Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẢI YẾN ĐỊNH LÝ HÀM ẨN VÀ HÀM NGƯỢC TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẢI YẾN ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC VÀ HÀM ẨN TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chuyên ngành: Giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Yến Lời cam đoan Em xin cam đoan đề tài khóa luận “Định lý hàm ẩn hàm ngược không gian định chuẩn” hoàn thành hướng dẫn TS Hồng Ngọc Tuấn khơng trùng với đề tài khác Trong q trình hồn thành đề tài, em kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Yến Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn giới hạn không gian định chuẩn 1.2 Tập đóng, tập mở tập compact 1.3 Ánh xạ tuyến tính 12 Định lý hàm ẩn hàm ngược 2.1 16 Phép toán vi phân 16 2.1.1 Đạo hàm có hướng 16 2.1.2 Vi phân 18 2.2 Định lý hàm ngược 26 2.3 Định lý hàm ẩn 33 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 39 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích ngành tốn học tích lũy thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức tốn học Nội dung phong phú, đa dạng Do kiến thức lớp thời lượng eo hẹp nên khó sâu nghiên cứu vấn đề giải tích Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn này, sinh viên khoa Tốn, khn khổ khóa luận, em xin trình bày hiểu biết định lý hàm ẩn hàm ngược không gian định chuẩn Được hướng dẫn tận tình TS Hồng Ngọc Tuấn với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài : “Định lý hàm ẩn hàm ngược không gian định chuẩn” Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lý hàm ẩn hàm ngược Do thời gian lực có hạn nên khóa luận em nhiều thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn giới hạn không gian định chuẩn Cho E không gian vector thực Một ánh xạ · : E −→ R gọi chuẩn với x, y ∈ E λ ∈ R ta có • x ≥ 0; • x = ⇐⇒ x = 0; • λx = |λ| x ; • x+y ≤ x + y Cặp (E, · ) gọi không gian định chuẩn ta nói x chuẩn x Tính chất thứ tư thường gọi bất đẳng thức tam giác không gian vector định chuẩn Nếu (xn )n∈N dãy không gian định chuẩn E có phần tử l ∈ E cho limn→∞ xn − l = dãy hội tụ Dễ dàng thấy phần tử l phải Ta gọi l giới hạn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến dãy số ký hiệu lim xn = l Ta tổng quát (xn )n∈N (xn ) n→∞ lim xn = l lim xn = l Ta có tính chất sau n→∞ Mệnh đề 1.1 Nếu (xn ) (yn ) dãy hội tụ E, với lim xn = l1 lim yn = l2 , λ ∈ R lim (xn + yn ) = l1 + l2 lim (λxn ) = λl1 Giả sử có hai không gian định chuẩn (E, · E) (F, · F ) Cho A tập E, f ánh xạ từ A vào F a ∈ A Ta nói f liên tục a điều kiện sau thỏa mãn: với ε > 0, tồn δ > cho x ∈ A x − a E < δ, f (x) − f (a) < ε Nếu f liên tục điểm a ∈ A ta nói f liên tục (trên A) Cuối cùng, A ⊂ E B ⊂ F f : A → B song ánh liên tục cho ánh xạ ngược f −1 liên tục, ta nói phép đồng phôi Mệnh đề 1.2 Chuẩn không gian định chuẩn hàm số liên tục Chứng minh Ta có x = x−y+y ≤ x−y + y ⇒ x − y ≤ x−y Tương tự y − x ≤ y − x Vì y − x = x − y nên ta có x − y ≤ x−y , liên tục Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Mệnh đề 1.3 Cho E F không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈ A, f g ánh xạ từ E vào F λ ∈ R • Nếu f g liên tục a f + g liên tục a • Nếu f liên tục a λf liên tục a • Nếu α hàm giá trị thực xác định E f α liên tục a αf liên tục a Hệ 1.1 Các hàm số f : E → F liên tục a (tương ứng, liên tục) tạo thành không gian vector Bây ta xem xét tích Đề-các khơng gian định chuẩn Cho (E1 , · E1 ), , (Ep , · Ep ) không gian định chuẩn Tích Đề-các E1 × × Ep không gian vector Cho (x1 , , xp ) ∈ E1 × × Ep ta đặt x1 .xp x1 .xp Dễ thấy · S · M S M = x1 E1 = max + + xp x1 E1 , , Ep xp Ep tương đương E1 × × Ep Nói chung, ta sử dụng chuẩn thứ hai, mà ta gọi chuẩn thông thường Nếu E1 = = Ep = R · · Ei với i · S = · ∞ Mệnh đề 1.4 Cho (E, · ) không gian định chuẩn • Ánh xạ f : E × E → E, (x, y) → x + y liên tục • Ánh xạ g : R × E → E, (λ, x) → λx liên tục · M = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Chứng minh Đầu tiên ta xét f Ta có (x, y) − (a, b) M < ε ⇒ x − a < ε, y − b < ε ⇒ (x + y) − (a + b) ≤ x − a + y − b < 2ε, đó, f liên tục (a, b) Bây ta xét g Nếu (λ, x) − (α, a) < ε, |λ − α| < ε x − a < ε λx − αa = λx − λa + λa − αa ≤ |λ| x − a + |λ − α| a < (|α| + ε) ε + ε a , đó, g liên tục (α, a) Một thành phần hàm số giá trị thực liên tục biến thực liên tục Ta có khái quát kết Mệnh đề 1.5 Cho E, F G không gian định chuẩn, A ⊂ E, B ⊂ F, f ánh xạ từ A vào F g ánh xạ từ B vào G Nếu f (A) ⊂ B, f liên tục a g liên tục f (a) g ◦ f liên tục a Chứng minh Lấy ε > Khi g liên tục f (a), tồn δ > cho, y ∈ B y − f (a) F g (y) − g (f (a)) G < ε Khi f liên tục a, tồn α > cho, x ∈ A x − a f (x) − f (a) F < δ Suy g (f (x)) − g (f (a)) G E < α < ε Do đó, g ◦ f liên tục a Hệ 1.2 Nếu A ⊂ E f : A → R khác khơng liên tục A, hàm số g = liên tục A f Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Ví dụ 2.5 Cho f : R3 → R2 g : R2 → R xác định f (x, y, z) = (xy, exz ) g (u, v) = u2 v Khi  Jf (x, y, z) =  y x xz ze  xe xz  Jg (u, v) = 2uv u2 Đặt u = xy, v = exz vào ma trận thứ hai, ta Jg (f (x, y, z)) = 2xyexz x2 y Nhân hai ma trận Jg (f (x, y, z)) Jf (x, y, z) ta Jg◦f (x, y, z) = 2xy + x2 y z exz 2x2 yexz x3 y exz Tiếp theo chương này, ta chứng minh định lý hàm ẩn hàm ngược, có ứng dụng rộng rãi ta bắt đầu với định lý hàm ngược sau rút định lý hàm ẩn từ Cuối ta trình bày ứng dụng kết 2.2 Định lý hàm ngược Giả sử E F không gian định chuẩn O U tập mở E F tương ứng Ta nhắc lại f : O → U vi phôi f song ánh f f −1 khả vi Ngồi ra, ta nói f C k − vi phôi f f −1 ánh xạ Ta biết rằng f vi phơi điểm x miền 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến xác định nó, f (x) khả nghịch Ngồi ra, ta chứng minh cho f C k − vi phơi, đủ mà f thuộc lớp C Ở đây, ta xét ta gọi câu hỏi nghịch