Làm đầy một không gian định chuẩn

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học.Trứơc bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học,em nhận giúp đỡ động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện để em có hội tập dược với việc nghiên cứu khoa học Xuân Hoà, tháng năm 2007 Sinh viên Đồng Thị Chinh Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài :"Làm đầy không gian định chuẩn"đảm bảo tính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Xuân Hoà, tháng năm 2007 Sinh viên Đồng Thị Chinh Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời mở đầu Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào nửa đầu kỉ XX, ngành giải tích Toán học Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích đại số Trong điều đáng ý tác giả đối tượng khảo sát giống không gian thực mối quan hệ hay mối quan hệ khác Đến giải tích hàm đạt số nội dung quan trọng: - Lý thuyết không gian trừu tượng - Lý thuyết toán tử tuyến tính - Lý thuyết nội suy toán tử - Lý thuyết giải tích hàm suy tuyến, giải gần phương trình tuyến tính Phương pháp giải tích hàm tiên đề hoá tính chất đặc trưng tập số thực thành không gian tương ứng mở rộng vấn đề giải tích cổ điển vào không gian Giải tích hàm có ý nghĩa quan trọng ứng dụng vật lí lí thuyết đại, đặc biệt học lượng tử Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bước đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “Làm không gian định chuẩn” Trong khoá luận em trình bày nội dung sau: Chương Không gian định chuẩn CL[a,b] Chương Làm đầy không gian định chuẩn Để hoàn thành khoá luận này, em cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè CHƢƠNG : KHÔNG GIAN địNH CHUẩN Cl  a, b l 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn C  a, b 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1: (Không gian tuyến tính ) Giả sử P trường số thực R hay trường số phức  Tập X   với hai ánh xạ ( gọi phép cộng phép nhân vô hướng )  Phép cộng: X X  X (x,y) (  x,y X )  x+y  Phép nhân vô hướng : P  X (  x)  X   x (    P,  x  X) Gọi không gian tuyến tính ,nếu tiên đề sau thoả mãn: 10: (  x,y  X) : x+y=y+x ; 20: (  x,y,z  X): (x+y)+z =x+(y+z); 30: (    X )(  x  X) x+ =x ; (  gọi phần tử không X) 40: (  x X) (  -x X) x+(-x)=  ; ( -x gọi phần tử đối x ) 50: (  x,y  X)(    P)  (x+y )=  x+  y ; 60: (  x X)(   ,   P) (  +  ).x =  x +  x ; 70: (  x X) (   ,   P) : (   ).x=  (  x) 80 : (  x X) ; 1.x=x ; Nếu P= R X gọi không gian tuyến tính thực Nếu P=  X gọi không gian tuyến tính phức Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l 1.1.2 Xây dựng không gian tuyến tính C  a, b Cl  a, b =  x= x(t): x(t) hàm liên tục đoạn [a,b]  l a) Đưa vào tập C  a, b hai phép toán :  y=y(t)  C  a, b ,    R : l l  x=x(t)  C  a, b , Ta gọi tổng phần tử x y ,kí hiệu x+y x+ y=x(t)+y(t) Ta gọi tích phần tử x với số  ,kí hiệu  x  x =  x(t) l b) Các phép toán đóng kín C  a, b l Thật vậy:  x=x(t)  C  a, b l ,  y=y(t)  C  a, b ,  R Khi theo tính chất hàm số liên tục ta có x(t)+y(t);  x(t) hàm liên