Các định lý điểm bất động kiểu caristi trong không gian mêtric

ộ ụ t rờ ọ ễ ị ị ý ể t ộ ể rst tr tr sỹ ọ ệ ộ ụ t rờ ọ ễ ị ị ý ể t ộ ể rst tr tr sỹ ọ tí số ộ ọ P r ệ ụ ụ r ụ ụ ó ị ý ể t ộ rst s rộ ệ ị ý ể t ộ rst s rộ ị ý ể t ộ ể rst ị ý ể t ộ ể rst ị ý ể t ộ ể rst s rộ ết ệ t ó ý tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ỹ tt ết q q trọ t ể ế tr ý tết ể t ộ í tr tr ủ ủ ó ý trở t ột ụ ổ ụ ể qết t ề tồ t tr ề ủ tí t ọ ó ứ ụ q trọ tr ề ọ ì tế ó ột số rộ ủ ị ý ề ỉ ề ệ t ổ rst ứ ột ị ý ể t ộ ó rộ ủ ý ị ý rst ột tr ữ ị ý ể t ộ q trọ t tr tr ủ ì ó ò ột ủ ý ế rt ễ ụ ó rt ề t ọ tì rộ ị ý ể t ộ rst r ột tr ữ rộ ị ý rst ợ q t ề ó tì rộ w ế ột số t ọ tết ột số ủ ị ý ể t ộ ể rst ú ó tể ợ ụ ể ứ ột số rộ ủ ý ố s rộ tí ợ ể t ợt ứ ọ ú t tế ứ tì ể ết q ề ệ rộ ị ý rst ị ể t ộ ể rst q ế s rộ ột số ứ ụ ủ ú r sở t ệ t ủ Pr ú t tự ệ ề t ị ý ể t ộ ể rst tr tr ụ í ủ ứ tr tr ủ ể t ộ ể rst ề ệ w s rộ ế P Q tụ tự tứ tự ủ tự tứ tự í q ị ý ể t ộ rst rộ ủ ị ý ể t ộ rst ết ệ t ề ị ý ể t ộ rst s rộ r ụ ú t tệ ột số ế tứ sở ệ trì ủ tr tr ủ ề ệ w s rộ ế P Q tụ tự tứ tự ủ tự tứ tự í q ể t ộ ể rst ị ý ể t ộ rst rộ ủ ị ý ể t ộ rst í ụ ề ó rì ứ ệ ề tí t ột số rộ ủ ị ý ể t ộ rst ị ý ể t ộ ể rst ụ trì ột số ổ ề sở ệ ứ ị ý rộ ề s ột số ết q rộ ị ý rst ề ệ s rộ ứ tết ề ị ý ó r ò trì ệ q í ụ ết q ứ t t ộ ể rst ị ý ể r ụ ú t trì ột số ị ý ể t ộ ể rst tr tr ủ ệ q ủ ú ứ tết ết q ợ trì ụ trì ột số tí t ủ ể rst ột số ị ý ể t ộ ể rst s rộ ệ q ủ ú ố q ữ ị ý ợ r trì ột số ụ ị ý ó tr ứ tết ề ết q ó trì ột số í ụ ọ ợ t t rờ ọ t tì ủ t P r t tỏ ết s s tớ ị t t ủ ệ Pò t ọ qý t tr tổ í rờ ọ Pò ổ ứ Pò ọ ọ rờ ọ ò ú ỡ tr q trì ọ t t t ọ ọ í t rờ ọ ò ố ù ì ẹ t ề ệ t ợ ú t t ệ ụ tr q trì ọ t ù tí ự t ó ề ố tr ứ tự ệ ề t s tr ỏ ữ s sót ợ ữ ý ế ó ó ủ qý ọ ể ợ tệ t ễ ị ị ý ể t ộ rst s rộ ệ P ú t tệ ột số ế tứ sở ệ trì ủ ột số ị í tr tr ủ ề ệ w s rộ ế P Q tụ tự tứ tự ủ tự tứ tự í q ể t ộ ể rst ị ý ể t ộ rst rộ ủ ị ý ể t ộ rst í ụ ề ó rì ứ ệ ề tí t ột số rộ ủ ị ý ể t ộ rst ị ý ể t ộ ể rst ị ĩ ột tr tr X t ợ X d : X ì X R ợ ọ ế tỏ ề ệ d(x, y) ọ x, y X d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ọ x, y, z X X ù ột tr d(x, y) = ế ỉ ế x = y d tr ó ợ ọ ột tr í ệ (X, d) X ố d (x, y) ọ từ ể x ế ể y ọ í ụ ét X = R d : R ì R R d (x, y) = |x y| x, y R ó d ột tr tr R ét X = Rn t ỳ x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) Rn t n t |xi yi | d1 (x, y) = n 2 X t ó i=1 (X, d) ó ọ x, y, u, v tr (X, d) A X x X í d(x, A) = inf d (x, y) ọ d(x, A) từ ể x ế t yA A ợ ệ ề ọ ị ĩ ọ ộ tụ ọ tr (X, d) A X ó x, y t ó |d (x, A) d (y, A)| d (x, y) tr |d (x, y) d (u, v)| d (x, u) + d (y, v) ị ĩ ệ ệ ề |xi yi | ó d1 , d2 d2 (x, y) = i=1 n tr tr R tr ề ể xX ế ọ (X, d) {xn } X ợ > tồ t n0 N s n n0 t ó d (xn , x) < ú ó t í ệ lim xn = x xn x n n ệ ề E tr (X, d) E X x X ó ó ế ỉ ế ọ {xn } E xn x t ó x E xE ế ỉ ế tồ t ị ĩ ọ n, m n0 lim n,m+ t ó {xn } E tr ế ọ > d(xn , xm ) < d(xn , xm ) = xn x (X, d) {xn } X tồ t {xn } s n0 N ợ s ọ ế ỉ ế ị ĩ (X, d) tr ợ ọ ủ ế ọ tr ó ề ộ tụ M M ọ (X, d) ợ ọ ủ ế tr s ủ í ụ ủ tr ợ số tự x, y X ợ R tr d (x, y) = |x y| tr ủ Rn tt ộ n số tự tr d1 (x, y) d2 (x, y) tr í ụ tr ủ ệ ề tr ế M ủ tì ế M t ó ị ĩ M (X, d) M X ó t ó X ủ tì M ủ tr (X, d) (Y, ) f : (X, d) (Y, ) ợ ọ ế tồ t [0, 1) s [f (x) , f (y)] d (x, y) , ị ý ý tr ủ f :XX t ể x X ể x X f ị ĩ từ X ọ í ó từ s ó tí t x, y X sử X (X, d) í ó ó tồ t f (x ) = x f (x ) = x ợ ọ ể t ộ tr (X, d) T T ợ ọ ể ủ :XX ế tồ t số tự [0, 1) s d(T x, T y) d(x, y), ọ x, y X ét r ế tr T ột ể tr X tì T tụ X sử ị ĩ p : X ì X [0, ) X ợ ọ tr tr tr X d ế tồ t : X ì [0, ) [0, ) tỏ ề ệ s a p(x, z) p(x, y) + p(y, z) ọ x, y, z X b (x, 0) = (x, t) t ọ x X ọ t [0, ) õ tụ t ế tứ ủ ó c lim xn = x lim sup{(zn , p(zn , xm )) : m n} = é t n n p(w, x) lim inf p(w, xn ), n d lim n lim n n lim (zn , p(zn , xn )) = n d(xn , yn ) lim (zn , p(zn , yn )) = n é t d tr tr (X, d) ột X ệ ề tr = ễ t r tr tr w X; lim sup{p(xn , ym ) : m n} = lim (xn , tn ) = é t n (yn , tn ) = e ọ ị ĩ p : X ì X [0, ) ột tr X ế p(x, y) = p(x, z) = tì y = z tr (X, d) p : X ì X [0, +) ợ ọ ột w ế tỏ ề ệ s w1 p(x, z) p(x, y) + p(y, z) ọ x, y, z X w2 ọ x X p(x, ) : X [0, +) tụ w3 ọ > tồ t > s p(z, x) p(z, y) é t d(x, y) ệ q (M, d) tr ủ T : M 2M \ {} : M [0, ) tụ tr M ị ế tồ t A F F s ọ x M ó tồ t y T x tỏ ề ệ F ((x) (y)), (d(x, y)) tì T ó ột ể t ộ ĩ tồ t ứ x M s x T x ứ ủ ị ý t s r r (M, ó ột tử ự tể x ề ệ t s r tồ t y s y ) T x x ì tế y = x ĩ x T x ứ t tự ệ q t t ợ ết q s ệ q (M, d) tr ủ T : M 2M \ {} : M [0, ) tụ tr M ị ế tồ t xM (d(x, y)) x M ị ý từ tr tr M M s M F ((x) (y)), T x = {x } (M, d) tr ủ T : M M í ó : M [0, ) ị sử r tồ t ột tụ : M [0, ) > s sup{(x) | x M, (x) ế tồ t s ọ y T x t ó ọ tì tồ t A F F A F F inf (y) + } < + yM s ọ (d(x, T x)) xM t ó (x)F ((x) (T x)), tì T ó ột ể t ộ ứ ế (x) > tì từ t s r F ((x)(T x)) tí t F ([0, )) = [0, ) ủ F ế (x) = tí t ủ t s r (T x) (d(x, T x)) = tì từ t ó tí t ủ t ó (d(x, T x)) (x) ì tế (d(x, T x)) = ề é t d(x, T x) = 0, ĩ x = T x (x) ọ x M (T x) = (x) ì t ó (T x) t t = inf (y) M = {x M | (x) + } yM = sup (x) < + ể tí tụ ủ t s xM r M = ó ó (M , d) ột tr ủ ọ x M t ó (T x) (x) T x M ì tế t ó T : M M + ề é t ột từ M í ó ề ệ t ũ s r r (d(x, T x)) t rõ r t ó M ệ q ọ x M F F ì ụ ị ý T : M t s r r tồ t F ((x) (T x)), x0 M M (M, d) s Tx0 = x0 tr ủ T : M 2M \ {} : M [0, ) tụ tr M ị sử r tồ t : M [0, ) tr M > s sup{(x) | x M, (x) ế tồ t A F F inf (y) + } < + yM s ọ xM ọ y T x t ó (d(x, y)) tì tồ t x M s (x)F ((x) (y)), T x = {x } ứ (y) (x) tự tr ứ ủ ị ý t ó ọ x M y T x ứ ủ ị ý ó t ó t M y M ố tr ọ x M y T x ó t ó T : M 2M \ {} ề ệ t s r r ọ (d(x, y)) ễ t r F F s x M y T x t ó F ((x) (y)) t ị tr M ột q ệ ợ x, z M x z (d(x, z)) F ((z) (x)) ứ t tự ứ ị ý t s r r (M , ) ó ột tử ự tể x ó từ t s r r y ọ x y T x ì tế t ó y = x ĩ T x = {x } ị ý ể t ộ ể rst s rộ P ú t trì ột số tí t ủ ể rst ột số ị ý ể t ộ ể rst s rộ ệ q ủ ú trì ột số ụ ủ ị ý ó tr ị ý (X, d) ột tr f ột r ị p : X ì X [0, ) í ó sử ỗ n N ế : R (0, +) ột ột uX : X (, +] T : X X f (u) < + t từ từ X x1 = u xn+1 = T xn p tỏ ề ệ (1 ) ủ T (p, , f )ể rst tr X tì lim sup{p(xn , xm ) : m > n} = n ữ ế t tết t r tì p tỏ ề ệ ủ {xn }nN ột tr X ứ ể rst tr tết t ó x1 = u, f (x1 ) < + ì T (p, , f ) X t ợ p(x1 , x2 ) = p(x1 , Tx1 ) = (f (x1 ))[f (x1 ) f (T x1 )] = (f (x1 ))[f (x1 ) f (x2 )] ề é t f (x2 ) f (x1 ) < + tự t ó p(x2 , x3 ) = p(x2 , Tx2 ) f (x3 ) (f (x2 ))[f (x2 ) f (x3 )], f (x2 ) f (x1 ) < + ó é q t t ợ t tứ s (f (xn ))[f (xn ) f (xn+1 )], p(xn , xn+1 ) f (xn ) < +, ỗ n N f (xn+1 ) ì f ị tồ t r := lim f (xn ) = inf f (xn ) n ì nN t ó (f (xn )) m, n N m > n (f (x1 )), ọ n N ề ệ t ợ m1 p(xn , xm ) p(xj , pj+1 ) j=n (f (x1 ))[f (xn ) r] ỗ n N t t n = (f (x1 ))[f (xn ) r] ó t ó n , ỗ n N sup{p(xn , xm ) : m > n} ì lim f (xn ) = r t t ợ lim n = ì tế t ợ n n lim sup{p(xn , xm ) : m > n} = n ữ ế s r p tỏ ề ệ (3 ) ủ tì ị ý t {xn } ị ý (X, d) ột tr ủ f : X (, +] ột r ị : R (0, +) p : X ì X [0, ) ột s rộ tr X sử r T : X X ột (p, , f )ể rst tr X ột tr ề ệ s ợ tỏ H1 T tụ H2 T ó H3 p(x, y) = é t x=y x, y X ọ [0, ) ị g(x) = p(x, T x) x X H4 h : X [0, ) ị g :X tụ h(x) = d(x, T x) x X tụ H5 ỗ t ó ó T {zn } tr X zn+1 = T zn , n N lim zn = a n lim p(zn , T a) = n ó ột ể t ộ tr X ữ ọ w X f (w) < + {T n w}nN ộ tụ tớ ể t ộ ó ủ T ứ +} ì f tết t t r t ó S = {x X : f (x) n} = ị ý t s r r X n t s r r lim p(xn , xn+1 ) = n tí t ủ ủ X tồ t vw X t ứ r ế ề ệ ỗ s xn vw n vw ể t ộ ủ T (H1 ) tỏ tì ì T tụ tr X xn+1 = T xn n N xn vw n t ợ vw = lim xn = lim xn+1 = lim T xn = T ( lim xn ) = T vw n ó n n n vw ể t ộ ủ T ế ề ệ (H2 ) tỏ tì ì T ó xn+1 = T xn n N xn vw n t ó T vw = vw ó vw ộ ủ ỗ ể t T sử r ề ệ (H3 ) tỏ tí tụ ủ g xn vw n t t ợ p(vw , Tvw ) = g(vw ) ề é t ợ r lim inf g(xn ) = lim p(xn , xn+1 ) = n p(vw , T vw ) = n tết tr (H3 ) t s r vw ể t ộ ủ T sử r ề ệ (H4 ) tỏ ì {xn }nN ộ tụ tr X t s r lim d(xn , xn+1 ) = n ì d(vw , T vw ) = h(vw ) ợ lim inf d(xn , xn+1 ) = n d(vw , T vw ) = ó vw = T vw (H5 ) ợ tỏ ố ù sử r ề ệ lim sup{p(xn , xm ) : m > n} = n s tồ t : m > n} = bn = T vw lim p(an , bn ) = ề ệ ủ n n N lim p(xn , T vw ) = n sup{p(an , am ) {an } {xn } s lim ọ ó ì t ó n lim d(an , bn ) = ì an vw n n d(bn , an ) + d(an , vw ) t ợ bn vw n s rộ t ó d(bn , ) ó t ó T vw = vw vw ể t ộ ủ ọ trờ ợ t ứ r vw T ì tế tr ể t ộ ủ T ì w S ể tù ý {T n w}nN ộ tụ tớ ể t ộ vw ủ T t í ụ ọ ị ý í ụ tr ủ ị ề tí t ủ ể t ộ í ụ ó sử X = [0, 1] tr tờ d(x, y) =| xy | x, y X (X, d) tr ủ ị p : X ìX [0, +) p(x, y) = max{2(x y), 3(y x)}, ọ x, y X ó p ột s rộ tr X sử f : X R : R (0, +) ợ ị f (x) = x 25 ế x [0, 12 ), x 3, ế x [ 12 , 1] (t) = 10 ọ t R õ r t ó tụ t ì sử f (x) T :XX f (x) < + ọ x X x= ì tế f ú ý r tụ tr 25 ọ x X f f X ị tr X x X T x = x2 , ọ ó T tụ tr X F(T ) F(T ) = {0, 1} x d(x, T x) t ợ ể t ộ ủ ũ ễ t r T T ý ệ ó tụ ó ề ệ (H1 ), (H2 ) (H4 ) tr ị ý ợ tỏ t t t r ọ xX p(x, T x) = max{2(x T x), 3(T x x)} = 2(x x2 ) < (f (x))[f (x) f (T x)] ì T (p, , f )ể rst tr X ụ ị ý t ứ ợ T ó ể t ộ tr X ọ w X {T n w}nN ộ tụ tớ ột ể t ộ ủ T t ế t ể tù ý t ó lim T n w = lim w2n = n n t t r tộ {T n w}nN w X tí t trự tế ế w [0, 1) 1, ế w = 1, ộ tụ ủ {T n w}nN F(T ) = {0, 1} ết q s ợ s trự tế từ ị ý ệ q sử (X, d) tr ủ f : X (, +] r ị p : X ì X [0, ) ột s rộ tr ể rst tr (H5 ) X X sử r T :X X ột tr ề ệ (p, f ) (H1 ), (H2 ), (H3 ), (H4 ) tr ị ý ợ tỏ ó ộ tr T ó ột ể t X ữ ọ ột ể t ộ ủ wX f (w) < + {T n w}nN T ộ tụ tớ ệ q sử r (X, d) tr ủ f : X (, +] r ị : R (0, +) T :XX sử r (, f )ể rst tr X ột tr ề ệ s ợ tỏ (D1 ) T tụ (D2 ) T ó (D3 ) xX ó T h : X [0, ) ị h(x) = d(x, T x) ọ tụ ó ột ể t ộ tr X ữ ọ w X f (w) < + {T n w}nN ộ tụ tớ ột ể t ộ ủ T ệ q X (, +] ột sử r (X, d) tr ủ f : T : X X r ị sử r (f )ể rst tr X ột tr ề ệ (D1 ), (D2 ) (D3 ) tr ệ q ợ tỏ ột ể t ộ tr ữ ọ w X T ó f (w) < + {T n w}nN ộ tụ tớ ột ể t ộ ủ T ị ý ột ột (X, d) tr p : X ì X [0, +) T :XX từ X í ó sử r tồ t Q : [0, +) [0, 1) s p(T x, T y) (p(x, y)).p(x, y), ó tồ t ột (T x) X ó T0 = I x, y X : X [0, 1) s ỗ x X (x), (p(T n1 x, T n x)) t í ệ ọ (x), t ọ t ó n N ứ x X tết t ó t ỳ p(T n x, T n+1 x) (p(T n1 x, T n x)).p(T n1 x, T n x) < p(T n1 x, T n x), ỗ n ì N ì {p(Txn1 , Txn )}nN t tr [0, ) Q ề ệ tr ị ý t t ợ sup (p(T n1 x, T n x)) < nN ì xX tù ý t ó tể ị ột (x) := sup (p(T n1 x, T n x)), : X [0, 1) ọ x X nN ó ễ t r ỗ xX t ó (T x) (x) (p(Txn1 , Txn )) ị ý (x), ọ n N (X, d) tr ủ p : X ì X [0, +) ột s rộ tr X t x = y ọ x, y X T :XX tỏ từ X p(x, y) = é í ó sử r t ột Q : [0, +) [0, 1) s p(T x, T y) (p(x, y)).p(x, y), ột tr ề ệ ọ x, y X (H1 ), (H2 ), (H3 ), (H4 ) (H5 ) tr ị ý ợ tỏ ó T ó t ột ể t ộ tr X ữ ọ x X {T n x}nN ộ tụ tớ ể t ộ t ủ T ứ ý ệ t s r tồ t T0 = I t ụ ị ý : X [0, 1) s ỗ x X (T x) (x) (p(Txn1 , Txn )) (x), ọ n N t ó ỗ x X ề ệ t t ợ p(x, T x) p(T x, T x) p(x, T x) (p(x, T x)).p(x, T x) ụ t tứ t ợ 1 p(x, T x) 1(p(x,T p(T x, T x) 1(p(x,T x)) x)) 1 p(x, T x) 1(T p(T x, T x) 1(x) x) p(x, T x) sử : R (0, +) f : X R ợ ị tứ t ứ (t) = 0, f (x) = ó t ó ọ tR p(x, T x), ọ 1(x) f x X ị ễ t r f (x) < + ọ x X tứ t ợ p(x, T x) (f (x))[f (x) f (T x)], ề ứ tỏ r T :XX ọ x X (p, , f )ể rst tr X ụ ị ý t s r t ể t ộ ủ t ứ r ó t ó F(T ) t ột ể T sử F(T ) = u, v F(T ) T u = u T v = v ề ệ t ó p(u, v) = p(T u, T v) (p(u, v)).p(u, v) ề s r [1 (p(u, v))]p(u, v) ì (p(u, v)) [0, 1) t ó p(u, v) = tết t ó ợ u = v ị ý ợ ứ tí t ủ ể t ộ ủ ột ữ t s r T ọ T ụ ị ý {T n x}nN ộ tụ tớ ể t ộ t ủ x X ột ệ q trự tế ủ ị ý t t ợ ết q s ệ q sử X ì X [0, +) (X, d) ột tr ủ ột s rộ tr p(x, y) = é t x = y ọ x, y X T :X X X p : tỏ từ X í ó sử r t [0, 1) s p(T x, T y) ột tr ề ệ .p(x, y), ọ x, y X, (H1 ), (H2 ), (H3 ), (H4 ) (H5 ) tr ị ý ợ tỏ ó T ó t ột ể t ộ tr X ữ ọ x X {Txn }nN ộ tụ tớ ột ể t ộ t ủ T ụ ị ý t t ợ ột rộ ủ í ệ q X X sử từ X (X, d) ột tr ủ T : í ó sử r tồ t ột Q : [0, ) [0, 1) s d(T x, T y) (d(x, y)).d(x, y), ọ T {Txn }nN ộ tụ tớ ột ể t ộ t ủ T ó t ột ể t ộ tr ứ tụ tr X x, y X ữ ọ ề ệ t s r r T x X X ó ết ủ ị ý ợ s trự tế từ ị ý ết tờ ứ t ề t ệ t tì ủ t P r ú t t ợ ột số ết q s ệ tố ệ tí t í ụ ọ ề tr tr ủ ề ệ w s rộ ế P Q tụ tự tứ tự tự ủ tự tứ í q ể t ộ ể rst ị ý ể t ộ rst rộ ủ ị ý ể t ộ rst trì ột số í ụ ề ó ứ tết ột số tí t ủ ể rst ột số ệ ề ị ý rộ ị ý rst ề ệ s rộ ột số ị ý ể t ộ ể rst tr tr ủ ệ q ủ ú ột số ị ý ể t ộ ể rst s rộ ệ q ủ ú tệ tết í ụ ề í ụ ề ế í ụ ề s rộ í ụ ề ể rst í ụ ọ ị ý t ệ t ỗ t ọ ỹ tt rst t trs r s sts rss ts rs r t r rt rsts tr t ts t r tr P t rt t trs r r ss ts tr ts Pt r rt s rst t s r sts t ts st rt s t rt r t rt Prs tr r s tt ss P r st s rtr r tr ts r s rt r trs st qr t tr ss t rt rst t t r ts ts t rsr st s r st st trs t tr ss t r rsts t trs trs t Pt r t t trs rst t