Không gian metric nón lồi và điểm bất động

Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI --------------------------- QUẢN MINH THỌ KHÔNG GIAN METRIC NÓN LỒI VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Hà Đức Vượng HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hà Đức Vượng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Quản Minh Thọ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS. Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Không gian metric nón lồi điểm bất động” tự làm. Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Quản Minh Thọ Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric . . . . . . 1.2 Không gian metric đầy đủ . . 1.3 Không gian vectơ tôpô . . . . 1.4 Không gian Banach . . . . . 1.5 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Không gian metric nón 2.1 Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sự hội tụ không gian metric nón . . . . . . . 2.3 Điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Cấu trúc lồi không gian metric nón . . . . . . 2.5 Điểm bất động không gian metric nón lồi . . . 8 10 15 17 21 25 25 28 34 39 40 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Ta xét ánh xạ T : M → M với M tập hợp tùy ý khác rỗng. Nếu có x ∈ M thỏa mãn T x = x x gọi điểm bất động ánh xạ đơn trị T tập hợp M . Chẳng hạn T : M → M xác định T x = 3x2 −x−1, x = ∈ R ta có T = 1. Vậy x = điểm bất động ánh xạ T R. Xét ánh xạ T : M → 2M (họ tất tập M ) ánh xạ đa trị. Nếu có x ∈ M thỏa mãn x ∈ T x x gọi điểm bất động ánh xạ đa trị T tập hợp M . Ví dụ với tập X = [0, 1], ánh xạ f : X → X xác định bởi:  1  x + ≤ x < f (x) = 2  −x + ≤ x ≤ 1. Khi T : X → 2X xác định bởi: Tx = {f (x)} ∪ {0} ánh xạ đa trị. Với x = ta có: T = {f (0)} ∪ {0} = { } ,0 . Vậy x = ∈ T 0. Do x = điểm bất động ánh xạ đa trị T X . Việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới. Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory) gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn Banach, Brouwer, Shauder, Sadovski, Tikhonov, KyFan,. . . Trong có kết kinh điển mang tính mở đường Định lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Định lý điểm bất động Nadler (1969) mở rộng nguyên lý ánh xạ co sang lớp ánh xạ đa trị. Năm 2007, Huang Long Guang Zhang Xian hai nhà toán học người Trung Quốc giới thiệu khái niệm không gian metric nón cách thay tập số thực R định nghĩa metric thông thường nón định hướng không gian Banach thực. Các tác giả giới thiệu khái niệm hội tụ dãy, tính đầy đủ không gian. Đồng thời tác giả giới thiệu kết điểm bất động cho lớp ánh xạ đơn trị lớp không gian này. Sau thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm kết điểm bất động không gian metric nón công bố. Năm 2012, R. Krishnakumar M. Madudai hai nhà toán học người Ấn Độ nghiên cứu cấu trúc lồi không gian metric nón công bố kết điểm bất động cho lớp không gian qua báo: “ Cone Convex Metric Spaces and Fixed Point Theorems” tạp chí International Journal of Mathematics Analysis (2012). Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm bất động ánh xạ đặc biệt lớp không gian metric nón lồi, hướng dẫn, giúp đỡ TS. Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: “Không gian metric nón lồi điểm bất động”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric nón lồi điểm bất động không gian dựa vào hai báo : - Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings (2007) Huang Long Guang Zhang Xian. - Cone Convex Metric Spaces and Fixed Point Theorems (2012) R. Krishnakumar, M. Madudai. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu, tổng hợp trình bày số kết điểm bất động không gian metric nón lồi. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric nón lồi điểm bất động lớp không gian này. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Đây tổng quan điểm bất động không gian metric nón lồi. Luận văn trình bày gồm hai chương nội dung danh mục tài liệu tham khảo. Chương trình bày số khái niệm không gian metric, không gian vectơ tôpô, không gian Banach nguyên lý ánh xạ co Banach. Chương trình bày khái niệm nón, metric nón, không gian metric nón hội tụ không gian metric nón. Đồng thời trình bày chi tiết kết điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón. Cuối trình bày cấu trúc lồi, không gian metric nón lồi số kết điểm bất động không gian metric nón lồi. Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian vectơ tôpô, không gian Banach nguyên lý ánh xạ co Banach. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Cho X tập khác rỗng. Ánh xạ d : X × X → R gọi metric thỏa mãn điều kiện sau: 1. d(x, y) 0, d(x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X, (tiên đề đồng nhất); 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng ); 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác). Khi đó, (X, d) không gian metric. Nhận xét 1.1.1. Cho (X, d) không gian metric. Khi ta có: 1. d (x1 , xn ) ≤ n−1 ∑ i=1 d (xi, xi+1) , ∀xi ∈ X, i = 1, .n, n ∈ N ∗; 2. |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v), ∀x, y, u, v ∈ X ; 3. |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), ∀x, y, u ∈ X . Dưới vài ví dụ không gian metric: Ví dụ 1.1.1. Với hai vectơ x = (x1 , x2 , ., xk ), y = (y1, y2, , yk ), thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k số nguyên dương đó). Ta đặt: d (x, y) = k ∑ (xi − yi) . (1.1) i=1 Ta có d(x, y) metric Rk . Metric (1.1) gọi metric Eukleides, không gian metric tương ứng gọi không gian Eukleides. Ví dụ 1.1.2. Ta kí hiệu C[a,b] tập hợp tất hàm số với giá trị thực, xác định liên tục đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) . Với hai hàm số x = x (t) , y = y (t) ∈ C[a,b] ta đặt: d (x, y) = max |x (t) − y (t)| . ( ) a≤t≤b