tục đoạn [a,b] Do x+y  C  a, b ;  x  C  a, b l l l Suy phép toán xây dựng đómg kín C  a, b l c) C  a, b với hai phép toán không gian tuyến tính Thật vậy:  Kiểm tra tiên đề l l  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b Ta có Với t  [a,b] ,thì x(t), y(t)  R nên x(t)+y(t) =y(t)+x(t) Suy x+y=y+x Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy tiên đề 10 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề l l l  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b ,  z=z(t) C  a, b Với t [a,b] x(t), y(t), z(t)  R nên ( x(t)+y(t) )+ z(t) = x(t)+(y(t) + z(t))  ( x+y) +z =x+( y+z ) Vậy tiên đề 20 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : Xét  =  (t)=0 ,  t [a,b] Hiển nhiên   C  a, b ,  x=x(t)  C  a, b , ta có: l l Với t  [a,b] x(t)  R nên : x(t) +0 =0+ x(t)= x(t)  x+  = +x=x Vậy tiên đề 30 thoả mãn , phần tử  gọi l phần tử không C  a, b  Kiểm tra tiên đề : l l  x=x(t)  C  a, b ,đặt y=-x(t) Rõ ràng y  C  a, b Với t [a,b] x(t)  R -x(t)  R ,nên x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0  x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 ,  t [a,b]  x+y =  Phần tử y gọi phần tử đối x , kí hiệu –x Vậy tiên đề 40 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề :  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b ,    R ta l Đồng Thị Chinh l 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp có : Với t  [a,b] x(t) ,y(t)  R , nên :   ( x(t)+y(t) )=  x(t)+  y(t) Vậy tiên đề 50 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề :  x=x(t)  C  a, b ,   ,   R , ta có : l Với t [a,b] x(t)  R nên : (  +  ).x(t) =  x(t)+  x(t)  (  +  ).x=  x+  x Vậy tiên đề 60 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề :  x=x(t)  C  a, b ,   ,   R , ta có : l Với t [a,b] x(t)  R nên :  (  x( t ) )=(   ) x(t)   (  x)=(   )x , Vậy tiên đề 70 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : l  x=x(t)  C  a, b , ta có: Với t [a,b] x(t)  R nên :  1.x(t) =x(t) ,  1.x =x Vậy tiên đề 80 thoả mãn l Vậy C  a, b với hai phép toán lập thảnh không gian tuyến tính trường số thực R Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l 1.2 Không Gian Định Chuẩn C  a, b 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 (Không gian định chuẩn ) Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính đ với ánh xạ từ tập X vào tập R ,kí hiệu   đọc chuẩn, thoả mãn tiên đề sau: 1o : (  x  X) : x  0  x  =0  x=  (ký hiệu phần tử không X ) 20: (  x  X) (    P):  x  =   x ; 30 : (  x,y  X)  x  y  x  y ; Số  x  đọc chuẩn vectơ x Các tiên đê 10 ,20, 30 gọi hệ tiên đề chuẩn Kí hiệu không gian định chuẩn : X hay (X,   ); l 1.2.2 Xây dựng không gian định chuẩn C  a, b l a) Ta đưa vào không gian tuyến tính C  a, b chuẩn phẩn l tử x=x(t)  C  a, b , kí hiệu  x  xác định b   x = x(t ) dt (1) a l Dễ thấy quy tắc cho (1) ánh xạ từ C  a, b vào R l b) Chứng minh ánh xạ từ C  a, b vào R xác định (1) thoả mãn hệ tiên đề chuẩn Thật vậy: x  t   CL   x  t   CL    x a,b  a,b    Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp o  Kiểm tra tiên đề : l  x=x(t)  C  a, b x(t )   t [a,b] nên b Bây ta  x(t ) dt =0  x(t )  ,  t[a,b] a Thật ,chiều ngược lại hiển nhiên b  x(t ) dt =0 (*) giả sử t   a.b  cho Nếu a x(t0)  0.Khi , c, d    a, b , t0   c, d  cho x(t )  0, t   c, d  Từ từ: b  d x(t ) dt   x(t ) dt  ( mâu thuẫn với (*) ) Vậy x(t )  0, t   a, b  c a Từ từ tính liên tục hàm x(t ) ,  x(t )  0, t   a, b  b Vậy  x(t ) dt =0  x(t )  ,  t[a,b] a Hay x(t )   x(t )  0, t  a, b Vậy tiên đề 10 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề :  x=x(t)  C  a, b ,    R ,Ta có :  x=  x(t); l b b  b    x  =  x(t ) dt =  x(t ) dt =  x(t ) dt =   x  a a a   x  =   x  Vậy tiên đề 20 thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l l  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b , l x+y=x(t)+y(t)  C  a, b , b b b b a a a a  x  y =  x(t )  y(t ) dt    x(t )  y(t ) dt =  x(t ) dt +  y (t ) dt =  x +  y  xy  x  y Vậy tiên đề 30 thoả mãn l Kết luận : (C  a, b ,   ) không gian định chuẩn l 1.3.Định lí :Không gian định chuẩn C  a, b không đầy 1.3.1.Các khái niệm : Định nghĩa 1.3.1: Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x X lim  x  x  =0 Kí hiệu lim xn=x hay xn  x ( n   ) n n n Định nghĩa 1.3.2 : Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi dãy lim xn  xm =0 n , m Định nghĩa 1.3.3: Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ 1.3.2.Chứng minh định lí: Thật vậy: Trong không gian CL  ta xét dãy ( xn (t )) sau:  a ,b  Đồng Thị Chinh với a  t  10 ab , K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp  = ( x  ( y  : ( x )  x,( y )   y,( z )  z  ( x  y)  z  (( xn  yn )  zn )n1 : ( xn )  x,( yn )  y,( zn )  z n n  zn ))n1 n n n = x  ( y  z ) Vậy tiên đề 20thoả mãn + Kiểm tra tiên đề 30: Xét   X , ( )  ( , , , , )  ,  phần tử không X Do X không gian tuyến tính nên xn      xn , xn  X   x  X ,ta có     x +  = ( xn   ) : ( xn )  x  (  xn )  x    x n1 n1 Vậy tiên đề 30 thoả mãn + Kiểm tra tiên đề 40  x  X , đặt y  (1) x , ( -1 phần tử đối phần tử đơn vị P ) X ta có xn  (1.xn )   , xn  X Rõ ràng y      x  y  ( xn  (1xn ))n1 : ( xn )  x =  Phần tử y gọi phần tử đối phần tử x , kí hiệu - x Vậy tiên đề 40 thoả mãn + Kiểm tra tiên đề 50 : x, y   X ,   P , X không gian tuyến tính nên  ( xn  yn )   xn   yn , xn , yn  X  = ( x   y )  ,( x )  x,( y )  y   x   y   ( x  y)  ( ( xn  yn ))n1 : ( xn )  x,( yn )  y n Đồng Thị Chinh  n n 1 n 10 n K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy tiên dề 50 thoả mãn + Kiểm tra tiên đề 60:  x   X ,  ,   P Do X không gian tuyến tính nên không gian tuyến tính nên (   ) xn   xn   xn , xn  X  ((   ) xn )  ( xn   xn ) , ( xn )  x  (   )x   x   x Vậy tiên đề 60 thoả mãn + Kiểm tra tiên đề 70  x   X ,  ,   P Do X ( ) xn   ( xn ), xn  X  (( ) xn )  ( ( xn )), ( xn )  x  ( ) x   ( x ) Vậy tiên đề 70 thoả mãn + Kiểm tra tiên đề 80:  x   X ,do X không gian tuyến tính nên xn = xn , xn  X ( phần tử đơn vị P)   x  (1xn )n1  ( xn )n1, ( xn ) x  1x Vậy tiên đề 80 thoả mãn Vậy X vớ hai phép toán lập thành không