Các định lý điểm bất động kiểu caristi trong không gian mêtric riêng

ộ ụ t rờ ọ ế ị ý ể t ộ ể rst tr tr r sĩ ọ ệ ộ ụ t rờ ọ ế ị ý ể t ộ ể rst tr tr r sĩ ọ tí số ộ ọ P r ệ ụ ụ r ụ ụ ó ể t ộ ủ s rộ tr tr r ệ ể t ộ ủ s rộ tr tr r ột số rộ ủ ị ý ể t ộ rst tr tr r ể t ộ ủ ể rst tr tr r ể t ộ ủ ể rst tr tr r ết ệ t ó ý tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ỹ tt ị ý ể t ộ t ệ từ tế ỉ tr ó ể ế ý ể t ộ rr ý ết q ể ợ rộ r t út q t ủ ề t ọ tr rst ứ ột ị ý ể t ộ ó rộ ủ ý ị ý rst ột tr ữ ị ý ể t ộ q trọ t tr tr ủ ì ó ò ột ủ ý ế rt ễ ụ ó rt ề t ọ tì rộ ị ý ể t ộ rst r ột tr rộ ý tì rộ ệ tr tr tts tệ ệ tr r X ột rộ ủ tr ột tr ữ tí t tú ị ủ tr r p p(x, x) ó tể x X ó ỗ tr r ột To r ó tr tts ứ tí t ủ ộ tụ tr tr r ũ ứ ột số ị ý ể t ộ s rộ tr tr r ột số t ọ tết ột số ủ ị ý ể t ộ ể rst ú ó tể ợ ụ ể ứ ột số rộ ủ ý tr tr r ể t ợt ứ ọ ú t tế ứ tì ể ết q ề ể t ộ ủ s rộ ệt ể rst tr tr r r sở t ệ t ủ P r ú t tự ệ ề t ị ý ể t ộ ể rst tr tr r ụ í ủ ứ tr tr r tr r tr r ủ t s tr r tr r ủ ể t ộ ề ệ prst ps rst rst ể t ộ ủ s rộ ể t ộ ủ ể rst ề ể t ộ ủ s rộ tr tr r r ụ ú t tệ q ột số ế tứ sở ệ trì ủ tr r tr r tr r ủ t s tr r tr r ủ ể t ộ ề ệ prst ps rst rst rì ột số tí t ủ tr r ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ ị ý ể t ộ ủ ể rst ụ trì ột số ị ý ề ệ rộ ý ề ể t ộ tr tr r t ể t ộ ủ ể rst tr tr r r ụ ú t tệ trì ột số rộ ủ ị ý ể t ộ rst tr tr r ủ ệ q ủ ú ụ ú t trì ột số tí t ủ ể rst ột số ị ý ể t ộ ủ ể rst tr tr r ủ ệ q ủ ú ứ tết ề ết q ó trì ột số í ụ ọ ợ t t trờ ọ t tì ủ P r t ợ tỏ ò ết s s ế ị t t ủ ệ Pò t ọ qý tr tổ í rờ ọ Pò q ý ọ ọ rờ ọ ò t ề ệ ú ỡ tr q trì ọ t t ù tí ự t ó ề ố tr ứ tự ệ ề t s tr ỏ ữ ế tế sót ợ ữ ý ế ó ó ủ qý ọ ể ợ tệ ố í t ế ể t ộ ủ s rộ tr tr r ệ P ú t tệ q ột số ế tứ sở ệ trì ủ ộ tr tr ủ tr r tr r tr r ủ t p s tr r tr r ủ ể t ộ ề ệ í ụ ề ó rì ột số tí t ủ tr r ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ ột số í ụ ọ ết q ó ị ĩ t ợ X d : X ì X R ợ ọ ột tr tr X ế tỏ ề ệ d(x, y) ọ x, y X d(x, y) = ế ỉ ế x = y d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ọ x, y, z X X ù ột tr d tr ó ợ ọ ột tr í ệ (X, d) X ố d (x, y) ọ từ ể x ế ể y í ụ ét X = R d : R ì R R d (x, y) = |x y| ọ x, y R ó d ột tr tr R ét X = Rn t ỳ x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) Rn t t n |xi yi | d1 (x, y) = tr Rn n d2 (x, y) = i=1 |xi yi | ó d1 , d2 tr i=1 ị ĩ tr (X, d) {xn } X ợ ọ ộ tụ ề ể x X ế ọ > tồ t n0 N s ọ n n0 t ó d (xn , x) < ú ó t í ệ lim xn = x xn x n n ị ĩ tr (X, d) {xn } X {xn } X ợ ọ ế ọ > tồ t n0 N s ọ n, m n0 t ó d(xn , xm ) < {xn } ế ỉ ế lim n,m+ d(xn , xm ) = tr (X, d) ợ ọ ủ ế ọ tr ó ề ộ tụ ị ĩ tr (X, d) (Y, ) f : (X, d) (Y, ) ợ ọ ế tồ t [0, 1) s [f (x) , f (y)] d (x, y) , ị ý ọ x, y X ý sử (X, d) tr ủ f : X X từ X í ó ó tồ t t ể x X s f (x ) = x ể x X ó tí t f (x ) = x ợ ọ ể t ộ ủ f ị ĩ sử X ột t : X R ợ ọ tụ tr t x0 X ế lim sup (x) (x0 ) xx0 ợ ọ tụ tr tr X ế ó tụ tr t ọ x X ợ ọ tụ tr X ế tụ tr tr ó ()(x) = (x) ọ x X ó ợ ọ tụ t x0 X ế lim inf (x) (x0 ) xx0 t ết lim (x) lim (x) ợt t lim sup (x) xx0 lim inf (x) xx0 xx0 xx0 ị ĩ (X, d) tr T : X X ế tồ t ột tụ : X [0, ) tỏ ề ệ d (x, T x) (x) (T x) , ọ x X, tì T ọ rst tr (X, d) ị ý (X, d) tr ủ số : X [0, ) tụ tỏ ề ệ d (x, T X) (x) (T x) , ọ x X, tì T ó ể t ộ tr X ị ý tr (X, d) ủ ỉ ỗ rst ủ tr (X, d) ề ó ột ể t ộ ị ĩ X ột t ợ rỗ p : X ì X R+ ợ ọ ột tr r ptr tr X s ọ x, y, z X t ó x = y ỉ p (x, x) = p (x, y) = p (y, y) p (x, x) p (x, y) p (x, y) = p (y, x) p (x, z) p (x, y) + p (y, z) p (y, y) ó (X, p) ợ ọ ột tr r ptr í ụ X = R+ p : X ìX R+ ị p (x, y) = max {x, y} ọ x, y X ó (X, p) ột tr r t t t p tỏ ề ệ ủ ị ĩ t ì trò ủ x, y, z t tí tổ qt t sử x y z ó t ó max {x, z} max {x, y} + max {y, z} max {y, y} p (x, z) p (x, y) + p (y, z) p (y, y) ọ x, y, z X p tỏ ề ệ ủ ị ĩ ó (X, p) ột tr r X = R = {x R : x 0} x, y R t ị ĩ p (x, y) = {x, y} ó p ột tr r tr R X = [0, 1] x, y X t ị ĩ p (x, y) = emax{x,y} tì p ột tr r tr X ét ễ t r ế p tr r tr X tì số ps : X ì X [0, ) ợ ps (x, y) = 2p (x, y) p (x, x) p (y, y) ọ x, y X ột tr tr X ị ĩ (X, p) tr r x X > í ệ Bp (x, ) = {y X : p (x, y) < p (x, x) + } ọ Bp (x, ) ì t x í tr tr r (X, p) ị ý ợ tt ì tr tr r (X, p) sở ủ ột t p tr X ứ ễ t r X = Bp (x, ) sử Bp (x, ) , Bp (y, ) xX,>0 ì tù ý tr tr r (X, p) Bp (x, ) Bp (y, ) = ó ỗ z Bp (x, ) Bp (y, ) t ó Bp (z, ) Bp (x, ) Bp (y, ) := p (z, z) + { p (x, z) , p (y, z)} ị ý ợ ứ ị ĩ (X, p) tr r {xn } X ó {xn } ợ ọ ộ tụ tớ ể x X ế p (x, x) = lim p (x, xn ) n ể t ộ ủ ể rst tr tr r ột số rộ ủ ị ý ể t ộ rst tr tr r P ú t trì ột số rộ ủ ị ý ể t ộ rst tr tr r ủ ệ q ủ ú ị ý sử (X, p) tr