Về một số định lí điểm bất động trên không gian mêtric riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ***************** LÊ THỊ LOAN VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG KHĨA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Vinh, 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC… ……………………………… ………………………………………… MỞ ĐẦU….….……………………………………………………………………… KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ NGUN LÍ ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG……………………… ………………… 1.1 Không gian mêtric riêng……… …………………………….…………………….4 1.2 Sự hội tụ khơng gian mêtric riêng……… ……….………… …………… 1.3 Định lí điểm bất động Banach không gian mêtric riêng….… …………… ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ  - CO YẾU TỔNG QUÁT TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG……….……………………… ……… 19 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ TỰA CO VÀ ÁNH XẠ KIỂU ,  TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG….… ………………… 28 3.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ tựa co không gian mêtric riêng 28 3.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu  ,  không gian mêtric riêng…… 33 KẾT LUẬN .41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực tốn học thời sự, sơi động nhiều nhà toán học nước, quốc tế quan tâm Trong lý thuyết này, việc nghiên cứu tồn điểm bất động người ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, phương pháp tìm điểm bất động ứng dụng chúng Người ta thấy ứng dụng đa dạng lý thuyết điểm bất động toán học ứng dụng, vật lý, tin học, kinh tế, lý thuyết trò chơi… Một hướng nghiên cứu nhà tốn học lĩnh vực tìm cách mở rộng, xây dựng khơng gian tổng qt khái niệm khơng gian mêtric, sau nghiên cứu định lý ánh xạ co ứng dụng lớp khơng gian Các lớp không gian tổng quát không gian mêtric kể đến lớp khơng gian mêtric tổng qt, khơng gian mêtric nón, khơng gian mêtric mờ…Và đặc biệt vào năm 1994 dự án nghiên cứu hiển thị ngôn ngữ lưu thông liệu mạng máy tính S.G Matthews xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Các khái niệm, tính chất tơ pơ ngun lý ánh xạ co Banach lớp không gian mêtric riêng S.G Matthews trình bày hội nghị lần thứ tơ pơ tổng qt ứng dụng Sau đó, nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu lý thuyết điểm bất động lớp khơng gian mêtric riêng Với mục đích tìm hiểu khơng gian mêtric riêng, định lí điểm bất động cho số loại ánh xạ co không gian mêtric riêng ứng dụng, chúng tơi chọn đề tài cho khóa luận “Về số định lí điểm bất động khơng gian mêtric riêng” Ngồi phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận trình bày ba chương Chương 1: Khơng gian mêtric riêng ngun lí ánh xạ co khơng gian mêtric riêng Chương 2: Định lí điểm bất động cho ánh xạ  - co yếu tổng qt khơng gian mêtric riêng Chương 3: Định lí điểm bất động cho ánh xạ tựa co ánh xạ kiểu ,  khơng gian mêtric riêng Khóa luận thực Trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo Th.S Trần Đức Thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, tổ Giải tích tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng song khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, bạn đọc để khóa luận hồn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ NGUN LÍ ÁNH XẠ CO TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian mêtric riêng, tính chất tơ pơ, hội tụ dãy không gian mêtric riêng, cuối phát biểu chứng minh định lí điểm bất động Banach mở rộng khơng gian mêtric riêng có báo [4], [5], [6] Ta bắt đầu giới thiệu khái niệm khơng gian mêtric riêng số tính chất tô pô không gian mêtric riêng 1.1 Không gian mêtric riêng 1.1.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X tập khác rỗng Ánh xạ p : X  X  R gọi mêtric riêng thoả mãn điều kiện sau: p  x  y  p  x, x   p  y, y   p  x, y  với x, y  X ; p  p  x, x   p  x, y  với x, y  X ;  p  p  x, y   p  y, x  với x, y  X ;  p  p  x, z   p  x, y   p  y, z   p  y, y  với x, y, z  X Tập X với mêtric riêng p gọi khơng gian mêtric riêng kí hiệu  X , p  1.1.2 Ví dụ ([6]) Cho X  0,   p  x, y   max x, y với x, y  X Khi  X , p  không gian mêtric riêng Thật vậy, ta thấy p thoả mãn điều kiện  p  ,  p  ,  p  định nghĩa 1.1.1 Mặt khác, vai trị x, y, z nên khơng tính tổng qt ta giả sử x  y  z Khi đó, ta có max x, z  max x, y  max  y, z  max  y, y , hay p  x, z   p  x, y   p  y, z   p  y, y  với x, y, z  X Vậy p thoả mãn điều kiện  p4  định nghĩa 1.1.1 Do  X , p  không gian mêtric riêng 1.1.3 Nhận xét ([6]) Cho không gian mêtric riêng  X , p ánh xạ d p : X  X  R  xác định d p  x, y   p  x, y   p  x, x   p  y, y  Khi thoả d p mêtric X Thật vậy, từ tiên đề  p1  ta có p  x, y   p  x, x   p  y, y    x  y d p  x, y    x  y Hay Suy d p thoả mãn tiên đề mêtric Mặt khác, từ tiên đề  p3  ta có p  x, y   p  y, x  với x, y  X Khi dp  x, y   p  x, y   p  x, x   p  y, y   p  y, x   p  y, y   p  x, x   d p  y, x  Suy d p thoả mãn tiên đề mêtric d p  x, y   p  x, y   p  x, x   p  y, y  , Ta có d p  y, z   p  y, z   p  y , y   p  z , z  , d p  x, z   p  x, z   p  x, x   p  z, z  Suy d p  x, y   d p  y, z    p  x, y   p  y, z   p  y, y   p  x, x   p  z, z   p  x, z   p  x, x   p  z, z   d p  x, z  (sử dụng  p4  ) Do d p  x, z   d p  x, y   d p  y, z  với x, y, z  X Vậy d p thoả mãn tiên đề mêtric, điều kéo theo d p mêtric X Tiếp theo, trình bày số định nghĩa, tính chất tơ pô không gian mêtric riêng 1.1.4 Định nghĩa ([6]) Cho  X , p  không gian mêtric riêng,   x  X Ta kí hiệu Bp  x  :  y  X / p  x,y     gọi Bp  x  hình cầu mở tâm x bán kính  khơng gian mêtric riêng  X , p  1.1.5 Định lí ([6]) Tập hợp tất hình cầu mở không gian mêtric riêng  X , p  sở tô pô T p X Chứng minh: Đặt X  xX Bpp x , x 1  x  , giả sử x, y  X Bp  x  , Bp  y  hình cầu mở tùy ý khơng gian mêtric riêng  X , p  Khi đó, ta có Bp  x   Bp  y   Bp  z  / z  Bp  x   Bp  y  ,  : p  z, z     p  x, z  ,  p  y, z  Vậy định lí chứng minh 1.1.6 Định lí ([6]) Giả sử  X , p  khơng gian mêtric riêng, hình cầu mở Bp  a  , a  X x  Bp  a  Khi tồn   cho x  Bp  x   Bp  a  Chứng minh: Giả sử x  Bp  a  , ta có p  