Sự tồn tại tập fractal qua một số hệ hàm lặp trong không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -– - NGUYỄN VIẾT THUẬT VỀ SỰ TỒN TẠI TẬP FRACTAL QUA MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH – NGUYỄN VIẾT THUẬT VỀ SỰ TỒN TẠI TẬP FRACTAL QUA MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học TS VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Mêtric Hausdoff 1.2 Hệ hàm lặp tập fractal không gian mêtric 12 Sự tồn tập fractal qua số hệ hàm lặp 17 2.1 Sự tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy-Rogers 17 2.2 Sự tồn tập fractal qua hệ hàm lặp α − φ - co Kết luận 22 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Các tập fractal khởi xướng vào năm 70 kỷ XX người tiên phong lĩnh vực B Mandelbrot Thực chất, chúng điểm bất động qua toán tử Hutchinson - Barnsley, xây dựng từ hệ hàm lặp, không gian tập compact, khác rỗng trang bị mêtric Hausdorff Hệ hàm lặp Hutchinson giới thiệu vào năm 1981 nghiên cứu rộng rãi M F Barnsley dựa nguyên lý ánh xạ co Banach Các tập fractal đóng vai trị quan trọng hệ động lực rời rạc, vật lý lượng tử, giải tích Wavelets, đồ thị máy tính nhiều lĩnh vực khoa học khác Do đó, việc xây dựng tập fractal tìm hiểu ứng dụng ln thu hút quan tâm sâu sắc nhiều nhà toán học Năm 2009, Singh đưa câu hỏi : Trong việc xây dựng tập fractal việc thay Rn không gian mêtric, không gian tôpô, thay hệ hàm lặp hữu hạn hệ hàm lặp vô hạn liệu thay kiểu co Banach kiểu co khác khơng? Đã có số câu trả lời cho câu hỏi Năm 2010, Sahu Chakraborty giới thiệu hệ hàm lặp Kannan thu loại fractal qua hệ hàm lặp Năm 2014, S K Kashyap, B K Kharma A Banerjee xây dựng loại fractal dựa vào định lý điểm bất động Krasnosenskii tổng quát tập fractal cổ điểm xây dựng Hutchinson Năm 2015, C Su, S Cheng Z Zhou đề xuất loại fractal thông qua hệ hàm lặp Reich Bài toán xây dựng tập fractal ứng dụng chúng nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Vì vậy, để tập dượt nghiên cứu khoa học tìm hiểu vấn đề chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: Về tồn tập fractal qua số hệ hàm lặp khơng gian mêtric Mục đích luận văn dựa tài liệu, tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kết chứng minh cần thiết tồn tập bất biến qua số hệ hàm lặp khơng gian mêtric Với mục đích nội dung luận văn trình bày chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày kiến thức sở cần dùng toàn luận văn như: Các loại ánh xạ co, mêtric Hausdorff, tính chất mêtric Hausdorff, tốn tử Hutchinson tồn tập fractal qua toán tử Chương Sự tồn tập fractal qua số hệ hàm lặp Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết về tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy - Rogers hệ hàm lặp gồm ánh xạ α − φ− co không gian mêtric Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình giảng viên, TS Vũ Thị Hồng Thanh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Cô chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm tốn học q thầy, tổ Giải tích Trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ thời gian