r ủ : X [0, ) ột tụ tr tr (X, ps ) tỏ ề ệ ế x, y X p (x, x) = p (x, y) tì (y) (x) , : X [0, ) tỏ sup{(x) : x X, (x) inf (w) + à} < wX > ó ế T : X X ột tỏ ề ệ p (x, T x) p (x, x) + (x) [ (x) (T x)] ọ x X, tì T ó ể t ộ tr X ứ r trờ ợ (x) > từ t ó (T x) (x) r trờ ợ (x) = t ó p (x, x) = p (x, T x) ì tế từ t ó (T x) (x) ó từ tr t ó (T x) (x) ọ x X t Y = {x X : (x) inf (w) + à} = sup (w) < wX wY ì (X, p) tr r ủ từ ổ ề t ó (X, ps ) tr ủ ũ ì tụ tr (X, ps ) s r Y t ó tr (X, ps ) ì tế (Y, ps ) ủ từ ổ ề t ó (Y, p) ủ õ r Y t rỗ T Y Y ì (T x) (x) ọ x X ề ệ t s r p (x, T x) p (x, x) + { (x) (T x)} ọ x Y : Y [0, ) ị (x) = . (x) ọ x X tụ tr (Y, ps ) ó ị ý t s r T ó ột ể t ộ t z Y X ị ý sử (X, p) tr r ủ : X [0, ) ột tụ tr tr (X, ps ) tỏ ề ệ c : [0, ) [0, ) ột tụ tr ế T : X X tỏ ề ệ s p (x, T x) p (x, x) + max {c ( (x)) , c ( (T x))} { (x) (T x)} ọ x X tì T ó ể t ộ tr X ứ ố ị số > c( inf (w)) ì c tụ tr wX tồ t > s c (t) inf (w) + t wX inf (w) , inf (w) + wX wX t ị : X [0, ) tứ (x) = max {c ( (x)) , c ( (T x))} ọ x X tự tr ứ ủ ị ý t ó tể ứ r (T x) (x) ọ x X ó x X (x) inf (w) + t ó (T x) inf (w) + wX wX ì tế t ị t ó (x) ó t t sup (x) : x X, (x) inf (w) + wX < ì tế ị ý t ó ợ ết q ứ ị ý sử (X, p) tr r ủ : X [0, ) ột tụ tr tr r (X, ps ) tỏ ề ệ c : [0, ) [0, ) ột ế T : X X tỏ ề ệ p (x, T x) p (x, x) + c ( (x)) { (x) (T x)} , ề ệ p (x, T x) p (x, x) + c ( (T x)) { (x) (T x)} , ọ x X tì T ó ột ể t ộ tr X ứ tự tr ứ ủ ị ý t ó tể ứ ợ (T x) (x) ọ x X ó ì c ột t ó c ( (T x)) c ( (x)) ọ x X ề ứ tỏ r ế T tỏ ề ệ tì T tỏ ề ệ ì t ỉ ứ ị ý trờ ợ T tỏ ề ệ t ế T tỏ ề ệ tì t t : X [0, ) tứ (x) = c ( (x)) ọ x X ó t ó sup{(x) : x X, (x) inf (w) + 1} c.( inf (w) + 1) < wX wX ì tế ụ ị ý t s r T ó ể t ộ tr X ị ý sử (X, p) tr r ủ : X [0, ) ột tụ tr tr r (X, ps ) tỏ ề ệ c : [0, ) [0, ) ột tụ tr ế T : X X s p (x, T x) (x) ọ x X tỏ ề ệ p (x, T x) p (x, x) + c (p (x, T x)) { (x) (T x)} ọ x X, tì T ó ột ể t ộ tr X ứ ị : X [0, ) tứ (x) = c (p (x, T x)) ọ x X ó x X (x) inf (w) + t ó wX (x) sup{c(t) : t p(x, T x)} sup{c(t) : t (x)} sup{c(t) : t inf (w) + 1} wX ì tế t t ợ sup{(x) : x X, (x) inf (w) + max{c(t) : t inf (w) + 1}} < wX wX ì c tụ tr ụ ị ý t ợ ề ứ ể t ộ ủ ể rst tr tr r P ú t trì ột số tí t ủ ể rst ột số ị ý ể t ộ ủ ể rst tr tr r ủ ệ q ủ ú trì ột số í ụ ọ ổ ề sử (X, p) tr r ỗ x X t ị px : X [0, ) tứ px (y) = p(x, y) ọ y X ó px tụ tr (X, ps ) ứ sử {yn } ộ tụ ế y tr (X, ps ) ĩ t ó lim ps (y, yn ) = ó ì p(y, y) p(y, yn ) từ t n tứ px (y) px (yn ) p(yn , y) p(yn , yn ) = px (yn ) + ps (yn , y) p(yn , y) + p(y, y), t s r lim inf px (yn ) px (y) ó ề ứ n ị ĩ (X, p) ột tr r ó T : X X từ tr r (X, p) í ó ợ ọ prst tr X ế ó : X [0, ) tụ tr (X, p) tỏ ề ệ p (x, T x) (x) (T x) ọ x X T : X X từ tr r (X, p) í ó ợ ọ ps rst tr X ế ó : X [0, ) tụ tr (X, ps ) tỏ ề ệ p (x, T x) (x) (T x) ọ x X ị ĩ (X, p) ột tr r {xn } tr tr r (X, p) ợ ọ ế lim p (xn , xm ) = m,n tr r (X, p) ọ 0ủ ế ọ tr X ộ tụ ề z X t t p tỏ p (z, z) = ị ý tr r (X, p) ủ ỉ ỗ ps rst tr X ó ột ể t ộ ứ ề ệ sử (X, p) tr r ủ f : X X ps rst tr X ó tồ t : X [0, ) tụ tr (X, ps ) tỏ ề ệ p(x, f x) (x) (f x) ọ x X ỗ x X t ị t Ax := {y X : p(x, y) (x) (y)} ễ t r Ax = ì f x Ax ữ Ax t ó ủ tr (X, ps ) ì y p(x, y)+(y) tụ tr (X, ps ) ố ị x0 X ể x1 Ax0 s (x1 ) < inf (y) + 21 yAx0 õ r r Ax1 Ax0 ì tế ỗ tử x Ax1 t ó p(x1 , x) (x1 ) (x) < inf (y) + 21 (x) yAx0 (x) + 21 (x) = 21 ế tụ q trì t ự ợ ột {xn }nN s t ết ó {Axn }nN t ó ủ (X, ps ) tỏ ề ệ Axn+1 Axn xn+1 Axn ọ n N p(xn , x) < 2n ọ x Axn n N ì p(xn , xn ) p(xn , xn+1 ) tí t tr t ó p(xn , xm ) < 2n ọ m > n ó s r r lim p (xn , xm ) = m,n ó {xn }nN tr (X, p) ì (X, p) tr r ủ tồ t ể z X s lim p (xn , z) = p (z, z) = n ì tế t ó lim n ps (x n , z) = ì tế z Axn nN ế t t ứ r f z = z t trớ ết t t r p(xn , f z) p(xn , z) + p(z, f z) (xn ) (z) + (z) (f z), ọ n N ì tế f z Axn ó tí t t ó p(xn , f z) < nN 2n ọ n N ì p(z, f z) p(z, xn ) + p(xn , f z) lim p (xn , z) = t s r r p(z, f z) = n s ì tế từ t tứ p (z, f z) 2.p(z, f z) t ó ps (z, f z) = z = f z ề ệ ủ sử r ỗ ps rst tr X ó ột ể t ộ (X, p) tr r ủ ó ó ột {xn }nN ể ệt tr (X, p) ó ộ tụ tr (X, ps ) ự ột {yn }nN ủ {xn }nN s p(yn , yn+1 ) < 2(n+1) ọ n N ý ệ A = {yn : n N} ị f : X X f x = y0 ọ x X \ A f yn = yn+1 ọ n N ễ t r A t ó tr (X, ps ) t ị : X [0, ) (x) = p(x, y0 ) + x X \ A (yn ) = 2n ọ n N ó t ó (yn+1 ) < (yn ) ọ n N (y0 ) (x) ọ x X \ A ết q ổ ề t s r r tụ tr (X, ps ) t ỗ x X \ A t ó p(x, f x) = p(x, y0 ) = (x) (y0 ) = (x) (f x), ỗ yn A t ó p(yn , f yn ) = p(yn , yn+1 ) < 2(n+1) = (yn ) (yn+1 ) = (yn ) (f yn ) ì tế f ps rst tr X ó ó ể t ộ ề t ị ý (X, p) ột tr