x, a    Đặt  :   p  x, a   p  x, x  suy   p  x, x    x  Bp  x  Do ta có Bây ta giả sử y  Bp  x  , ta có p  y, x    Điều kéo theo p  y, x     p  x, a   p  x, x  , tương đương với p  y, x   p  x, a   p  x, x    Từ  p4  ta suy p  y, a    Vậy Bp  x   Bp  a  Do định lí chứng minh 1.1.7 Định lí ([6]) Không gian mêtric riêng  X , p  To - không gian Chứng minh: Giả sử x, y  X x  y Từ điều kiện nghĩa 1.1.1 ta suy p  x, x   p  x, y  Đặt    p ,  p  định p  x, x   p  x , y  Do   nên tồn hình cầu mở Bp  x  cho p  x, x     p  x, y  Điều có nghĩa x  Bp  x  y  Bp  x  Vậy  X , p  To - không gian 1.2 Sự hội tụ không gian mêtric riêng 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho  X , p không gian mêtric riêng dãy x   X Khi n (i) Dãy  x  n gọi hội tụ tới điểm x X p  x, x   lim p  x, xn  n (ii) Dãy  xn  gọi dãy Cauchy lim p  xn , xm  tồn hữu hạn n , m (iii) Không gian mêtric riêng  X , p  gọi đầy đủ dãy Cauchy  xn  X hội tụ tới điểm x  X cho p  x, x   lim p  xn , xm  n , m 1.2.2 Bổ đề ([6]) (i) Dãy  xn  dãy Cauchy không gian mêtric riêng  X , p  dãy Cauchy khơng gian mêtric  X , d p  (ii) Không gian mêtric riêng  X , p  gọi đầy đủ không gian mêtric  X , d p  đầy đủ Hơn nữa, lim d p  x, xn    p  x, x   lim p  x, xn   nlim p  xn , xm  n n , m Chứng minh: (i) Giả sử  xn  dãy Cauchy không gian mêtric riêng  X , p  Khi với   tồn tại, a  R N  N * cho với n, m  N ta có p  xn , xm   a   Mặt khác, ta lại có d p  xn , xm   p  xn , xm   p  xn , xn   p  xm , xm    a     a     a     Điều có nghĩa d p  xn , xm   n, m   Vậy  xn  dãy Cauchy không gian mêtric  X , d p  Ngược lại, giả sử  xn  dãy Cauchy không gian mêtric  X , d p  , từ định nghĩa d p ta có d p  xn , xm   p  xn , xm   p  xn , xn   p  xm , xm   n, m   Điều chứng tỏ lim p  xn , xm   lim p  xn , xm   lim p  xn , xm  , n m n , m tức  xn  dãy Cauchy kgông gian mêtric riêng  X , p  (ii) Suy từ (i) định nghĩa d p Vậy bổ đề chứng minh xong 1.2.3 Bổ đề ([5]) Giả sử xn  z n   không gian mêtric riêng  X , p  cho p  z, z   Khi lim p  x , y   p  z, y  với n n y X p  xn , z   p  z, z   Chứng minh: Ta có lim n Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có p  xn , y   p  xn , z   p  z, y   p  z, z   p  xn , z   p  z, y  , p  z, y   p  z, xn   p  xn , y   p  xn , xn   p  xn , z   p  xn , y  Do  | p  xn , y   p  z, y  | p  xn , z  p  xn , z   nên lim Mặt khác, lim  p  xn , y   p  x, y   n n Suy điều phải chứng minh 1.2.4 Bổ đề ([5]) Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ Khi (i) Nếu p  x, y   x  y (ii) Nếu x  y p  x, y   Chứng minh: (i) Giả sử p  x, y   từ tiên đề  P3  ta có p  x, x   p  x, y   , p  y , y   p  x, y   Vì ta có p  x, x   p  x, y   p  y, y   Do từ tiên đề  P2  suy x  y (ii) Từ định nghĩa mêtric riêng ta có p  x, y   với x, y  X Giả sử x  y p  x, y   , theo chứng minh (i) ta có x  y điều trái với giả thiết x  y Do p  x, y   x  y 1.3 Định lí điểm bất động Banach khơng gian mêtric riêng Sau đây, phát biểu chứng minh kết S.G Matthews [6] định lí điểm bất động Banach cho không gian mêtric