Sheet1 Page 1 \documentclass[12pt]{article} \usepackage[viscii \renewcommand\contentsname{\hfill \up{mức lức} \hfill~} \def\refname{\hfill \up{ti liđu tham khọo}\hfill~} \usepackage{amsthm \usepackage{titlesec} \newpagestyle{xuancuong}{\sethead{}{\usepage}{}} \titleformat{\section} {\normalfont\large\filcenter\bfseries}{\S\thesection.}{0.5em}{} \usepackage{fancybox} \usepackage{titletoc} \titlecontents{section} [0pt] {}% {\contentsmargin{0pt}% \S\thecontentslabel.\enspace} {\contentsmargin{0pt}} {\enspace\titlerule*[1pc]{.}\contentspage} [] \let\up\MakeUppercase \usepackage[top=3.0cm \swapnumbers \newtheorem{theorem}{éánh lý}[section] \newtheorem{proposition}[theorem]{Mđnh ô} \newtheorem{lemma}[theorem]{B ô} \newtheorem{corollary}[theorem]{Hđ quọ} \newtheorem{definition}[theorem]{éánh nghợa} %\newtheorem{definition}{??nh ngh?a}[section] \newtheorem{example}[theorem]{Vớ dứ} \newtheorem{remark}[theorem]{Chỳ ý} \setcounter{tocdepth}{1}%% M?c l?c kh?ng cỳ \subsection (thay s 3 0-4) \def\yy{{\varphi\circ f}} \def\ch{{chùnh hỡnh}} \def\n{{\mathbb N}} \def\c{{\mathbb C}} \def\r{{\mathbb R}} \def\tp{{khụng gian tụpụ}} \def\kgdc{{khụng gian ánh chuƯn}} \def\p{{\mathcal P}} \def\dgl{{òỵc gữi l}} \def\lt{{liờn tức}} \def\kg{{khụng gian}} \def\kv{{khọ vi}} \def\dc{{ánh chuƯn}} \def\bn{{Banach}} \def\lty{{liờn tức yêu}} \def\axtt{{ỏnh xế tuyên tớnh}} \numberwithin{subsection}{section} \newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} % éánh nghợa lđnh \Mdot \def\Mdot<#1 \setcounter{tocdepth}{1}%% Mức lức khụng cú \subsection (thay s 3 0-4) %\renewcommand{\section}[1]{\S\thesection.\space#1} Sheet1 Page 2 %-------------------------------------------------------- \begin{document} \thisfancypage{% \setlength{\fboxsep}{0pt}% \setlength{\shadowsize}{0pt}% \shadowbox}{} \begin{titlepage} \begin{center} {\large{ TRNG éI HC VINH}} \par \vspace{0.2cm} {\large{KHOA TON}} \par \vspace{0.2cm} - - - - - - $\bigstar$ - - - - - - \par \vspace{0.8cm} %\includegraphics[scale=0.2]{logodhv1.eps} \par \vspace*{0.8in} {\Large {MAI TH NHUNG}} \par \vspace*{1.6in} {\Large \textbf{\up{HM LIấN TC YU V HM KH VI} \\\up{TRONG KHễNG GIAN éNH CHUN}}} \par \vspace*{0.5in} {\bf {KHểA LUN T T NGHIP éI HC}} \par \vspace{0.2in} {\textbf{NGNH Cẳ NHN TON}} %\par % \vspace{0.1in} {\textbf{Chuyờn ngnh:} {\sc XC SUT TH NG Kấ}} \par \vspace{0.8in} \end{center} \hspace*{220pt}\textbf{Cỏn bà hòắng dỗn khúa luĐn:} \hfill{\sc PGS.TS éINH HUY HONG} %\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viờn thủc hiđn:} {\sc Lấ TH HOAN} %\hspace*{220pt}\textbf{Lắp:} {42E$_2$ - Toỏn} \begin{center} \par \vspace{0.5in} \vfill \textit{VINH 2006}\\ \ \end{center} \end{titlepage} \fontsize{15pt}{15pt}\selectfont \baselineskip 0.8cm \pagestyle{empty} \tableofcontents Sheet1 Page 3 \newpage \pagestyle{xuancuong} \section*{\up{lải mã Ơu}} \addcontentsline{toc}{section}{Lải mã Ơu} \hspace*{20pt}Trong cỏc hữc phƠn giọi tớch c iơn v giọi tớch nõng cao hm tì $\r^n$ vo $\r^m$. Tuy nhiờn phộp tớnh vi phõn cỹa cỏc hm giổa cỏc khụng gian ánh chuƯn tng quỏt ơ tĐp nghiờn cẹu v tỡm hiơu vô phộp tớnh vi phõn trong cỏc tròảng hỵp tng quỏt hẵn. Dủa vo cỏc ti liđu tham khọo luĐn nghiờn cẹu hm liờn tức yêu v hm khọ vi trong khụng gian ánh chuƯn. Vắi mức ớch ú \vskip 0.3cm Trong mức 1 cỹa khụng gian ánh chuƯn cƠn dựng trong khúa luĐn. \vskip 0.3cm Mức 2 trỡnh by cỏc ánh nghợa v tớnh chÔt cẵ bọn cỹa hm liờn tức tụi òa ra v chẹng minh màt s kêt quọ vô tớnh chÔt cỹa hm liờn tức yêu v mi liờn hđ giổa hm liờn tức vắi hm liờn tức yêu. éú l cỏc Mđnh ô 2.6 \vskip 0.3cm Trong mức 3 chi tiêt cỏc tớnh chÔt cẵ bọn cỹa hm khọ vi trong khụng gian ánh chuƯn ó òỵc giắi thiđu trong \cite{Je}. Sau ú v chẹng minh màt s kêt quọ vô hm khọ vi yêu. éú l Mđnh ô 3.9 \vskip 0.3cm Khúa luĐn òỵc hon thnh dòắi sủ hòắng dỗn cỹa PGS. TS. éinh Huy Hong. Em xin by tử lũng biêt ẵn sõu sĂc ên thƠy tỡnh giỳp ị em trong sut quỏ trỡnh hữc tĐp v nghiờn cẹu vìa qua. Em xin gỉi lải cọm ẵn ên cỏc thƠy giỏo Toỏn ó giỳp ị em rÔt nhiôu trong sut quỏ trỡnh hữc tĐp v hon thnh khúa luĐn ny. \vskip 0.3cm Do nồng lủc v thải gian cũn hến chê khửi nhổng thiêu sút. Chỳng tụi rÔt mong nhĐn òỵc sủ gúp ý cỹa cỏc thƠy giỏo \vskip 0.8cm \hspace*{220pt}\textbf{\textit{Vinh Sheet1 Page 4 \hspace*{280pt}\textbf{Tỏc giọ} \newpage \addtocounter{section}{1} % éua vo cỏi ny \setcounter{subsection}{0} % v cung cỏi ny n?a \section*{\S1. \up{Cỏc khỏi niđm cẵ bọn}} \addcontentsline{toc}{section}{\S1. Cỏc khỏi niđm cẵ bọn} \vskip 0.4cm \hspace*{20pt}Mức ny dnh cho viđc giắi thiđu màt s khỏi niđm v kêt quọ cẵ bọn cƠn dựng cho cỏc mức sau. Trong sut khúa luĐn ký hiđu $K$ l tròảng vụ hòắng ($K = \mathbb{R}$ hoÊc $K = \mathbb{C}$). \vskip 0.3cm \textbf{1.1. éánh nghợa.} \label{dn11} Cho tĐp hỵp $E \not= \emptyset$ trờn $E$ cú hai phộp toỏn gữi l phộp càng \begin{eqnarray*} E\times E &\to& E\\ (x \end{eqnarray*} v phộp nhõn vụ hòắng \begin{eqnarray*} K\times E &\to& E\\ (\lambda \end{eqnarray*} thửa món cỏc iôu kiđn sau: 1) $(x + y) + z = x + (y + z)$; 2) $x + y = y + x$; 3) Tn tếi $0 \in E$ sao cho $x + 0 = x$; 4) Vắi mữi $x \in E$ 0$; 5) $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$; 6) $(\lambda\mu)x = \lambda(\mu x)$; 7) $\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y$; 8) $1.x = x$ vắi mữi $x \vskip 0.3cm \textbf{1.2. éánh nghợa.} \label{dn12} Giọ sỉ $E$ l \kg \ tuyên tớnh trờn tròảng $K$. Hm Sheet1 Page 5 \begin{eqnarray*} \|.\|: E &\to& \mathbb{R}\\ x &\mapsto& \|x\| \end{eqnarray*} \dgl \ màt \textit{chuƯn trờn} $E$ nêu thửa món: 1) $\|x\| \geq 0$ $x = 0$; 2) $\|\lambda x\| = |\lambda|\|x\|$ \in E$; 3) $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ Khụng gian tuyên tớnh $E$ cựng màt chuƯn trờn nú \dgl \ \textit{khụng gian ánh chuƯn} \vskip 0.3cm \textbf{1.3. éánh nghợa.}\label{dn13} Cho $X \not= \emptyset$ v hm $d: X\times X \to \r$. Hm $d$ \dgl \ hm mờtric hay khoọng cỏch trờn $X$ nêu thửa món: 1) $d(x chù khi $x = y$; 2) $d(x 3) $d(x TĐp $X$ cựng vắi màt mờtric trờn nú \dgl \ \textit{khụng gian mờtric}. Khụng gian mờtric \dgl \ \textit{khụng gian mờtric Ơy ỹ} nêu mữi dóy Cauchy trong $X$ ôu hài tứ. \vskip 0.3cm \textbf{1.4. Mđnh ô.} \textit{Nêu $(E chuƯn l màt mờtric trờn $E$.} \vskip 0.3cm \textbf{1.5. éánh nghợa.} Màt khụng gian ánh chuƯn $X$ \dgl \ màt \textit{khụng gian \bn} \ nêu $X$ Ơy ỹ vắi mờtric sinh bãi chuƯn. \vskip 0.3cm \textbf{1.6. éánh nghợa.} Giọ sỉ $E chuƯn hến l $y \in F$ khi $x$ dƠn ên} $a$ Sheet1 Page 6 \epsilon) \subset F$ E$ sao cho $f(B(x \to y$ khi $x \to a$ hay $\lim\limits_{x \to a}f(x) = y$ \vskip 0.3cm \textbf{Chỳ ý.} Giắi hến cỹa màt hm $f$ trong éánh nghợa trờn nêu tn tếi thỡ giắi hến ú l duy nhÔt. \vskip 0.3cm \textbf{1.7. Mđnh ô.} \label{md17} \textit{Giọ sỉ $E khụng gian ánh chuƯn \textit{i) $\lim\limits_{x \to a}f(x) = y$ khi v chù khi vắi mữi dóy $\{x_n\} \subset E$ m $x_n \to a$ thỡ $\lim\limits_{x_n \to a}f(x_n) = y$} ii) \textit{Nêu tn tếi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ v $\lim\limits_{x \to a}g(x) = y$ \[\lim\limits_{x \to a}\left(f(x) + g(x)\right) = \lim\limits_{x \to a}f(x) + \lim\limits_{x \to a}g(x) \] v \[\lim\limits_{x \to a}\alpha f(x) = \alpha\lim\limits_{x \to a}f(x)\] vắi mữi $\alpha \in K$.} \vskip 0.3cm \textbf{1.8. éánh nghợa.} Cho $E xế $f: E \to F$ \dgl \ \textit{\axtt} nêu $f(\alpha x + \beta y) #REF! \in K$. Núi cỏch khỏc \alpha f(x)$ $f$ l ỏnh xế tuyên tớnh thỡ $f(0) = 0$ \vskip 0.3cm \textbf{1.9. éánh lý.} \label{dl19} \textit{Giọ sỉ $E sau tòẵng òẵng:} i) \textit{$f$ liờn tức ôu trờn $E$;} ii) \textit{$f$ liờn tức trờn $E$;} iii) \textit{ $f$ liờn tức tếi iơm $0 \in E$;} iv) \textit{$f$ bá chÊn $\|f(x)\| \leq k\|x\|$ \vskip 0.3cm \textbf{1.10. NhĐn xột.} Giọ sỉ $E $L(E mi $f \in L(E Sheet1 Page 7 \[\|f\| = \inf\{k: \|f(x)\| \leq k\|x\| \] Khi ú chuƯn trờn khụng gian $L(E \vskip 0.3cm \textbf{1.11. éánh lý.}\label{dl111} \textit{Nêu $F$ l khụng gian \bn \ thỡ $L(E trong NhĐn xột 1.10.