r ủ ó ỗ prst tr X ề ó ể t ộ ứ ì ỗ tr r ủ ủ ỗ prst ps rst ị ý ệ q trự tế ủ ị ý r tế t ú t trì ột ể rst tr tr r ể ọ t ũ ọ ó rst ị ĩ tr r (X, p) T : X X từ X í ó ợ ọ rst tr X ế ó ột : X [0, ) tụ tr (X, ps ) tỏ ề ệ p (x, T x) p (x, x) + (x) (T x) ọ x X ét õ r t tr tr r (X, p) ột rst ỗ ps rst tr (X, p) rst í ụ s t ề ợ ó ú í ụ X = [1, ) p (x, y) = max {x, y} ọ x, y X ó (X, p) ột tr r ủ ì ó ột ủ sử r T : X X ột ps rst ó t ị ý T ó ể t ộ tr X ĩ ó ể z X s T x = x ì T ps rst ó ột : X [0, ) tụ tr (X, ps ) s p (x, T x) (x) (T x) ỗ x X ì z ể t ộ ủ T t ó p (z, z) = p (z, T z) (z) (T z) = (z) (z) = t tứ từ ị ĩ ủ p t s r z = ề ế t ì / X ì ó ps rst tr X t ét T : X X ợ ị T x = x+1 ọ x X : X [0, ) ị (x) = ọ x X õ r tụ tr (X, ps ) ữ t ó p (x, T x) = max x, x+1 = x = p (x, x) + (x) (T x) ọ x X ì tế T rst tr X ú ý r T ó ể t ộ z = ể t ộ t ị ý tr r (X, p) ủ ỉ ỗ rst tr X ó ột ể t ộ ứ sử (X, p) ủ T : X X rst tr X ó tồ t ột : X [0, ) tụ tr (X, ps ) tỏ ề ệ p (x, T x) p (x, x) + (x) (T x) , ọ x X ì t ó 2p (x, T x) p (T x, T x) 2p (x, x) + (x) (T x) p (T x, T x) sử : X [0, ) ị (x) = p (x, x) ọ x X ó ổ ề tụ tr (X, ps ) ì := +2 ũ tụ tr (X, ps ) ì t tứ ó tể ợ ết t 2p (x, T x) p (x, x) p (T x, T x) (x) (T x) , ĩ t ó ps (x, T x) (x) (T x) ọ x X ổ ề tết (X, p) ủ t ó (X, ps ) tr ủ ứ tr t ó tụ tr (X, ps ) từ t s r T rst tr tr ủ (X, ps ) ó ụ ị ý t s r T ó ể t ộ sử ợ r tr r (X, p) ủ ó ó ột {xn }nN ữ ể ệt tr (X, p) ộ tụ tr (X, ps ) ì {xn }nN t tì ợ {yn }nN ủ {xn }nN s p (yn , yn+1 ) p (yn , yn ) < 2(n+1) ọ n N t A = {yn : n N} õ r A t ó tr (X, ps ) t ị ột T : X X T x = y0 ế x X\A T yn = yn+1 ọ n N ị : X [0, ) (x) = p (y0 , x) + ế x X\A (yn ) = 2n ọ n N ú ý r (yn+1 ) < (yn ) ọ n N (y0 ) (x) ọ x X\A ụ ổ ề t s r tụ tr (X, ps ) ữ ế x X\A tì p (x, T x) = p (x, y0 ) = (x) (y0 ) = (x) (T x) p (x, x) + (x) (T x) , ỗ yn A t ó p (yn , T yn ) = p (yn , yn+1 ) p (yn , yn ) + 2(n+1) = p (yn , yn ) + (yn ) (T yn ) ì T rst tr X ó ó ể t ộ ề t tết ọ rst tr (X, p) ề ó ể t ộ t ó ề ứ í ụ s ọ ị ý í ụ X = [0, 1] p (x, y) = max {x, y} ọ x, y X ó (X, p) ột tr r ủ (X, p) tr r ủ ị T : X X T x = x ọ x X : X [0, ) (x) = x ọ x X ó tụ ó ó tụ ũ ó p (x, T x) = x p (x, x) + (x) (T x) ọ x X ì T rst tr X ó ụ ị ý t s r T ó ể t ộ t t r ị ý tể ụ ợ í ụ ì p (1, T 1) = = (1) (T 1) , ọ : X [0, ) tts