Giới hạn và đạo hàm của các hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn

Lời giới thiệu Lí thuyết giới hạn đóng vai trò quan trọng trong Giải tích. Các khái niệm cơ bản của Giải tích nh đạo hàm, tích phân . đợc định nghĩa bằng cách dựa vào giới hạn. Trong Giải tích cổ điển, ta đã học giới hạn và đạo hàm của các hàm số, tức là các hàm nhận giá trị trong không gian số thực R. ở đó, không trình bày giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn tổng quát. Để tìm hiểu vấn đề này, đầu tiên, bằng cách dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm số chúng tôi đã định nghĩa giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Sau đó, chúng tôi chứng minh các kết quả tơng tự nh giới hạn của hàm số vẫn đúng đối với giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Tiếp theo, dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số và giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn chúng tôi định nghĩa đạo hàm của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn và nghiên cứu các tính chất cơ bản của nó. Cuối cùng, dựa vào tài liệu tham khảo [2], chúng tôi tìm hiểu công thức số gia giới nội đối với lớp hàm khả vi vừa định nghĩa. Khoá luận đợc thực hiện tại Trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS-TS. Đinh Huy Hoàng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua. Em gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Giải tích đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh, tháng 4 năm 2004 Tác giả 2 Đ1 các khái niệm cơ bản Mục này dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng cho các mục sau. 1.1. Định nghĩa. Cho X là tập hợp bất kỳ không rỗng và hàm d: X ì X R . Hàm d đợc gọi là một hàm mêtric hay khoảng cách trên X nếu thoả mãn 1, d(x,y) 0 x,y X, d(x,y) = 0 x=y; 2, d(x,y) = d(y,x) x,y X, 3, d(x,y) d(x,z)+d(y,z) x,y,z X. Tập X cùng với một mêtric trên nó đợc gọi là một không gian mêtric. Giả sử X là không gian mêtric, aX và r là số thực dơng. Ta gọi các tập {x X: d(x,a)<r}, { } raxdXx ),(: , lần lợt là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a bán kính r. 1.2. Định nghĩa. Giả sử U là tập con của không gian mêtric X và x là một điểm của X. U đợc gọi là lân cận của x nếu tồn tại hình cầu mở B(x,r) sao cho B(x,r) U. 1.3. Định nghĩa . Giả sử A là tập con của không gian mêtric X và x là một điểm của X. x đợc gọi là điểm giới hạn của A nếu mọi lân cận U của x đều có U (A\{x }) . 1.4. Định nghĩa. Giả sử {x n }là một dãy trong không gian mêtric X và x là một điểm của X. Ta nói dãy{x n } hội tụ đến x nếu với mọi 0 > đều tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho x n B(x, ) n n 0 . Hay với mọi 0 > đều tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x n ,x)< n n 0 . Khi đó, ta kí hiệu 3 xx n n = lim hay x n x. 1.5. Định lý. Giả sử A là tập con của không gian mêtric X và x là một điểm thuộc X. Khi đó, x là điểm giới hạn của A khi và chỉ khi tồn tại dãy {x n } trong A\{x} sao cho x n x. 1.6. Định nghĩa. Giả sử f là ánh xạ từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y và a là điểm thuộc X. Ta nói f liên tục tại điểm a nếu với mọi 0 > đều tồn tại <0 sao cho d(f(x),f(a))< x X, d(x,a)< hay f(B(a, ) B(f(a), ). Ta nói f liên tục trên tập con A của X nếu f liên tục tại mọi điểm của A. 1.7. Định lý. Giả sử X,Y là hai không gian mêtric, A là tập con của X, a là điểm giới hạn của A, a thuộc Avà f là ánh xạ từ A vào Y. Khi đó, f liên tục tại a khi và chỉ khi từ {x n } là dãy trong A, x n a suy ra f(x n ) f(a). 1.8. Định nghĩa . Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K (K là tr- ờng số thực hay phức). Hàm ||.||: E R x x đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn 1) 0 x xE, 0 = x x =0; 2) = x x K, xE; 3) yxyx ++ x,yE. Không gian tuyến tính E cùng một chuẩn trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn. 4 1.9. Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x,y) = yx x,y E là một mêtric trên E. 1.10. Nhận xét. Từ mệnh đề 1.9 suy ra không gian định chuẩn cũng là không gian mêtric. Do đó, trong không gian định chuẩn có các khái niệm và kết quả của không gian mêtric. 1.11. Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó phép cộng (x,y) x+y x,y E và phép nhân vô hớng ( x, ) x K, x E là các ánh xạ liên tục lần lợt trên E ì E và K ì E. 1.12. Định nghĩa. Giả sử a,b là 2 điểm của không gian định chuẩn E. Ta gọi tập {x=ta+(1-t)b : t [0,1] } là đoạn với các đầu mút a, b và kí hiệu là [a,b]. Đ2. Giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn Trong mục này, dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm số ( hàm nhận giá 5 trị trong không gian số thực ) ta sẽ đa ra định nghĩa giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn bất kỳ. Sau đó, ta sẽ chứng minh nhiều kết quả tơng tự nh giới hạn của hàm số vẫn đúng cho giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Giả sử X R, x 0 là điểm giới hạn của X, E là không gian định chuẩn, a E và f là hàm từ X vào E. 2.1. Định nghĩa. Ta nói f có giới hạn là a khi x x 0 nếu với mọi > 0 tồn tại > 0 sao cho với mọi x X mà x - x 0 < ta có f(x) B(a, ) = { Z E : Z - a < } hay f(X B(x 0 , ) ) B(a, ), trong đó B(x 0 , ) = { x R : x - x 0 < } . Khi đó ta kí hiệu )(lim 0 xf xx = a hay f(x) a khi x x 0 . 2.2. Định lý. Nếu hàm f có giới hạn khi x x o thì giới hạn đó là duy nhất. Chứng minh. Giả sử )(lim 0 xf xx = a, )(lim 0 xf xx = 'a nhng a 'a . Khi đó , vì E là T 2 - không gian nên tồn tại > 0 sao cho B(a, ) B( 'a , ) = . Từ giả thiết )(lim 0 xf xx = a và )(lim 0 xf xx = 'a và định nghĩa 2.1 suy ra tồn tại >0 sao cho với mọi x X mà x - x 0 < ta có f(x) B(a, ), f(x) B( 'a , ). Nh vậy B(a, ) B( 'a , ) . Đây là một điều mâu thuẫn. Vậy a = 'a và định lý đợc chứng minh. 6 2.3. Định lý. Giả sử X R, x 0 là điểm giới hạn của X, E là không gian định chuẩn, a E và f là hàm từ X vào E. Khi đó )(lim 0 xf xx = a khi và chỉ khi với mọi { x n } X , x n x 0 suy ra )(lim xf n =a. Chứng minh . * Điều kiện cần. Giả sử )(lim 0 xf xx = a và { x n } X, x n x 0 . Ta cần chứng minh )(lim n n xf = a . Vì )(lim 0 xf xx =a nên với mọi > 0 tồn tại > 0 sao cho f(x) B(a, ) x X : x - x 0 < . (1) Từ x n x 0 suy ra tồn tại n 0 sao cho x n - x 0 < với mọi n n 0 . Khi đó, nhờ (1) ta có f(x n ) B(a, ) n n 0 . Do đó: f(x n ) a. * Điều kiện đủ. Giả sử từ { x n } X mà x n x 0 suy ra f(x n ) a. Ta cần chứng minh )(lim 0 xf xx = a. Giả sử f(x) a khi x x 0 . Khi đó, tồn tại 0 > 0 sao cho với mỗi n = n 1 , n= 1, 2, . ắt tồn tại x n X sao cho x n - x 0 < n 1 nhng f(x n ) B(a, 0 ) n . (2) Từ x n - x 0 < n 1 với mọi n = 1, 2, . suy ra x n x 0 . Do đó theo giả thiết của điều kiện đủ ta có )(lim n n xf =a. Mặt khác, theo (2) thì f(x n ) a. Đây là điều mâu thuẫn. Vì thế ta có )(lim 0 xf xx =a. 7 2.4. Hệ quả. Giả sử x 0 X. Khi đó, f liên tục tại x 0 khi và chỉ khi )(lim 0 xf xx = f(x 0 ). Chứng minh . Vì x 0 là điểm giới hạn của X nên f liên tục tại x 0 khi và chỉ khi từ { x n } X , x n x 0 suy ra )(lim n n xf =f(x 0 ). Theo 2.3, điều này tơng đơng với )(lim 0 xf xx =f(x 0 ). Nh vậy Hệ quả 2.4 đợc chứng minh. 2.5. Định lý. Giả sử X R, f và g là hai hàm xác định trên X nhận giá trị trong không gian định chuẩn E, x 0 là điểm giới hạn của X. Khi đó nếu tồn tại )(lim 0 xf xx và )(lim 0 xg xx thì tồn tại 0 lim xx [f(x) + g(x) ] , 0 lim xx .f(x) R và 0 lim xx [ f(x) + g(x) ] = )(lim 0 xf xx + )(lim 0 xg xx , 0 lim xx .f(x) = . )(lim 0 xf xx . Chứng minh. Giả sử )(lim 0 xf xx = a , )(lim 0 xg xx = b . Đầu tiên, ta chứng minh tồn tại 0 lim xx [ f(x) + g(x) ]= a + b. Vì )(lim 0 xf xx = a nên với mọi > 0 tồn tại 1 > 0 sao cho f(x) - a < 2 x X B(x 0 , 1 ) . (3) Tơng tự nh thế, từ )(lim 0 xg xx = b suy ra tồn tại 2 > 0 sao cho g(x) - b < 2 x X B(x 0 , 2 ) . (4) ( Ta kí hiệu B(x 0 , r) = { x R : x - x 0 < r } trong đó r là số thực dơng). 