Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị trên không gian mêtric riêng

2 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian mêtric riêng mêtric Hausdorff riêng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian mêtric riêng 1.3 Mêtric Hausdorff riêng 12 Sự tồn điểm bất động, điểm bất động chung số lớp ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng 18 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng 18 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng 23 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán giải tích Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động bắt nguồn từ ứng dụng rộng lớn nhiều lĩnh vực tốn học khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế Nguyên lý điểm bất động Banach (1922) ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết kinh điển toán học Sau Banach chứng minh, định lý điểm bất động ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểm bất động mở rộng nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ suy rộng, nhiều loại không gian khác Đặc biệt, định lý điểm bất động nghiên cứu mở rộng cho ánh xạ đa trị So với định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị, việc thiết lập cho ánh xạ đa trị trở nên khó khăn Năm 1992, dự án nghiên cứu hiển thị ngơn ngữ lưu thơng mạng máy tính, S G Matthew ([5]) đề xuất xây dựng khái niệm khơng gian mêtric riêng Các khái niệm, tính chất tơpơ, hội tụ dãy, mối quan hệ không gian mêtric riêng không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach không gian gian mêtric riêng S G Matthew nghiên cứu thấu đáo ([6]) Khái niệm không gian mêtric riêng nhận cách thay đẳng thức d(x, x) = định nghĩa mêtric bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với x, y Vì vậy, lớp không gian mở rộng thực không gian mêtric Việc thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric riêng quan tâm đến ngày Tuy nhiên, ánh xạ đa trị chưa có nhiều kết đươc thiết lập, có nhiều khó khăn mặt kỹ thuật Nhằm nghiên cứu không gian mêtric riêng tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng, lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: Về tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày vấn đề sở không gian mêtric riêng, mêtric Hausdorff riêng Các kết chương đề xuất nhiều tài liệu, trình bày lại theo hệ thống để sử dụng chương sau chứng minh chi tiết nhiều kết mà tài liệu bỏ qua chứng minh chứng minh vắn tắt Chương nghiên cứu tồn điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng Mục 2.1 nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng, ngồi việc chứng minh chi tiết kết Aydi H., Abbas M Vetro C ([2]) định lý điểm bất động dạng Nadler khơng gian mêtric riêng đầy đủ chúng tơi cịn thiết lập kết mở rộng kết (Định lý 2.1.3) Trong mục 2.2 chúng tơi trình bày kết Aleomraninejad S., Mohammad