} \vskip 0.3cm Ta viêt $E^*$ thay cho $L(E $E^*$ l khụng gian Banach. \vskip 0.3cm \textbf{1.12. éánh lý Haln-Banach} \vskip 0.3cm \textbf{1.12.1. éánh lý Haln-Banach} (Cho khụng gian vectẵ thủc). \textit{Giọ sỉ $E$ l khụng gian vectẵ thủc xỏc ánh trờn $E$. Nêu $f$ l phiêm hm tuyên tớnh xỏc ánh trờn khụng gian con $F$ cỹa $E$ thửa món $f(x) \leq p(x)$ \in F$ $E$ sao cho $\tilde{f}|_F = f$ v $\tilde{f}(x) \leq p(x)$ mữi $x \in E$.} \vskip 0.3cm \textbf{1.12.2. éánh lý Haln-Banach} (Cho khụng gian vectẵ phẹc). \textit{Giọ sỉ $E$ l khụng gian vectẵ phẹc xỏc ánh trờn $E$. Nêu $f$ l phiêm hm tuyên tớnh xỏc ánh trờn khụng gian con $F$ cỹa $E$ thửa món $|f(x)| \leq p(x)$ \in F$ $E$ sao cho $\tilde{f}|_F = f$ v $|\tilde{f}(x)| \leq p(x)$ mữi $x \in E$.} \vskip 0.3cm \textbf{1.13. Màt s hđ quọ.} \vskip 0.3cm \textbf{1.13.1. Hđ quọ.} \label{hq1141} \textit{Vắi mữi phiêm hm tuyên tớnh liờn tức trờn khụng gian con $F$ cỹa khụng gian ánh chuƯn $E$ ôu tn tếi phiêm hm tuyên tớnh liờn tức $\tilde{f}$ trờn $E$ sao cho $\tilde{f}|_{F} = f$ v $\|\tilde{f}\| = \|f\|$.} \vskip 0.3cm Sheet1 Page 8 \textbf{1.13.2. Hđ quọ.}\label{hq1142} \textit{Cho $F$ l khụng gian vectẵ con cỹa khụng gian ánh chuƯn $E$ E\setminus{F}$ sao cho $d(v \delta > 0$. Khi ú \to K$ sao cho $\|f\| = 1$ \vskip 0.3cm \textbf{1.13.3. Hđ quọ.} \label{hq1143} \textit{Vắi mữi phƠn tỉ $v$ trong khụng gian ánh chuƯn $E$ phiêm hm tuyên tớnh liờn tức $f$ trờn $E$ sao cho $\|f\| = 1$ v $f(v) = \|v\|$.} \vskip 0.3cm \textbf{1.14. éánh lý thá úng.}\label{dl115} \textit{Giọ sỉ $f$ l ỏnh xế tuyên tớnh tì khụng gian Banach $E$ vo khụng gian Banach $F$. Khi ú tĐp úng trong $E\times F$. } \newpage % v cung cỏi ny n?a \section*{\S2. \up{Hm liờn tức yêu} \\ \ chuƯn}} \addcontentsline{toc}{section}{\S2. Hm liờn tức yêu trong khụng gian ánh chuƯn} \vskip 0.4cm \hspace*{20pt} Trong mức ny trỡnh by hm liờn tức yêu trong khụng gian ánh chuƯn v nghiờn cẹu màt s tớnh chÔt cẵ bọn cỹa nú. Ta luụn giọ thiêt $E hai khụng gian ánh chuƯn. \vskip 0.3cm \textbf{2.1. éánh nghợa.}\label{dn21} Cho $f: E \to F$ l ỏnh xế tì \kgdc \ $E$ vo \kgdc \ $F$ v $a \in E$. Hm $f$ \dgl \ \textit{liờn tức tếi $a$} $x_n \to a$ a\| \to 0$ thỡ $\|f(x_n) - f(a)\| \to 0$. Hm $f: E \to F$ \dgl \ \textit{liờn tức trờn tĐp con} $A \subseteq E$ \vskip 0.3cm \textbf{2.2. éánh lý.} \textit{Giọ sỉ $f vo $F$. Khi ú} \textit{i) Nêu $f$ v $g$ liờn tức tếi $a \in E$ thỡ $f + g$ liờn tức tếi $a$.} Sheet1 Page 9 \textit{ii) Nêu $f$ liờn tức tếi $a$ thỡ $\alpha f$ liờn tức tếi $a$ \textit{Chẹng minh.} i) Giọ sỉ $\{x_n\} \subset E$ sao cho $x_n \to a$. Khi ú f(a)$ v $g(x_n) \to g(a)$. Do ú tì Mđnh ô 1.7 suy ra $$ (f + g)(x_n) = f(x_n) + g(x_n) \to f(a) + g(a) = (f + g)(a). $$ Nhò vĐy ii) Mđnh ô ny òỵc chẹng minh tòẵng tủ nhò i). \vskip 0.3cm \textbf{2.3. éánh nghợa.