Khi C[a,b] , d không gian metric. Ví dụ 1.1.3. Cho tập hợp X ̸= ∅. Với hai phần tử x, y ∈ 35 Vậy {xn } dãy Cauchy. Vì X không gian metric nón đầy đủ nên ta có lim xn = x∗ ∈ X. n→∞ Suy ra: dp (T x∗, x∗) p p dp (T xn, T x∗) + dp (T xn, x∗) kdp (xn, x∗) + dp (xn+1, x∗) . Do P nón chuẩn tắc với số K nên ta có: ∥d (T x∗, x∗)∥ ≤ K (k ∥d (xn, x∗)∥ + ∥d (xn+1, x∗)∥) . Mà lim dp (xn , x∗ ) = 0, lim dp (xn+1 , x∗ ) = ta suy ra: n→∞ n→∞ ∥dp (T x∗, x∗)∥ = 0. Tức là: T x∗ = x∗. Vậy x∗ điểm bất động T . Bây giờ, ta chứng minh điểm bất động nhất. Giả sử y ∗ điểm bất động T thì: dp (x∗, y ∗) = dp (T x∗, T y ∗) p kdp (x∗, y ∗) Vì k ∈ [0, 1) nên d (x∗ , y ∗ ) = 0, x∗ = y ∗ . Vậy điểm bất động T nhất. Định lý 2.3.2. [4]. Cho (X, dp ) không gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với hệ số chuẩn tắc K . Với c ∈ E mà p c x0 ∈ X , tập B (x0 , c) = {x ∈ X : dp (x0 , x) ≤ c}. Ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co: dp (T x, T y) p kdp (x, y) , ∀x, y ∈ B (x0, c) , k ∈ [0, 1) dp (T x0 , x0 ) p (1 − k) c. Khi đó, T có điểm bất động B (x0 , c) . 36 Chứng minh. Ta cần chứng minh B (x0 , c) đầy đủ T x ∈ B (x0 , c) với x ∈ B (x0 , c). Giả sử {xn } dãy Cauchy B (x0 , c). Khi đó, {xn } dãy Cauchy X. Vì X không gian metric nón đầy đủ nên ta có lim xn = x ∈ X. n→∞ Ta suy ra: dp (x0, x) ≤ dp (xn, x0) + dp (xn, x) Vì xn → x, dp (xn , x) → nên dp (xn , x) Do B (x0 , c) đầy đủ. Với ∀x ∈ B (x0 , c) ta có: dp (x0, T x) p p p p p dp (x0, x) + c c x ∈ B (x0, c) . dp (T x0, x0) + dp (T x0, T x) (1 − k)c + kdp (x0, x) (1 − k)c + kc = c. Vậy T x ∈ B (x0 , c) . Định lý 2.3.3. [4] Cho (X, dp ) không gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K. Giả sử ánh xạ: T : X → X thỏa mãn điều kiện co: dp (T x, T y) [ k ∈ 0, p ) k (dp (T x, y) + dp (T y, x)) , ∀x, y ∈ X, . Khi đó, T có điểm bất động X. Chứng minh. Chọn x0 ∈ X , đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , . xn+1 = T xn = T n+1x0 Ta có: dp (xn+1, xn) = dp (T xn, T xn−1) 37 k (dp (T xn, xn−1) + dp (T xn−1, xn)) = k (dp (xn+1, xn) + dp (xn, xn−1)) . p Suy ra: dp (xn+1, xn) h = p k dp (xn, xn−1) = hdp (xn, xn−1) , 1−k k . 1−k Với n ̸= m thì: dp (xn, xm) d (x , xn−1) + dp (xn−1, xn−2) + . + dp (xm+1, xm) ) n−2 m dp (x1, x0) h + h + . + h p hm dp (x1, x0) p 1−h Vì P nón chuẩn tắc với số K nên ta có: hm ∥dp (xn, xm)∥ ≤ K ∥dp (x1, x0)∥ . 1−h Do h < nên lim hn = ta suy lim dp (xn , xm ) = 0. Do p ( p n−1n n→∞ n,m→∞ {xn} dãy Cauchy. Vì X không gian metric đầy đủ nên ta có lim xn = x∗ ∈ X. Mặt n→∞ khác ta có: dp (T x∗, x∗) dp (T xn, T x∗) + dp (T xn, x∗) ∗ ∗ ∗ p k (dp (T x , xn ) + dp (T xn , x )) + dp (xn+1 , x ) ∗ ∗ ∗ ∗ p k (dp (T x , x ) + dp (xn , x ) + dp (xn+1 , x )) + dp (xn+1, x∗) . p Ta suy ra: (k (d (xn, x∗) + d (xn+1, x∗)) + d (xn+1, x∗)) . 