A., Erhan I M., Kutbi M A Shokouhnia M ([3]) tồn điểm bất động chung ánh xạ co đa trị không gian mêtric riêng đầy đủ Các kết chúng tơi trình bày chi tiết trường hợp đặc biệt với cách tiếp cận dạng định lý Nadler Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn Phó giáo sư, Tiến sĩ Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh cảm ơn thầy, cô giáo nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ Toán thuộc Trường THPT Dương Bạch Mai tỉnh Bà Rịa- Vũng Tàu, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt học viên cao học khóa 22 chun ngành Tốn giải tích Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2016 Bùi Đình An CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ MÊTRIC HAUSDORFF RIÊNG Chương trình bày kết khơng gian mêtric, không gian mêtric riêng phương pháp xây dựng mêtric Hausdorff riêng nhằm phục vụ cho việc trình bày kết chương sau 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi trình bày lại số kết sở không gian mêtric, mêtric Hausdorff Các kết trích chủ yếu từ [1] 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) 0, với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), với x, y, z ∈ X Khi đó, (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X ký hiệu xn → x,(x gọi giới hạn dãy {xn }), lim d(xn , x) = n→∞ Trong không gian mêtric giới hạn dãy có 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Không gian (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X Cho B ⊂ X Khi δ[B] = sup{d(x, y) : x, y ∈ B} gọi đường kính B Tập B gọi bị chặn có đường kính hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa Dãy tập {Bn } ⊂ X gọi thắt dần Bn+1 ⊂ Bn lim δ[Bn ] = n→∞ Kết tiếng sau gọi nguyên lý Cantor 1.1.5 Định lý Trong không gian mêtric đầy đủ dãy tập đóng thắt dần có điểm chung 1.1.6 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f a = a Định lý sau nguyên lý điểm bất động Banach 1.1.7 Định lý ([1]) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào ln có điểm bất động Cho (X, d) không gian mêtric Gọi CB(X) họ tất tập đóng, bị chặn khác rỗng (X, d) Tập đóng hiểu theo nghĩa đóng theo tơpơ τd , τd tơpơ X sinh mêtric d Với A, B ∈ CB(X) x ∈ X , ta đặt d(x, A) = inf{p(x, a) : a ∈ A}, δ(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} δ(B, A) = sup{d(b, A) : b ∈ B} Khi H(A, B) = max{δ(A, B), δ(B, A)} (1.1) mêtric CB(X) gọi mêtric Hausdorff CB(X) sinh mêtric d Ta nhắc lại ánh xạ T : X → P(X) gọi ánh xạ đa trị, P(X) tập hợp tất tập X Điểm a ∈ X gọi điểm bất động T a ∈ T a Định lý sau thiết lập Nadler kết mở đầu cho tồn điểm bất động ánh xạ co đa trị không gian mêtric 1.1.8 Định lý ([4]) Cho (X, d) không gian mêtric riêng đầy đủ Nếu T : X → CB(X) ánh xạ đa trị thỏa mãn với x, y ∈ X H(T x, T y) kd(x, y), (1.2) k ∈ (0, 1), T có điểm bất động 1.2 Khơng gian mêtric riêng Mục trình bày kiến