gian tuyến tính 2.1.1.3 Xác định chuẩn X *  x  X , ( xn ) x Ta xác định chuẩn sau :   = lim  x  x n n (2.1.1.3) +Giới hạn tồn :  xn    xm    xn  xm  Và (xn) dãy X ,nên  xn  xm 1  Đồng Thị Chinh K29B- Toán 10 Khoá luận tốt nghiệp ( m, n  ) ,nghĩa (  xn ) dãy số ,do phải tồn lim  xn  n + Cách xác định chuẩn không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( xn ) x Thật vậy: Giả sử ( xn ) x,( xn ) x lim xn  xn  Từ từ hệ thức xn - xn  xn  xn  (n  )  lim xn  lim xn = x * Ta chứmg minh (2.1.1.3) thoả mãn tiên đề chuẩn : + Kiểm tra tiên đề 1: x X Từ (2.1.1.3) suy x  , Với ( xn ) x , ta có x   lim xn   ( xn )  ( ) mà ( )  Vậy x   ( ( ) dãy dừng gồm phần tử  X) Vậy tiên đề thoả mãn + Kiểm tra tiên đề : x X ,   P ,với (xn)  x Ta có: x  lim x n  lim(  x n )   lim x n   x 1 Vậy tiên đê thoả mãn +Kiểm tra tiên đề 3: x,y X với (x n )  x ,(y n )  y , Ta có lim x n  y n  lim x n  lim y n x  y  x  y 1 Vậy tiên đề thoả mãn Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp 2.1.2.Không gian X đẳng cự tuyến tính với không gian X Mỗi phần tử x X cho ta dãy dừng (x,x,…),và dãy dừng dãy  x chứa dãy dừng ( x, x,…) nên x  X cho ta tương ứng x  X Khi lớp x chứa tất dãy (xn)  X mà hội tụ tới x  Xét ánh xạ f :X  X x  x ( Trong   xn  x  lim xn  x ) * Dễ thấy với quy tắc xác định f ánh xạ : * f ánh xạ đẳng cự từ X vào X  x,yX , đặt x  f  x  , y  f  y  nghĩa  ( xn ) x , ( yn ) y x  limx n , y  limy n Từ hệ thức :  x  y    xn  yn    x  xn    y  yn   (n   )   x  y  = lim  xn  yn  =  x  y 1 n Do ánh xạ f thành lập phép đẳng cự từ X vào X ,hay X đẳng cự với phận X  f ánh xạ tuyến tính từ X vào X Thật vậy: +  x,y X ,khi đặt x  f  x , y  f  y  cho ( xn )  x, ( yn )  y Ta có lim xn=x , lim yn=y n n +  ,   P ta có lim (  xn   yn )=  lim xn+  lim yn =  x+  y n n n Và ( xn   yn )1  x   y Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Do f(  x+  y) =  x +  y =  f(x)+  f(y)  f ánh xạ tuyến tính từ X vào X Vậy f phép đẳng cự tuyến tính từ X vào X Do dó X đẳng cự tuyến tính với phận X Do  x  y 1 = lim  x  yn  n (2.2.1) 2.1.3 X trù mật khắp nơi X Giả sử  x  X  >0 nhỏ tuỳ ý cho trước Lấy dãy (x n ) x ( xn ) dãy X nên : n1 ( n0   *)(m, n  n0 )  xn  xm    từ từ (2.2.1) ta có :  xn  x  = lim  xn  xm <  (  n  n0 ) m  lim  xn  x 1 =0 hay lim xn= x không gian X n n Vậy   >0 nhỏ tuỳ ý tìm xn  X cách x không  Do X trù mật khắp nơi X 2.1.4 X không gian đầy Ta lấy mộy dãy ( x n) X Do trù mật khắp nơi X X nên với x n  X ta tìm lớp z   X chứa dãy dừng (zn, zn,…, zn,…) với zn X , cho zn  xn  (n=1,2…); n Khi ta nhận dãy z1, z2,…,zn, dãy X Thật vậy: Dzn-zmD = Dzn-zmD1  Dzn- x nD1 + D x n - x m D1 + D x m – zmD1 < Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp 1 < + D x n - x m D1 +  (m,n   ); n m Vậy (zn )1 xác định lớp z X với z giới hạn dãy ( xn ) không gian X Thật : Với n đủ lớn ta có  x n  z 1   zn  z 1 +  z n  z 1 <  zn  x 1 + 0 n  z giới hạn dãy ( x n) Vậy dãy X hội tụ ,suy X không gian đầy 2.2.Mọi bổ sung không gian định chuẩn đẳng cự tuyến tính 2.2.1 Xây dựng ánh