Luận văn sư phạm Làm đầy một không gian định chuẩn

Khoá lu n t t nghi p L ic m n B n khoá lu n t t nghi p b nghiên c u khoa h c.Tr c đ u tiên đ em làm quen v i vi c c s b ng g p nhi u khó kh n m i b t đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c,em nh n đ c s giúp đ đ ng viên c a th y cô giáo b n sinh viên khoa Toán c bi t em xin g i l i c m n sâu s c đ n PGS.TS GVCC Nguy n Ph Hy, giúp đ em hồn thành khố lu n Em c ng xin chân thành c m n Ban ch nhi m khoa Toán t o u ki n đ em có c h i t p d c v i vi c nghiên c u khoa h c Xuân Hoà, tháng n m 2007 Sinh viên ng Th Chinh ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l i cam đoan Tôi xin cam đoan k t qu đ tài :"Làm đ y m t không gian đ nh chu n"đ m b o tính xác, khách quan, khoa h c, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai tơi xin ch u hồn tồn trách nhi m Xn Hoà, tháng n m 2007 Sinh viên ng Th Chinh ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p L im đ u Gi i tích hàm m t ngành tốn h c đ c xây d ng vào n a đ u th k XX, ngành gi i tích Tốn h c N i dung c a s h p nh t c a lí thuy t t ng quát xu t phát t vi c m r ng m t s khái ni m k t qu c a gi i tích đ i s Trong u đáng ý nh t tác gi c a đ i t đ ng c kh o sát gi ng nh không gian th c t i m i quan h hay m i quan h khác n gi i tích hàm đ t đ cm ts n i dung h t s c quan tr ng: - Lý thuy t v không gian tr u t ng - Lý thuy t v toán t n tính - Lý thuy t v n i suy tốn t - Lý thuy t v gi i tích hàm suy n, gi i g n ph ng trình n tính Ph ng pháp c a gi i tích hàm tiên đ hố nh ng tính ch t đ c tr ng c a t p s th c thành không gian t ng ng m r ng v n đ c b n c a gi i tích c n vào nh ng khơng gian Gi i tích hàm có ý ngh a quan tr ng b i s lí lí thuy t hi n đ i, đ c bi t c h c l V i mong mu n đ b ng d ng c a v t ng t c nghiên c u tìm hi u sâu h n v mơn c đ u ti p c n v i nghiên c u khoa h c, em ch n đ tài: “Làm không gian đ nh chu n” Trong khố lu n em trình bày n i dung sau: Ch ng Không gian đ nh chu n CL[a,b] Ch ng Làm đ y khơng gian đ nh chu n hồn thành b n khoá lu n này, m c dù em h t s c c g ng song h n ch v th i gian ki n th c nên khố lu n khơng tránh kh i ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n bè CH NG : KHÔNG GIAN đ NH CHU N Cl  a , b l 1.1 Không gian n tính đ nh chu n C  a , b 1.1.1 nh ngh a 1.1.1: (Không gian n tính ) Gi s P tr ng s th c R hay tr ng s ph c ฀ T p X   v i hai ánh x ( g i phép c ng phép nhân vô h ng )  Phép c ng: X X  X (x,y)  Phép nhân vô h (  x,y X )  x+ y ng : P  X (  x)  X   x (    P,  x  X) G i m t khơng gian n tính ,n u tiên đ sau tho mãn: 10: (  x,y  X) : x+ y= y+ x ; 20: (  x,y,z  X): (x+ y)+ z = x+ (y+ z); 