thức sở khơng gian mêtric riêng Năm 1992, S G Matthew ([5]) đề xuất xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Các khái niệm, tính chất tơpơ, hội tụ dãy, mối quan hệ không gian mêtric riêng không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach khơng gian gian mêtric riêng trình bày ([6]) Khái niệm không gian mêtric riêng nhận cách thay đẳng thức d(x, x) = định nghĩa mêtric bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với x, y Trước hết, nhắc lại số khái niệm tính chất cần dùng sau 1.2.1 Định nghĩa ([5, 6]) Cho X tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ gọi mêtric riêng (partial metric) X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn (P1) x = y p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) (P2) p(x, x) p(x, y) (P3) p(x, y) = p(y, x) (P4) p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Tập X với mêtric riêng p gọi khơng gian mêtric riêng (partial metric space) ký hiệu (X, p) 1.2.2 Ví dụ ([5, 6]) 1) Cho X = R+ ánh xạ p : X × X → R+ xác định p(x, y) = max{x, y} với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian mêtric riêng Hơn nữa, (X, p) không không gian mêtric p(x, x) = x > với x > 2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a b} ánh xạ p : X × X → R+ xác định p([a, b], [c, d]) = max{b, d} − min{a, c}, với [a, b], [c, d] ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian mêtric riêng 3) Cho X = [0, 1] ∪ [2, 3] ánh xạ p : X × X → R+ xác định p(x, y) = |x − y| max{x, y} {x, y} ⊂ [0, 1] {x, y} ∩ [2, 3] = ∅, với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian mêtric riêng 1.2.3 Mệnh đề ([5, 6]) Giả sử (X, p) khơng gian mêtric riêng Khi đó, ánh xạ ps , pm : X × X → R+ cho ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) pm (x, y) = max{p(x, y) − p(x, x), p(x, y) − p(y, y)} xác định mêtric tương đương X 10 1.2.4 Định nghĩa ([5, 6]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng, > x ∈ X Khi đó, tập Bp (x, ) := {y ∈ X : p(x, y) < p(x, x) + } gọi hình cầu mở tâm x bán kính 1.2.5 Định lý ([5, 6]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, tập hình cầu mở X sở tôpô τp X Hơn nữa, không gian (X, τp ) T0 - không gian 1.2.6 Định nghĩa ([5, 6]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng 1) Dãy {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X p(x, x) = lim p(xn , x) n→∞ 2) Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy lim p(xn , xm ) tồn hữu hạn n,m→∞ 3) Không gian (X, p) gọi đầy đủ dãy Cauchy {xn } X hội tụ tới x ∈ X theo tôpô τp 4) Hàm f : X → X gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε) 1.2.7 Định nghĩa ([7]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng 1) Dãy {xn } X gọi 0-Cauchy lim p(xn , xm ) = n,m→∞ 2) Không gian (X, p) gọi 0-đầy đủ dãy 0-Cauchy X hội tụ theo tôpô τp tới x ∈ X cho p(x, x) = 1.2.8 Nhận xét ([7]) 1) Như ta biết, không gian mêtric, dãy hội tụ dãy Cauchy giới hạn dãy hội tụ Tuy nhiên, dãy hội tụ {xn } khơng gian mêtric riêng (X, p) khơng dãy Cauchy giới hạn dãy hội tụ khơng Thật vậy, lấy X = R+ , p(x, y) = max{x, y} với x, y ∈ X dãy {xn } xác định xn = nếu n = 2k n = 2k + 11 Rõ ràng, {xn } dãy hội tụ không gian mêtric riêng (X, p) với x ta có lim p(xn , x) = p(x, x) Đặt n→∞ L(xn ) = {x ∈ X| lim p(xn , x) = p(x, x)} n→∞ Khi L(xn ) = [1, ∞) Hơn nữa, lim p(xn , xm ) không tồn n,m→∞ 2) Nếu (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ (X, p) khơng gian mêtric riêng 0-đầy đủ Điều ngược lại không Thật vậy, không gian mêtric riêng (Q+ , p) với mêtric riêng p(x, y) = max{x, y} 0-đầy đủ không đầy đủ 1.2.9 Mệnh đề ([5, 6]) Cho (X, p) khơng gian mêtric riêng Khi đó, ta có khẳng định sau (1) Nếu {xn } dãy hội tụ khơng gian mêtric (X, ps ) dãy hội tụ không gian mêtric riêng (X, p) (2) Dãy {xn } dãy Cauchy (X, p) {xn } dãy Cauchy (X, ps ) (3) Không gian (X, p) đầy đủ không gian (X, ps ) đầy đủ Hơn nữa, lim ps (xn , x) = ⇔ lim p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ n→∞ n→∞ lim p(xm , xn ) n,m→∞ 1.2.10 Bổ đề ([5, 6]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng dãy {xn } ⊂ X (1) Nếu xn → z n → ∞ lim p(xn , y) n→∞ p(z, y) với y ∈ X (2) Nếu xn → z n → ∞ cho p(z, z) = lim p(xn , y) = n→∞ p(z, y) với y ∈ X 1.2.11 Bổ đề ([5, 6]) Cho (X, p) khơng gian mêtric riêng Khi đó, ta có (1) Nếu p(x, y) = x = y (2) Nếu x = y p(x, y) > 17 Lấy a ∈ A Từ h > suy p(a, a) sup p(x, x) = Hp (A, B) hHp (A, B) x∈A Vì b = a thỏa mãn (1.4) Trường hợp A = B Giả sử tồn a ∈ A cho p(a, b) > hHp (A, B) với b ∈ B Kéo theo inf{p(a, y) : y ∈ B} hHp (A, B) Để ý Hp (A, B) δp (A, B) = sup p(x, B) p(a, B) hHp (A, B) x∈A Từ A = B Mệnh đề 1.3.5 ta có Hp (A, B) = Bất đẳng thức suy h ta nhận mâu thuẫn 18 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG, ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Chương nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động, điểm bất động chung số lớp ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng Trong mục này, sau trình bày chứng minh chi tiết ví dụ minh họa kết [2] định lý điểm bất động dạng Nadler không gian mêtric riêng đầy đủ, thiết lập định lý mở rộng cho kết 2.1.1 Định lý ([2]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Nếu T : X → CB p (X) ánh xạ đa trị thỏa mãn với x, y ∈ X Hp (T x, T y) kp(x, y), (2.1) k ∈ (0, 1), T có điểm bất động Chứng minh Lấy x0 ∈ X x1 ∈ T x0 Sử dụng Bổ đề 1.3.9 với h = √ k ta tìm x2 ∈ T x1 cho p(x1 , x2 ) √ Hp (T x0 , T x1 ) k 19 Nhờ điều kiện co (2.1) ta có Hp (T x0 , T x1 ) Suy kp(x0 , x1 ) √ p(x1 , x2 ) kp(x0 , x1 ) Với x2 ∈ T x1 ta tìm x3 ∈ T x2 cho √ Hp (T x1 , T x2 ) k p(x2 , x3 ) √ kp(x1 , x2 ) Tiếp tục trình ta nhận dãy (xn ) ⊂ X cho √ xn+1 ∈ T xn p(xn+1 , xn ) kp(xn , xn−1 ) với n Suy p(xn+1 , xn ) √ ( k)n p(x0 , x1 ) (2.2) với n ∈ N Sử dụng (2.2) bất đẳng thức tam giác mêtric riêng ta có p(xn , xn+m ) p(xn , xn+1 ) + p(xn+1 , xn+2 ) + + p(xn+m−1 , xn+m ) √ √ ( k)n + + ( k)n+m p(x0 , x1 ) √ ( k)n √ p(x0 , x1 ) → 1− k n → ∞ Từ định nghĩa ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) với x, y ∈ X suy ps (x, y) 2p(x, y) với x, y ∈ X Thế ps (xn , xn+m ) 2p(xn , xn+m ) → n → ∞ với m ∈ N Suy (xn ) dãy Cauchy mêtric ps Vì (X, p) đầy đủ (X, ps ) đầy đủ nên (xn ) hội tụ tới a ∈ X theo mêtric ps Đặc biệt, p(a, a) = lim p(xn , a) = lim p(xn , xn ) = n→∞ n→∞ (2.3) 20 Từ Hp (T xn , T a) kp(xn , a) suy lim Hp (T xn , T a) = n→∞ (2.4) Bây giờ, từ xn+1 ∈ T xn suy p(xn+1 , T a) δp (T xn , T a) Hp (T xn , a) Vì vậy, từ (2.4) suy lim p(xn+1 , T a) = n→∞ (2.5) Mặt khác p(a, T a) p(a, xn+1 ) + p(xn+1 , T a) Lấy giới hạn n → ∞ ta nhận p(a, T a) = Do p(a, a) = p(a, T a) Sử dụng Mệnh đề 1.3.2 ta có a ∈ T a Ví dụ sau minh họa cho định lý 2.1.2 Ví dụ ([2]) Xét X = {0, 1, 4} với mêtric riêng p xác định p(x, y) = |x − y| + max{x, y} với x, y ∈ X Khi p khơng mêtric (bởi p(4, 4) = = 0) Rõ ràng (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Ta có {0}, {0, 1} tập bị chặn X Nếu x ∈ {0, 1, 4} x ∈ {0} ⇔ p(x, {0}) = p(x, x) ⇔ x = x ⇔ x = Vì {0} = {0}, hay {0} tập đóng (X, p) Nếu x ∈ {0, 1} ⇔ p(x, {0, 1}) = p(x, x) 1 ⇔ min{ x, |x − 1|} + max{x, 1} = x 4 2 ⇔ x ∈ {0, 1} 21 Vì {0, 1} = {0, 1}, hay {0, 1} tập đóng (X, p) Xét ánh xạ T : X → CB p (X) xác định T = T = {0}; T = {0, 1} Ta T thỏa mãn điều kiện co (2.1) với k = Thật vậy, với x, y ∈ {0, 1} ta có Hp (T x, T y) = Hp ({0}, {0}) = δp ({0}, {0}) = p(0, 0) = Suy Hp (T x, T y) p(x, y) Với x ∈ {0, 1} y = Ta có Hp (T 0, T 4) = Hp (T 1, T 4) = Hp ({0}, {0, 1}) = max{p(0, {0, 1}), max{p(0, 0), p(1, 0)}} 11 = < = kp(1, 4) < = kp(0, 4) Với x = y = 4, Khi Hp (T 4, T 4) = Hp ({0, 1}, {0, 1}) = sup{p(x, x) : x ∈ {0, 1}} = max{p(0, 0), p(1, 1)} = < = kp(4, 4) Như vậy, T thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.1 Suy T có điểm bất động x = Chúng đề xuất kết sau 2.1.3 Định lý Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Nếu T : X → CB p (X) ánh xạ đa trị thỏa mãn với x, y ∈ X √ √ Hp (T x, T y) max kp(x, y), kp(x, x), kp(y, y) (2.6) k ∈ (0, 1), T có điểm bất động 22 Chứng minh Lấy x0 ∈ X x1 ∈ T x0 Sử dụng Bổ đề 1.3.9 với h = √ k ta tìm x2 ∈ T x1 cho p(x1 , x2 ) √ Hp (T x0 , T x1 ) k Nhờ điều kiện co (2.6) ta có Hp (T x0 , T x1 ) √ √ max{kp(x0 , x1 ), kp(x0 , x0 ), kp(x1 , x1 )} √ √ √ max{ kp(x0 , x1 ), kp(x0 , x0 ), kp(x1 , x1 )} √ √ √ max{ kp(x0 , x1 ), kp(x0 , x1 ), kp(x0 , x1 )} √ = kp(x0 , x1 ) Suy √ √ k √ p(x , x ) = kp(x0 , x1 ) k Với x2 ∈ T x1 ta tìm x3 ∈ T x2 cho √ p(x2 , x3 ) √ kp(x1 , x2 ) H (T x , T x ) p k p(x1 , x2 ) Tiếp tục trình ta nhận dãy (xn ) ⊂ X cho √ xn+1 ∈ T xn