học tập thực luận văn Qua đây, gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè lớp Cao học 22 Giải tích giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy, Cơ bạn bè để luận văn hồn thiện Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Viết Thuật CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần dùng toàn luận văn như: Các loại ánh xạ co, mêtric Hausdorff, tính chất mêtric Hausdorff, tốn tử Hutchinson tồn tập fractal qua toán tử 1.1 Mêtric Hausdoff 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn (i) d(x, y) với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi khoảng cách hay mêtric X (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa ([1]) i) Cho (X, d) không gian mêtric (xn ) dãy X Dãy (xn ) gọi dãy (hay gọi dãy Cauchy) với ε > tồn n0 ∈ N, cho với n n0 , p ∈ N d(xn , xn+p ) < ε ii) Khơng gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric T : X → X Nếu tồn số c ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) cd(x, y) T gọi ánh xạ co (Banach) số c gọi hệ số co ánh xạ T 1.1.4 Định lý ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Khi đó, ln tồn x0 ∈ X để T x0 = x0 Hơn nữa, x0 = lim T n x với x ∈ X T n lặp lại n→∞ ánh xạ T n lần Để xây dựng khái niệm mêtric Hausdorff ta cần kí hiệu khái niệm sau: Cho (X, d) không gian mêtric, x ∈ X A, B ⊂ X Ta kí hiệu i) d(x, A) = inf d(x, a) gọi khoảng cách từ điểm x đến tập A; a∈A ii) d(A) = sup d(a, b) gọi đường kính A; a,b∈A iii) d(A, B) = sup d(x, B) với A, B ⊂ X gọi khoảng cách từ x∈A A đến B ; iv) K(X) = {A : A ⊂ X, A compact, A = ∅} v) Với δ > cho trước A ⊂ X ta đặt Aδ = {x ∈ Rn : d(x, A) δ} Khi đó, Aδ δ − bao A Như vậy, δ − bao tập gồm điểm cách tập A khoảng cách không δ 1.1.5 Bổ đề Với A, B, C ⊂ X ta ln có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) Chứng minh Với c ∈ C ta có d(a, B) = inf d(a, b) b∈B inf {d(a, c) + d(c, b)} b∈B =d(a, c) + d(c, B) Do đó, ta có d(a, B) inf d(a, c) + sup d(c, B) = d(a, C) + d(C, B) c∈C c∈C Lấy supremum hai vế bất đẳng thức theo a ∈ A ta có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) 1.1.6 Bổ đề Nếu A ⊂ B ⊂ X với C ⊂ X ta có d(C, A) d(C, B); d(A, C) d(B, C) Chứng minh Do A ⊂ B nên với c ∈ C ta có inf d(c, a) a∈A hay d(c, A) inf d(c, b) b∈B d(c, B) Lấy supremum hai vế bất đẳng thức theo c ∈ C , ta có hay sup d(c, A) sup d(c, B) c∈C c∈C d(C, A) d(C, B) Do A ⊂ B suy sup d(a, C) ≤ sup d(b, C) a∈A hay d(A, C) b∈B d(B, C) 1.1.7 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Xét ánh xạ h : K(X) × K(X) → [0, +∞) (A, B) → h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} Khi đó, h mêtric K(X) Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện mêtric h i) Từ cách xác định h, ta có h(A, B) với A, B ∈ K(X) h(A, B) = kéo theo d(A, B) = d(B, A) = hay A = B A, B ∈ K(X) ii) Hiển nhiên ta có h(A, B) = h(B, A) với A, B ∈ K(X) iii) Ta chứng minh h(A, B) h(A, C) + h(C, B) với A, B, C ∈ K(X) Theo Bổ đề 1.1.5 ta có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) d(B, A) d(B, C) + d(C, A) vơi A, B, C ∈ K(X) Dẫn