30: (    X )(  x  X) x+  =x ; (  g i ph n t không c a X) 40: (  x X) (  -x X) x+(-x)=  ; ( -x g i ph n t đ i c a x ) 50: (  x,y  X)(    P)  (x+ y )=  x+  y ; 60: (  x X)(   ,   P) (  +  ).x =  x +  x ; 70: (  x X) (   ,   P) : (   ).x=  (  x) 80 : (  x X) ; 1.x= x ; N u P= R X g i khơng gian n tính th c N u P= ฀ X g i khơng gian n tính ph c ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l 1.1.2 Xây d ng không gian n tính C  a , b Cl  a , b =  x= x(t): x(t) hàm liên t c đo n [a,b]  l a) a vào t p C  a , b hai phép toán :  y= y(t)  C  a , b ,    R : l l  x= x(t)  C  a , b , Ta g i t ng c a ph n t x y ,kí hi u x+ y x+ y=x(t)+y(t) Ta g i tích c a ph n t x v i s  ,kí hi u  x  x =  x(t) l b) Các phép tốn đóng kín C  a , b l Th t v y:  x= x(t)  C  a , b l ,  y= y(t)  C  a , b ,  R Khi theo tính ch t hàm s liên t c ta có x(t)+ y(t);  x(t) đ u hàm liên t c đo n [a,b] Do x+ y  C  a , b ;  x  C  a , b l l l Suy phép toán xây d ng đómg kín C  a , b l c) C  a , b v i hai phép tốn m t khơng gian n tính Th t v y:  Ki m tra tiên đ l l  x= x(t)  C  a , b ,  y= y(t)  C  a , b Ta có V i m i t  [a,b] ,thì x(t), y(t)  R nên x(t)+y(t) = y(t)+x(t) Suy x+ y= y+ x ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p V y tiên đ 10 đ c tho mãn  Ki m tra tiên đ l l l  x= x(t)  C  a , b ,  y= y(t)  C  a , b ,  z= z(t) C  a , b V i m i t [a,b] x(t), y(t), z(t)  R nên ( x(t)+y(t) )+ z(t) = x(t)+(y(t) + z(t))  ( x+ y) +z = x+( y+ z ) V y tiên đ 20 đ c tho mãn  Ki m tra tiên đ : Xét  =  (t)=0 ,  t [a,b] Hi n nhiên   C  a , b ,  x=x(t)  C  a , b , ta có: l l V i m i t  [a,b] x(t)  R nên : x(t) +0 = 0+ x(t)= x(t)  x+  =  + x= x V y tiên đ 30 đ c tho mãn , ph n t  đ c g i l ph n t không c a C  a , b  Ki m tra tiên đ : l l  x= x(t)  C  a , b ,đ t y= -x(t) Rõ ràng y  C  a , b V i m i t [a,b] x(t)  R -x(t)  R ,nên x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0  x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 ,  t [a,b]  x+ y =  Ph n t y đ c g i ph n t đ i c a x , kí hi u –x V y tiên đ 40 đ c tho mãn  Ki m tra tiên đ :  x= x(t)  C  a , b ,  y= y(t)  C  a , b ,    R ta l ng Th Chinh l 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p có : V i m i t  [a,b] x(t) ,y(t)  R , nên :   ( x(t)+y(t) )=  x(t)+  y(t) V y tiên đ 50 đ c tho mãn  Ki m tra tiên đ :  x= x(t)  C  a , b ,   ,   R , ta có : l V i m i t [a,b] x(t)  R nên : (  +  ).x(t) =  x(t)+  x(t)  (  +  ).x=  x+  x V y tiên đ 60 tho mãn  Ki m tra tiên đ :  x= x(t)  C  a , b ,   ,   R , ta có : l V i m i t [a,b] x(t)  R nên :  (  x( t ) )=(   ) x(t)   (  x)=(   )x , V y tiên đ 70 đ c tho mãn  Ki m tra tiên đ : l  x= x(t)  C  a , b , ta có: V i m i t [a,b] x(t)  R nên :  1.x(t) = x(t) ,  1.x = x V y tiên đ 80 đ c tho mãn l V y C  a , b v i hai phép toán l p th nh m t khơng gian n tính tr ng Th Chinh ng s th c R 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p 1.2 Không Gian 1.2.1 l nh Chu n C  a , b nh ngh a 1.2.1 (Không gian đ nh chu n ) Ta g i không gian đ nh chu n (hay khơng gian n tính đ v i m t ánh x t t p X vào t p R ,kí hi u ฀ ฀ đ c chu n, tho mãn tiên đ sau: 1o : (  x X) : ฀x฀ 0 ฀ x ฀ =0  x=  (ký hi u ph n t không c a X ) 20: (  x X) (    P): ฀ x ฀ =  ฀ x ฀; 30 : (  x,y X) ฀ x  y ฀ x  y ; S ฀ x ฀ đ c chu n c a vect x Các tiên đê 10 ,20, 30 g i h tiên đ chu n Kí hi u khơng gian đ nh chu n : X hay (X, ฀ ฀ ); l 1.2.2 Xây d ng không gian đ nh chu n C  a , b l a) Ta đ a vào khơng gian n tính C  a , b chu n c a ph n l t x= x(t)  C  a , b , kí hi u ฀ x ฀ xác đ nh b  ฀ x ฀= x(t ) dt (1) a l D th y quy t c cho b i (1) m t ánh x t C  a , b vào R b) Ch ng minh ánh x t Cl  a , b vào R xác đ nh b i (1) tho mãn h tiên đ chu n Th t v y: x  t   CL   x  t   CL    x a ,b  a ,b    ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p  Ki m tra tiên đ : o l  x= x(t)  C  a , b x(t )  Bây gi ta ch  t [a,b] nên b  x(t ) dt =0  x(t )  ,  t[a,b] a Th t v y ,chi u ng c l i hi n nhiên b  x(t ) dt =0 (*) gi N u s t0   a.b  cho a x(t0)  0.Khi , c, d    a , b , t0   c, d  cho x(t )  0, t   c, d  T t : b  d x(t ) dt   x(t ) dt  ( mâu thu n v i (*) ) V y x(t )  0, t   a , b  c a T t tính liên t c c a hàm x(t ) ,  x(t )  0, t   a , b  V y b  x(t ) dt =0  x(t )  ,  t[a,b] a Hay x(t )   x(t )  0, t  a , b V y tiên đ 10 tho mãn  Ki m tra tiên đ :  x= x(t)  C  a , b ,    R ,Ta có :  x=  x(t); l b b  b   ฀ x ฀ =  x(t ) dt =  x(t ) dt =  x(t ) dt =  ฀ x ฀ a a a  ฀ x ฀ =  ฀ x ฀ V y tiên đ 20 tho mãn  Ki m tra tiên đ : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l l  x= x(t)  C  a , b ,  y= y(t)  C  a , b , l x+ y=x(t)+y(t)  C  a , b , b b b b a a a a ฀ x  y ฀=  x(t )  y(t ) dt    x(t )  y(t ) dt =  x(t ) dt +  y(t ) dt = ฀ x ฀+ ฀ y ฀ xy  x  y V y tiên đ 30 tho mãn l K t lu n : (C  a , b , ฀ ฀ ) không gian đ nh chu n l 1.3 nh lí :Khơng gian đ nh chu n C  a , b không đ y 1.3.1.Các khái ni m c b n : nh ngh a 1.3.1: Dãy m (xn) không gian đ nh chu n X g i h i t t i m x X n u lim ฀ x  x ฀ =0 Kí hi u lim xn= x hay xn  x ( n   ) n n n nh ngh a 1.3.2 : Dãy m (xn) c a không gian đ nh chu n X g i dãy c b n n u lim xn  xm =0 n , m nh ngh a 1.3.3: Không gian đ nh chu n X g i không gian Banach n u m i dãy c b n X đ u h i t 1.3.2.Ch ng minh đ nh lí: Th t v y: Trong khơng gian CL  ta xét dãy ( xn (t )) nh sau:  a ,b  ng Th Chinh v i a t 10 a b , K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p  = ( x  ( y  z ))  : ( x )  x,( y )  ฀ y,( z )  z  ( x  y)  z  (( xn  yn )  zn )n1 : ( xn )  x,( yn )  y,( zn )  z n n n  n 1 n n n   ( y  z ) =x V y tiên đ 20tho mãn + Ki m tra tiên đ 30: Xét   ฀X , ( )  ( , , , , )  ,  ph n t khơng c a X Do X không gian n tính nên xn      xn , xn  X   x  ฀X ,ta có       (  x )  x    x x +  = ( xn   ) : ( xn )  x n n1 n1 V y tiên đ 30 tho mãn + Ki m tra tiên đ 40  x  ฀X , đ t y  (1) x , ( -1 ph n t đ i c a ph n t đ n v P ) X ta có xn  (1.xn )   , xn  X Rõ ràng y  ฀    x  y  ( xn  (1xn ))n1 : ( xn )  x =  Ph n t ฀y đ c g i ph n t đ i c a ph n t x , kí hi u - x V y tiên đ 40 tho mãn + Ki m tra tiên đ 50 : x, y  ฀ X,   P , X khơng gian n tính nên  ( xn  yn )   xn   yn , xn , yn  X  = ( x   y )  ,( x )  x,( y )  y   x   y   ( x  y)  ( ( xn  yn ))n1 : ( xn )  x,( yn )  y n ng Th Chinh  n n 1 n 10 n K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p V y tiên d 50 tho mãn + Ki m tra tiên đ 60:  x  ฀ X ,  ,   P Do X khơng gian n tính nên khơng gian n tính nên (   ) xn   xn   xn , xn  X  ((   ) xn )  ( xn   xn ) , ( xn )  x  (   )x   x   x V y tiên đ 60 tho mãn + Ki m tra tiên đ 70  x  ฀ X ,  ,   P Do X ( ) xn   ( xn ), xn  X  (( ) xn )  ( ( xn )), ( xn )  x  ( ) x   ( x ) V y tiên đ 70 tho mãn + Ki m tra tiên đ 80:  x  ฀ X ,do X khơng gian n tính nên xn = xn , xn  X ( ph n t đ n v c a P)   x  (1xn )n1  ( xn )n1, ( xn ) x  1x V y tiên đ 80 tho mãn V y ฀X v hai phép toán l p thành khơng gian n tính 2.1.1.3 Xác đ nh chu n ฀X *  x  ฀X , ( xn ) x Ta xác đ nh chu n nh sau :  ฀ = lim ฀ x ฀ ฀x n n (2.1.1.3) +Gi i h n t n t i : ฀ xn ฀  ฀ xm ฀  ฀ xn  xm ฀ Và (xn) dãy c ng Th Chinh b n X ,nên ฀ xn  xm ฀1  K29B- Toán 10 Khoá lu n t t nghi p ( m, n  ) ,ngh a ( ฀ xn ฀) dãy s c b n ,do ph i t n t i lim ฀ xn ฀ n + Cách xác đ nh chu n không ph thu c vào vi c ch n dãy ( xn ) x Th t v y: Gi s ( xn ) x,( xn ) x lim xn  xn  T t h th c xn - xn  xn  xn  (n  )  lim xn  lim xn = x * Ta ch mg minh (2.1.1.3) tho mãn tiên đ chu n : + Ki m tra tiên đ 1: x ฀X T (2.1.1.3) suy x  , V i ( xn ) x , ta có x   lim xn   ( xn ) ฀ ( ) mà ( )  V y x   ( ( ) dãy d ng g m ph n t  c a X) V y tiên đ tho mãn + Ki m tra tiên đ : x ฀X ,   P ,v i (xn)  ฀x Ta có: x  lim x n  lim(  x n )   lim x n   x 1 V y tiên đê tho mãn +Ki m tra tiên đ 3: x,y ฀X v i (x n )  x ,(y n )  y , Ta có lim x n  y n  lim x n  lim y n x  y  x  y 1 V y tiên đ tho mãn ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p 2.1.2.Khơng gian X đ ng c n tính v i m t không gian c a ฀X M i ph n t x X cho ta dãy d ng (x,x,…),và dãy d ng dãy c b n nên m i x  X cho ta t ฀ x ch a dãy d ng ( x, x,…) ng ng x  X Khi l p x ch a t t c dãy (xn)  X mà h i t t i x ฀ Xét ánh x f :X  X x  x ( Trong   xn  x  lim xn  x ) * D th y v i quy t c xác đ nh f m t ánh x * f m t ánh x đ ng c t  x,yX , đ t ฀: X vào X x  f  x , y  f  y  ngh a  ( xn ) x , ( yn ) y x  limx n , y  limy n T h th c : ฀ x  y ฀  ฀ xn  yn ฀  ฀ x  xn ฀  ฀ y  yn ฀  (n   )   ฀y ฀  ฀ x  y ฀ = lim ฀ xn  yn ฀ = ฀ x n Do ánh x f thành l p m t phép đ ng c t X vào ฀X ,hay X đ ng c v i m t b ph n c a ฀X  f m t ánh x n tính t X vào ฀X Th t v y: +  x,y X ,khi đ t x  f  x, y  f  y cho ( xn )  x, ( yn )  y Ta có lim xn=x , lim yn=y n n +  ,   P ta có lim (  xn   yn )=  lim xn+  lim yn =  x+  y n n n    y Và ( xn   yn )1  x ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Do v y f(  x+  y) =  x +  ฀y =  f(x)+  f(y)  f m t ánh x n tính t X vào ฀X V y f m t phép đ ng c n tính t X vào ฀X Do dó X đ ng c n tính v i m t b ph n c a ฀X Do ฀ x  ฀y ฀1 = lim ฀ x  yn ฀ n (2.2.1) 2.1.3 X trù m t kh p n i ฀X Gi s  x  ฀X  >0 nh tu ý cho tr c L y m t dãy b t kì (x n ) ฀x ( xn ) dãy c b n X nên : n1 ( n0  ฀ *)(m, n  n0 ) ฀ xn  xm ฀   t t (2.2.1) ta có : ฀ xn  x ฀ = lim ฀ xn  xm ฀<  (  n  n0 ) m  lim ฀ xn  x ฀1 =0 hay lim xn= x không gian ฀X n n V y   >0 nh tu ý ln tìm đ c xn  X cách x khơng q  Do X trù m t kh p n i ฀X 2.1.4 ฀X không gian đ y Ta l y m y dãy c b n b t kì ( x n) ฀X Do s trù m t kh p n i c a X ฀X nên v i m i x n  ฀X ta tìm đ c l p z  ฀ X ch a dãy d ng (zn, zn,…, zn,…) v i zn X , cho zn  x฀n  (n=1,2…); n Khi ta nh n đ c dãy z1, z2,…,zn, dãy c b n X Th t v y: Dzn-zmD = Dzn-zmD1  Dzn- x nD1 + D x n - x m D1 + D x m – zmD1 < ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p 1 < + D x n - x m D1 +  (m,n   ); n m V y (zn )1 xác đ nh m t l p z ฀X v i z gi i h n c a dãy ( x฀n ) không gian ฀X Th t v y : V i n đ l n ta có ฀ x n  z ฀1  ฀ zn  z ฀1 + ฀ zn  z ฀1 < ฀ zn  x ฀1 + 0 n  z gi i h n c a dãy ( x n) V y m i dãy c b n ฀X đ u h i t ,suy ฀X không gian đ y 2.2.M i b sung m t không gian đ nh chu n đ u đ ng c n tính 2.2.1 Xây d ng ánh x t M1 lên M * Gi s M1 =( ฀X , ฀ ฀1 ) M2=( ฀X , ฀ ฀ 2) đ u làm đ y c a không gian đ nh chu n M=(X, ฀ ฀ ) cho L y ph n t tu ý x  ฀X Khi  (xn)  X h i t đ n x M1 dãy ( xn ) dãy c b n X theo ch ng minh (2.1.4) u n1 ki n 1) c a đ nh lý ( xn ) dãy c b n không gian M2, k t n1 h p v i tính đ y c a M2 nên dãy ( xn ) h i t đ n ph n t x  không n1 gian M2 Ta nh n đ c ánh x g: M1  M2 x  x  (theo quy t c ) Do M1 M2 hai khơng gian có vai trị nh v y nên theo cách l p lu n v i m i x  tu ý M2 t n t i x ( thao quy t c xác đ nh ) Do v y g m t toàn ánh Sau ta ch ng minh g ánh x n tính đ ng c t M lên M2 : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Th t v y: 2.2.2 g ánh x n tính Th t v y:  x , ฀y  M1 ,  ,   P ta có : g( x )= x  M2, g( ฀y )= ฀y  M2 V i x  M1,  (xn)  X cho lim xn= x n M1 lim xn= x  M2 n V i ฀y  M1 t n t i dãy (yn)  X cho lim yn= ฀y không gian M1 n lim yn= ฀y  không gian M2 n Suy lim (  xn   yn )=  x +  ฀y không gian M1 n lim (  xn   yn )=  x +  ฀y  không gian M2 n  g(  x +  ฀y )=  x +  ฀y =  g( x )+  g( ฀y ) V y g ánh x n tính 2.2.3 g ánh x đ ng c ánh x M1 lên M2 Th t v y: L y hai ph n t tu ý x , ฀y  ฀X Khi t n t i hai dãy (xn),(yn)  X cho lim xn= x lim yn= ฀y không gian n n lim xn= x , lim yn= ฀y  khơng gian M2 n n Khi ta có :   ฀y ฀ = lim ฀ x  y ฀ = lim ฀ x  y ฀ = ฀x n n n n n n = lim ฀ x  y ฀ = D x - ฀y D n n n V y g ánh x n tính đ ng c t không gian M1 len không gian M2 K t lu n: M i b sung m t không gian đ nh chu n không đ y đ u đ ng c n tính 2.3.Ví d : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l Làm đ y không gian đ nh chu n C  a , b Nh ch ng tr l c ta xét không gian đ nh chu n C  a , b khơng đ y Theo đ nh lý có th b sung thành khơng gian Banach Cách l b sung c m i dãy c b n mà khơng có gi i h n C  a , b coi nh xác đ nh m t ph n t m i c n thêm vào làm gi i h n cho dãy Sau đâychúng ta s th y r ng nh ng ph n t n i hàm s kh tích theo ngh a Lebesgue đo n[a,b] Th t v y: + Ta có h qu đ nh lý :Lebesgue v h i t b ch n: c  fn  h i t h.k.n đ n m t hàm s đo đ “ N u dãy hàm đo đ c f tâp A có đ đo h u h n fn  M (h.k.n) A ( n ฀ * ) ,M h ng s lim f d  =(L) n  n A  fd  A +Ta có A=[a,b] t p đóng R ,nên [a,b[ t p Borel Do dó [a,b] đo đ c theo ngh a Lebesgue *B đ : M i ánh x f :[a,b]  R m t hàm s liên t c đo n [a,b] f đo đ c (L) đo n A=[a,b] Ch ng minh : N u aR { x  [a,b]:f(x)0 cho xn (t )  M ,  t [a,b] l G i ( xn (t )) dãy c b n C  a , b có gi i h n x(t) n1 l làm đ y c a không gian C  a , b Khi theo h qu c a đ nh lý Lebesgue v h i t b ch n ,thì x(t) hàm b b a a kh tích (L) lim  xn (t )dt =(L)  x(t )dt n 2.4.M r ng t p ฀ thƠnh t p R 2.4.1>Không gian s h u t ฀ không đ y ฀ t p s h u t D th y ฀ v i hai phép toán c ng nhân ฀ ( theo ngh a thông th ng) l p thành khơng gian n tính tr ng P (P= R ho c P= ฀ ) a) Xác đ nh chu n ฀  x  ฀ ta đ t ฀ x ฀= x (2.4.1) Công th c (2.4.1) xác đ nh m t chu n ฀ Th t v y: + N u x  x >0 hay ฀ x ฀>0 N u x=0 x =0 hay ฀ x ฀=0 V y tiên đ d c tho mãn + D th y tiên đ c ng tho mãn +  x ,y ฀ ,ta có ฀ x  y ฀= x  y  x  y ฀ x ฀  ฀ y ฀ V y tiên đ tho mãn ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p K t lu n: ( ฀ , ฀ ฀ ) không gian đ nh chu n b) ฀ không không gian Banach Th t v y: n ( n ฀ * ) D th y xn ฀ , n ฀ * k ! k 1 + Xét dãy xn=1+  + Ta ch ng minh dãy ( xn ) dãy c b n n1 Th t v y:( n ฀ * )( p ฀ * ): ฀ xn p  xn ฀ xn p  xn  = n p n 1  k!   k! = k 1 k 1 1    (n  1)! (n  2)! (n  p)! p  (n   )  ฀ xn p  xn ฀ (n  1)! V y dãy ( xn ) dãy c b n ฀ n1 c) Dãy ( xn ) không h i t ฀ n1 Gi s dãy ( xn ) h i t v n1 nguyên d e฀ , t c e= p v i p,q nh ng s q ng q>1 1 1 ) ]=    Ta vi t : e = lim [ (1     )  ( n 2! q! (q 1)! (q  2)! (q  n)! ( = (11   )  nlim  2! q! 1   ) (q 1)! (q  2)! (q  n)!  nhân hai v v i q! ta có : e q!=q! (1 1  1 1   )  lim (   ) 2! q! n (q 1) (q  1)(q  2) (q  n) hay : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p  e q!-q! (2  (1 1  1 1   )  lim (   ) 2! q! n (q  1) (q  1)(q  2) (q  n ) 1 1   )  lim (    ) 2! q! n (q 1) (q 1)(q  2) (q 1)(q  2) (q  n) V trái m t s nguyên d ng ( theo gi thi t e = p ),còn ta s ch ng q minh v ph i m t s bé thua 1.Do vơ lí Th t v y, q> nên 1  q 1 1     (q 1) (q 1)(q  2) (q 1)(q  2) (q  n)   1 1  1           = (q 1)  (q  2) (q  2) (q  n)   22 2n1  1  2n 1   1 = 1 1 2 ( e  2,718281828…) V y nên ฀ không khơng gian Banach Do ta s b sung vào ฀ ph n t m i đ tr thành không gian Banach 2.4.2.Xây d ng không gian th c R làm đ y c a không gian h ut ฀ áp d ng vào trình làm đ y khơng gian đ nh chu n ta có : G i R t p dãy c b n x l p dãy c b n không gian ฀ c th nh sau: Ta g i hai dãy c b n ( xn ) ( xn ) ฀ t ng Th Chinh 10 ng đ ng vi t K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p xn  xn  Khi dãy c b n ฀ đ ( xn ) ฀ ( xn ) n u lim n  thành l p ,hai dãy c b n thu c m t l p t c b n thu c hai l p khơng t ng đ ng đ c chia ng, hai dãy ng T p t t c l p k R ta kí hi u ph n t c a R x , y, a) Ta đ a vào R hai phép toán :  x , y ฀ ,   P ta g i : + T ng c a hai ph n t x y ,kí hi u x + y   x  y  ( xn  yn )n1 : ( xn )  x,( yn )  y + Ta g i tích c a  v i x ,kí hi u  x :    x  ( xn )n1 : ( xn )  x Ta có th coi x = ฀y  lim xn  yn =0 n Khi theo ch ng minh ngun lí làm đ y ,ta có R v i hai phép tốn m t khơng gian n tính P b) Xác đ nh chu n R  x =(x1,x2, … ,  ฀ = lim x xn,…)฀ , ฀ x * n n (2.4.2) C ng theo ch ng minh nguyên lí làm đ y ta có k t qu sau: ( R , ฀ ฀* ) không gian đ nh chu n Khi : + ฀ đ ng c n tính v i m t không gian c a R + ฀ t p trù m t kh p n i R Lúc R = ฀   ng Th Chinh I t p ph n t m i ,các ph n t 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p g i h n c a dãy c b n ฀ nh ng không h i t ฀ Ta g i I t p s vô t V i cách b sung khơng gian đinh chu n R tr thành khơng gian Banach Và tính ch t ,đ nh lí đ i v i khơng gian R c ng v i khơng gian ฀ k t lu n: T p ฀ làm thành không gian đ nh chu n không đ y ,ta b sung b ng nh ng ph n t m i s vô t :C m i dãy c b n s h u t mà khơng h i