Về sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trong không gian mêtric và ứng dụng

2 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân khơng gian mêtric đầy đủ 10 Sự tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân ứng dụng 22 2.1 Sự tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ 22 2.2 Một ứng dụng chứng minh tồn nghiệm phương trình hàm 29 Kết luận 33 MỞ ĐẦU Định lý điểm bất động Banach ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết kinh điển toán học Sau Banach chứng minh, định lý điểm bất động ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểm bất động mở rộng nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ suy rộng, nhiều loại không gian khác Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Giải tích, Phương trình vi tích phân Có thể nói phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động có nguồn gốc từ ứng dụng rộng lớn Năm 2001, Branciari (xem [2]) phát triển ý tưởng Boyd Wong năm 1969 (xem [3]) xây dựng khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân thu định lý điểm bất động kiểu ánh xạ co Một số điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Rhoades phát triển thêm [10] Gần đây, số tác giả khác tiếp tục nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân, đặc biệt ứng dụng chúng (xem [4]) Nhằm nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân ứng dụng, chúng tơi lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân không gian mêtric ứng dụng Luận văn trình bày chi tiết, có hệ thống xây dựng ví dụ cho định lý điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình hàm Hơn nữa, chúng tơi đề xuất kết tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân, kết mở rộng kết [4] Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn viết thành chương: Chương Các ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng Nội dung chương trình bày kiến thức sở không gian mêtric, ánh xạ co, ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân khơng gian mêtric đầy đủ Chương Sự tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân ứng dụng Chương nghiên cứu tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ co kiểu tích phân ứng dụng để chứng minh tồn lớp phương trình hàm Chúng thiết lập định lý khẳng định tồn điểm bất động chung lớp ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Từ kết chúng tơi nhận kết trình bày [4] Ngồi chúng tơi trình bày thêm số ví dụ minh họa cho kết Luận văn thực trường Đại Học Vinh hướng dẫn TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Sư phạm Tốn học q thầy Bộ mơn Giải tích Trường Đại Học Vinh, giúp đỡ thời gian học tập, rèn luyện hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban Quản lý Phòng đào tạo, Ban giám hiệu Trường Đại Học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp Q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Bùi Quốc Tiến CHƯƠNG CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CHÚNG Chương dành cho việc trình bày định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân khơng gian mêtric đầy