đến, h(A, B) = max{d(B, A), d(A, B))} max{d(A, C) + d(C, B), d(B, C) + d(C, A)} max{d(A, C), d(C, A)} + max{d(C, B), d(B, C)} = h(A, C) + h(B, C) Vậy, h mêtric K(X) Sau số tính chất khoảng cách 17 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI TẬP FRACTAL QUA MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy - Rogers hệ hàm lặp α − φ− co 2.1 Sự tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy-Rogers 2.1.1 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ T : X → X i) T gọi co Kannan tồn α ∈ (0; ) cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) α[d(x, T x) + d(y, T y)] Khi đó, α gọi hệ số co ánh xạ T ii) Nếu tồn L, M số không âm thỏa mãn < L+2M < cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) Ld(x, y) + M [d(x, T x) + d(y, T y)] T gọi ánh xạ co Reich iii) T gọi ánh xạ co Hardy-Rogers tồn a, b, c, e, f ∈ [0, 1), a + b + c + e + f < cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) ad(x, T x) + bd(y, T y) + cd(x, T y) + ed(y, T x) + f d(x, y) 2.1.2 Nhận xét i) Trong Định nghĩa 2.1.1 iii), khơng tính tổng qt ta giả sử a = b c = e Khi đó, ta hiểu T : X → X 18 ánh xạ co Hardy-Rogers tồn M, L, K thỏa mãn 0 M, K, L 2M + 2K + L < cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) ≤ M [d(x, T x) + d(y, T y)] + K[d(x, T y) + d(y, T x)] + Ld(x, y) ii) Trong nhận xét i) vừa nêu, L = K = ánh xạ co HardyRogers trở thành ánh xạ co Kannan iii) Nếu K = ánh xạ co Hardy-Rogers trở ánh xạ co Reich iv) Nếu M = K = ánh xạ co Hardy-Rogers trở ánh xạ co Banach Như vậy, ánh xạ co Bannach, co Reich co Kannan trường hợp riêng ánh xạ co Hardy-Rogers Trong [6], tác giả D R Sahu, A Chakraborty R P Dubey đưa khái niệm hệ hàm lặp Kannan thu kết sau 2.1.3 Định nghĩa ([6]) Cho Tn : X → X, n = 1, 2, , N, ánh xạ co Kannan với hệ số co αn Khi đó, S = (X, {Tn }N n=1 ) gọi hệ hàm lặp Kannan ký hiệu KIFS 2.1.4 Định lý ([6]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Ti : X → X với n = 1, , N ánh xạ co Kannan liên tục S = (X, {Tn }N n=1 ) hệ hàm lặp Kannan Khi đó, tồn nhât tập F ∈ K(X) cho N T (F ) = Tn F = F Ta gọi F tập fractal qua hệ hàm lặp Kannan n=1 Trong [7], tác giả S Xu, S Cheng Z Zhou đưa khái niệm hệ hàm lặp Reich thu kết sau 2.1.5 Định nghĩa ([7]) Cho Tn : X → X , n = 1, , N, ánh xạ co Reich tức thỏa mãn d(Tn x, Tn y) Ln d(x, y) + Mn [d(x, T x) + d(y, dy)] với ∀x, y ∈ X Khi đó, S = (X, {Tn }N n=1 ) gọi hệ hàm lặp Reich ký hiệu RIFS 19 2.1.6 Định lý ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Ti : X → X, i = 1, , N ánh xạ co Reich Khi đó, tồn N A ∈ K(X) cho A = Ti (A) Tập A gọi tập fractal n=1 RIFS với B ∈ K(X), ta có A = lim T n (B) n→∞ Để chứng minh kết người ta sử dụng bổ đề sau 2.1.7 Bổ đề ([6])Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T : X → X ánh xạ co Kannan với hệ số co α Xét ánh xạ tập T : K(X) → K(X) A → T A = {T a : a ∈ A} Khi đó, ta có d(T B, T C) α[d(B, T B) + d(C, T C)], với B, C ∈ K(X) Dựa kết nêu trên, đưa loại hệ hàm lặp chứng minh tồn tập fractal qua hệ hàm lặp sau 2.1.8 