Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị và đa trị trong không gian đối xứng và không gian o mêtric

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Lê thị mai điểm bất động của các ánh xạ đơn trị và đa trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2009 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Lê thị mai điểm bất động của các ánh xạ đơn trị và đa trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: giải tích Mã số: 60.46.01 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Đinh huy hoàng Vinh - 2009 Mục lục Mục lục trang Lời nói đầu .1 Chơng1. Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản .3 1.2 Không gian o-mêtric .5 1.3 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian o-mêtric . 12 1.4 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tơng thích yếu trong không gian o-mêtric 16 Chơng2. Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng và không gian o- mêtric 25 2.1 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng 25 2.2 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric . 30 Kết luận .38 Tài liệu tham khảo . Lời nói đầu Không gian mêtric là một trong những không gian tôpô đặc biệt có nhiều tính chất và trực quan. Vì thế khi nghiên cứu các không gian tôpô tổng quát, ng- ời ta xét các tính chất tơng tự nh không gian mêtric. Một trong những hớng nghiên cứu đó là xây dựng những hàm tơng tự nh mêtric trên các không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất sinh ra từ các hàm đó. Để xây dựng hàm kiểu này ngời ta mở rộng khái niệm mêtric bằng cách giảm bớt các điều kiện trong ịnh nghĩa của nó. Với cách làm nh vậy ngời ta thu đợc các khái niệm về không gian đối xứng, không gian o-mêtric và một số không gian khác. Ta đã biết ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động, khai thác hớng nghiên cứu này ngời ta đặt ra câu hỏi kết quả tơng tự nh trong không gian mêtric đầy đủ ở trên còn đúng trong các không gian nửa mêtric, không gian đối xứng, không gian o-mêtric hay không? Bên cạnh đó ngời ta cũng nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng bằng cách sử dụng khoảng cách Hausdorff và nghiên cứu các điểm trùng nhau của ánh xạ đa trị và ánh xạ đơn trị trong các không gian nói trên. Những ngời đã đạt đợc nhiều kết quả trong lĩnh vực này là: T. L. Hichs, M. Aamri and D. ELMoutawalil, K. B. Lee Mục đích của Luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị và đơn trị trong các không gian đối xứng. Từ đó xét xem các kết qủa đã có trong không gian đối xứng có còn đúng đối với không gian o-mêtric nữa hay không? Với mục đích đó Luận văn đợc chia làm hai chơng Chơng 1. Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric Trong chơng này, đầu tiên chúng tôi nhắc tới một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng có liên quan tới nội dung của Luận văn. Trình bày khái niệm về không gian o-mêtric, không gian đối xứng, và mối liên hệ của chúng với các không gian tôpô đặc biệt khác. Sau đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian o-mêtric, chứng minh kết quả tơng tự nh Nguyên lí tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ vẫn đúng cho không gian o-mêtric đầy đủ. Cuối cùng, chúng tôi trình bày một số điều kiện để các ánh xạ tơng thích yếu trong không gian o-mêtric có điểm bất động chung. Chơng 2. Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng và không gian o-mêtric Trong chơng này, trớc tiên chúng tôi trình bày sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng. Sau đó, chúng tôi đa ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị và điểm trùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric. Các kết quả này đợc thể hiện trong Định lí 2.2.2, Bổ đề 2.2.9, Bổ đề 2.2.10, Bổ đề 2.2.11, Định lí 2.2.13, Định lí 2.2.14. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo, PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại Học và các Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trong khoa Toán đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc góp ý để Luận văn đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả chơng 1 Điểm bất động của các ánh xạ đơn trị trong không gian đối xứng và không gian 0-mêtric 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và kết quả đã có cần dùng trong Luận văn. 1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ các tập con của X đợc gọi là tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện (T 1 ) , X ; (T 2 ) Nếu i G , i I thì Ii i G ; (T 3 ) Nếu 1 G , 2 G thì 21 GG . Tập hợp X cùng với tôpô trên nó đợc gọi là không gian tôpô và kí hiệu là (X, ) hay đơn giản là X. Các phần tử của X đợc gọi là điểm của không gian tôpô. Các phần tử thuộc đợc gọi là tập mở trong X. 1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, A X. Tập U X đợc gọi là lân cận của A, nếu có tập mở V trong X sao cho A V U. 1.1.3 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T 1 -không gian nếu hai điểm bất kì x, y X , x y thì tồn tại các lân cận tơng ứng U x , U y của x, y sao cho y U x và x U y . 1.1.4 Định nghĩa. Dãy {x n } trong không gian tôpô X đợc gọi là hội tụ tới x X nếu với mỗi lận U của x tồn tại n 0 N sao cho x n U với mọi n n o . Khi đó ta viết x n x. 1.1.5 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T 2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu với hai điểm bất kỳ x, y X, x y tồn tại các lân cận tơng ứng U x , V y của x, y sao cho x y U U = . Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất. 1.1.6 Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f: X Y. ánh xạ f đợc gọi là liên tục tại điểm x X nếu mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) V. ánh xạ f đợc gọi là liên tục trên X ( nói gọn là liên tục ) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. 1.1.7 Định lý. Giả sử X, Y là các không gian tôpô, f : X Y. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (1) f liên tục; (2) Nếu E mở trong Y thì f -1 (E) mở trong X; (3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f -1 (E) đóng trong X. 1.1.8 Định nghĩa. Giả sử V X, V đợc gọi là lân cận dãy của x X nếu mỗi dãy {x n } hội tụ về x tồn tại n o N sao cho {x} {x n : n n o } V. 1.1.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu mỗi tập con A của X và x A tồn tại dãy {x n } trong A sao cho dãy {x n } hội tụ tới x. 1.1.10 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet mạnh nếu mỗi dãy giảm các tập con {A n } của X và n x A với mọi n N * đều tồn tại dãy {x n } trong X sao cho x n A n với mọi n và {x n } hội tụ tới x. Không gian tôpô đợc gọi là không gian dãy nếu tập con A của X là đóng trong X khi và chỉ khi mỗi dãy trong A mà hội thì hội tụ tới một điểm thuộc A. 1.1.11 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, hàm f : X (- ,+ ) đợc gọi là nửa liên tục trên tại o x X nếu 0 0 lim sup ( ) ( ) x x f x f x . Hàm f đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu nó liên tục tại mọi x X. Hàm f đợc gọi là nửa liên tục dới nếu hàm (-f ) nửa liên tục trên, trong đó (-f )(x) = - f(x) với mọi x X. Nói cách khác, hàm f đợc gọi là nửa liên tục dới tại x o X nếu 0 0 lim inf ( ) ( ) x x f x f x . Đôi khi, ta viết 0 lim ( ) x x f x , 0 lim ( ) x x f x lần lợt thay cho 0 lim sup ( ) x x f x , 0 lim inf ( ) x x f x . 1.1.12 Định lí. Giả sử X là không gian tôpô và f : X R. Khi đó, f nửa liên tục trên (nửa liên tục dới, tơng ứng) khi và chỉ khi với mọi r R, tập {x X : f(x )< r} ({x X : f(x ) > r}, tơng ứng) mở trong X. 1.1.13 Định lí. Giả sử X là không gian tôpô và f : X R. Khi đó, f liên tục tại x X khi và chỉ khi f liên tục trên và liên tục dới tại x. 1.2 Không gian o-mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([5]). Giả sử X là không gian tôpô, d: X ì X R. 1) Hàm d đợc gọi là một o-mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện: (i) d(x, y) 0 với mọi x, y X; (ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ; (iii) Tập con U X là mở khi và chỉ khi d(x, X \U) > 0 với mọi x U, trong đó d(x, X \U) = inf{d(x, y): y X \U}. 2) Hàm d đợc gọi là một o-mêtric mạnh nếu d là o-mêtric và với mỗi x X, với mỗi r > 0 hình cầu B(x, r) = {y X: d(x, y) < r} là một lân cận của x. 3) Hàm d đợc gọi là một symmêtric nếu d là một o-mêtric và d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y X. 4) Hàm d đợc gọi là một nửa mêtric nếu d là một symmêtric và với M X thì x M khi và chỉ khi d(x, M) = inf{ d(x, y): y M} = 0. Không gian tôpô X cùng với một o-mêtric (tơng ứng o-mêtric mạnh, symmêtric, nửa mêtric) d trên nó gọi là không gian o-mêtric (tơng ứng o-mêtric mạnh, đối xứng, nửa mêtric) và kí hiệu là (X, d) hoặc X nếu không cần chỉ ra d. Nhận xét: Lớp không gian o-mêtric là một lớp thực sự rộng hơn lớp các không gian đối xứng. Ví dụ: Lấy X = [0,1] trên X ta xét tôpô cảm sinh bởi tôpô thông thờng trên R. Cho hàm d: X ì X R xác định bởi công thức d(x,y) = |1- e x-y |; x,y X. Giả sử X là một không gian o-mêtric. Đặt d ={ U X : x U, B(x, ) U}. 1.2.2 Mệnh đề ([1]). 1) Tập con U là mở khi và chỉ khi U d . Tức là d trùng với tôpô trên X . 2) Nếu dãy {x n } X và x X sao cho d(x, x n ) 0 thì x n x. Chứng minh. 1) Giả sử U là tập mở trong X và x U. Khi đó, theo Định nghĩa của o-mêtric ắt tồn tại r > 0 sao cho d(x, X \U) = r. Từ đó suy ra B(x, 2 r ) U. Thật vậy, với mỗi y B(x, 2 x ) ta có d(x, y) < 2 r . Do đó y X \U, tức là y U. Nh vậy U d. . Ngợc lại, giả sử U d . và x U. Khi đó tồn tại > 0 sao cho B(x, ) U. Với y X \U ta có x U. Do đó d(x, y) . Từ đó suy ra d(x, X \U) > 0. Theo định nghĩa của o-mêtric thì U là tập mở trong X. (2) Giả sử {x n } X, x X sao cho d(x, x n ) 0. Với bất kỳ lân cận U của x ắt tồn tại r > 0 sao cho B(x, r ) U. Vì d(x, x n ) 0 nên tồn tại số tự nhiên n o sao cho d(x, x n ) < r với mọi n n 0 . Do đó x n B(x, r ) U với mọi n n o . Vậy x n x. 1.2.3 Định nghĩa ([1]). Giả sử {x n } là một dãy trong không gian o-mêtric (X, d). Ta nói rằng dãy {x n } là d- hội tụ tới x X nếu lim ( , ) 0 n n d x x = . Khi đó, ta kí hiệu x n d x. 1.2.4 Bổ đề ([1]). Nếu X là không gian o-mêtric Hausddorff thì B(x, r) là lân cận dãy của x với mọi x X và mọi r > 0. Chứng minh. Giả sử B(x, r) không là lân cận dãy của X. Khi đó tồn tại dãy {x n } trong X \B(x, r) sao cho {x n } hội tụ tới x. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết các x n đôi một khác nhau. Đặt E = {x 1 ,x 2 ,}.Vì X là không . Chơng2. Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối xứng và không gian o- mêtric 25 2.1 Điểm bất động của các ánh xạ đa trị trong không gian đối. tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian o- mêtric . 12 1.4 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tơng thích yếu trong không gian o- mêtric