} \label{dn22} Cho $f: E \to F$ l ỏnh xế tì \kgdc \ $E$ vo \kgdc \ $F$. Hm $f$ \dgl \ \textit{liờn tức yêu} \vskip 0.3cm \textbf{2.4. NhĐn xột.} \label{nx23} Nêu $f$ l ỏnh xế liờn tức thỡ $f$ liờn tức yêu. ThĐt vĐy vắi mi $a \in E$ v mi dóy $\{x_n\} \subset E$ m $x_n \to a$ ta suy ra $f(x_n) \to f(a)$. \hfill (1) LÔy $\varphi \in F^*$ bÔt kẽ $\varphi$ liờn tức nờn tì (1) ta cú \[\varphi[f(x_n)] \to \varphi[f(a)] \ (\yy)(a). \] Tì iôu ny ta suy ra $\yy$ liờn tức tếi $a$. Vỡ $a \in E$ bÔt kẽ nờn theo éánh nghợa 2.3 \vskip 0.3cm \textbf{2.5. Mđnh ô.}\label{md24} \textit{Giọ sỉ $f l hai hm liờn tức yêu. Khi ú:} i) \textit{$f + g$ liờn tức yêu;} ii) \textit{$\lambda f$ liờn tức yêu \textit{Chẹng minh.} i) Vắi mi $\varphi \in F^*$ cỏc hm liờn tức yêu nờn theo éánh nghợa 2.3 \varphi\circ g$ l cỏc hm liờn tức. Do ú tì ặng thẹc $\varphi\circ(f + g) = \yy + \varphi\circ g$ v éánh lý 2.2 suy ra $f + g$ l hm liờn tức yêu. ii) Vắi mữi $\lambda \in K$ v vắi mữi $\varphi \in F^*$ $\varphi\circ(\lambda f) = \lambda(\yy)$. Vỡ $f$ liờn tức yêu nờn Sheet1 Page 10 $\yy$ liờn tức $\varphi\circ(\lambda f)$ liờn tức. VĐy \vskip 0.3cm \textbf{2.6. Mđnh ô}\label{md25} \textit{Nêu $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ l hm liờn tức yêu tĐp compact. Do ú tĐp compact trong $\mathbb{R}$.} \textit{Chẹng minh.} Giọ sỉ $K$ l tĐp compact trong $\mathbb{R}$. Ta ký hiđu $i$ l ỏnh xế ng nhÔt trờn $\mathbb{R}$. Khi ú rng $i \in \mathbb{R}^*$. Vỡ $f$ liờn tức yêu nờn $i\circ f = f$ l hm liờn tức compact trờn $\mathbb{R}$ nờn $f(K)$ l tĐp úng v bá chÊn \begin{eqnarray*} \sup\{f(x): x \in K\} &=& M \in f(K)\\ \inf\{f(x): x \in K\} &=& m \in f(K) \end{eqnarray*} nghợa l tn tếi $a $f$ biên tĐp compact thnh tĐp compact v ết giỏ trá lắn nhÔt nhử nhÔt trờn $K$. \vskip 0.3cm \textbf{2.7. Mđnh ô.}\label{md26} \textit{Nêu $E$ l khụng gian hổu hến chiôu tuyờn tớnh tì $E$ vo $F$ ôu liờn tức yêu.} \textit{Chẹng minh.} Giọ sỉ $f: E \to F$ l ỏnh xế tuyên tớnh v $\varphi \in F^*$. Khi ú $\yy$ l ỏnh xế tuyên tớnh tì $E$ vo $K$. Do $E$ hổu hến chiôu nờn $\yy$ liờn tức. Theo éánh nghợa 2.3 $f$ liờn tức yêu. \vskip 0.3cm \textbf{2.8. éánh lý.}\label{dl27} \textit{Nêu $E gian Banach thỡ mữi ỏnh xế tuyên tớnh liờn tức yêu tì $E$ vo $F$ ôu liờn tức.} \textit{Chẹng minh.} Giọ sỉ $f: E \to F$ l ỏnh xế tuyên tớnh liờn tức yêu tì khụng gian \bn \ $E$ vo khụng gian \bn \ $F$. éơ chẹng minh $f$ liờn tức cú thá úng. Ký hiđu thá cỹa $f$ l $G_f = \{(x E\times F: x \in E\}$. Giọ sỉ $\{(x_n $(x_n ThĐt vĐy $f(x_n) \to y$. Tì ú $\varphi(f(x_n)) \to \varphi(y)$. \hfill (2) Do $f$ liờn tức yêu v $\varphi \in F^*$ nờn $\yy$ liờn tức (\yy)(x_n) \to (\yy)(x) = \varphi(f(x)).\] Kêt hỵp vắi (2) $\varphi(y - f(x)) = 0$