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Ti : X → X với i = 1, 2, , N ánh xạ co Hardy-Rogers Khi đó, (X, {Ti }N i=1 ) gọi hệ hàm lặp Hardy-Rogers ký hiệu HRIFS 2.1.9 Định lý ([3]) Nếu (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Hardy-Rogers tồn điểm x0 ∈ X cho T x0 = x0 Khi đó, x0 gọi điểm bất động T Tương tự chứng minh Bổ đề 2.1.7, ta chứng minh kết sau 20 2.1.10 Bổ đề Cho (X, d) không gian mêtric T : X → X ánh xạ co Hardy-Rogers Xét ánh xạ tập T : K(X) → K(X) B → T B = {T x : x ∈ B} Khi đó, với A, B ∈ K(X) ta có d(T A, T B) M [d(A, T A) + d(B, T B)] + K [d(A, T B) + d(B, T A)] + Ld(A, B) 2.1.11 Mệnh đề Cho T ánh xạ xác định Bổ đề 2.1.10 Khi đó, T ánh xạ co Hardy-Roggers không gian (K(X), h), nghĩa h(T A, T B) M h(A, T A) + h(B, T B) + K h(A, T B) + h(B, T A) + Lh(A, B), với A, B ∈ K(X) Chứng minh Do T liên tục, nên với B ∈ K(X) T (B) ∈ K(X) Với A, B ∈ K(X), từ định nghĩa h Bổ đề 2.1.10 ta có, h(T A, T B) = max {d(T A, T B), d(T B, T A)} max{M [d(A, T A) + d(B, T B)]+K [d(A, T B) + d(B, T A)]+Ld(A, B), M [d(B, T B) + d(A, T A)] + K [d(A, T B) + d(B, T A)] + Ld(B, A)} = M [d(A, T A) + d(B, T B)] + K [d(A, T B) + d(B, T A)] + Lh(A, B) M [h(A, T A) + h(B, T B)] + K [h(A, T B) + h(B, T A)] + Lh(A, B) 2.1.12 Mệnh đề Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ (X, {Tn }N n=1 ) HGIFS, nghĩa Tn : X → X, n = 1, , N, thỏa mãn d(Tn x, Tn y) ≤ Mn [d(x, Tn x)+d(y, Tn y)]+Kn [d(x, Tn y)+d(y, Tn x)]+Ln d(x, y) 21 với x, y ∈ X Khi đó, tốn tử fractal liên kết với hệ hàm lặp xác định T : K(X) → K(X) N B→TB= Tn B n=1 ánh xạ co Hardy-Rogers, nghĩa với B, C ∈ K(X) ta có h(T B, T C) M [h(B, T B) + h(C, T C)] + K[h(B, T C) + h(C, T B)] + Lh(B, C), M = max {M1 , , MN }, K = max {K1 , , KN } L = max {L1 , , LN } Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp qui nạp Trước hết, theo giả thiết ta có 2Mi + 2Ki + Li < với i = 1, , N M = max {M1 , , MN }, K = max {K1 , , KN }, L = max {L1 , , LN } nên suy 2M + 2K + L < Với N = 1, mệnh đề theo Mệnh đề 2.1.11 Với N = 2, với B, C ∈ K(X), theo Mệnh đề 1.1.12 theo Mệnh đề 2.1.11 ta có, h(T B, T C) = h(T1 B T2 B, T1 C T2 C) max {h(T1 B, T1 C), h(T 2B , T2 C)} max{M1 [h(B, T1 B) + h(C, T1 C)]+K1 [h(B, T1 C) + h(C, T1 B)]+L1 h(B, C), M2 [h(B, T2 B) + h(C, T2 C)]+K2 [h(B, T2 C) + h(C, T2 B)]+L2 h(B, C)} max {M1 , M2 } {max {h(B, T1 B); h(B, T2 B)} + max {h(C, T1 C); h(C, T2 C)}} +max {K1 , K2 } {max {h(B, T1 C), h(B, T2 C)} + max {h(C, T1 B), h(C, T2 B)}} 22 + max {L1 , L2 } h(B, C) = M [h(B, T1 B ∪ T2 B) + h(C, T1 C ∪ T2 C)] + K[h(B, T1 C ∪ T2 C) + h(C, T1 B ∪ T2 B)] + Lh(B, C), M = max {M1 , M2 }, K = max {K1 , K2 } L = max {L1 , L2 } Vậy, với N = T ánh xạ co Hardy-Rogers (K(X), h) Theo phương pháp qui nạp mệnh đề chứng minh 2.1.13 Định lý Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, (X, {Ti }N i=1 ) hệ hàm lặp Hardy-Rogers Khi đó, tồn tập F ∈ K(X) cho T (F ) = F Tập F gọi tập fractal hệ hàm lặp Hardy-Rogers (X, {Tn }N n=1 ) Chứng minh Do (X, d) không gian mêtric đầy đủ nên theo Mệnh đề 1.1.11 ta có (K(X), h) khơng gian mêtric đầy đủ Theo Mệnh đề 2.1.12 T ánh xạ co kiểu Hardy-Rogers Do đó, theo Mệnh đề 2.1.9, T có điểm bất động, nghĩa tồn F ∈ K(X) để N F = T (F ) = Tn (F ) n=1 2.1.14 Nhận xét Theo Nhận xét 2.1.2, ta có ánh xạ co Bannach, ánh xạ co Kannan ánh xạ co Reich trường hợp riêng ánh xạ co Hardy - Rogers nên Định lý 2.1.4 (đã chứng minh tài liệu [6]) Định lý 2.1.6 (đã chứng minh tài liệu [7]) trường hợp riêng Định lý 2.1.13 2.2 Sự tồn tập fractal qua hệ hàm lặp α − φ - co φn (t) < +∞}, Ký hiệu Φ = {φ : [o; +∞) → [o; +∞), φ khơng giảm, t>0 φn (t) = φ(φn−1 (t)), n 23 2.2.1 Định nghĩa ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric i) Ánh xạ T : X → X gọi ánh xạ α − φ - co tồn hàm α : X xX → [0; +∞) φ ∈ Φ cho với x, y ∈ X, ta có α(x, y)d(T x, T y) φ(d(x, y)) (1) ii) Họ hữu hạn ánh xạ α − φ -co Ti : X → X, i = 1, , N gọi hệ hàm lặp α − φ − co Ký hiệu S = (X, {Tn }N n=1 ) 2.2.2 Nhận xét Nếu α(x, y) = với x, y ∈ X φ(x) = cx với c < φ(d(x, y)) = c.d(x, y) Khi (1) trở thành d(T x, T y) c.d(x, y) Suy T ánh xạ co Banach Vậy, ánh xạ α − φ - co mở rộng ánh xạ co Banach 2.2.3 Định nghĩa ([9]) i) Cho (X, d) khơng gian mêtric, α : X ×X → [0; +∞) T : X → X Ta nói T α chấp nhận với x, y ∈ X mà α(x, y) kéo theo α(T x, T y) (2) ii) Cho ánh xạ α : X × X → [0, +∞) Ta xác định ánh xạ αα : K(X) × K(X) → [0; +∞) αα (A, B) = inf{α(x∗ , y ∗ ) : d(x∗ , y ∗ ) = h(A, B), x∗ , y ∗ ∈ X}, với A, B ∈ K(X) Nếu α(x, y) = với x, y ∈ X αα (A, B) = với A, B ∈ K(X) 2.2.4 Bổ đề ([9]) Cho không gian mêtric (X, d) Khi đó, tồn hàm liên tục T : X → X cho h(A, B) = d(x∗ , y ∗ ) h(T A, T B) = d(T x∗ , T y ∗ ) 24 Ví dụ sau minh họa cho Bổ đề 2.2.4 2.2.5 Ví dụ ([9]) Lấy (X, d) = (R, |.|) T : R → R xác định T (x) = x Khi đó, T liên tục R Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra h(A, B) = d(x∗ , y ∗ ) = |x∗ − y ∗ | h(T A, T B) = d(T x∗ , T y ∗ ) = |T x∗ − T y ∗ | = |x∗ − y ∗ |, với A, B ∈ K(X) Ví dụ sau tồn hàm liên tục đẳng thức Bổ đề 2.2.4 khơng xảy 2.2.6 Ví dụ ([9]) Lấy (X, d) = (R, |.|) T : R → R xác định T (x) = 4x(1 − x) Khi đó, T liên tục R Nhưng, ta chọn A = [0, ] B = [ , ] ∈ K(X), ta có 8 h(A, B) = = d( , ) 8 với x∗ = ∈ A, y ∗ = ∈ B 8 Tuy nhiên, ta có h(T A, T B) = 15 7 = d( , ) = d( , ) = d(T , T ) 16 16 16 16 8 Vậy, tồn A, B ∈ K(X) mà {(x∗ , y ∗ ) : h(A, B) = d(x∗ , y ∗ )} = {(x∗ , y ∗ ) : h(T A, T B) = d(T x∗ , T y ∗ )} 25 2.2.7 Định lý ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ α − φ − co thỏa mãn 1) T α - chấp nhận được; 2) Tồn x0 ∈ X cho α(x0 , T x0 ) 1; 3) T liên tục Khi đó, T có điểm bất động, nghĩa tồn x∗ ∈ X cho T x∗ = x∗ 2.2.8 Bổ đề ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ α − φ - co Khi đó, ánh xạ tập T : K(X) → K(X) A → T A = {T a : a ∈ A} ánh xạ αα − φ − co, nghĩa với A, B ∈ K(X) ta có αα (A, B).h(T A, T B) φ(h(A, B)) Chứng minh Lấy A, B ∈ K(X) Khi đó, ta có αα (A, B).d(T A, T B) = αα (A, B) sup ( inf d(T x, T y)) T x∈T A T y∈T B = αα (A, B) sup inf d(T x, T y)) x∈A y∈B = inf{α(x∗ , y ∗ ) : d(x∗ , y ∗ ) = h(A, B), x∗ ∈ X, y ∗ ∈ Y } sup inf