8 Lấy =min ( 1 , 2 ). Từ (3) và (4) suy ra với mọi x X B(x 0 , ) ta có f(x) + g(x) - (a + b) f(x) - a + g(x) - b 2 + 2 = . Do đó tồn tại 0 lim xx (f(x) + g(x)) = a+ b. Tiếp theo, ta chứng minh tồn tại 0 lim xx .f(x) = .a. Vì )(lim 0 xf xx = a nên với mọi > 0 ắt tồn tại >0 sao cho f(x) - a < x X B(x 0 , ), trong đó, ta giả thiết 0. Khi đó, với mọi x X B(x 0 , ) ta có .f(x) - .a = .f(x) - a< . Do đó tồn tại 0 lim xx .f(x) = .a. Nếu = 0 thì .f(x) =0 với mọi x X . Từ đó ta có ngay 0 lim xx .f(x) = 0 = 0.a. Vậy tồn tại 0 lim xx .f(x)= . )(lim 0 xf xx R. 2.6. Định lý. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, X R, f là hàm từ X vào E, g là hàm từ E vào F và x 0 X . Khi đó, nếu tồn tại )(lim 0 xf xx =f(x 0 ) và g liên tục tại y 0 =f(x 0 ) thì tồn tại 0 lim xx (f o g)(x) = g(y 0 ). Chứng minh. Vì g liên tục tại y 0 , nên với mọi > 0 ắt tồn tại > 0 sao cho 9 g(B(y 0 , ) B(g(y 0 ), ). (5) Từ giả thiết tồn tại )(lim 0 xf xx = (x 0 ) suy ra tồn tại 0 > sao cho f( X B (x 0 , )) B(y 0 , ). (6) Từ (5) và (6) suy ra g o f( X B (x 0 , )) B(g(y 0 ), ). Do đó tồn tại 0 lim xx g o f (x) = g(y 0 ). 2.7. Định lý. Giả sử X R, x 0 là điểm giới hạn của X ; E là không gian định chuẩn và f là hàm từ X vào E. Nếu tồn tại )(lim 0 xf xx thì tồn tại hình cầu B( x 0 , r) và hằng số C sao cho f(x) C x X B(x 0 , r). Chứng minh . Từ giả thiết tồn tại )(lim 0 xf xx và định nghĩa 2.1 suy ra tồn tại r > 0 sao cho f(X B(x 0 , r)) B( a, 1) , trong đó a = )(lim 0 xf xx . Khi đó, với mọi x X B(x 0 , r) ta có f(x) - a < 1. Từ đó ta có f(x) - a f(x) -a < 1 x X B(x 0 , r), hay f(x) 1 + a x X B(x 0 , r). 2.8. Định lý. Giả sử x 0 là điểm giới hạn của X R, E là không gian định chuẩn. Khi đó, nếu f là hàm từ X vào E và g là hàm từ X vào R sao cho tồn tại )(lim 0 xf xx = a và )(lim 0 xg xx = thì tồn tại 10 )(lim 0 xg xx . (x)= )(lim 0 xg xx . )(lim 0 xf xx = a. Chứng minh . Lấy bất kỳ dãy { x n } X sao cho x n x 0 . Vì )(lim 0 xf xx =a và )(lim 0 xg xx = nên theo Định lý 2.3 ta có axf n n = )(lim , = )(lim n n xg Từ phép nhân vô hớng trong không gian định chuẩn là ánh xạ liên tục suy ra axfxg nn n .)().(lim = . Nh vậy, lại do định lý 2.3 ta có 0 lim xx g(x).f(x) = a. Tơng tự nh giới hạn hàm số, sau đây ta sẽ định nghĩa giới hạn phải, giới hạn trái của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn. 2.9. Định nghĩa. Giả sử E là không gian định chuẩn, f: [a, b] E và c [a, b). ta nói f có giới hạn phải là khi x tiến tới c nếu với mọi >0 đều tồn tại >0 sao cho f(x) B ( , ) ),( + ccx . Khi đó ta kí hiệu = + )(lim xf cx . Giới hạn trái của f khi x tiến tới c đợc định nghĩa và kí hiệu tơng tự: ).,(),()(:00)(lim ccxBxfxf cx >>= 2.10. Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn, f: [a,b] E và c (a,b). Khi đó tồn tại )(lim xf cx khi và chỉ khi tồn tại các giới hạn )(lim xf cx + , )(lim xf cx và chúng bằng nhau. Chứng minh. Giả sử, tồn tại = )(lim xf cx . Khi đó, từ Định nghĩa 2.1 và Định nghĩa 2.9 suy ra tồn tại = + )(lim xf cx , = )(lim xf cx . 11 . Đ2. Giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn Trong mục này, dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm số ( hàm nhận giá 5 trị trong không gian. giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn chúng tôi định nghĩa đạo hàm của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn và nghiên cứu các tính