1−k Do P nón chuẩn tắc với số K nên ta có: (k(∥dp(xn, x∗)∥ + ∥dp(xn+1, x∗)∥)+ ∥dp (T x∗, x∗)∥ ≤ K 1−k d (T x∗, x∗) p 38 ∥dp(xn+1, x∗)∥ Suy ra: ∥dp (T x∗, x∗)∥ = 0. Tức là: T x∗ = x∗ . Do đó, x∗ điểm bất động T. Bây giờ, ta chứng minh điểm bất động nhất. Giả sử y ∗ điểm bất động T. Ta có: dp (x∗, y ∗) = dp (T x∗, T y ∗) k (dp (T x∗, y ∗) + dp (T y ∗, x∗)) = 2kdp (x∗, y ∗) p Do d (x∗ , y ∗ ) = hay x∗ = y ∗ . Vậy điểm bất động T nhất. Trên số kết điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón. Sau ví dụ minh họa. Cho E = R2 không gian Euclide, { } P = (x, y) ∈ R : x, y ≥ ∈ E, nón chuẩn tắc. Cho X = {(x, 0) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1}∪{(0, x) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1} . Ánh xạ d : X × X → E xác định bởi: ( ) |x − y| , |x − y| , ( ) dp ((0, x) , (0, y)) = |x − y| , |x − y| , ( ) dp ((x, 0) , (0, y)) = d ((0, y) , (x, 0)) = x + y, x + y . 3 dp ((x, 0) , (y, 0)) = Khi đó, (X, dp ) không gian metric nón đầy đủ. Xét ánh xạ T : X → X với: T ((x, 0)) = (x, 0) T ((0, x)) = ( x, 0). 39 Khi đó, T thỏa mãn điều kiện co với ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X : d (T ((x1, x2)) , T ((y1, y2))) p kd ((x1, x2), (y1, y2)) ∈ [0, 1) . Rõ ràng T có điểm bất động (0, 0) ∈ X. k = 2.4 Cấu trúc lồi không gian metric nón Định nghĩa 2.4.1. [9] Cho (X, dp ) không gian metric nón I = [0, 1]. Một ánh xạ liên tục R : X × X × I → X gọi cấu trúc lồi với (x, y, λ) ∈ X × X × I u ∈ X : dp(u, R(x, y, λ)) p λdp(u, x) + (1 − λ)dp(u, y). Không gian metric nón X với cấu trúc lồi R gọi không gian metric nón lồi. Một tập khác rỗng M X gọi lồi nếu: R(x, y, λ) ∈ M, ∀(x, y, λ) ∈ M × M × I Ví dụ 2.4.1. Nếu X không gian tuyến tính với metric d phép tịnh tiến thỏa mãn: dp (λx + (1 − λ) y, 0) p λdp (x, 0) + (1 − λ) dp (y, 0)) X không gian metric nón lồi. Định nghĩa 2.4.2. [9] Cho D tập lồi, đóng, khác rỗng không gian metric nón lồi đầy đủ X giả sử T : D → D 40 ánh xạ liên tục. T gọi ánh xạ tựa không giãn nếu: d(T x, q) q d(x, q), ∀x ∈ D, q ∈ F (T ) F (T ) tập hợp điểm bất động ánh xạ T. Định nghĩa 2.4.3. [9]. Cho (X, dp ) không gian metric nón lồi, x ∈ X {xn } dãy X . Khi đó: 1. Dãy {xn } hội tụ tới x với c ∈ E mà ≪p c có số tự nhiên N cho d(xn , x) ≪p c với ∀n ≥ N. 2. {xn } dãy Cauchy với c ∈ E mà ≪p c có số tự nhiên N cho d(xn , xm ) ≪p c, ∀n, m ≥ N . Định nghĩa 2.4.4. [9]. (X, dp ) gọi không gian metric nón lồi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ tới x X . Nhận xét 2.4.1. Ta nhận thấy (X, dp ) không gian metric nón đầy đủ. R cấu trúc lồi X (X, dp ) không gian metric nón lồi đầy đủ. 2.5 Điểm bất động không gian metric nón lồi Định lý 2.5.1. [9] Cho D tập đóng, khác rỗng không gian metric nón lồi đầy đủ (X, dp ) S, T : X → X ánh xạ thỏa mãn: dp (Sx, T y) p k [dp (x, y) + dp (x, T y) + dp (y, Sx)] 41 với ∀x, y ∈ D < k < 1. Giả sử dãy {xn } xác định bởi: 1. x0 ∈ D; 2. xn+1 = R (T yn , xn , αn ) , n = 0, 1, 2, 3. yn = R (Sxn , xn , βn ) , n = 0, 1, 2, với ≤ αn , βn ≤ 1. Nếu {xn } hội tụ tới điểm q ∈ D q điểm bất động chung T S. Chứng minh. Giả sử ta có lim xn = q. Cho ≪p c, chọn số tự nhiên N n→∞ cho dp (xn , q) ≪p αnc αnc dp (xn+1 , q) ≪p , ∀n ≥ N. 2 Ta có: dp (xn, xn+1) = dp (xn, R(T yn, xn, αn)) = αndp(xn, T yn) + (1 − αn)dp(xn, xn) = αndp (xn, T yn) . Do dp (xn , T yn ) = dp (xn, xn+1) ≪p c, αn từ ta có: lim T yn = q. n→∞ Mặt khác ta có: dp(xn, yn) = dp [xn, R (Sxn, xn, βn)] = βndp(xn, Sxn), dp(Sxn, yn) = dp [Sxn, R (Sxn, xn, βn)] = βndp(Sxn, Sxn) + (1 − β)dp(Sxn, xn) 42 = (1 − βn)dp(Sxn, xn). Vì: dp(Sxn, T yn) p k [dp(xn, Sxn) + dp(xn, T yn)] . Ta suy ra: dp(xn, Sxn) dp(Sxn, T yn) p dp(Sxn, T yn) + dp(xn, T yn), p k [dp (Sxn , T yn ) + 2dp (xn , T yn )] . 2k dp(xn, T yn). 1−k Chọn số tự nhiên N1 cho: 2k dp(xn, T yn) p c, ∀n ≥ N1, 1−k Nên dp (Sxn , T yn ) p Ta có: dp (Sxn , T yn ) ≪p c hay lim dp (Sxn , T yn ) = 0. n→∞ Mà lim T yn = q nên ta có lim Sxn = q. n→∞ n→∞ Mặt khác dp (xn , yn ) = βn dp (xn , Sxn ) nên ta suy ra: lim yn = q. Từ xn → q, Sxn → q, T yn → q dp(xn, T q) n→∞ dp(xn, xn+1) + dp(xn+1, T q) αndp(xn, T yn) + dp(xn+1, T q) ≤ (αn + 1)dp(q, T yn) ≤ 2αndp(q, T yn). p Khi có số tự nhiên N cho với n ≥ N ta có: c , 3k c dp(xn, T q) ≪p , 3k c dp(q, Sxn) ≪p . 3k dp(xn, q) ≪p Suy ra: dp(Sxn, T q) p k [dp(xn, q) + dp(xn, T q) + dp(q, Sxn)] ≪p c 43 Vì Sxn → q Sxn → T q nên: T q = q. (2.1) Mặt khác: dp(q, Sq) p dp(q, T yn) + dp(T yn, Sq). dp(yn, Sq) = dp (R(Sxn, xn, βn), Sq) p βn dp (Sxn , Sq) + (1 − βn )dp (xn , Sq) p βn dp (q, Sq) + (1 − βn )dp (q, Sq) = dp(q, Sq). Do đó: Sq = q. (2.2) Từ (2.1) (2.2) ta có T q = Sq = q, hay q điểm bất động chung S T D. Nhận xét 2.5.1. Cho D tập đóng, không rỗng không gian metric nón lồi đầy đủ X T : X → X ánh xạ thỏa mãn: dp(T x, T y) R k [dp(x, y) + dp(x, T y) + dp(y, T x)] với ∀x, y ∈ D < k < 1. Dãy {xn } xác định bởi: 1. x0 ∈ D; 2. xn+1 = R(T yn , xn , αn ), n = 0, 1, 2, ; 3. yn = R(T xn , xn , αn ), n = 0, 1, 2, ≤ αn ≤ dãy {xn } hội tụ tới điểm bất động T. 44 Định lý 2.5.2. [9] Cho D tập đóng, khác rỗng không gian metric nón lồi đầy đủ X T : X → X ánh xạ thỏa mãn: d(T x, T y) ≤ a [d(x, T x) + d(y, T y)] + b [d(x, T y) + d(T x, y)] [ ) 1 với ∀x, y ∈ D a + b < , a, b ∈ 0, . Dãy {xn } xác định bởi: 1. x0 ∈ D; 2. xn+1 = R(T yn , xn , αn ), n = 0, 1, 2, ; 3. yn = R(Sxn , xn , βn), n = 0, 1, 2, ≤ αn , βn ≤ 1. Nếu {xn } hội tụ tới điểm q ∈ D q điểm bất động T. Chứng minh. Giả sử lim xn = q. Cho ≪p c, chọn số tự nhiên N n→∞ cho dp (xn , p) ≪p αnc αnc dp (xn+1 , p) ≪p với ∀n ≥ N. Ta 2 có: dp (xn, xn+1) = dp (xn, R(T yn, xn, αn)) = αndp (xn, T yn) + (1 − αn)dp(xn, xn) = αndp (xn, T yn) . d (xn, xn+1) ≪p c. αn Mà lim xn = q nên ta có lim T yn = q. Do dp (xn , T yn ) = n→∞ n→∞ Mặt khác ta có: dp(xn, yn) = dp [xn, R (T xn, xn, βn)] = βndn(xn, T