tệ ứ ề ệ tự tr ó trọ ợ ữ ỉ r ố q ệ rõ r ữ tr r tự tr ó trọ ợ ể trì ố q ệ trớ ết t tớ ệ s ị ĩ t ợ X d : X ì X [0, ) ợ ọ ột tự tr tr X ế tỏ ề ệ s x = y ỉ d (x, y) = d (y, x) = d (x, z) d (x, y) + d (y, z) ọ x, y, z X ợ X ù ột tự tự tr d tr ó ợ ọ ột tự tr ý ệ (X, d) ét ế d ột tự tr tr X tì ds : XìX [0, ) ợ ị ds (x, y) = max {d (x, y) , d (y, x)} ọ x, y X ột tr tr X ị ĩ tự tr (X, d) ợ ọ s ủ ế tr (X, ds ) ủ tự tr (X, d) ợ ọ ó trọ ợ ế tồ t ột w : X [0, ) s d (x, y)+w (x) = d (y, x)+w (y) ọ x, y X ó t ó r w : X [0, ) trọ ợ ố (X, d) tự tr d ó trọ ợ w tts t ợ ết q s ị ý sử (X, p) tr r ó dp : X ì X [0, ) ợ ị dp (x, y) = p (x, y) p (x, x) ọ x, y X ột tự tr ó trọ ợ tr X trọ ợ w ợ tứ w (x) = p (x, x) ọ x X ợ ế (X, d) ột tự tr ó trọ ợ trọ ợ w tì pd : X ì X [0, ) ợ tứ pd (x, y) = d (x, y) + w (x) ọ x, y X ột tr r tr X ổ ề tự tr ó trọ ợ (X, d) s ủ ỉ (X, pd ) tr r ủ ị ĩ tự tr (X, d) T : X X từ X í ó ợ ọ rst tr X ế tồ t : X [0, ) tụ tr (X, ds ) tỏ ề ệ d (x, T x) (x) (T x) ọ x X ét ị ý t s r r T : X X từ tự tr ó trọ ợ (X, d) í ó ột rst t ĩ ủ ị ĩ ỉ T ột rst tr tr r (X, pd ) ị ý tự tr ó trọ ợ (X, d) s ủ ỉ ọ rst tr X ề ó ể t ộ ứ từ ổ ề ét ị ý ố ù ú t trì í ụ s ể ỉ r r ề ệ ó trọ ợ ủ tự tr (X, d) tể ỏ q ợ tr ị ý tr í ụ sử X = (0, ) d : X ì X [0, ) ị d (x, y) = x y ế x y d (x, y) = ế x < y ó d ột tự tr tr X ds (x, y) = max {1, |x y|} ọ x = y ì tế (X, ds ) ột tr ủ s r (X, d) s ủ t ị T : X X T x = x ọ x X : X [0, ) (x) = x ọ x X ú ý r ds s r ột t rờ r tr X ì rõ r tụ tr (X, ds ) ũ ó d (x, T x) = d x, x x = = (x) (T x) , 2 ọ x X ó T rst tr X ó ó ể t ộ ết ột tờ q t ứ t ề t ệ ề ề t ị ý ể t ộ ể rst tr tr r t tì ủ P r ú t t ợ ột số ết q s ệ tố ó ệ tí t í ụ ọ ề tr r tr r tr r ủ t p s tr r tr r ủ ể t ộ ề ệ prst ps rst rst rì ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ ị ý ể t ộ ủ ể rst tr tr r ứ tết ệ ề tí t ị ý tr t ệ t ứ ò s ợ ị ý ị ý ị ý ị ý tệ tết í ụ í ụ ề ột số ị ý ể t ộ tr tr r í ụ ọ ị ý ị ý t ệ t ỗ t ọ ỹ tt r t rts rst t t tr rt tr ss t r t r rsts t s t rt tr ss Pt r t s r trts rt tr ss rst t trs r sts r ss ts rs r t rí ts r r t s t s r PPs t P srs rs P tss s trt r t rt tr ss t tt rr rts rst rs tr r t tr ss Pt r ts rt r rsts t tr tr t q t ts Prt tr t Pr t r r r ts s t r s tr r s t tr r rt tr ss stt t rst r r t rtrt tss r rt tr ss Pt r