p(xn+1 , xn ) kp(xn , xn−1 ) với n Suy p(xn+1 , xn ) √ ( k)n p(x0 , x1 ) (2.7) với n ∈ N Sử dụng (2.7) bất đẳng thức tam giác mêtric riêng ta có p(xn , xn+m ) p(xn , xn+1 ) + p(xn+1 , xn+2 ) + + p(xn+m−1 , xn+m ) √ √ 6 ( k)n + + ( k)n+m p(x0 , x1 ) √ ( k)n √ p(x0 , x1 ) → 1− 6k n → ∞ Từ định nghĩa ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) với x, y ∈ X suy ps (x, y) 2p(x, y) với x, y ∈ X Thế ps (xn , xn+m ) 2p(xn , xn+m ) → 23 n → ∞ với m ∈ N Suy (xn ) dãy Cauchy mêtric ps Vì (X, p) đầy đủ (X, ps ) đầy đủ nên (xn ) hội tụ tới a ∈ X theo mêtric ps Đặc biệt, (2.8) p(a, a) = lim p(xn , a) = lim p(xn , xn ) = n→∞ Từ Hp (T xn , T a) n→∞ √ √ max kp(xn , a), kp(xn , xn ), kp(a, a) suy lim Hp (T xn , T a) = n→∞ (2.9) Bây giờ, từ xn+1 ∈ T xn suy p(xn+1 , T a) δp (T xn , T a) Hp (T xn , T a) Vì vậy, từ (2.9) suy lim p(xn+1 , T a) = n→∞ (2.10) Mặt khác p(a, T a) p(a, xn+1 ) + p(xn+1 , T a) Lấy giới hạn n → ∞ ta nhận p(a, T a) = Do p(a, a) = p(a, T a) Sử dụng mệnh đề 1.3.2 ta có a ∈ T a 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng Mục này, chúng tơi trình bày kết Aleomraninejad S., Mohammad A., Erhan I M., Kutbi M A Shokouhnia M ([3]) tồn điểm bất động chung ánh xạ co đa trị không gian mêtric riêng đầy đủ.Các kết chúng tơi trình bày chi tiết trường hợp đặc biệt với cách tiếp cận dạng định lý Nadler Ta ký hiệu F (T ), F (S) tập điểm bất động T, S 24 2.2.1 Bổ đề ([3]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Nếu T : X → CB p (X) ánh xạ đa trị thỏa mãn với x, y ∈ X từ p(x, y) αp(y, T y) αp(x, T x) Hp (T x, Sy) p(x, y) kéo theo k max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy), p(x, T y) + p(y, Sx) (2.11) k ∈ (0, 1) 2αk < Khi đó, x ∈ F (T ), F (S) p(x, x) = 0, Chứng minh Khơng tổng quát ta giả thiết x ∈ F (T ) Khi x ∈ T x, Vì p(x, T x) = p(x, x) Ta có p(x, x) p(x, Sx) Hp (T x, Sx) k max p(x, x), p(x, T x), p(x, Sx), p(x, T x) + p(x, Sx) k max{p(x, x), p(x, Sx)} Suy p(x, x) kp(x, x) p(x, Sx) kp(x, Sx) Cả hai trường hợp kéo theo p(x, x) = 2.2.2 Bổ đề ([3]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Nếu T, S : X → CB p (X) ánh xạ đa trị thỏa mãn với x, y ∈ X từ p(x, y) αp(y, T y) αp(x, T x) Hp (T x, Sy) p(x, y) kéo theo k max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy), p(x, T y) + p(y, Sx) (2.12) k ∈ (0, 1) α(k + 1) < 1, F (T ) = F (S) Chứng minh Nếu x ∈ T x p(x, x) = p(x, x) = Bổ đề 2.2.1 Khi p(x, Sx) Hp (T x, Sx) k max p(x, x), p(x, T x), p(x, Sx), k max{0, p(x, Sx)} = kp(x, Sx) p(x, T x) + p(x, Sx) 25 Suy p(x, Sx) = p(x, x) = Do đó, x ∈ Sx, tức x ∈ F (S) Vì F (F ) ⊂ F (S) Tương tự, ta có F (S) ⊂ F (T ) 2.2.3 Định lý ([3]) Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Nếu T : X → CB p (X) ánh xạ đa trị thỏa mãn với x, y ∈ X từ p(x, y) αp(y, T y) αp(x, T x) Hp (T x, Sy) p(x, y) kéo theo k