xn), dp(T xn, yn) = dp [T xn, R (T xn, xn, βn)] = (1 − β)dp(xn, T xn), 45 d(T xn, T yn) p a [d(xn, T xn) + d(yn, T yn)] + b [d(xn, T yn) + d(T xn, yn)] . Vì dp (xn , T xn ) ≤ dp (T xn , T yn ) + dp (xn , T yn ) nên: ( ) dp(T xn, T yn) p (a + b)(2 − βn) dp(xn, T yn). − a(1 + βn) Chọn số tự nhiên N1 cho: ( ) (a + b)(2 − βn) d(xn, T yn) ≪p c. − a(1 + βn) Khi với n ≥ N1 ta có d(T xn , T yn ) ≪p c. Hay lim dp (T xn , T yn ) = 0. n→∞ Mà lim T yn = q nên ta có lim T xn = q. n→∞ n→∞ Lại dp (xn , yn ) = βn dp (xn , T xn ) ta suy ra: lim yn = q. n→∞ Vì xn → q, T xn → q, T yn → q dp (xn , T q) ≤ 2αn d(q, T yn ) nên có số tự nhiên N cho với n ≥ N ta có dp(T xn, T q) ≪p c. Ta suy ra: T q = q. Mặt khác ta có: dp(q, T q) ≤ dp(q, T yn) + dp(T yn, T q). Mà: dp(yn, T q) dp (R(T xn, xn, βn), T q) p βn dp (T xn , T q) + (1 − βn )dp (xn , T q) p βn dp (q, T q) + (1 − βn )dp (q, T q) = d(q, T q). p Vậy T q = q, ta có điều phải chứng minh. 46 Định lý 2.5.3. [9]. Cho D tập đóng, khác rỗng không gian metric nón lồi đầy đủ X S, T : X → X ánh xạ tựa không giãn. Giả sử dãy {xn } xác định bởi: 1. x0 ∈ D; 2. xn+1 = R(T yn , xn , αn ), n = 0, 1, 2, ; 3. yn = R(Sxn , xn , βn ), n = 0, 1, 2, ≤ αn , βn ≤ 1. Nếu {xn } hội tụ tới điểm q ∈ D q điểm bất động chung T S. Chứng minh. Gọi tập hợp điểm bất động ánh xạ T, S thứ tự F (T ), F (S). Lấy q ∈ D(T ) ∩ D(S). Ta có: dp(xn+1, q) = dp (R(T yn, xn, αn), q) p αn dp (T yn , q) + (1 − αn )dp (xn , q) p αn dp (yn , q) + (1 − αn )dp (xn , q) p αn dp (R(Sxn , xn , βn ), q) + (1 − αn )dp (xn , q) p αn βn dp (Sxn , q) + αn (1 − βn )dp (xn , q) + (1 − αn )dp (xn , q) p [αn βn + αn (1 − βn ) + (1 − αn )] dp (xn , q) p dp (xn , q). Suy {d(xn , q)} dãy đơn điệu giảm bị chặn 0. Do ta có lim dp (xn , q) = 0. n→∞ Chứng tỏ dãy {xn } hội tụ đến q. Do q ∈ F (T ) ta có q = T q q ∈ F (S) ta có Sq = q nên q điểm bất động chung S T. 47 Nhận xét 2.5.2. [9]. Cho D tập đóng, khác rỗng không gian metric nón lồi đầy đủ T : X → X ánh xạ tựa không giãn. Dãy {xn } xác định bởi: 1. x0 ∈ D; 2. xn+1 = R(T yn , xn , αn ), n = 0, 1, 2, ; 3. yn = R(T xn , xn , βn ), n = 0, 1, 2, ≤ αn , βn ≤ cho {xn } ⊂ D. Khi đó, {xn } hội tụ tới điểm bất động T. 48 Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống số khái niệm không gian metric, không gian vectơ tôpô, không gian Banach, nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau khái niệm có ví dụ minh họa. Sau trình bày khái niệm nón, metric nón, không gian metric nón hội tụ không gian metric nón. Đồng thời trình bày chi tiết kết điểm bất động ánh xạ co không gian metric nón. Đồng thời trình bày cấu trúc lồi, không gian metric nón lồi số kết điểm bất động không gian metric nón lồi.