t ฀ coi nh xác đ nh m t s m i Sau thêm nh ng ph n t m i ta đ nh ngh a chu n (2.4.2) khơng gian đ nh chu n R b sung không gian Banach ,và ฀ tr thành không gian c a không gian R ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Ph n k t lu n Qua vi c nghiên c u v n đ : “ Làm đ y m t không gian đ nh chu n ” cho ta m t nhìn sâu s c h n v v n đ khơng gian Gi i tích hàm, đ c bi t đ i v i không gian đ nh chu n v tính đ y c a Qua ch ng ta th y khơng ph i không gian đ nh chu n c ng không gian Banach,s t n t i nh ng không gian đ nh chu n không đ y.V n đ đ t là:ta ph i làm đ y chúng Và ch ng s cho ta câu tr l i:"Luôn làm đ y m t không gian đ nh chu n không đ y thành không gian Banach".T ch ng ta s nghiên c u sâu h n v tính ch t c a không gian Banach, s giúp cho Gi i tích hàm phát tri n h n Qua vi c làm đ y m t không gian đ nh chu n ta có th áp d ng vào vi c làm đ y không gian s h u t ฀ thành không gian t p s th c ฀ , hai không gian mà r t quen thu c tốn ph thơng T có nhìn t ng qt h n v vi c xây d ng t p ฀ Hy v ng v n đ mà đ c p s giúp cho nh ng quan tâm đ n v n đ Cu i em xin g i l i c m n sâu s c t i th y Nguy n Ph Hy t n tình ch b o ,h ng Th Chinh ng d n em hồn thành khố lu n t t nghi p 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p TƠi li u tham kh o 1.Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm, NXB i h c trung h c chuyên nghi p T1 ,Hà N i Nguy n Ph Hy(2006), Gi i tích hàm, NXB Khoa h c K thu t, Hà N i 3.Nguy n V n Khuê, Lê M u H i(2001), C s lý thuy t hàm gi i tích hàm T1,2 ,NXB Giáo d c, Hà N i Nguy n V n Khuê, Lê M u H i(1996), Không gian n tinh, Tôpô, Banach, Hilbert, NXB i h c s ph m, Hà N i Nguy n Xuân Liêm (2001), Gi i tích hàm, NXB Giáo d c, Hà N i Hoàng Tu (1979), Gi i tích hi n đ i T1,2, NXB Giáo d c, Hà N i Hoàng Tu (2002), Hàm th c gi tích hàm, NXB HQG Hà N i A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fômin, C s lý thuy t hàm gi tích hàm T1,2, NXB Giáo d c G.M.Fichtengơn (1972), C s gi i tích tốn h c, NXB i h c trung h c chuyên nghi p ng Th Chinh 10 K29B- Toán ... đ không gian metric đ u không gian đ nh chu n Vì v y nh nguyên lí làm đ y khơng gian metric , metric (2.1.1) m i không gian đinh chu n không khơng gian Banach đ u có th làm đ y thành khơng gian. .. nên ฀ không không gian Banach Do ta s b sung vào ฀ ph n t m i đ tr thành khơng gian Banach 2.4.2.Xây d ng không gian th c R làm đ y c a không gian h ut ฀ áp d ng vào trình làm đ y khơng gian. .. thích h p đ khơng gian b sung đ chu n , lúc X tr thành không gian c a không gian b sung 2.1 LƠm đ y không gian đ nh chu n Cho không gian đ nh chu n ( X, ฀ ฀ ) ( nói chung X khơng gian khơng đ y