y i | = 0 thì ta có: |x i − y i | = 0, ∀i = 1, 2, , n. Suy ra x i = y i , ∀i = 1, 2, , n. Hay x = y. Do đó d (x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ R n . Hiển nhiên ta cũng có |x i − y i | = |y i − x i | , ∀i = 1, 2, , n. Suy ra max 1≤i≤n |x i − y i | = max 1≤i≤n |y i − x i | . [...]... t1 + t2 + |x − x| với mọi t1 , t2 > 0 Vậy Fx,y (t1 + t2 ) = 1 Như vậy 4 điều kiện về metric xác suất được thỏa mãn Do đó (X, F ) là không gian metric xác suất Nhận xét 2.1.1 Mọi không gian metric đều là không gian metric xác suất Chứng minh Cho không gian metric (X, d), xác suất P Với mọi x, y ∈ X, ∀t ∈ R đặt Fx,y (t) = P {d (x, y) < t} Khi đó (X, F ) là một không gian metric xác suất Thật vậy, trước... bản {fn } trong không gian B đều hội tụ tới hàm f trong B Do đó B là không gian metric đầy đủ 17 1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho hai không gian metric (X, d1 ) và (Y, d2) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho: d2 (Ax, Ay) ≤ kd1 (x, y) , ∀x, y ∈ X Định lí 1.3.1 [1] (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho không gian metric đầy... rộng nguyên lý ánh xạ co Banach sang không gian metric xác suất được trình bày ở chương tiếp theo 21 Chương 2 Không gian metric xác suất và điểm bất động Năm 1942, Menger đã đưa ra khái niệm metric xác suất Đó là sự mở rộng xác suất của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố Fx,y (t) biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực... 1.1.2 Không gian Metric là một không gian tôpô Với một điểm x bất kỳ trong không gian metric X ta định nghĩa một 11 hình cầu mở bán kính r > 0, tâm x là tập hợp B (x; r) = {y ∈ X : d (x, y) < r} Họ hình cầu mở này sinh ra một tôpô trên X (tôpô sinh bởi metric) Khi đó X trở thành không gian tôpô 1.2 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy điểm {xn} ⊂ X , điểm. .. nhất điểm bất động của ánh xạ f trong Rn Suy ra hệ y = Ax + b có nghiệm duy nhất Trong chương này chúng tôi đã trình bày lại các khái niệm, tính chất cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ cùng một số ví dụ minh họa và trình bày kết quả kinh điển về điểm bất động đó là nguyên lý ánh xạ co Banach Đây là những kiến thức nền tảng phục vụ cho việc nghiên cứu về không gian metric xác suất. .. [11] Không gian metric xác suất Menger (Menger probabilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự (X, F, ∆), trong đó ∆ là t-chuẩn và (X, F ) là không gian metric xác suất thỏa mãn Fx,z (t + s) ≥ ∆ (Fx,y (t) , Fy,z (s)), với mọi x, y, z ∈ X và t, s ≥ 0 Ví dụ 2.2.1 Cho (X, d) là không gian metric, với: Fx,y (t) = H (t − d (x, y)) và chuẩn tam giác ∆ (a, b) = min {a; b} Thì (X, F, min) là không gian metric. .. minh bất đẳng thức tam giác Ta có: d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) < t + s, ∀x, y, z ∈ X Suy ra P {d (x, z) < t + s} = 1, ∀x, z ∈ X, ∀t, s ∈ R 29 Hay Fx,z (t + s) = 1, ∀t, s ∈ R, ∀x, z ∈ X Vậy F thỏa mãn các điều kiện của metric xác suất trên X Do đó (X, F ) là một không gian metric xác suất Như vậy khái miệm không gian metric xác suất là sự mở rộng của khái niệm không gian metric Nhận xét 2.1.2 Cho không. .. thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983 Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng sang lớp không gian này Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian metric xác suất, và trình bày sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach... với mỗi i = 1, 2, , n dãy xi là dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn (m) lim xi m→∞ = xi, i = 1, 2, , n Đặt x = (x1 , x2 , , xn ) thì ta có dãy x(m) ⊂ Rn đã cho hội tụ theo tọa độ tới x trong không gian Rn Mà sự hội tụ trong không gian Rn là sự hội tụ theo tọa độ, nên dãy 13 cơ bản x(m) ⊂ Rn đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn Vậy Rn là không gian metric đầy đủ L Ví dụ 1.2.2 Trong không gian. .. là một không gian metric Kí hiệu B là tập tất cả các hàm bị chặn f : X → Y 15 Với các hàm bị chặn f và g bất kỳ thuộc B , ta đặt d0 (f, g) = sup d (f (x) , g (x)) x∈X thì (B, d0 ) là một không gian metric Nếu (Y, d) là không gian metric đầy đủ, thì (B, d0 ) cũng sẽ là không gian metric đầy đủ Chứng minh Trước tiên ta chỉ ra (B, d0 ) là một không gian metric Thật vậy, ta kiểm tra 3 tiên đề metric: . Banach trong không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất 41 3.1 Quan hệ ẩn. bài tổng quan về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. Giúp người đọc hiểu những khái niệm và tính chất cơ bản về không gian metric xác suất, đặc. cứu Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động chung