riêng 1.3.1 Định lí ([6]) Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X  X cho tồn    thoả mãn p T  x  ,T  y     p  x, y  với x, y  X Khi tồn điểm a  X cho a  T  a  p  a, a   Chứng minh: Giả sử u  X , với n, k  N ta có p T nk 1  u  ,T n  u    p T nk 1  u  ,T nk  u    p T nk  u  ,T n  u    p T nk u  ,T nk u     n  k p  T  u  , u   p T n  k  u  , T n  u   Điều kéo theo 10 CHƯƠNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ TỰA CO VÀ ÁNH XẠ KIỂU ,  TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG 3.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ tựa co không gian mêtric riêng Ánh xạ tựa co giới thiệu L.B Ciric vào năm 1974 [3] 3.1.1 Định nghĩa([3]): Cho  X , d  không gian mêtric, ánh xạ T : X  X gọi ánh xạ tựa co X thỏa mãn điều kiện: d Tx,Ty   qmax d  x, y  , d  x,Tx  , d  y,Ty  , d  x,Ty  , d  y ,Tx  với x, y  X , q  0,1 L.B Ciric ánh xạ tựa co thực tổng quát ánh xạ co tổng quát, ánh xạ co kiểu Reich, ánh xạ co kiểu Hardy Rogers cách phát biểu chứng minh định lí sau 3.1.2 Định lí ([3]): Giả sử  X ,d  không gian mêtric đầy đủ T : X  X ánh xạ tựa co Khi T có điểm bất động Trong phần đầu chương này, chúng tơi chứng minh định lí 3.1.2 trường hợp  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ Các định nghĩa bổ đề sau cần thiết cho phép chứng minh Cho  X , p  không gian mêtric riêng, ánh xạ T : X  X Với A  X ta đặt   A : sup p  a, b  : a, b  A với xX, đặt O  x, n  : x,Tx, ,Txn  , n  1,2, , O  x,   : x,Tx,  3.1.3 Bổ đề ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng, T : X  X ánh xạ tựa co n số nguyên dương Khi với x  X số nguyên dương i j thỏa mãn  i  j  n ta có p T i x,T j x   q. O  x, n  29 Chứng minh: Lấy x  X Đặt T n1x  x n Ta thấy T i 1x,T i x,T j 1x,T j x  O  x, n  T ánh xạ tựa co nên ta có p T i x,T j x   p TT i 1x,TT j 1x     q.max p T i 1x, T j 1x  , p T i 1x, T i x  , p T j 1x,T j x  , p T i 1x,T j x  , p T i x ,T j 1x     q sup p T i 1 x,T j 1 x  , p T i 1 x,T i x  , p T j 1 x,T j x  , p T i 1x,T j x  p T i x,T j 1x   qT j 1 x,T j x,T i 1 x,T i x  q O  x, n  Vậy p T i x,T j x   q O  x, n  Từ chứng minh ta có kết luận sau T ánh xạ tựa co x  X với số nguyên dương n tồn số nguyên dương k  n cho p  x,T k x    O  x, n  3.1.4 Bổ đề ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng T : X  X p  x,Tx  với x  X ánh xạ tựa co Khi  O  x,     1 q Chứng minh: Lấy x  X Vì  O  x,1   O  x,2   nên ta có  O  x,    supO  x, n  : n  R Bởi để chứng minh bổ đề, ta cần tồn  O  x, n   p  x,Tx  với n  N 1 q Từ bổ đề 3.1.3, tồn T k x  O  x, n  ,1  k  n cho p  x,T k x    O  x, n  , n số nguyên dương Từ  p4  bổ đề 3.1.3 ta có p  x,T k x   p  x,Tx   p Tx,T k x   p Tx,Tx   p  x,Tx   p Tx,T k x  30  p  x,Tx   q. O  x, n   p  x,Tx   q p  x,T k x  Do  O  x, n   p  x,T k x   p  x,Tx  1 q Bây ta chứng minh định lí 3.1.2 cho trường hợp  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ Lấy x  X Ta xác định dãy  xn  sau xn1  Txn  T n1x , n  0,1,2, Ta chứng minh T n x dãy Cauchy Từ bổ đề 3.1.3 T ánh xạ tựa co ta có p T n x,T m