đảo, cụ thể ta nói ánh xạ f f khả nghịch điểm a miền xác định f Mệnh đề 2.7 Cho E F không gian Banach, O ⊂ E U ⊂ F tập mở f : O → U vi phôi Nếu a ∈ O f (a) khả nghịch, f −1 khả vi b = f (a) Nếu ngồi f thuộc C có lân cận mở O a cho f|O C − vi phơi vào ảnh Chứng minh Để đơn giản ký hiệu, ta đặt g = f −1 L = f (a) Ta có nghịch đảo song ánh tuyến tính liên tục từ không gian Banach vào không gian Banach khác liên tục Do đó, L−1 liên tục Nếu k nhỏ, f (a) + k ∈ U Khi f song ánh, có điểm h ∈ U cho f (a + h) = f (a) + k Đầu tiên ta nhận thấy g (b + k) − g (b) = f −1 (f (a) + f (a + h) − f (a)) − f −1 (f (a)) = a + h − a = h Khi g liên tục, ta có lim h = Bây k→0 k = f (a + h) − f (a) = L (h) + h ε (h) , lim ε (h) = Từ ta h→0 L−1 (k) = h + h L−1 (ε (h)) = g (b + k) − g (b) + h L−1 (ε (h)) 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến ta xem xét số hạng h L−1 (ε (h)) Ta chứng minh h L−1 (ε (h)) = o (k) Khi L−1 (k) = h + h L−1 (ε (h)) ta có h ≤ h L−1 (ε (h)) + L−1 (k) ≤ h L−1 (ε (h)) + L−1 k Nếu k nhỏ, sau h, điều suy L−1 (ε (h)) nhỏ Ta viết L−1 h ≤ − L−1 (ε (h)) k ≤M k , M số dương thực Do h L−1 (ε (h)) ≤ M L−1 (ε (h)) k Khi biểu thức bên phải hội tụ đến k tiến tới 0, ta có h L−1 (ε (h)) = o (k) Điều cho ta khẳng định Bây giờ, ta chuyển sang phần hai mệnh đề Giả sử ánh xạ f thuộc lớp C I(E, F ) tập hợp ánh xạ ngược L(E, F ), tập mở Nếu U lân cận mở f (a) I(E, F ) O = (f )−1 (U ) , O tập mở E cho f (x) khả nghịch x ∈ O Nếu ta áp dụng phần đầu mệnh đề cho điểm x ∈ O , ta thấy f −1 khả vi điểm y ∈ f (O ) Do f hạn chế O vi phôi Khi f thuộc lớp C f C − vi phôi Bây giờ, ta làm suy yếu giả thuyết mệnh đề trước Trên thực tế, để có phần thứ hai mệnh đề, ta khơng cần giả 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến sử ánh xạ f vi phơi Ta chứng minh f bị hạn chế lân cận mở O điểm a cho f|O vi phôi lên ảnh Định lí 2.2 (Định lý hàm ngược) Cho E F không gian Banach, O ⊂ E f : O → F thuộc lớp C Nếu a ∈ O f (a) khả nghịch, có lân cận mở O a cho f|O C − vi phơi lên ảnh Chứng minh Đầu tiên, ta giả sử E = F, f (a) = a = f (a) = idE Khi f thuộc lớp C , có hình cầu đóng B (0, r) với r > chứa O cho với x ∈ B (0, r) |f (x) − idE | ≤ Nếu ta đặt g (x) = f (x) − x g (x) = f (x) − idE Ta f (x) − x = g (x) − g (0) ≤ Bây giờ, ta chọn phần tử y ∈ B 0, r x y + x − f (x) ≤ y + x − f (x) ≤ y + x với ε (h) ≤ ε (h) h ≤ η Trong trường hợp f (x) h ≥ h Cho w ∈ E với w = f (x) η w w ≥ η w ⇒ f (x) w ≥ ⇒ f (x) w = 2 Do f (x) đơn ánh khả nghịch Từ định lý hàm ngược f (x) có lân cận mở nằm f (E) Điều dẫn đến f (E) tập mở Khi E liên thông (Mệnh đề 1.9) f (E) tập 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến khác rỗng E mà mở đóng, ta có f (E) = E Do f song ánh Bây suy f C − vi phôi từ E vào 2.3 Định lý hàm ẩn Nếu E không gian định chuẩn, f hàm giá trị thực xác định tập S E c ∈ R ta nói tập Lc = {z ∈ S : f (z) = c} tập mức