d(T x, T y)) x∈A y∈B inf{α(x∗ , y ∗ ) : d(x∗ , y ∗ ) = h(A, B), x∗ ∈ X, y ∗ ∈ Y }.d(T x∗ , T y ∗ )) ≤ α(x∗ , y ∗ )d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ φ(d(x∗ , y ∗ )) 26 ≤ φ(h(A, B)) Tương tự, ta có αα (B, A).d(T B, T A) φ(h(B, A)) Vì vậy, ta có αα (A, B).h(T B, T A) = max{αα (A, B).d(T A, T B), αα (B, A).d(T B, T A)} φ(h(B, A)) 2.2.9 Bổ đề ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric, ánh xạ T : X → X ánh xạ tâp T : K(X) → K(X) Khi đó, T α - chấp nhận T αα - chấp nhận được, tức với A, B ∈ K(X) mà αα (A, B) kéo theo αα (T A, T B) Chứng minh Giả sử αα (A, B) 1 Vì αα (A, B) = inf{α(x∗ , y ∗ ) : d(x∗ , y ∗ ) = h(A, B), x∗ , y ∗ ∈ X}, với A, B ∈ K(X) cho h(A, B) = d(x∗ , y ∗ ), α(x∗ , y ∗ ) Vì T α - chấp nhận được, nghĩa α(T x∗ , T y ∗ ) 1 nên từ định nghĩa T , h(A, B) = d(x∗ , y ∗ ) h(T A, T B) = d(T x∗ , T y ∗ ) Do đó, ta có αα (T A, T B) = inf{α(T x∗ , T y ∗ ) : d(T x∗ , T y ∗ ) = h(T A, T B), T x∗ , T y ∗ ∈ T X} = inf{α(T x∗ , T y ∗ ) : d(x∗ , y ∗ ) = h(A, B), x∗ , y ∗ ∈ X} với x∗ ∈ A, y ∗ ∈ B cho h(A, B) = d(x∗ , y ∗ ), α(x∗ , y ∗ ) Vì vậy, ta có inf{α(T x∗ , T y ∗ ) : d(x∗ , y ∗ ) = h(A, B), x∗ , y ∗ ∈ X} = αα (T A, T, B) Vì thế, A, B ∈ K(X); αα (A, B) Vậy, ta có T αα - chấp nhận αα (T A, T, B) 1 27 2.2.10 Bổ đề ([9]) Nếu tồn x0 ∈ X cho α(x0 , T x0 ) A0 ∈ K(X) cho αα (A0 , T A0 ) tồn Chứng minh Lấy A0 = {x0 } ∈ K(X) Ta có αα (A0 , T A0 ) = inf{α(x0 , T x0 ) : d(x0 , T x0 ) = h(A0 , T A0 ), x0 ∈ A0 } = α(x0 , T x0 ) 2.2.11 Định lý ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X α − φ - co thỏa mãn điều kiện sau: 1) T α chấp nhận được; 2) Tồn x0 ∈ X cho α(x0 , T x0 ) Khi đó, ánh xạ tập T : K(X) → K(X) A → T A = {T a : a ∈ A} ánh xạ αα − φ - co tồn A ∈ K(X) cho T A = A Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.11, ta có (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ nên (K(X), h) không gian mêtric đầy đủ (∗) Mặt khác, từ giả thiết 1) định lý theo Bổ đề 2.2.9 T αα - chấp nhận (∗∗) Từ giả thiết 2) định lý theo Bổ đề 2.2.10 tồn A0 ∈ K(X) cho α(A0 , T A0 ) 1(∗ ∗ ∗) Do T liên tục nên T liên tục (∗ ∗ ∗∗) Từ (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) (∗ ∗ ∗∗), theo Định lý 2.2.7 tồn A ∈ K(X) cho T A = A Vậy, định lý chứng minh 28 2.2.12 Định lý ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ i = 1, , N , Ti : X → X ánh xạ α − φ - co thỏa mãn điều kiện sau: 1) Ti α - chấp nhận với i = 1, , N ; 2) Tồn x0 ∈ X cho α(x0 , Ti (x0 )) với i = 1, , N Khi đó, T : K(X) → K(X) N A → T (A) = Ti (A) n=1 ánh xạ αα − φ - co tồn tai A ∈ K(X) cho T A = A Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp Với N = 1, theo Định lý 2.2.11 định lý chứng minh Với N = 2, theo Bổ đề 2.2.8, ta có αα (A, B).h(T A, T B) φ(h(A, B)) αα (B, A).h(T B, T A) φ(h(B, A)) Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.12 ta có, với A, B, C, D ∈ K(X) h(A ∪ B, C ∪ D) max {h(A, C), h(B, D)} nên ta có αα (A, B).h(T A, T B) = αα (A, B).h(T1 A ∪ T2 A, T1 B ∪ T2 B) αα (A, B) max{h(T1 A, T1 B), h(T2 A, T2 B)} max{αα (A, B)h(T1 