x   p TT n1x,T mn1T n1x   q. O T n1x, m  n  1 , tồn số nguyên k1,1  k1  m  n  cho  O T n1x, m  n  1  p T n1x,T k T n1x  Mà p T n1x,T k1T n1x   p TT n2 x,T k1 1T n2 x   q. O T n2 x, k1  1  q. O T n2 x, m  n   Do p T n x,T m x   q. O T n1x, m  n  1  q  O T n2 x, m  n   Tương tự, tồn số nguyên k2 ,1  k2  m  n  cho  O T n2 x, m  n    p T n2 x,T k T n2 x  Mặt khác, ta có p T n2 x,T k2T n2 x   p TT n3 x,T k2 1T n3 x   q. O T n3 x, k2  1  q. O T n3 x, m  n  3 Suy 31 p T n x,T m x   q. O T n1x, m  n  1  q  O T n2 x, m  n    q3. O T n3 x, m  n  3 Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh p T n x,T m x   q n  O  x, m  Từ bổ đề 3.1.4 ta nhận qn p T x,T x   q  O  x, m    p  x,Tx  1 q n m n Cho n, m   ta p T n x,T m x   Điều chứng tỏ T n x dãy Cauchy Vì  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ nên tồn u  X cho T n x  u n   p  u, u   lim T n x, u   lim T n x,T m x   n n ,m (3.1) Tiếp theo chứng minh Tu  u Ta có p  u,Tu   p  u,T n1x   p T n1x,Tu   p T n1x,T n1x   p  u,T n1x   p T n1x,Tu   p u,T n1x   p TT n x,Tu     p  u,T n1x   q.max p T n x, u  , p T n x,T n1x  , p u,Tu  , p T n x,Tu  , p T n1x, u   p  u,T n1x   q  p T n x,T n1x   p T n x, u   p u,Tu   p T n1x, u  Điều có nghĩa p  u,Tu    n 1 n n n 1  q p u , T x  qp u , T x  qp T x , T x          1 q Chuyển qua giới hạn n   sử dụng (3.1) ta p  u,Tu   hay Tu  u Do u điểm bất động T Bây chứng minh điểm bất động Giả sử u v hai điểm bất động T u  v Khi ta có p  u, v   p Tu,Tv   qmax  p  u, v  , p  u,Tu  , p  v,Tv  , p u,Tv  , p  v,Tu  32  qmax  p  u, v  , p  u, Tv , p  v, Tu  q max  p  u, v  , p  v, u   p u,Tu   p u, u  , p u, v   p v,Tv   p v, v   qp  u, v  Điều có nghĩa 1  q  p  u, v   hay p  u, v   suy u  v Do T có điểm bất động 3.1.5 Hệ ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X  X thỏa mãn:   p Tx,Ty   qmax  p  x, y  , p  x,Tx  , p  y,Ty  ,  p  x,Ty   p  y,Tx   với   x, y  X , q  0,1 Khi T có điểm bất động 3.1.6 Hệ ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X  X thỏa mãn: p Tx,Ty   qp  x, y  với x, y  X , q  0,1 Khi T có điểm bất động 3.1.7 Hệ ([9]): Cho  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X  X thỏa mãn:   p T m x,T m y   qmax p  x, y  , p  x,T m x  , p  y,T m y  , p  x,T m y  , p  y,T m x  m số nguyên dương q  0,1 Khi T có điểm bất động X Chứng minh: Đặt S  T m Theo định lí 3.1.2 S có điểm bất động gọi u điểm bất động Khi T mu  u điều kéo theo T m1u  Tu Tp điểm bất động T m Vì T m có điểm bất động nên Tu  u Do u điểm bất động T Vì T m có điểm bất động nên T có điểm bất động 33 3.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu  ,  khơng gian mêtric riêng 3.2.1 Định lí ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X  X thỏa mãn:   p Tx,Ty      m  x, y     max  p  x, y  , p  y,Ty  (3.2) với x, y  X , (a)  , : 0,    0,   hàm liên tục với   t     t   t    (b) m  x, y   max  p  x, y  , p  x,Tx  , p  y,Ty  ,  p  x,Ty   p Tx, y      Khi T tồn điểm bất động u  X Chứng minh: Lấy x0  X Đặt xn1  Txn  T n1x0 với n  Nếu tồn số tự nhiên N