độ cao c f Xét hàm số f : R2 → R, (x, y) → x2 + y Nếu c < Lc = ∅ c = Lc chứa điểm (0, 0) Nếu c > Lc chứa vơ hạn điểm Trong trường hợp sau, tự nhiên hỏi liệu Lc có đồ thị số hàm xác định tập R Giả sử ta viết Lc = {(x, φ (x)) : x ∈ S} Nếu (x, y) ∈ Lc với y = (x, −y) ∈ Lc Điều có nghĩa y = −φ (x) Suy y = 0, mâu thuẫn Tương tự, ta viết Lc = {(ψ (y) , y) : y ∈ T } với số hàm số ψ Do Lc khơng phải đồ thị hàm số Bây giả sử (a, b) ∈ Lc Dễ thấy ta hạn chế f đĩa D chứa (a, b) cho Lc ∩ D = {(x, φ (x)) : x ∈ I} Lc ∩ D = {(ψ (y) , y) : y ∈ J} I J khoảng R, φ (x) = ψ (x) = √ √ c − x2 φ (x) = − c − x2 c − y ψ (x) = − c − y Đó là, ta 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến viết Lc đồ thị hàm số, ta làm địa phương Mục đích ta tổng qt hóa ý tưởng Định lí 2.3 (Định lý hàm ẩn) Cho E1 , E2 F không gian Banach, O tập mở E1 × E2 f : O → F C − ánh xạ Giả sử c ∈ F tập S bao gồm cặp (x, y) ∈ O thỏa mãn mối quan hệ f (x, y) = c khác không Nếu (a, b) ∈ S đạo hàm riêng ∂2 f (a, b) : E2 → F khả nghịch, có lân cận mở O (a, b) bao hàm O, lân cận U a E1 C − ánh xạ φ : U → E2 cho mệnh đề sau tương đương: (x, y) ∈ O f (x, y) = c; x ∈ U y = φ(x) Chứng minh Để bắt đầu, ta định nghĩa g : O → E1 × F g (x, y) = (x, f (x, y)) Ánh xạ g thuộc lớp C với g (x, y) (u, v) = (u, f (x, y) (u, v)) = (u, ∂1 f (x, y) u + ∂2 f (x, y) v) Ngoài ra, (a, b) ta có g (a, b) (u, v) = (u, f (a, b) (u, v)) = (u, ∂1 f (a, b) u + ∂2 f (a, b) v) 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến Vi phân g (a, b) khả nghịch với g (a, b)−1 (u, w) = u, ∂2 f (a, b)−1 (w − ∂1 f (a, b) u) Áp dụng định lý hàm ngược, ta lân cận O (a, b) với O ⊂ O cho g|O C − vi phôi lên ảnh W W Nếu h = g|−1 O với (x, y) ∈ O ta có (x, y) = h ◦ g (x, y) = h (x, f (x, y)) = (x, h2 (x, z)) , z = f (x, y) Ánh xạ h2 tọa độ thứ hai C − ánh xạ h : W → E1 × E2 thuộc lớp C Bây ta đặt U = {x ∈ E1 : (x, c) ∈ W } U ánh xạ ngược W ánh xạ bao hàm ic : E1 → E1 × F, x → (x, c) mở Rõ ràng a ∈ U Ánh xạ φ = h2 ◦ ic từ U vào E2 , hợp C − ánh xạ, thuộc lớp C thỏa mãn mệnh đề tương đương định lý Chú ý : Theo điều kiện định lý, phương trình f (x, y) = c có nghiệm, có vơ số nghiệm Thông thường, ánh xạ φ xác định rõ ràng, cụ thể Tuy nhiên, ta tính vi phân a Ta có mối quan hệ 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến f (x, φ (x)) = c với điểm lân cận a, từ ta ∂1 f (a, b) + ∂2 f (a, b) ◦ φ (a) = Suy φ (x) = −∂2 f (x, y)−1 ◦ ∂1 f (x, y) Chú ý : Nếu ánh xạ f thuộc lớp C k ánh xạ φ thuộc lớp C k Để xem lý sao, ta trở lại với phần chứng minh định lý hàm ẩn Vì f thuộc lớp C k , g thuộc lớp C k Suy h = g|−1 thuộc lớp O k k C Khi h2 ánh xạ hợp h, h2 thuộc lớp C Để kết thúc, φ hợp hai ánh xạ C k thuộc lớp C k Cho f1 , , fp hàm giá trị thực lớp C xác định tập mở O Rn+p xét hệ phương trình (S) f1 (x1 , , xn , y1 , , yp ) = c1 fp (x1 , , xn , y1 , , yp ) = cp Ta viết hệ f (x, y) = c (2.2) Từ định lý hàm ẩn, f (a, b) = c đạo hàm riêng ∂2 f (a, b) đẳng cấu tuyến tính, lân cận (a, b), điểm (x, y) thỏa mãn (2.2) tạo thành đồ thị C − ánh xạ φ, xác định tập mở Rn với ảnh Rp , tức ta 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến viết φ1 (x1 , , xn ) = y1 φp (x1 , , xn ) = yp , ánh xạ lớp C Để xem liệu ∂2 (a, b) có đẳng cấu tuyến tính, ta cần kiểm tra xem định thức ma trận M (x, y) = ∂fi (x, y) ∂yj 1≤i,j≤p (a, b) khác Ta có biểu thức cho ma trận Jacobian φ Nếu N (x, y) = ∂fi (x, y) ∂xj 1≤i≤p,1≤j≤n Jφ (x) = −M (x, y)−1 N (x, y) Ví dụ 2.8 Xét hệ sau f1 (x, y1 , y2 ) = x2 + y12 + y22 = f2 (x, y1 , y2 ) = x2 + 3xy1 − 2y1 = (1, −1, 1) nghiệm hệ Ngoài  M (x, y1 , y2 ) = ∂fi (x, y1 , y2 ) ∂yj = 1≤i,j≤2 2y1 2y2 3x −  , det M (x, y1 , y2 ) = 2y2 (2 − 3x) Khi det M (1, −1, 1) = −2 = 0, 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến tồn ánh xạ φ1 φ2 xác định lân cận 1, cho φ1 (x) = y1 φ2 (x) = y2 cho nghiệm (x, y1 , y2 ) hệ gần tới (1, −1, 1) Vì hàm số hệ thuộc lớp C ∞ , ánh xạ φ1 φ2 thuộc lớp C ∞ Ta tính tốn φ1 (1) φ2 (1) từ biểu thức M (x, y1 , y2 ) N (x, y1 , y2 ) (1, −1, 1) Ta φ1 (1) = φ2 (1) = Đây ví dụ khác Ví dụ 2.9 Xét phương trình f (x1 , x2 , y) = x21 + x22 + y ln (x1 + x2 + y) − ex1 +x2 + = ∂f (0, 0, 1) = = Theo ∂y định lý hàm ẩn, tồn hàm giá trị thực φ thuộc lớp C ∞ , xác (0, 0, 1) nghiệm phương trình định lân cận (0, 0) cho φ (x1 , x2 ) = y với nghiệm (x1 , x2 , y) phương trình gần tới (0, 0, 1) Ma trận Jacobian φ (0, 0) (0 0) 38 Kết luận Khóa luận hồn thành chủ yếu dựa theo [3] số tài liệu khác Khóa luận trình bày số kiến thức định lý hàm ẩn hàm ngược không gian định chuẩn, cụ thể i) Hệ thống lại kiến thức không gian định chuẩn ii) Các kiến thức phép toán vi phân iii) Nêu nội dung cách chứng minh định lý hàm ẩn hàm ngược không gian định chuẩn Do thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong Q thầy bạn đóng góp ý kiến để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 39 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật (2005) [B] Tài liệu tiếng Anh [2] A Avez, Differential Calculus J Wiley and Sons Ltd, New York (1986) [3] R Coleman, Calculus on Normed vector Spaces, Universitext (2012) [4] H Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, New York (1991) 40 ... minh định lý hàm ẩn hàm ngược, có ứng dụng rộng rãi ta bắt đầu với định lý hàm ngược sau rút định lý hàm ẩn từ Cuối ta trình bày ứng dụng kết 2.2 Định lý hàm ngược Giả sử E F không gian định chuẩn. .. biết định lý hàm ẩn hàm ngược không gian định chuẩn Được hướng dẫn tận tình TS Hồng Ngọc Tuấn với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài : Định lý hàm ẩn hàm ngược không gian. .. Cặp (E, · ) gọi khơng gian định chuẩn ta nói x chuẩn x Tính chất thứ tư thường gọi bất đẳng thức tam giác không gian vector định chuẩn Nếu (xn )n∈N dãy không gian định chuẩn E có phần tử l ∈ E