max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy), p(x, T y) + p(y, Sx) (2.13) k ∈ (0, 1) 2αk < 1, T, S có điểm bất động chung Chứng minh Định lý 2.2.3 Lấy r cho < k < r < Từ p(x0 , T x0 ) = inf{p(x0 , y) : y ∈ T x0 } suy ta tìm x1 ∈ T x0 cho αp(x0 , T x0 ) < p(x0 , x1 ) Khi đó, điều kiện co (2.13) ta có p(x1 , Sx1 ) Hp (T x0 , T x1 ) p(x0 , Sx1 ) + p(x1 , T x0 ) p(x0 , Sx1 ) + p(x1 , x1 ) k max p(x0 , x1 ), p(x1 , Sx1 ), p(x0 , x1 ), k max p(x0 , x1 ), p(x1 , Sx1 ), p(x0 , T x0 ), Từ bất đẳng thức tam giác mêtric riêng ta nhận p(x0 , Sx1 ) p(x0 , x1 ) + p(x1 , Sx1 ) − p(x1 , x1 ) Suy p(x1 , Sx1 ) k max p(x0 , x1 ), p(x1 , Sx1 ), p(x0 , x1 ) + p(x1 , Sx1 ) − p(x1 , x1 ) + p(x1 , x1 ) k max p(x0 , x1 ), p(x1 , Sx1 ) p(x0 , x1 ), Ta nhận p(x1 , Sx1 ) kp(x0 , x1 ) (2.14) 26 Nếu p(x0 , x1 ) = x0 = x1 ∈ T x0 Hơn p(x1 , Sx1 ) = p(x1 , x1 ) = Suy x1 ∈ Sx1 Khi x0 = x1 điểm bất động chung T S , chứng minh hoàn thành Nếu p(x0 , x1 ) = αp(x1 , Sx1 ) p(x1 , Sx1 ) kp(x0 , x1 ) < rp(x0 , x1 ) (2.15) Từ định nghĩa p(x1 , Sx1 ) = inf{p(x1 , y) : y ∈ Sx1 } bất đẳng thức ta tìm x2 ∈ Sx1 cho αp(x1 , Sx1 ) < p(x1 , x2 ) < rp(x0 , x1 ) Từ điều kiện co (2.13) suy p(x2 , T x2 ) Hp (Sx1 , T x2 ) p(x1 , T x2 ) + p(x2 , Sx1 ) p(x1 , T x2 ) + p(x2 , x2 ) k max p(x1 , x2 ), p(x2 , T x2 ), p(x0 , x1 ), k max p(x1 , x2 ), p(x1 , Sx1 ), p(x2 , T x2 ), Từ bất đẳng thức tam giác mêtric riêng ta nhận p(x1 , x2 ) + p(x1 , T x1 ) − p(x2 , x2 ) p(x1 , T x2 ) Vì p(x2 , T x2 ) k max p(x1 , x2 ), p(x2 , T x2 ), p(x1 , x2 ) + p(x2 , T x2 ) − p(x2 , x2 ) + p(x2 , x2 ) k max p(x1 , x2 ), p(x2 , T x2 ) p(x1 , x2 ), Ta nhận p(x2 , T x2 ) kp(x1 , x2 ) (2.16) Nếu p(x1 , x2 ) = x1 = x2 ∈ Sx1 Hơn p(x2 , T x2 ) = p(x1 , x1 ) = Suy x2 ∈ T x2 Khi x1 = x2 điểm bất động chung T S , chứng minh hoàn thành 27 Nếu p(x1 , x2 ) = αp(x2 , T x2 ) p(x2 , T x2 ) kp(x1 , x2 ) < rp(x1 , x2 ) (2.17) Tiếp tục trình ta xây dựng dãy (xn ) ⊂ X cho x2n−1 ∈ T x2n−2 , x2n ∈ Sx2n−1 (2.18) p(xn , xn+1 ) < rp(xn−1 , xn ) p(xn , xn+1 ) = (2.19) với n Vì p(xn , xn+1 ) < rn p(x0 , x1 ) (2.20) với n Nhờ bất đẳng thức tam giác ta có p(xn , xn+m ) p(xn , xn+1 ) + p(xn+1 , xn+2 ) + + p(xn+m−1 , xn+m ) với n, m ∈ N Vì vậy, từ (2.20) suy p(xn , xn+m ) rn p(x0 , x1 ) 1−r lim p(xn , xn+m ) = với m ∈ N, hay (xn ) dãy Cauchy n→∞ (X, p) Do (xn ) dãy Cauchy khơng gian mêtric đầy đủ (X, ps ) Vì (xn ) hội tụ theo ps tới x ∈ X Đặc biệt p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xn , xn+m ) = n→∞ n→∞ Bây giờ, ta với n αp(x2n , T x2n ) p(x2n , x) αp(x2n+1 , Sx2n+1 ) p(x2n+1 , x) (2.21) Giả sử tồn n cho αp(x2n , T x2n ) > p(x2n , x) αp(x2n+1 , Sx2n+1 ) > p(x2n+1 , x) 28 Khi p(x2n , x2n+1 ) p(x2n , x) + p(x, x2n+1 ) < αp(x2n , T x2n ) + αp(x2n+1 , Sx2n+1 ) αp(x2n , x2n+1 ) + αkp(x2n , x2n+1 ) Suy α(k + 1) > Mâu thuẫn với giả thiết Bây giờ, nhờ điều kiện co (2.1) ta có Hp (T x2n , Sx) k max p(x2n , x), p(x2n , T x2n ), p(x, Sx), p(x2n , Sx) + p(x, T x2n ) (2.22) Hp (Sx2n+1 , T x)k max p(x2n+1 , x), p(x2n+1 , Sx2n+1 ), p(x, T x), p(x2n+1 , T x) + p(x, Sx2n ) (2.23) Như vậy, tồn tập vô hạn I số tự nhiên cho (2.22) (2.23) với n ∈ I Nếu (2.22) với n ∈ I p(x, Sx) p(x, x2n+1 ) + p(x2n+1 , Sx) p(x, x2n+1 ) + Hp (T x2n , Sx) p(x, x2n+1 ) + k max p(x2n , x), p(x2n , T x2n ), p(x, Sx), Để ý p(x2n , Sx) + p(x, x2n+1 ) Suy p(x, Sx) p(x2n , Sx) + p(x, x2n+1 ) (2.24) p(x2n , x) + p(x, Sx) + p(x2n+1 , x) p(x, x2n+1 ) + k p(x2n , x), p(x2n , x2n+1 ), p(x, Sx), p(x2n , x), p(x, Sx), p(x2n , x) + p(x, Sx) + p(x2n+1 , x) 29 Cho n → ∞ ta nhận p(x, Sx) kp(x, Sx) Suy p(x, Sx) = x ∈ Sx Suy x điểm bất động S Nhờ Bổ đề 2.2.2 ta có x điểm bất động T Trường hợp (2.23) với n ∈ I xét tương tự 30 Kết luận Luận văn thu kết sau: 1)Trình bày có hệ thống số kết khơng gian mêtric, khơng gian mêtric riêng, tính đủ khơng gian với cách xây dựng Mêtric Hausdorff riêng, số tính chất ánh xạ co điểm bất động 2)Trình bày định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị kiểu Nadler không gian mêtric riêng đầy đủ số ví dụ minh họa 3)Trình bày định lý điểm bất động chung ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng đầy đủ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, II, NXB Giáo Dục [2] Aydi H., Abbas M and Vetro C (2012), Partial Hausdorff metric and Nadler’s fixed point theorem on partial metric spaces, Topology Appl 159 , no 14, 3234-3242 [3] Aleomraninejad S., Mohammad A., Erhan I M., Kutbi M A and Shokouhnia M (2015), Common fixed point of multifunctions on partial metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2015:102, 11 pages [4] Agarwal R., Meehan M and O’Regan D (2004), Fixed point theory and Applications, Cambridge University Press [5] Mathews G S.,(1992), Partial metric topology, Reseach Report 212, Department of Computer Science University of Warwick [6] Mathews G.S., (1994), Partial metric topology, Ann New York Acad Sci., 728, 183-197 [7] S Romaguera (2010), A Kirk type characterization of completeness for partial metric spaces, Fixed Point Theory Appl., Article ID 493298, doi:10.1155/2010/493298, pages ... SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG, ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Chương nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động, điểm bất động chung số lớp ánh xạ đa trị. .. gian mêtric riêng tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng, lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: Về tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng Nội dung... tắt Chương nghiên cứu tồn điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng Mục 2.1 nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị khơng gian mêtric riêng, ngồi việc chứng