cho xN  xN 1 xN điểm bất động T Do đó, giả sử xn  xn1 , với n  Từ (3.2), với n  ta có   p  xn1, xn2      p Txn ,Txn1        m  xn , xn1     max  p  xn , xn1  , p  xn1, xn2  Mặt khác, ta có  p  xn , xn2   p  xn1 , xn1  2   p  xn , xn1   p  xn1 , xn2   p  xn1 , xn1   p  xn1 , xn1    p  xn , xn1   p  xn1 , xn2   max  p  xn , xn1  , p  xn1, xn2  34   m  xn , xn1   max  p  xn , xn1  , p  xn1 , xn  ,  p  xn , xn   p  xn1 , xn1       max  p  xn , xn1  , p  xn1, xn2  ,   p  xn1, xn2         max  p  xn , xn1  , p  xn1, xn2    max  p  xn , xn1  , p  xn1, xn2  (3.3) Giả sử p  xn , xn1   p  xn1, xn2  , với số nguyên dương n Khi đó, từ (3.3) ta có   p  xn1, xn2      p  xn1, xn2      p  xn1 , xn2   , (3.4) tức   p  xn1, xn2    điều kéo theo p  xn1, xn2   hay xn1  xn2 mâu thuẫn với điều ta giả sử xn  xn1 với n  N Giả sử p  xn1, xn2   p  xn , xn1  với n   p  x , x  n n1 dãy đơn điệu giảm số thực khơng âm Do tồn r  cho lim p  xn , xn1   r n (3.5) Chuyển qua giới hạn n   (3.4) sử dụng (3.5) ta   r    r     r  điều mâu thuẫn trừ r  Do lim p  xn , xn1   n (3.6) Tiếp theo, chứng minh  xn  dãy Cauchy Giả sử  xn  dãy Cauchy Khi tồn   số thực a ta tìm hai dãy số nguyên dương mk  nk  thỏa mãn 35 n  m  k k  k   p  xm , xn   a   ,   p  xm , xn   a   (3.7) n  m  k k  k   p  xm , xn   a     p  xm , xn   a   (3.8) k k k k 1 k k k k 1 Nếu a  xét (3.7) Nếu (3.7) ta có a    p  xm , xn   p  xm , xn k   px , x   px  p x , x   p x , x   a    p x , x  k k k 1 nk 1 nk mk nk 1 nk 1 nk nk 1 nk 1  , xn k 1 nk Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức k   sử dụng (3.6) ta nhận   lim p xmk , xnk  a   k  (3.9) Sử dụng tiên đề  p4  khơng gian mêtric riêng ta có p  xm , xn   p  xm , xm k k k k 1  p  xm , xm k k 1  p  xm , xm k k 1  p  xm , xm k k 1   px   p x   px   px mk 1 , xn   p  xm , xm m k 1 , xn mk 1 , xn mk 1 , xn k 1 k k    px   px k 1 k 1 k 1  nk 1 , xn   p  xn , xn nk 1 , xn  k 1 k k 1  k Suy p  xm , xn   p  xm , xm k k k 1 k   px mk 1 , xn k 1   px nk 1 , xn  k Tương tự, ta có p  xm , xn k 1 k 1   p x mk 1 , xm   p  xm , xn   p  xn , xn k k k k k 1  Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức k   kết hợp (3.6), (3.9) ta có 36 lim p  xm , xn k  k 1   a  k 1 (3.10) Sử dụng tiên đề  p4  không gian mêtric riêng ta có p  xm , xn   p  xm , xn k k k 1 k  p  xm , xn k 1 k   px   p x nk 1 , xn   p  xn , xn nk 1 , xn k 1 k k k 1   p  xm , xn k 1 k   p x  p x mk , xn   p  xn , xn mk , xn   p  xn , xn k k 1 k k k 1 k   px  nk , xn k  Sử dụng (3.6), (3.9) chuyển qua giới hạn bất đẳng thức k   , ta có   (3.11)   (3.12) lim p xmk , xnk 1  a   k  Tương tự, ta có lim p xnk , xmk 1  a   k  Áp dụng x  x2 m , y  x2 n 1 (3.2), ta có k   p Txm ,Txn k k k    p  x mk 1 k 1  k 1 , p  x , xn      max  p  xm , xn  , p  xm , xm   k k k   nk , xn k 1  , 12  p  x mk  max p  xm , xn  , p  xn , xn k k k k 1 , xn k 1   px mk 1  , xn     k  Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức k   , sử dụng (3.6), (3.9) - (3.12) tính liên tục hàm  , ta có   a      a       a    Theo