Đây kết mớ hai nhà toán học người Ấn Độ công bố báo [9] ”Cone Convex Metric Spaces and Fixed Point Theorems” năm 2012. Với phạm vi thời gian kiến thức có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội. [2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội. [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Huang Long-Guang, Zhang Xian (2007), Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, J. Math. Anal. Appl 332, 1468-1476. [5] H. Mohebi (2005), Topical Functions and Their Properties in A Class of Ordered Banach Space, in Continuous Optimization, Current Trends and Modern Applications, PartII, Spinger, 343-361. [6] H, Mohebi, H. Sadeghi, A. M. Rubinov (2006), Best Approximation in A Class of Normed Spaces with Star-Shaped Cone, Numer. Funct. Anal. Optim. 27 (3-4), 411-436. 50 [7] Ismat Beg and Akbar Azam (1987), Fixed Points on StarShaped Subsets of Convex Metric Spaces, Idian J. Pure Appl. Math. 18(7): 594-596. [8] Ismat Beg and Munjahid Abbas (2007), Common Fixed Points and Best Approximation in Convex Metric Spaces, Soochow journal of mathematic volume33, No.4, 729-738. [9] R. Krishnakumar, M. Madudai (2012), Cone Convex Metric Spaces and Fixed Point Theorems, int. Journal, Vol.6, no. 22, 1087-1093. [10] Sh. Rezapour, R. Hamlbarani (2008), Some Notes on The Paper-Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, J. Math. Anal. Appl., 345, 719-724. [11] Seong Hoon Cho, Mi Sun Kim (2009), Fixed Point Theorems for General Contractive Multivalued Mappings, J. Math .Anal. Informatics, Vol.27 343-350. [...]... cứu và thu được nhiều kết quả Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón 2.1 Không gian. .. ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ R1 Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 25 Chương 2 Không gian metric nón Khái niệm không gian metric nón đã được đưa ra và nghiên cứu bởi hai nhà toán học Huang Long – Guang và Zhang Xian Sau đó, sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không gian metric nón đã được nhiều... x∗ Vậy x∗ là điểm bất động của T Bây giờ, ta chứng minh điểm bất động là duy nhất Giả sử y ∗ cũng là điểm bất động của T thì: dp (x∗, y ∗) = dp (T x∗, T y ∗) p kdp (x∗, y ∗) Vì k ∈ [0, 1) nên d (x∗ , y ∗ ) = 0, do đó x∗ = y ∗ Vậy điểm bất động của T là duy nhất Định lý 2.3.2 [4] Cho (X, dp ) là không gian metric nón đầy đủ, P là nón chuẩn tắc với hệ số chuẩn tắc K Với c ∈ E mà 0 p c và x0 ∈ X , tập... (X, dp ) được gọi là không gian metric nón Ví dụ 2.1.2 Trong không gian Banach E = R2 và nón P = {(x, y) ∈ R2 : x, y 0} ⊂ R2 Xét X = R và ánh xạ dp : X × X → E xác định bởi: dp(x, y) = (α |x − y| , |x − y|), với ∀x, y ∈ X, α là số thực dương Khi đó, (X, dp ) là một không gian metric nón Chứng minh Thật vậy, ta chứng minh ánh xạ dp là metric nón trên X 28 1 Vì |x − y| ≥ 0, ∀x, y ∈ X và α > 0 nên ta có:... được gọi là chuẩn của x Ta kí hiệu không gian định chuẩn là (X, ∥·∥) Ví dụ 1.4.1 Không gian C[a,b] các hàm bị chặn trên đoạn [a, b] ký hiệu là C[a,b] với chuẩn ∥x∥ = max |x (t)| là một không gian a≤t≤b định chuẩn Nhận xét 1.4.1 Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với d (x, y) = ∥x − y∥ 18 Định nghĩa 1.4.2 [1] Cho không gian định chuẩn X , dãy điểm {xn} ⊂ X gọi là hội tụ tới... tra bất đẳng thức tam giác: Với ∀x, y, z ∈ X ta có: α |x − z + z − y| ≤ α |x − z| + α |z − y| Do đó: dp(x, y) = (α |x − y| , |x − y|) = (α |x − z + z − y| , |x − z + z − y|) p (α |x − z| , |x − z|) + (α |z − y| , |z − y|) = dp(x, z) + dp(z, y) Vậy dp là metric nón và (X, dp ) là một không gian metric nón Sau đây chúng ta trình bày về sự hội tụ của dãy trong không gian metric nón 2.2 Sự hội tụ trong không. .. 4K + 2 Bởi vậy: lim dp(xn, yn) = dp(x, y) n→∞ 34 2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón Định lý 2.3.1 [4] Cho (X, dp ) là không gian metric nón đầy đủ, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử, ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co: dp (T x, T y) p kdp (x, y) , ∀x, y ∈ X với k ∈ [0, 1) Khi đó, T có điểm bất động duy nhất trên X Chứng minh Chọn x0 ∈ X , ta đặt x1 = T... một không gian metric Nhận xét 1.1.2 Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định các metric khác nhau để được các không gian metric khác nhau Chẳng hạn trên cùng tập hợp Rk , ngoài metric Eukleides, ta có thể xác định các metric sau đây: Với hai phần tử bất kỳ x = (x1 , x2 , , xk ) , y = (y1 , y2 , , yk ) thuộc Rk , ta đặt: d1(x, y) = k ∑ |xi − yi|, d2(x, y) = max |xi − yi| 1≤i≤k i=1 1.2 Không gian metric. .. không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [4] Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X và x ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ( hội tụ nón) tới x nếu ∀c ∈ E thỏa mãn 0 ≪p c, tồn tại số tự nhiên 29 N sao cho ∀n > N sao cho d(xn, x) ≪p c Khi đó x được gọi là giới hạn( giới hạn nón) của dãy {xn } và ta ký hiệu lim xn = x n→∞ hoặc xn → x, khi n → ∞ Định lý 2.2.1 [4] Cho (X, d) là một không. .. [4] Cho (X, dp ) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X Nếu với bất kì c ∈ E , 0 ≪p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho ∀n, m N , dp (xn, xm) ≪p c, thì {xn} được gọi là dãy Cauchy trong X Định nghĩa 2.2.3 [4] Không gian (X, dp ) được gọi là không gian metric nón đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và dãy Cauchy Định lý 2.2.3 . niệm về nón, metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón. Đồng thời trình bày chi tiết các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón. Cuối. số kết quả về điểm bất động trong không gian metric nón lồi. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về không gian metric nón lồi và điểm bất động trên lớp không gian này. 5. Phương pháp. metric nón 25 2.1 Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . . . . 28 2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón .