Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
710,29 KB
Nội dung
Khoá lu n t t nghi p L ic m n B n khoá lu n t t nghi p b nghiên c u khoa h c.Tr c đ u tiên đ em làm quen v i vi c c s b ng g p nhi u khó kh n m i b t đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c,em nh n đ c s giúp đ đ ng viên c a th y cô giáo b n sinh viên khoa Toán c bi t em xin g i l i c m n sâu s c đ n PGS.TS GVCC Nguy n Ph Hy, giúp đ em hồn thành khố lu n Em c ng xin chân thành c m n Ban ch nhi m khoa Toán t o u ki n đ em có c h i t p d c v i vi c nghiên c u khoa h c Xuân Hoà, tháng n m 2007 Sinh viên ng Th Chinh ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l i cam đoan Tôi xin cam đoan k t qu đ tài :"Làm đ y m t không gian đ nh chu n"đ m b o tính xác, khách quan, khoa h c, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai tơi xin ch u hồn tồn trách nhi m Xn Hoà, tháng n m 2007 Sinh viên ng Th Chinh ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p L im đ u Gi i tích hàm m t ngành tốn h c đ c xây d ng vào n a đ u th k XX, ngành gi i tích Tốn h c N i dung c a s h p nh t c a lí thuy t t ng quát xu t phát t vi c m r ng m t s khái ni m k t qu c a gi i tích đ i s Trong u đáng ý nh t tác gi c a đ i t đ ng c kh o sát gi ng nh không gian th c t i m i quan h hay m i quan h khác n gi i tích hàm đ t đ cm ts n i dung h t s c quan tr ng: - Lý thuy t v không gian tr u t ng - Lý thuy t v toán t n tính - Lý thuy t v n i suy tốn t - Lý thuy t v gi i tích hàm suy n, gi i g n ph ng trình n tính Ph ng pháp c a gi i tích hàm tiên đ hố nh ng tính ch t đ c tr ng c a t p s th c thành không gian t ng ng m r ng v n đ c b n c a gi i tích c n vào nh ng khơng gian Gi i tích hàm có ý ngh a quan tr ng b i s lí lí thuy t hi n đ i, đ c bi t c h c l V i mong mu n đ b ng d ng c a v t ng t c nghiên c u tìm hi u sâu h n v mơn c đ u ti p c n v i nghiên c u khoa h c, em ch n đ tài: “Làm không gian đ nh chu n” Trong khố lu n em trình bày n i dung sau: Ch ng Không gian đ nh chu n CL[a,b] Ch ng Làm đ y khơng gian đ nh chu n hồn thành b n khoá lu n này, m c dù em h t s c c g ng song h n ch v th i gian ki n th c nên khố lu n khơng tránh kh i ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n bè CH NG : KHÔNG GIAN đ NH CHU N Cl a , b l 1.1 Không gian n tính đ nh chu n C a , b 1.1.1 nh ngh a 1.1.1: (Không gian n tính ) Gi s P tr ng s th c R hay tr ng s ph c T p X v i hai ánh x ( g i phép c ng phép nhân vô h ng ) Phép c ng: X X X (x,y) Phép nhân vô h ( x,y X ) x+ y ng : P X ( x) X x ( P, x X) G i m t khơng gian n tính ,n u tiên đ sau tho mãn: 10: ( x,y X) : x+ y= y+ x ; 20: ( x,y,z X): (x+ y)+ z = x+ (y+ z); 30: ( X )( x X) x+ =x ; ( g i ph n t không c a X) 40: ( x X) ( -x X) x+(-x)= ; ( -x g i ph n t đ i c a x ) 50: ( x,y X)( P) (x+ y )= x+ y ; 60: ( x X)( , P) ( + ).x = x + x ; 70: ( x X) ( , P) : ( ).x= ( x) 80 : ( x X) ; 1.x= x ; N u P= R X g i khơng gian n tính th c N u P= X g i khơng gian n tính ph c ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l 1.1.2 Xây d ng không gian n tính C a , b Cl a , b = x= x(t): x(t) hàm liên t c đo n [a,b] l a) a vào t p C a , b hai phép toán : y= y(t) C a , b , R : l l x= x(t) C a , b , Ta g i t ng c a ph n t x y ,kí hi u x+ y x+ y=x(t)+y(t) Ta g i tích c a ph n t x v i s ,kí hi u x x = x(t) l b) Các phép tốn đóng kín C a , b l Th t v y: x= x(t) C a , b l , y= y(t) C a , b , R Khi theo tính ch t hàm s liên t c ta có x(t)+ y(t); x(t) đ u hàm liên t c đo n [a,b] Do x+ y C a , b ; x C a , b l l l Suy phép toán xây d ng đómg kín C a , b l c) C a , b v i hai phép tốn m t khơng gian n tính Th t v y: Ki m tra tiên đ l l x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b Ta có V i m i t [a,b] ,thì x(t), y(t) R nên x(t)+y(t) = y(t)+x(t) Suy x+ y= y+ x ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p V y tiên đ 10 đ c tho mãn Ki m tra tiên đ l l l x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b , z= z(t) C a , b V i m i t [a,b] x(t), y(t), z(t) R nên ( x(t)+y(t) )+ z(t) = x(t)+(y(t) + z(t)) ( x+ y) +z = x+( y+ z ) V y tiên đ 20 đ c tho mãn Ki m tra tiên đ : Xét = (t)=0 , t [a,b] Hi n nhiên C a , b , x=x(t) C a , b , ta có: l l V i m i t [a,b] x(t) R nên : x(t) +0 = 0+ x(t)= x(t) x+ = + x= x V y tiên đ 30 đ c tho mãn , ph n t đ c g i l ph n t không c a C a , b Ki m tra tiên đ : l l x= x(t) C a , b ,đ t y= -x(t) Rõ ràng y C a , b V i m i t [a,b] x(t) R -x(t) R ,nên x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0 x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 , t [a,b] x+ y = Ph n t y đ c g i ph n t đ i c a x , kí hi u –x V y tiên đ 40 đ c tho mãn Ki m tra tiên đ : x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b , R ta l ng Th Chinh l 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p có : V i m i t [a,b] x(t) ,y(t) R , nên : ( x(t)+y(t) )= x(t)+ y(t) V y tiên đ 50 đ c tho mãn Ki m tra tiên đ : x= x(t) C a , b , , R , ta có : l V i m i t [a,b] x(t) R nên : ( + ).x(t) = x(t)+ x(t) ( + ).x= x+ x V y tiên đ 60 tho mãn Ki m tra tiên đ : x= x(t) C a , b , , R , ta có : l V i m i t [a,b] x(t) R nên : ( x( t ) )=( ) x(t) ( x)=( )x , V y tiên đ 70 đ c tho mãn Ki m tra tiên đ : l x= x(t) C a , b , ta có: V i m i t [a,b] x(t) R nên : 1.x(t) = x(t) , 1.x = x V y tiên đ 80 đ c tho mãn l V y C a , b v i hai phép toán l p th nh m t khơng gian n tính tr ng Th Chinh ng s th c R 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p 1.2 Không Gian 1.2.1 l nh Chu n C a , b nh ngh a 1.2.1 (Không gian đ nh chu n ) Ta g i không gian đ nh chu n (hay khơng gian n tính đ v i m t ánh x t t p X vào t p R ,kí hi u đ c chu n, tho mãn tiên đ sau: 1o : ( x X) : x 0 x =0 x= (ký hi u ph n t không c a X ) 20: ( x X) ( P): x = x ; 30 : ( x,y X) x y x y ; S x đ c chu n c a vect x Các tiên đê 10 ,20, 30 g i h tiên đ chu n Kí hi u khơng gian đ nh chu n : X hay (X, ); l 1.2.2 Xây d ng không gian đ nh chu n C a , b l a) Ta đ a vào khơng gian n tính C a , b chu n c a ph n l t x= x(t) C a , b , kí hi u x xác đ nh b x = x(t ) dt (1) a l D th y quy t c cho b i (1) m t ánh x t C a , b vào R b) Ch ng minh ánh x t Cl a , b vào R xác đ nh b i (1) tho mãn h tiên đ chu n Th t v y: x t CL x t CL x a ,b a ,b ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Ki m tra tiên đ : o l x= x(t) C a , b x(t ) Bây gi ta ch t [a,b] nên b x(t ) dt =0 x(t ) , t[a,b] a Th t v y ,chi u ng c l i hi n nhiên b x(t ) dt =0 (*) gi N u s t0 a.b cho a x(t0) 0.Khi , c, d a , b , t0 c, d cho x(t ) 0, t c, d T t : b d x(t ) dt x(t ) dt ( mâu thu n v i (*) ) V y x(t ) 0, t a , b c a T t tính liên t c c a hàm x(t ) , x(t ) 0, t a , b V y b x(t ) dt =0 x(t ) , t[a,b] a Hay x(t ) x(t ) 0, t a , b V y tiên đ 10 tho mãn Ki m tra tiên đ : x= x(t) C a , b , R ,Ta có : x= x(t); l b b b x = x(t ) dt = x(t ) dt = x(t ) dt = x a a a x = x V y tiên đ 20 tho mãn Ki m tra tiên đ : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l l x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b , l x+ y=x(t)+y(t) C a , b , b b b b a a a a x y = x(t ) y(t ) dt x(t ) y(t ) dt = x(t ) dt + y(t ) dt = x + y xy x y V y tiên đ 30 tho mãn l K t lu n : (C a , b , ) không gian đ nh chu n l 1.3 nh lí :Khơng gian đ nh chu n C a , b không đ y 1.3.1.Các khái ni m c b n : nh ngh a 1.3.1: Dãy m (xn) không gian đ nh chu n X g i h i t t i m x X n u lim x x =0 Kí hi u lim xn= x hay xn x ( n ) n n n nh ngh a 1.3.2 : Dãy m (xn) c a không gian đ nh chu n X g i dãy c b n n u lim xn xm =0 n , m nh ngh a 1.3.3: Không gian đ nh chu n X g i không gian Banach n u m i dãy c b n X đ u h i t 1.3.2.Ch ng minh đ nh lí: Th t v y: Trong khơng gian CL ta xét dãy ( xn (t )) nh sau: a ,b ng Th Chinh v i a t 10 a b , K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p = ( x ( y z )) : ( x ) x,( y ) y,( z ) z ( x y) z (( xn yn ) zn )n1 : ( xn ) x,( yn ) y,( zn ) z n n n n 1 n n n ( y z ) =x V y tiên đ 20tho mãn + Ki m tra tiên đ 30: Xét X , ( ) ( , , , , ) , ph n t khơng c a X Do X không gian n tính nên xn xn , xn X x X ,ta có ( x ) x x x + = ( xn ) : ( xn ) x n n1 n1 V y tiên đ 30 tho mãn + Ki m tra tiên đ 40 x X , đ t y (1) x , ( -1 ph n t đ i c a ph n t đ n v P ) X ta có xn (1.xn ) , xn X Rõ ràng y x y ( xn (1xn ))n1 : ( xn ) x = Ph n t y đ c g i ph n t đ i c a ph n t x , kí hi u - x V y tiên đ 40 tho mãn + Ki m tra tiên đ 50 : x, y X, P , X khơng gian n tính nên ( xn yn ) xn yn , xn , yn X = ( x y ) ,( x ) x,( y ) y x y ( x y) ( ( xn yn ))n1 : ( xn ) x,( yn ) y n ng Th Chinh n n 1 n 10 n K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p V y tiên d 50 tho mãn + Ki m tra tiên đ 60: x X , , P Do X khơng gian n tính nên khơng gian n tính nên ( ) xn xn xn , xn X (( ) xn ) ( xn xn ) , ( xn ) x ( )x x x V y tiên đ 60 tho mãn + Ki m tra tiên đ 70 x X , , P Do X ( ) xn ( xn ), xn X (( ) xn ) ( ( xn )), ( xn ) x ( ) x ( x ) V y tiên đ 70 tho mãn + Ki m tra tiên đ 80: x X ,do X khơng gian n tính nên xn = xn , xn X ( ph n t đ n v c a P) x (1xn )n1 ( xn )n1, ( xn ) x 1x V y tiên đ 80 tho mãn V y X v hai phép toán l p thành khơng gian n tính 2.1.1.3 Xác đ nh chu n X * x X , ( xn ) x Ta xác đ nh chu n nh sau : = lim x x n n (2.1.1.3) +Gi i h n t n t i : xn xm xn xm Và (xn) dãy c ng Th Chinh b n X ,nên xn xm 1 K29B- Toán 10 Khoá lu n t t nghi p ( m, n ) ,ngh a ( xn ) dãy s c b n ,do ph i t n t i lim xn n + Cách xác đ nh chu n không ph thu c vào vi c ch n dãy ( xn ) x Th t v y: Gi s ( xn ) x,( xn ) x lim xn xn T t h th c xn - xn xn xn (n ) lim xn lim xn = x * Ta ch mg minh (2.1.1.3) tho mãn tiên đ chu n : + Ki m tra tiên đ 1: x X T (2.1.1.3) suy x , V i ( xn ) x , ta có x lim xn ( xn ) ( ) mà ( ) V y x ( ( ) dãy d ng g m ph n t c a X) V y tiên đ tho mãn + Ki m tra tiên đ : x X , P ,v i (xn) x Ta có: x lim x n lim( x n ) lim x n x 1 V y tiên đê tho mãn +Ki m tra tiên đ 3: x,y X v i (x n ) x ,(y n ) y , Ta có lim x n y n lim x n lim y n x y x y 1 V y tiên đ tho mãn ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p 2.1.2.Khơng gian X đ ng c n tính v i m t không gian c a X M i ph n t x X cho ta dãy d ng (x,x,…),và dãy d ng dãy c b n nên m i x X cho ta t x ch a dãy d ng ( x, x,…) ng ng x X Khi l p x ch a t t c dãy (xn) X mà h i t t i x Xét ánh x f :X X x x ( Trong xn x lim xn x ) * D th y v i quy t c xác đ nh f m t ánh x * f m t ánh x đ ng c t x,yX , đ t : X vào X x f x , y f y ngh a ( xn ) x , ( yn ) y x limx n , y limy n T h th c : x y xn yn x xn y yn (n ) y x y = lim xn yn = x n Do ánh x f thành l p m t phép đ ng c t X vào X ,hay X đ ng c v i m t b ph n c a X f m t ánh x n tính t X vào X Th t v y: + x,y X ,khi đ t x f x, y f y cho ( xn ) x, ( yn ) y Ta có lim xn=x , lim yn=y n n + , P ta có lim ( xn yn )= lim xn+ lim yn = x+ y n n n y Và ( xn yn )1 x ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Do v y f( x+ y) = x + y = f(x)+ f(y) f m t ánh x n tính t X vào X V y f m t phép đ ng c n tính t X vào X Do dó X đ ng c n tính v i m t b ph n c a X Do x y 1 = lim x yn n (2.2.1) 2.1.3 X trù m t kh p n i X Gi s x X >0 nh tu ý cho tr c L y m t dãy b t kì (x n ) x ( xn ) dãy c b n X nên : n1 ( n0 *)(m, n n0 ) xn xm t t (2.2.1) ta có : xn x = lim xn xm < ( n n0 ) m lim xn x 1 =0 hay lim xn= x không gian X n n V y >0 nh tu ý ln tìm đ c xn X cách x khơng q Do X trù m t kh p n i X 2.1.4 X không gian đ y Ta l y m y dãy c b n b t kì ( x n) X Do s trù m t kh p n i c a X X nên v i m i x n X ta tìm đ c l p z X ch a dãy d ng (zn, zn,…, zn,…) v i zn X , cho zn xn (n=1,2…); n Khi ta nh n đ c dãy z1, z2,…,zn, dãy c b n X Th t v y: Dzn-zmD = Dzn-zmD1 Dzn- x nD1 + D x n - x m D1 + D x m – zmD1 < ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p 1 < + D x n - x m D1 + (m,n ); n m V y (zn )1 xác đ nh m t l p z X v i z gi i h n c a dãy ( xn ) không gian X Th t v y : V i n đ l n ta có x n z 1 zn z 1 + zn z 1 < zn x 1 + 0 n z gi i h n c a dãy ( x n) V y m i dãy c b n X đ u h i t ,suy X không gian đ y 2.2.M i b sung m t không gian đ nh chu n đ u đ ng c n tính 2.2.1 Xây d ng ánh x t M1 lên M * Gi s M1 =( X , 1 ) M2=( X , 2) đ u làm đ y c a không gian đ nh chu n M=(X, ) cho L y ph n t tu ý x X Khi (xn) X h i t đ n x M1 dãy ( xn ) dãy c b n X theo ch ng minh (2.1.4) u n1 ki n 1) c a đ nh lý ( xn ) dãy c b n không gian M2, k t n1 h p v i tính đ y c a M2 nên dãy ( xn ) h i t đ n ph n t x không n1 gian M2 Ta nh n đ c ánh x g: M1 M2 x x (theo quy t c ) Do M1 M2 hai khơng gian có vai trị nh v y nên theo cách l p lu n v i m i x tu ý M2 t n t i x ( thao quy t c xác đ nh ) Do v y g m t toàn ánh Sau ta ch ng minh g ánh x n tính đ ng c t M lên M2 : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Th t v y: 2.2.2 g ánh x n tính Th t v y: x , y M1 , , P ta có : g( x )= x M2, g( y )= y M2 V i x M1, (xn) X cho lim xn= x n M1 lim xn= x M2 n V i y M1 t n t i dãy (yn) X cho lim yn= y không gian M1 n lim yn= y không gian M2 n Suy lim ( xn yn )= x + y không gian M1 n lim ( xn yn )= x + y không gian M2 n g( x + y )= x + y = g( x )+ g( y ) V y g ánh x n tính 2.2.3 g ánh x đ ng c ánh x M1 lên M2 Th t v y: L y hai ph n t tu ý x , y X Khi t n t i hai dãy (xn),(yn) X cho lim xn= x lim yn= y không gian n n lim xn= x , lim yn= y khơng gian M2 n n Khi ta có : y = lim x y = lim x y = x n n n n n n = lim x y = D x - y D n n n V y g ánh x n tính đ ng c t không gian M1 len không gian M2 K t lu n: M i b sung m t không gian đ nh chu n không đ y đ u đ ng c n tính 2.3.Ví d : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p l Làm đ y không gian đ nh chu n C a , b Nh ch ng tr l c ta xét không gian đ nh chu n C a , b khơng đ y Theo đ nh lý có th b sung thành khơng gian Banach Cách l b sung c m i dãy c b n mà khơng có gi i h n C a , b coi nh xác đ nh m t ph n t m i c n thêm vào làm gi i h n cho dãy Sau đâychúng ta s th y r ng nh ng ph n t n i hàm s kh tích theo ngh a Lebesgue đo n[a,b] Th t v y: + Ta có h qu đ nh lý :Lebesgue v h i t b ch n: c fn h i t h.k.n đ n m t hàm s đo đ “ N u dãy hàm đo đ c f tâp A có đ đo h u h n fn M (h.k.n) A ( n * ) ,M h ng s lim f d =(L) n n A fd A +Ta có A=[a,b] t p đóng R ,nên [a,b[ t p Borel Do dó [a,b] đo đ c theo ngh a Lebesgue *B đ : M i ánh x f :[a,b] R m t hàm s liên t c đo n [a,b] f đo đ c (L) đo n A=[a,b] Ch ng minh : N u aR { x [a,b]:f(x)0 cho xn (t ) M , t [a,b] l G i ( xn (t )) dãy c b n C a , b có gi i h n x(t) n1 l làm đ y c a không gian C a , b Khi theo h qu c a đ nh lý Lebesgue v h i t b ch n ,thì x(t) hàm b b a a kh