2 Không gian metric nón
2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón
Định nghĩa 2.2.1. [4]. Cho (X, d) là một không gian metric nón,
{xn} là một dãy trong X và x ∈ X. Dãy {xn} được gọi là hội tụ( hội tụ nón) tới x nếu ∀c ∈ E thỏa mãn 0 ≪p c, tồn tại số tự nhiên
N sao cho ∀n > N sao cho d(xn, x) ≪p c. Khi đó x được gọi là giới hạn( giới hạn nón) của dãy {xn} và ta ký hiệu
lim
n→∞xn = x
hoặc xn → x, khi n → ∞.
Định lý 2.2.1. [4]. Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số K.Giả sử {xn} là một dãy trong X. Khi đó, {xn} hội tụ tới x nếu và chỉ nếu lim
n→∞dp(xn, x) = 0.
Chứng minh.
Giả sử {xn} là một dãy trong X và hội tụ tới x ∈ X.
Do đó với mọi số thực ε, chọn c ∈ E sao cho 0 ≪p c và K∥c∥ < ε. Khi đó tồn tại số tự nhiên N sao cho:
dp(xn, x) ≪p c,∀n > N.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số K nên ta có:
∥d(xn, x)∥ ≤ K∥c∥ < ε,∀n > N.
Vậy lim
n→∞dp(xn, x) = 0 trong E.
Ngược lại, giả sử rằng trong E ta lại có lim
n→∞dp(xn, x) = 0.
Khi đó với ∀c ∈ E mà 0 ≪p c, đều tồn tại δ > 0 sao cho ∥x∥ < δ, thì c − x ∈ int P( do int P là một tập mở).
Với δ xác định như trên, tồn tại số tự nhiên N sao cho
∥d(xn, x)∥ < δ,∀n > N.
Vậy ta có c − dp(xn, x) ∈ int(P). Hay dp(xn, x) ≪p c, tức là lim
n→∞dp(xn, x) = 0.
Định lý sau khẳng định sự duy nhất của giới hạn trong không gian metric nón.
Định lý 2.2.2. [4]. Cho (X, dp) là không gian metric nón. Nếu dãy
{xn} trong X hội tụ đến x và y thì x = y.
Chứng minh.
Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau:
Nếu q thuộc P và q ≪p ε với mọi ε thì q = 0. Thật vậy, cố định c
thuộc P với 0 ≪p c. Khi đó, từ giả thiết suy ra q ≪p
c
m với mọi
số nguyên dương m. Ta có c
m − q ∈ P với mọi m. Vì c
m − q hội tụ tới −q trong E và P là đóng nên −q ∈ P. Suy ra q = 0. Khẳng định được chứng minh.
Với mọi c ∈ E, 0 ≪p c và lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = y ta suy ra tồn tại số tự nhiên N1, N2 sao cho
d(xn, x) ≪p c 2, ∀n > N1, và d(xn, y) ≪p c 2, ∀n > N2. Suy ra c 2 − d(xn, x) ∈ int(P) và c
2 − d(xn, y) ∈ int(P), với mọi
n > N = max{N1, N2}.
Từ int(P) + int(P) ⊂ int(P) với mọi nón P, suy ra
c 2−d(xn, x) + c 2−d(xn, y) = c−(d(xn, x) +d(xn, y)) ∈ int(P), với mọi n > N. Ta nhận được d(x, y) 6 d(xn, x) + d(xn, y) ≪p c, với mọi n > N. Ta suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y.
Định nghĩa 2.2.2. [4]. Cho (X, dp) là một không gian metric nón,
{xn} là một dãy trong X. Nếu với bất kì c ∈ E, 0 ≪p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho ∀n, m > N, dp(xn, xm)≪p c, thì {xn} được gọi là dãy Cauchy trong X.
Định nghĩa 2.2.3. [4]. Không gian (X, dp) được gọi là không gian metric nón đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X.
Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và dãy Cauchy.
Định lý 2.2.3. [4]. Cho (X, dp) là không gian metric nón và {xn}
là một dãy trong X. Nếu {xn} hội tụ tới x thì {xn} là dãy Cauchy.
Chứng minh.
Giả sử {xn} ⊂ (X, dp) mà lim
n→∞xn = x.
Khi đó, với mọi c ∈ E mà 0 ≪p c thì tồn tại số tự nhiên N sao cho:
d(xn, x) ≪p
c
2,∀n > N.
Vì vậy với mọi m, n > N ta có:
dp (xn, xm) 6p dp(xn, x) + dp(xm, x) ≪p c 2 + c 2 = c. Vậy lim
n,m→∞dp(xm, xn) = 0. Chứng tỏ dãy {xn} là dãy Cauchy trong (X, dp)
Định lý 2.2.4. [4]. Cho (X, dp) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là một dãy trong X.
Khi đó {xn} là dãy Cauchy khi và chỉ khi: lim
Chứng minh.
Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong X. Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P. Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E mà 0 ≪p c và K∥c∥ < ε.
Khi đó, từ {xn} là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho:
dp(xn, xm) ≪p c với mọi n, m > N.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên:
∥dp(xn, xm)∥ 6 K∥c∥, với mọi m, n > N, hay: ∥dp(xn, xm)∥ < ε, với mọi m, n > N. Vậy: lim n,m→∞dp(xn, xm) = 0.
Ngược lại, giả sử lim
n,m→∞dp(xn, xm) = 0. Ta có, với mọi c ∈ E
mà 0 ≪p c, tồn tại δ > 0 sao cho ∥x∥ < δ thì c − x ∈ int(P) (do int(P) là tập mở). Với δ > 0 xác định như trên tồn tại số tự nhiên
N sao cho:
∥d(xn, xm)∥ < δ,∀m, n > N.
Suy ra, c − dp(xn, xm) ∈ int(P). Ta nhận được dp(xn, xm) ≪p c,
∀n, m > N, tức là lim
n,m→∞dp(xn, xm) = 0.
Do đó {xn} là dãy Cauchy trong X.
Định lý 2.2.5. [4]. Cho (X, dp) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn},{yn} là các dãy trong
X. Nếu lim n→∞xn = x, lim n→∞yn = y thì: lim n→∞dp(xn, yn) = dp(x, y). Chứng minh.
Với mỗi ε > 0, ta chọn c thuộc E sao cho: 0 ≪p c và ∥c∥ < ε
4K + 2. Từ lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = y, tồn tại số tự nhiên N sao cho:
dp(xn, x) ≪p c và dp(yn, y) ≪p c, với mọi n > N. Ta có: dp(xn, yn) 6p dp(xn, x) + dp(x, y) + dp(y, yn) 6p dp(x, y) + 2c, với mọi n > N, cùng với dp(x, y) 6p dp(xn, x) + dp(xn, yn) +dp(yn, y) 6p dp(xn, yn) + 2c. Suy ra: 0 6p dp(x, y) + 2c −dp(xn, yn) 6p 4c. Hay: 06p −(dp(xn, yn) − 2c− dp(x, y))6p4c.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K, ta có:
|−(dp(xn, yn) − 2c− dp(x, y))∥ = ∥(dp(xn, yn) −2c − dp(x, y))∥ 6 K ∥4c∥. Vậy : ∥dp(xn, yn) −dp(x, y)∥ = ∥dp(xn, yn) − 2c− dp(x, y) + 2c∥ 6 ∥dp(xn, yn) − 2c− dp(x, y)∥ +∥2c∥. Khi đó: ∥dp(xn, yn) − dp(x, y)∥ 6 K ∥4c∥+ ∥2c∥ = (4K + 2)∥c∥. Mà ∥c∥ < ε 4K + 2 suy ra ∥dp(xn, yn) −dp(x, y)∥ < ε. Bởi vậy: lim n→∞dp(xn, yn) = dp(x, y).