đủ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần dùng sau 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau 1) d(x, y) với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric 1) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy d(xm , xn ) → m, n → ∞ 2) Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ X 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric A ⊂ X Đường kính A ký hiệu δ(A) xác định δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} Tập A gọi bị chặn có đường kính hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn q ∈ (0, 1) cho d f x, f y qd(x, y), ∀x, y ∈ X 1.1.5 Định nghĩa Cho X không gian mêtric f, g : X → X ánh xạ 1) Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f a = a 2) Điểm a ∈ X gọi điểm trùng f g f a = ga 3) Điểm a ∈ X gọi điểm bất động chung f g f a = ga = a Định lý sau nguyên lý điểm bất động Banach 1.1.6 Định lý ([1]) Mọi ánh xạ co từ khơng gian mêtric đầy đủ X vào ln có điểm bất động Sau số khái niệm số lớp ánh xạ đặc biệt không gian mêtric 1.1.7 Định nghĩa ([4]) Cho X không gian mêtric A, S : X → X ánh xạ 1) A S gọi tương thích (compatible) tồn dãy (xn ) ⊂ X cho lim Axn = lim Sxn = z n→∞ n→∞ với z thuộc x lim d(ASxn , SAxn ) = n→∞ 2) A S gọi nửa tương thích (subcompatible) tồn dãy (xn ) ⊂ X cho lim Axn = lim Sxn = z n→∞ n→∞ với z thuộc x lim d(ASxn , SAxn ) = n→∞ 3) Cặp (A, S) gọi liên tục dãy (subsequentially continuous) tồn dãy (xn ) ⊂ X cho lim Axn = lim Sxn = z n→∞ n→∞ với z thuộc x lim ASxn = Az lim SAxn = Sz n→∞ n→∞ 4) Cặp (A, S) gọi liên tục thuận nghịch (reciprocally continuous) dãy (xn ) ⊂ X cho lim Axn = lim Sxn = z n→∞ n→∞ với z thuộc x lim ASxn = Az lim SAxn = Sz n→∞ n→∞ Ví dụ sau cho thấy ánh xạ cặp nửa tương thích khơng tương thích 1.1.8 Ví dụ Xét X = R với mêtric thông thương hai ánh xạ xác định Ax = x x ∈ (−∞, 1) 5x − x ∈ [1, +∞) Sx = x + x ∈ (−∞, 1) 4x − x ∈ [1, +∞) Khi đó, (A, S) cặp tương thích yếu Thật vậy, xét dãy xn = + với n n = 1, 2, Khi lim Axn = lim (5 + n→∞ n→∞ − 4) = = lim (4 + − 3) = lim Sxn n→∞ n→∞ n n 20 20 ASxn = A(1 + ) = (1 + ), SAxn = S(1 + ) = (1 + ) n n n n Vì vậy, lim d(ASxn , SAxn ) = Do đó, (A, S) nửa tương thích n→∞ − với n = 1, 2, ta có n 1 lim Axn = lim ( − 1) = −1 = lim ( − 1) = lim Sxn n→∞ n n→∞ n→∞ n→∞ 4n Tuy nhiên, xét dãy xn = 1 1 ASxn = A( − 1) = ( − ), SAxn = S( − 1) = ( + 2) n 4n 4n 4n Vì vậy, lim d(ASxn , SAxn ) = = Do đó, (A, S) khơng tương thích n→∞ Hơn nữa, từ tính tốn dễ dàng suy (A, S) liên tục thuận nghịch Ví dụ sau cho thấy cặp tương thích liên tục dãy khơng liên tục thuận nghịch 1.1.9 Ví dụ Xét X = [0, ∞) với mêtric thông thường hai ánh xạ xác định Ax = x x ∈ [0, 1] 2x − x ∈ (1, +∞) Sx = x x ∈ [0, 1] 4x − x ∈ [1, +∞) Dễ dàng kiểm tra cặp (A, S) tương thích liên tục dãy Bây giờ, xét dãy xn = + với n = 1, 2, Khi n lim Axn = lim (2 + − 1) = = lim (4 + − 3) = lim Sxn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n n 8 20 ASxn = A(1 + ) = (1 + )), SAxn = S(1 + ) = (1 + ) n n n n Vì vậy, lim ASxn = = A(1) n→∞ 10 lim SAxn = = S(1) n→∞ Do đó, cặp (A, S) không liên tục thuận nghịch 1.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân khơng gian mêtric đầy đủ Mục này, trình bày khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng không gian mêtric đầy đủ Các kết mục viết dựa kết Branciari Rhoades tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân ví dụ minh họa 1.2.1 Định nghĩa ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả ε tích Lebesgue tập compact [0, +∞) φ(t)dt > với ε > ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co kiểu tích phân φ tồn q ∈ (0, 1) cho d(x,y) d(f x,f y) φ(t)dt φ(t)dt, ∀x, y ∈ X q (1.1) 1.2.2 Nhận xét Nếu chọn φ(t) = 1, ∀t ∈ [0, ∞) ta ánh xạ co theo kiểu tích phân φ ánh xạ co theo nghĩa thơng thường 1.2.3 Định lý ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm khả tích ε Lebesgue tập compact [0, +∞) φ(t)dt > với ε > Giả sử X không gian mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ co kiểu tích phân hàm φ Khi f có điểm bất động Chúng ta cần số kết bổ trợ sau cho chứng minh Định lý 1.2.3 11 1.2.4 Bổ đề Giả sử f xác định Định lý 1.2.3 Khi với x ∈ X ta có d(f n x, f n+1 x) → 0, n → +∞ Chứng minh Với x ∈ X , áp dụng (1.1) ta d f n−1 x,f n x d f n x,f n+1 x φ(t)dt d x,f x φ(t)dt q q n Từ q ∈ (0, 1) φ(t) φ(t)dt 0 0 suy d f n x,f n+1 x φ(t)dt = 0, n → ∞ lim n→∞ (1.2) Bây giờ, giả sử d f n x, f n+1 x không hội tụ n → ∞ Khi lim sup d f n x, f n+1 x = ε > n→∞ Từ suy tồn dãy số tự nhiên {nk } nk0 cho d f nk x, f nk +1 x → ε n → ∞ d f nk x, f nk +1 x ε với nk ta có ε φ(t)dt > d f nk x,f nk +1 x = lim n→∞ nk0 Kết hợp với (1.2) φ(t)dt Ta nhận mâu thuẫn Vậy bổ đề chứng minh 1.2.5 Bổ đề Dãy {f n x} Cauchy với x ∈ X Chứng minh Giả sử {f n x} khơng phải dãy Cauchy Khi tồn ε > cho với k ∈ N tồn mk , nk mà mk > nk > k cho d f mk x, f nk x ε 20 Suy d(f a,xn+1 ) m(a,xn ) φ(t)dt q φ(t)dt 0 d(a,xn ) = q max d(a,f a) φ(t)dt, d(xn ,xn+1 ) φ(t)dt, d(a,xn+1 ) φ(t)dt, d(f a,xn ) φ(t)dt, 0 φ(t)dt (1.20) Trong bất đẳng thức cho k → ∞ ta nhận d(f a,a) d(f a,a) φ(t)dt φ(t)dt q 0 Suy d(f a,a) φ(t)dt = 0 Từ điều kiện d(f a,a) φ(t)dt > 0 với ε > suy d(f a, a) = 0, hay a điểm bất động f Để kết thúc chứng minh ta phải a điểm bất động f Giả sử b điểm bất động f Khi d(a,b) d(f a,f b) φ(t)dt = φ(t)dt 0 m(a,b) q d(a,b) φ(t)dt = q max{ φ(t)dt, 0} d(a,b) =q φ(t)dt Suy d(a,b) φ(t)dt chứng minh = Do d(a, b) = 0, tức a = b Định lý 21 1.2.8 Nhận xét Vì mf (x, y) d(x, y) với x, y ∈ X nên từ Định lý 1.2.7 suy Định lý 1.2.3 áp dụng định lý với φ(t) = với t ∈ [0, +∞) ta nhận hệ sau Kết gọi định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng Círi´c (xem [6]) 1.2.9 Hệ Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ f : X → X Nếu tồn q ∈ (0, 1) cho d(f x, f y) q max d(x, y), d(x, f x), d(y, f y), d(x, f y) + d(y, f x) với x, y ∈ X f có điểm bất động 22 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM TRÙNG NHAU, ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chương này, nghiên cứu tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ co kiểu tích phân ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình hàm 2.1 Sự tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ Trong mục này, thiết lập định lý khẳng định tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân Từ kết chúng tơi nhận kết trình bày [4] Ngồi chúng tơi trình bày thêm số ví dụ minh họa cho kết Định lý sau kết mục 2.1.1 Định lý Cho A, B, S, T : X → X bốn tự ánh xạ không gian mêtric (X, d) Nếu cặp (A, S) (B, T ) nửa tương thích liên tục dãy (hoặc tương thích liên tục thuận nghịch) Cặp (A, S) có điểm trùng nhau; Cặp (B, T ) có điểm trùng 23 Hơn nữa, giả thiết thêm d(Ax,By) max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)} ϕ(t)dt α ϕ(t)dt (2.1) max{d(Ax,T y),d(By,Sx)} +β ϕ(t)dt với x, y ∈ X , α 0, β 0, α + β < ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm khơng âm, khả tích Lebesgue tập compac [0; +∞] ε ϕ(t)dt > với ε > A, B, S T có điểm bất động Chứng minh Trường hợp 1: Các cặp (A, S) (B, T ) tương thích liên tục dãy Từ (A, S) liên tục dãy suy tồn dãy (xn ) ⊂ X cho lim Axn = lim Sxn = z n→∞ n→∞ với z thuộc X lim ASxn = Az lim SAxn = Sz n→∞ n→∞ Vì (A, S) tương thích nên từ lim Axn = lim Sxn = z n→∞ n→∞ lim d(ASxn , SAxn ) = n→∞ Mặt khác, tính liên tục mêtric nên từ lim ASxn = Az lim SAxn = n→∞ n→∞ Sz suy lim d(ASxn , SAxn ) = d(Az, Sz) n→∞ Vì vậy, d(Az, Sz) = 0, hay Az = Sz Do đó, z điểm trùng A, S Tương tự, cặp (B, T ) tồn dãy (yn ) ⊂ X cho lim Byn = lim T yn = w n→∞ n→∞ với w thuộc X z điểm trùng B, T 24 Bây giờ, điều kiện (2.1) ta chứng minh z = w điểm bất động chung A, B, S T Với n = 1, 2, , áp dụng (2.1) x = xn y = yn ta nhận d(Axn ,Byn ) max{d(Sxn ,T yn ),d(Axn ,Sxn ),d(Byn ,T yn )} ϕ(t)dt α ϕ(t)dt 0 max{d(Axn ,T yn ),d(Byn ,Sxn } +β ϕ(t)dt (2.2) Cho n → ∞, ta nhận max{d(z,w),d(z,z),d(w,w)} d(z,w) ϕ(t)dt ϕ(t)dt α 0 max{d(z,w),d(z,w)} ϕ(t)dt +β (2.3) d(z,w) = (α + β) ϕ(t)dt d(z,w) < ϕ(t)dt Vì vậy, z = w d(z, w) > suy d(z,w) ϕ(t)dt > 0, ta nhận mâu thuẫn Do đó, z = w Bây giờ, ta Az = z Thật vây, áp dụng (2.1) với x = z y = yn với n ta có d(Az,Byn ) max{d(Sz,T yn ),d(Az,Sz),d(Byn ,T yn )} ϕ(t)dt α ϕ(t)dt 0 (2.4) max{d(Az,T yn ),d(Byn ,Sz)} +β ϕ(t)dt Cho n → ∞ ta nhận d(Az,w) max{d(Sz,w),d(Az,Sz),d(w,w)} ϕ(t)dt α ϕ(t)dt (2.5) max{d(Az,w),d(w,Sz)} +β ϕ(t)dt 25 Với để ý z = w Az = Sz suy d(Az,z) d(Az,z) ϕ(t)dt (α + β) d(Az,z) ϕ(t)dt < 0 ϕ(t)dt d(Az,z) ϕ(t)dt Vì vậy, Az = z d(Az, z) > 0, kéo theo > Ta nhận, mâu thuẫn Do đó, Az = z Az = Sz = z Chứng minh tương tự, ta nhận Bw = T w = w Vì z = w nên Az = Bz = Sz = T z = z, hay z điểm bất động chung A, B, S T Bây giờ, giả sử u điểm bất động chung A, B, S T Khi đó, Au = Bu = Su = T u = u, áp dụng (2.1) ta nhận d(Az,Bu) d(z,u) ϕ(t)dt ϕ(t)dt = 0 max{d(Sz,T u),d(Az,Sz),d(Bu,T u)} ϕ(t)dt α (2.6) max{d(Az,T u),d(Bu,Sz)} +β ϕ(t)dt d(z,u) = (α + β) d(z,u) ϕ(t)dt < ϕ(t)dt Vì vậy, d(z, u) = 0, hay z = u Do đó, A, B, S T có điểm bất động chung Trường hợp 2: Các cặp (A, S) (B, T ) tương thích liên tục thuận nghịch Vì (A, S) tương thích nên tồn dãy (xn ) ⊂ X cho lim Axn = lim Sxn = z lim d(ASxn , SAxn ) = n→∞ n→∞ n→∞ với z thuộc X Từ điều kiện (A, S) liên tục thuận nghịch suy lim ASxn = Az lim SAxn = Sz n→∞ n→∞ 26 tính chất lim Axn = lim