tính chất  ta suy điều mâu thuẫn Trong trường hợp (3.8) , giả sử a    Chứng minh tương tự trường hợp trước, ta có   a      a       a    37 ta có điều mâu thuẫn Do đó,  xn  dãy Cauchy Vì  X , p  khơng gian mêtric riêng đầy đủ nên tồn u  X cho xn  u n   p  u, u   lim p  xn , u   mlim p  xm , xn  n , n  Bây ta áp dụng x  x2 n , y  u vào (3.2), ta có   p Txn ,Tu      p  xn1 ,Tu         max  p  xn , u  , p  xn , xn1  , p  u,Tu  ,  p  xn ,Tu   p  xn1 , u           max  p  xn , u  , p  u,Tu  Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức n   , sử dụng (3.6) tính liên tục hàm   , ta có   p  u,Tu      p  u,Tu      p u,Tu   , điều có nghĩa p  u,Tu   hay u  Tu Do đó, u điểm bất động T Bây chứng minh điểm bất động T Giả sử u, v hai điểm bất động T u  v Khi với x  u, y  v (3.2) ta có   p  u, v      p Tu,Tv         max  p  u, v  , p  u,Tu  , p Tv, v  ,  p  u,Tv   p Tu, v           max  p  u, v  , p Tv, v  , điều có nghĩa   p  u, v      p  u , v      p u , v   38 hay p  u, v   tức u  v điều mâu thuẫn với điều giả sử u  v Do T có điểm bất động Định lí chứng minh xong 3.2.2 Hệ ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ T : X  X ánh xạ thỏa mãn:       p T n x,T n y      max  p  x, y  , p  x,T n x  , p  y,T n y  ,  p  x,T n y   p  y ,T n x            max p  x, y  , p  y,T n y  với x, y  X , n số nguyên dương  , : 0,    0,   hàm liên tục với   t     t   t  Khi T có điểm bất động X 3.2.3 Ví dụ ([9]): Giả sử X  0,   p  x, y   max x,y Khi  X , p  khơng gian mêtric riêng đầy đủ Trong ví dụ 1.1.2 ta chứng minh  X , p  không gian mêtric riêng, ta cần chứng minh tính đầy đủ  X , p  Vì X  0,   tập đóng nên dãy  xn  X dãy Cauchy hội tụ tới điểm nằm X Do  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ Giả sử T : X  X , Tx  x2 với x  X Với x, y  X , giả sử 1 x x  y ta có  x2 y2  x2 , p Tx,Ty   max  ,  1  x  y   x   m  x, y   max  p  x, y  , p  x,Tx  , p  y,Ty  ,  p  x,Ty   p  y,Tx         y2  y2    x2   x      max  x,max  x,  ,max  y,  , max  x,   max  y,    1 x    x    1 y    1 y     39    max  x, x, y,  x  x   x   max  p  x, y  , p  y,Ty   max x, y  x Chọn   t   t   t   t với t  0,   Ta thấy  , hàm liên tục với 1 t   t     t   t  Mặt khác, với x, y  X ánh xạ T thỏa mãn điều kiện   p Tx,Ty      m  x, y      max  p  x, y  , p  y,Ty  Theo định lí 3.2.1 ta suy T có điểm bất động X điểm bất động x  3.2.4 Định lí ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ S ,T : X  X thỏa mãn:        p Tx, Sy      max p  x, y  , p  x,Tx  , p  y, Sy  ,  p  x, Sy   p  y,Tx        max  p  x, y  , p  x,Tx  , p  y, Sy   với x, y  X ,  , : 0,    0,   hàm liên tục với   t     t   t  Khi T S có điểm bất động chung Định lí chứng minh hồn tồn tương tự Định lí 3.2.1 3.2.5 Hệ ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ S ,T : X  X thỏa mãn:         p T m x, S n y     max p  x, y  , p  x,T m x  , p  y, S n y  ,  p  x, S n y   p  y,T m x          max p  x, y  , p  x, T m x  , p  y, S n y  40 với x, y  X , m, n số nguyên dương cố định  , : 0,    0,   hàm liên tục