tích (L) lim xn (t )dt =(L) x(t )dt n 2.4.M r ng t p thƠnh t p R 2.4.1>Không gian s h u t không đ y t p s h u t D th y v i hai phép toán c ng nhân ( theo ngh a thông th ng) l p thành khơng gian n tính tr ng P (P= R ho c P= ) a) Xác đ nh chu n x ta đ t x = x (2.4.1) Công th c (2.4.1) xác đ nh m t chu n Th t v y: + N u x x >0 hay x >0 N u x=0 x =0 hay x =0 V y tiên đ d c tho mãn + D th y tiên đ c ng tho mãn + x ,y ,ta có x y = x y x y x y V y tiên đ tho mãn ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p K t lu n: ( , ) không gian đ nh chu n b) không không gian Banach Th t v y: n ( n * ) D th y xn , n * k ! k 1 + Xét dãy xn=1+ + Ta ch ng minh dãy ( xn ) dãy c b n n1 Th t v y:( n * )( p * ): xn p xn xn p xn = n p n 1 k! k! = k 1 k 1 1 (n 1)! (n 2)! (n p)! p (n ) xn p xn (n 1)! V y dãy ( xn ) dãy c b n n1 c) Dãy ( xn ) không h i t n1 Gi s dãy ( xn ) h i t v n1 nguyên d e , t c e= p v i p,q nh ng s q ng q>1 1 1 ) ]= Ta vi t : e = lim [ (1 ) ( n 2! q! (q 1)! (q 2)! (q n)! ( = (11 ) nlim 2! q! 1 ) (q 1)! (q 2)! (q n)! nhân hai v v i q! ta có : e q!=q! (1 1 1 1 ) lim ( ) 2! q! n (q 1) (q 1)(q 2) (q n) hay : ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p e q!-q! (2 (1 1 1 1 ) lim ( ) 2! q! n (q 1) (q 1)(q 2) (q n ) 1 1 ) lim ( ) 2! q! n (q 1) (q 1)(q 2) (q 1)(q 2) (q n) V trái m t s nguyên d ng ( theo gi thi t e = p ),còn ta s ch ng q minh v ph i m t s bé thua 1.Do vơ lí Th t v y, q> nên 1 q 1 1 (q 1) (q 1)(q 2) (q 1)(q 2) (q n) 1 1 1 = (q 1) (q 2) (q 2) (q n) 22 2n1 1 2n 1 1 = 1 1 2 ( e 2,718281828…) V y nên không khơng gian Banach Do ta s b sung vào ph n t m i đ tr thành không gian Banach 2.4.2.Xây d ng không gian th c R làm đ y c a không gian h ut áp d ng vào trình làm đ y khơng gian đ nh chu n ta có : G i R t p dãy c b n x l p dãy c b n không gian c th nh sau: Ta g i hai dãy c b n ( xn ) ( xn ) t ng Th Chinh 10 ng đ ng vi t K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p xn xn Khi dãy c b n đ ( xn ) ( xn ) n u lim n thành l p ,hai dãy c b n thu c m t l p t c b n thu c hai l p khơng t ng đ ng đ c chia ng, hai dãy ng T p t t c l p k R ta kí hi u ph n t c a R x , y, a) Ta đ a vào R hai phép toán : x , y , P ta g i : + T ng c a hai ph n t x y ,kí hi u x + y x y ( xn yn )n1 : ( xn ) x,( yn ) y + Ta g i tích c a v i x ,kí hi u x : x ( xn )n1 : ( xn ) x Ta có th coi x = y lim xn yn =0 n Khi theo ch ng minh ngun lí làm đ y ,ta có R v i hai phép tốn m t khơng gian n tính P b) Xác đ nh chu n R x =(x1,x2, … , = lim x xn,…) , x * n n (2.4.2) C ng theo ch ng minh nguyên lí làm đ y ta có k t qu sau: ( R , * ) không gian đ nh chu n Khi : + đ ng c n tính v i m t không gian c a R + t p trù m t kh p n i R Lúc R = ng Th Chinh I t p ph n t m i ,các ph n t 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p g i h n c a dãy c b n nh ng không h i t Ta g i I t p s vô t V i cách b sung khơng gian đinh chu n R tr thành khơng gian Banach Và tính ch t ,đ nh lí đ i v i khơng gian R c ng v i khơng gian k t lu n: T p làm thành không gian đ nh chu n không đ y ,ta b sung b ng nh ng ph n t m i s vô t :C m i dãy c b n s h u t mà khơng h i t coi nh xác đ nh m t s m i Sau thêm nh ng ph n t m i ta đ nh ngh a chu n (2.4.2) khơng gian đ nh chu n R b sung không gian Banach ,và tr thành không gian c a không gian R ng Th Chinh 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p Ph n k t lu n Qua vi c nghiên c u v n đ : “ Làm đ y m t không gian đ nh chu n ” cho ta m t nhìn sâu s c h n v v n đ khơng gian Gi i tích hàm, đ c bi t đ i v i không gian đ nh chu n v tính đ y c a Qua ch ng ta th y khơng ph i không gian đ nh chu n c ng không gian Banach,s t n t i nh ng không gian đ nh chu n không đ y.V n đ đ t là:ta ph i làm đ y chúng Và ch ng s cho ta câu tr l i:"Luôn làm đ y m t không gian đ nh chu n không đ y thành không gian Banach".T ch ng ta s nghiên c u sâu h n v tính ch t c a không gian Banach, s giúp cho Gi i tích hàm phát tri n h n Qua vi c làm đ y m t không gian đ nh chu n ta có th áp d ng vào vi c làm đ y không gian s h u t thành không gian t p s th c , hai không gian mà r t quen thu c tốn ph thơng T có nhìn t ng qt h n v vi c xây d ng t p Hy v ng v n đ mà đ c p s giúp cho nh ng quan tâm đ n v n đ Cu i em xin g i l i c m n sâu s c t i th y Nguy n Ph Hy t n tình ch b o ,h ng Th Chinh ng d n em hồn thành khố lu n t t nghi p 10 K29B- Toán Khoá lu n t t nghi p TƠi li u tham kh o 1.Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm, NXB i h c trung h c chuyên nghi p T1 ,Hà N i Nguy n Ph Hy(2006), Gi i tích hàm, NXB Khoa h c K thu t, Hà N i 3.Nguy n V n Khuê, Lê M u H i(2001), C s lý thuy t hàm gi i tích hàm T1,2 ,NXB Giáo d c, Hà N i Nguy n V n Khuê, Lê M u H i(1996), Không gian n tinh, Tôpô, Banach, Hilbert, NXB i h c s ph m, Hà N i Nguy n Xuân Liêm (2001), Gi i tích hàm, NXB Giáo d c, Hà N i Hoàng Tu (1979), Gi i tích hi n đ i T1,2, NXB Giáo d c, Hà N i Hoàng Tu (2002), Hàm th c gi tích hàm, NXB HQG Hà N i A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fômin, C s lý thuy t hàm gi tích hàm T1,2, NXB Giáo d c G.M.Fichtengơn (1972), C s gi i tích tốn h c, NXB i h c trung h c chuyên nghi p ng Th Chinh 10 K29B- Toán ... đ không gian metric đ u không gian đ nh chu n Vì v y nh nguyên lí làm đ y khơng gian metric , metric (2.1.1) m i không gian đinh chu n không khơng gian Banach đ u có th làm đ y thành khơng gian. .. nên không không gian Banach Do ta s b sung vào ph n t m i đ tr thành khơng gian Banach 2.4.2.Xây d ng không gian th c R làm đ y c a không gian h ut áp d ng vào trình làm đ y khơng gian. .. thích h p đ khơng gian b sung đ chu n , lúc X tr thành không gian c a không gian b sung 2.1 LƠm đ y không gian đ nh chu n Cho không gian đ nh chu n ( X, ) ( nói chung X khơng gian khơng đ y