Sxn = z Do hàm khoảng cách d liên tục n→∞ n→∞ nên lim d(ASxn , SAxn ) = d(Az, Sz) n→∞ Vì vậy, d(Az, Sz) = 0, tức Az = Sz z điểm trùng A S Lập luận tương tự cho cặp (B, T ) ta tìm w ∈ X điểm trùng B, T Cuối cùng, điều kiện (2.1), chứng minh tương tự Trường hợp ta nhận A, B, S T có điểm bất động chung Ta nhận hệ sau kết [4] 2.1.2 Hệ ([4])Cho A, B, S, T : X → X bốn tự ánh xạ không gian mêtric (X, d) Nếu cặp (A, S) (B, T ) nửa tương thích liên tục dãy (hoặc tương thích liên tục thuận nghịch) Cặp (A, S) có điểm trùng nhau; Cặp (B, T ) có điểm trùng Hơn nữa, giả thiết thêm d(Ax,By) max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)} ϕ(t)dt α ϕ(t)dt + (1 − α) a với x, y ∈ X , d(By, Sx) ϕ(t)dt d(Ax, T y) ϕ(t)dt + b α < 1, a 0, b 0, a + b < ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm khơng âm, khả tích Lebesgue ε ϕ(t)dt với ε > A, B, S T có điểm bất động Chứng minh Với x, y ∈ X ta có, d(Ax, T y) d(Ax, T y) (2.7) max{d(Ax, T y), d(By, Sx)} >0 27 d(By, T x) d(By, T x) max{d(Ax, T y), d(By, Sx)} Suy ra, d(Ax,By) ϕ(t)dt max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)} α ϕ(t)dt + (1 − α) a d(By, Sx) ϕ(t)dt d(Ax, T y) ϕ(t)dt + b max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)} ϕ(t)dt α max{d(Ax,T y),d(By,Sx)} + (1 − α) a max{d(Ax,T y),d(By,Sx)} ϕ(t)dt + b max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)} α ϕ(t)dt ϕ(t)dt max{d(Ax,T y),d(By,Sx)} + (1 − α)(a + b) ϕ(t)dt Đặt β = (1 − α)(a + b) Khi β > α + β = α + (1 − α)(a + b) < α+(1−α) = Vì vậy, A, B, S T thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.1 Vì vậy, áp dụng Định lý 2.1.1 ta nhận điều cần chứng minh Với hàm ϕ(t) = ta nhận hệ sau 2.1.3 Hệ Cho A, B, S, T : X → X bốn tự ánh xạ không gian mêtric (X, d) Nếu cặp (A, S) (B, T ) nửa tương thích liên tục dãy (hoặc tương thích liên tục thuận nghịch) Cặp (A, S) có điểm trùng nhau; Cặp (B, T ) có điểm trùng Hơn nữa, giả thiết thêm d(Ax, By) α max{d(Sx, T y), d(Ax, Sx), d(By, T y)} + β max{d(Ax, T y), d(By, Sx)} (2.8) 28 với x, y ∈ X , α 0, β 0, α + β < ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm khơng âm, khả tích Lebesgue ε ϕ(t)dt > với ε > A, B, S T có điểm bất động Ví dụ sau minh họa cho Định lý 2.1.1 2.1.4 Ví dụ Xét X = {0, 1, 2, , n, } mêtric d : X × X → R xác định d(x, y) = x = y max x, y x = y Xét ánh xạ Ax = Bx = x = x − x T x = Sx = x = x + x Khi đó, dễ dàng kiểm tra (A, T ) tương tích liên tục dãy Xét hàm ϕ(t) = tet + et Khi đó, ϕ hàm khả tích Lebesgue tập compact [0, ∞) ε ϕ(t)dt = εeε > với ε > Bây giờ, ta (A, S) (B, T ) thỏa mãn điều kiện co 2.1 với α = β = Với x, y ∈ X ta giả thiết x y Xét e trường hợp sau: Trường hợp 1: x, y ∈ {0, 1} Khi Ax = Ay = Vì vậy, d(Ax,Ay) ϕ(t)dt = 0 e max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)} −1 ϕ(t)dt Trường hợp 2: x ∈ {0, 1} y Khi Ax = 0, Ay = y − 1, T y = y + T x = T x = Do d(Ax, Ay) = y − 29 max{d(T x, T y), d(Ax, T y), d(Ay, T y)} = y + Vì d(Ax,Ay) y−1 ϕ(t)dt = ϕ(t)dt = (y − 1)ey−1 = e−1 (y − 1)ey =e e−1 (y + 1)ey+1 y+1 −1 ϕ(t)dt =e max{d(T x,T y),d(Ax,T y),d(Ay,T y)} −1 ϕ(t)dt y Trường hợp 3: x