với   t     t   t  Khi T S có điểm bất động chung 41 KẾT LUẬN Khóa luận đạt kết sau - Trình bày định nghĩa khơng gian mêtric riêng, ví dụ khơng gian mêtric riêng, tính chất bản, hội tụ dãy không gian mêtric riêng, định lí điểm bất động Banach mở rộng khơng gian mêtric riêng đầy đủ có tài liệu [4], [5], [6] - Trình bày định nghĩa ánh xạ  - co yếu tổng quát không gian mêtric riêng, định lí tồn điểm bất động cho ánh xạ  - co yếu tổng quát khơng gian mêtric đầy đủ ví dụ điểm bất động có tài liệu [1] - Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt, kết Mục 1.1, 1.2, 1.3, ( Ví dụ 1.1.2, Nhận xét 1.1.3, Bổ đề 1.2.2, Định lí 1.3.2, Định lí 1.3.3, Ví dụ 1.3.5, Hệ 2.4, Ví dụ 2.6) - Phát biểu chứng minh kết định lí điểm bất động cho ánh xạ tựa co, số định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu  , khơng gian mêtric riêng đầy đủ ví dụ điểm bất động cho ánh xạ kiểu  , 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T Abdeljawad, E Karapinar and K Tas, Existence and uniqueness of common fixed point on partial metric spaces, Appl Math Lett., 24 (2011) 18941899 [2] Ya.I Alber, S Guerre-Delabriere, Principle of weakly contractive in Hillber spaces, in: New results in Operator Theory and Its Applications, in: Oper Theory Adv Appl., vol 98, Biskhauser, Basel, (1997) 7- 22 [3] L.B Ciric, A generalization of Banach contraction principle, Proceedings of the American Mathmatical Society., 45 (1974) 267- 273 [4] D Ilic, V Pavlovic and V Rakocevic, Some new extensions of Banach contraction principle to partial metric space, Appl Math Lett., 24 (2011) 13261330 [5] E Karapinar, I.M Erhan, Fixed point theorems for operators on partial metric spaces, Appl Math Lett., 24 (2011) 1900- 1904 [6] S.G Matthews, Partial metric topology, in: Proc 8th Summer Conference on General Topology and Applications, in: Ann New York Acad Sci., vol 728, (1994) 183- 197 [7] B.E Rhoades, Some theorems on weakly contractive maps, Nonlinear Anal., 47 (2001) 2683- 2693 [8] B.E Rhoades, A comparison of various definitions of contractive mappings, Trans Amer Math Soc., 226 (1977) 257- 290 [9] Tran Đuc Thanh, Le Thi Loan, Some fixed point theorems on partial metric spaces, to submitted [10] Q Zhang, Y Song, Fixed point theory for generalized  - weak contractions, Appl Math Lett., 22 (2009) 75- 78 43 ... 1.3 Định lí điểm bất động Banach không gian mêtric riêng? ??.… …………… ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ  - CO YẾU TỔNG QUÁT TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG……….……………………… ……… 19 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG... khơng gian mêtric riêng, định lí điểm bất động cho số loại ánh xạ co không gian mêtric riêng ứng dụng, chúng tơi chọn đề tài cho khóa luận ? ?Về số định lí điểm bất động khơng gian mêtric riêng? ??... u điểm bất động T Vì T m có điểm bất động nên T có điểm bất động 33 3.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu  ,  không gian mêtric riêng 3.2.1 Định lí ([9]): Giả sử  X , p  không gian mêtric