A, T1 B), αα (A, B)h(T2 A, T2 B)} φ(h(A, B)) Suy T αα − φ − co Lấy A0 = {x0 } ∈ K(X) 29 Từ αα (A0 , T A0 ) = αα (A0 , T1 A0 ∪ T2 A0 ) Mặt khác α(x0 , T1 x0 ) α(x0 , T2 x0 ) nên ta có αα (A0 , T A0 ) Do vậy, T αα - chấp nhận Theo Định lý 2.2.7 định lý chứng minh cho N = Vậy, theo phương pháp qui nạp khơng hồn tồn, định lý chứng minh Trong định lý Ti α − φ − co Nếu Ti : X → X αi − φi − co, i = 1, , N, ta có kết tương tự sau 2.2.13 Định lý ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Ti : X → X với i = 1, , N ánh xạ αi − φi − co thỏa mãn điều kiện sau: i) Ti αi - chấp nhận với i = 1, , N ; ii) Tồn x0 ∈ X cho αi (x0 , Ti x0 ) với i = 1, , N Khi đó, ánh xạ T : K(X) → K(X) N A → T (A) = Ti (A) n=1 ánh xạ αα − φ - co tồn tai A ∈ K(X) cho T A = A, φ(t) = max φi (t) αα (A, B) = ααi (A, B) i N i N 30 kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày cách xây dựng mêtric Hausdoff chứng minh số tính chất Trình bày chứng minh tồn tập fractal hệ hàm lặp gồm ánh xạ co Banach Dựa kết [6] [7] tồn tập fractal hệ hàm lặp sinh ánh xạ co Kannan ánh xạ co Reich, đề xuất khái niệm hệ hàm lặp Hardy-Rogers chứng minh tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy-Rogers Trình bày chứng minh chi tiết tồn tập fractal qua hệ hàm lặp gồm ánh xạ α − φ− co Bessem, Calogero Pasquale đề xuất 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Banrsley M F (1998), Fractals everywhere, Academic Press, New York [2] Dubey A K., Narayan A and Dubey R P (2013), Genneralized K-Iterated function systems Gen Math Notes, vol 15, No 1, 1627 [3] Hardy G.E., and Rogers T.G (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canad Math Bull Vol 16, 201-206 [4] Hutchinson J (1981), Fractals and self - semilarity, Indiana Univ J Math, 30, 713-747 [5] Kashyap S K., Sharma B K., Banerjee A (2014), On Krasnoselskii fixed point theorem and fractal, Chaos Solitons Fractal, 61, 44 -45 [6] Sahu D R., Chakraboty A., Dubey R P (2010), K-Iterated function systems, Fractal, 18(1), 139 -144 [7] Shaoyuan X., Suyu C., and Zuoling Z (2015), Reich’s Iterated function systems and well-posedness via fixed point theory,Fixed Point Theory and Application- DOI 10.1186/s13663 - 015 - 0320 -7 [8] Singh S L., Prasad B., Kumar A (2009), Fractals via iterated functions and multifunctions, Chaos Solitons Fractal, 39, 1224 -1231 [9] Songil (2015), Fixed point theorem of Iterated function systems, J Apply Computat Math 4, 229 doi: 10.4172/ 2168-6979 ... thức sở 1.1 Mêtric Hausdoff 1.2 Hệ hàm lặp tập fractal không gian mêtric 12 Sự tồn tập fractal qua số hệ hàm lặp 17 2.1 Sự tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy-Rogers... CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI TẬP FRACTAL QUA MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy - Rogers hệ hàm lặp α − φ− co 2.1 Sự tồn tập fractal. .. niệm hệ hàm lặp Hardy-Rogers chứng minh tồn tập fractal qua hệ hàm lặp Hardy-Rogers Trình bày chứng minh chi tiết tồn tập fractal qua hệ hàm lặp gồm ánh xạ α − φ− co Bessem, Calogero Pasquale