Khi Ax = x − 1, Ay = y − 1, T y = y + T x = x + T y = y + Do d(Ax, Ay) = y − d(T x, T y) = y + Vì d(Ax,Ay) y−1 ϕ(t)dt = ϕ(t)dt 0 = (y − 1)ey−1 e−1 (y + 1)ey+1 d(T x,T y) −1 =e ϕ(t)dt e max{d(T x,T y),d(Ax,T y),d(Ay,T y)} −1 ϕ(t)dt Vì vậy, A, B, S T thỏa mãn điều kiện co tích phân (2.1) với α = e−1 β = Suy chúng có điểm bất động chung 2.2 Một ứng dụng chứng minh tồn nghiệm phương trình hàm Mục này, chúng tơi trình bày ứng dụng Định lý 2.1.1 dựa kết trình bày [4] tồn nghiệm lớp hệ phương trình hàm quen thuộc hệ động lực Cho U, V không gian Banach, W ⊂ U D ⊂ V tập mở 30 Xét hệ phương trình hàm  Fi (x) = supy∈D {Hi x, y, Fi τ (x, y) }, x ∈ W, i = 1, Gi (x) = supy∈D {Ki x, y, Gi τ (x, y) }, x ∈ W, i = 1, 2, (2.9) τ : W × D → W Hi , Ki : W × D × R → R ánh xạ cho trước Câu hỏi đặt với điều kiện τ, Hi Ki hệ có nghiệm, tức tồn ánh xạ Fi , Gi : W → D thỏa mãn (2.9) Dưới đây, dựa vào kết mục trước trình bày điều kiện đủ để hệ có nghiệm Ký hiệu C(W ) khơng gian hàm liên tục bị chặn W Khi đó, X := C(W ) khơng gian mêtric với mêtric đầy đủ xác định d(h, k) = sup |h(x) − k(x)| x∈W với h, k ∈ X Ta chứng minh kết sau: 2.2.1 Định lý Cho Hi , Ki , i = 1, hàm liên tục bị chặn ánh xạ Ai , Ti : C(W ) → C(W ) xác định Ai h(x) = sup {Hi x, y, h τ (x, y) }, x ∈ W, i = 1, (2.10) }, x ∈ W, i = 1, (2.11) y∈D Ti h(x) = sup {Ki x, y, k τ (x, y) y∈D với h, k ∈ C(W ) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) Tồn dãy (hn ) ⊂ C(W ) cho lim A1 hn = lim A2 hn = h∗ ∈ n→∞ n→∞ C(W ) lim supx∈W |A1 A2 hn (x) − A2 A1 hn (x)| = n→∞ ii) Tồn dãy (kn ) ⊂ C(W ) cho lim T1 kn = lim T2 hn = k ∗ ∈ n→∞ n→∞ C(W ) lim supx∈W |T1 T2 kn (x) − T2 T1 kn (x)| = n→∞ iii) |H1 x,y,h(τ (x,y)) −K1 (x,y,k τ (x,y) | ϕ(s)ds (2.12) max{|A2 h(x)−T2 k(x)|,|A1 h(x)−A2 k(x)|,|T1 k(x)−T2 k(x)|} α ϕ(s)ds, 31 h, k ∈ C(W ), x ∈ W , y ∈ d, α < ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm khơng âm, khả tích Lebesgue tập compact [0, ∞) ε ϕ(t)dt > Khi đó, hệ phương trình (2.9) có nghiệm thuộc C(W ) Chứng minh Để ý hệ phương trình (2.9) có nghiệm C(W ) ánh xạ A1 , A2 , T1 , T2 có điểm bất động chung C(W ) Bây giờ, ta chứng minh ánh xạ A1 , A2 , T1 T2 thỏa mãn Định lý 2.1.1 không gian C(W ) với mêtric Từ Hi , Ki hàm bị chặn suy sup{|Hi (x, y, z)|, |Ki (x, y, z)| : (x, y, z) ∈ W × D × R, i = 1, 2} Λ < ∞ Bây giờ, tính khơng âm khả tích Lebesgue ϕ tập compact [0, ∞) ta có: với ε > tồn δ(ε) > cho ϕ(s)ds < ε (2.13) Γ với tập Γ [0, 2Λ] có độ đo Lebesgue bé δ(ε) Với x ∈ W h1 , h2 ∈ C(W ), tính chất cận ta tìm y1 , y2 ∈ d cho A1 h1 x < H1 x, y1 , h1 (τ (x, y1 )) + δ(ε) (2.14) T1 h2 x < K1 x, y2 , h2 (τ (x, y2 )) + δ(ε) (2.15) A1 h1 x > H1 x, y2 , h1 (τ (x, y2 )) (2.16) T1 h2 x > K1 x, y1 , h2 (τ (x, y1 )) (2.17) Khi đó, từ (2.14) (2.17) suy A1 h1 (x) − T1 h2 (x) < |H1 (x, y1 , h1 (τ (x, y1 ))) − K1 (x, y1 , h2 (τ (x, y1 )))| + δ(ε) (2.18) 32 Tương tự, từ (2.15) (2.16) suy T1 h2 (x) − A1 h1 (x) < |K1 (x, y1 , h2 (τ (x, y2 ))) − H1 (x, y2 , h1 (τ (x, y2 )))| + δ(ε) (2.19) Do đó, từ (2.18) (2.19) ta nhận |A1 h1 (x) − T1 h2 (x)| < |H1 (x, y1 , h1 (τ (x, y1 ))) − K1 (x, y1 , h2 (τ (x, y1 )))| + δ(ε) (2.20) Kết hợp (2.12), (2.13) (2.19) ta nhận |A1 h1 x−T2 h2 x| ϕ(s)ds max{|A2 h1 (x)−T2 h2 (x)|,|A1 h1 (x)−A2 h1 (x)|,|T1 h2 (x)−T2 h2 (x)|} α ϕ(s)ds + ε Bất đẳng thức với ε > x ∈ W Do đó, ta nhận d(A1 h1 ,T1 h2 ) ϕ(s)ds max{d(A1 h1 ,T2 h2 ),d(A1 h1 ,A2 h2 ),d(T1 h2 ,T2 h1 )} α ϕ(s)ds + ε với h1 , h2 ∈ C(W ) Từ tính liên tục Hi , Ki suy ánh xạ Ti , Ai liên tục chúng liên tục thuận nghịch Nhờ điều kiện i) ii) ta có cặp (T1 , T2 ) (A1 , A2 ) tương thích Vì vậy, áp dụng Định lý 2.1.1 với β = ta nhận A1 , A2 , T1 , T2 có điểm bất động chung C(W ) Vì vậy, hệ (2.9) có nghiệm 33 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân định lý điểm bất động tương ứng loại ánh xạ này; trình bày số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân số ví dụ minh họa 2) Đề xuất định lý tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng (Định lý 2.1.1), từ nhận kết [4] 3) Trình bày số ví dụ minh họa ứng dụng định lý điểm bất động thiết lập để chứng minh tồn nghiệm lớp hệ phương trình hàm 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, NXBGD [2] Branciari, A (2002), A fixed point theorem for mappings satisfying a general contractive condition of integral type, Int J Math Math Sci., 29, 9, 531-536 [3] Boyd, D W and Wong, J S W.(1969), On nonlinear contractions, Proc Amer Math Soc., 20, 458-464 [4] Chauhan S., Aydi H., Shatanawi W and Vetro C (2014),Some Integral Type Fixed-Point Theorems and an Application to Systems of Functional Equations, Vietnam Journal of Mathematics, 42(4), 17-37 [5] Djoudi A and Aliouche A.(2007), Common fixed point theorems of Gregus type for weakly compatible mappings satisfying contractive conditions of integral type, J Math Anal Appl., 329, no 1, 31-45 ´ c L.B (1971), Genralized contraction and fixed point theorems, [6] Ciri´ Publ Inst Math., 12 (36), 19-26 ´ c L.B (1976), A certain class of maps and fixed point theorem, [7] Ciri´ Publ Inst Math., 20(34), 73-77 [8] Moradi S., Beiranvand A.,(2009),A Fixed-Point Theorem For Mapping Satisfying a General Contractive Condition Of Integral Type Depended an Another Function, arXiv:0903.1569 [9] Moradi S.,(2009),Fixed-Point Theorem For Mappings Satisfying a General Contractive Condition Of Integral Type Depended an Another Function, arXiv:0903.1574 [10] Rhoades B E.(2003), Two fixed-point theorems for mappings satisfying a general contractive condition of integral type, Int J Math Math Sci.,63, 4007-4013 ... khơng gian mêtric, ánh xạ co, ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân khơng gian mêtric đầy đủ Chương Sự tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung ánh xạ co kiểu tích phân. .. Sự tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân khơng gian mêtric đầy đủ Mục này, trình bày khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân tồn điểm bất động chúng không gian. .. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chương này, nghiên cứu tồn điểm trùng nhau, điểm bất động chung lớp ánh xạ co kiểu tích phân ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm lớp