xạ từ M lên M * Giả sử M1 =( X ,  1 ) M2=( X ,   2) làm đầy không gian định chuẩn M=(X,   ) cho Lấy phần tử tuỳ ý x  X Khi  (xn)  X hội tụ đến x M1 dãy ( xn ) dãy X theo chứng minh (2.1.4) điều n1 kiện 1) định lý ( xn ) dãy không gian M2, kết n1 hợp với tính đầy M2 nên dãy ( xn ) hội tụ đến phần tử x  không n1 gian M2 Ta nhận ánh xạ g: M1  M2 x  x  (theo quy tắc ) Do M1 M2 hai không gian có vai trò nên theo cách lập luận với x  tuỳ ý M2 tồn x ( thao quy tắc xác định ) Do g toàn ánh Sau ta chứng minh g ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ M lên M2 : Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Thật vậy: 2.2.2 g ánh xạ tuyến tính Thật vậy:  x , y  M1 ,  ,   P ta có : g( x )= x  M2, g( y )= y  M2 Với x  M1,  (xn)  X cho lim xn= x n M1 lim xn= x  M2 n Với y  M1 tồn dãy (yn)  X cho lim yn= y không gian M1 n lim yn= y  không gian M2 n Suy lim (  xn   yn )=  x +  y không gian M1 n lim (  xn   yn )=  x +  y  không gian M2 n  g(  x +  y )=  x +  y =  g( x )+  g( y ) Vậy g ánh xạ tuyến tính 2.2.3 g ánh xạ đẳng cự ánh xạ M1 lên M2 Thật vậy: Lấy hai phần tử tuỳ ý x , y  X Khi tồn hai dãy (xn),(yn)  X cho lim xn= x lim yn= y không gian n n lim xn= x , lim yn= y  không gian M2 n n Khi ta có :   y  = lim  x  y  = lim  x  y  = x n n n n n n = lim  x  y  = D x - y D n n n Vậy g ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ không gian M1 len không gian M2 Kết luận: Mọi bổ sung không gian định chuẩn không đầy đẳng cự tuyến tính 2.3.Ví dụ: Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l Làm đầy không gian định chuẩn C  a, b l Như chương trước ta xét không gian định chuẩn C  a, b không đầy Theo định lý bổ sung thành không gian Banach Cách l bổ sung dãy mà giới hạn C  a, b coi xác định phần tử cần thêm vào làm giới hạn cho dãy Sau đâychúng ta thấy phần tử nới hàm số khả tích theo nghĩa Lebesgue đoạn[a,b] Thật vậy: + Ta có hệ định lý :Lebesgue hội tụ bị chặn: “ Nếu dãy hàm đo  f n  hội tụ h.k.n đến hàm số đo f tâp A có độ đo hữu hạn f n  M (h.k.n) A ( n  * ) ,M số lim f d  =(L) n  n A  fd  A +Ta có A=[a,b] tập đóng R ,nên [a,b[ tập Borel Do dó [a,b] đo theo nghĩa Lebesgue * Bổ đề: Mọi ánh xạ f :[a,b]  R hàm số liên tục đoạn [a,b] f đo (L) đoạn A=[a,b] Chứng minh : Nếu aR { x  [a,b]:f(x)0 cho xn (t )  M ,  t [a,b] l Gọi ( xn (t )) dãy C  a, b có giới hạn x(t) n1 l làm đầy không gian C  a, b Khi theo hệ định lý Lebesgue hội tụ bị chặn ,thì x(t) hàm b b a a khả tích (L) lim  xn (t )dt =(L)  x(t )dt n 2.4.Mở rộng tập  thành tập R 2.4.1>Không gian số hữu tỉ  không đầy  tập số hữu tỉ Dễ thấy  với hai phép toán cộng nhân  ( theo nghĩa thông thường) lập thành không gian tuyến tính trường P (P= R P=  ) a) Xác định chuẩn   x   ta đặt  x = x (2.4.1) Công thức (2.4.1) xác định chuẩn  Thật vậy: + Nếu x  x >0 hay  x >0 Nếu x=0 x =0 hay  x =0 Vậy tiên đề dược thoả mãn + Dễ thấy tiên đề thoả mãn +  x ,y  ,ta có  x  y = x  y  x  y  x    y  Vậy tiên đề thoả mãn Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Kết luận: (  ,   ) không gian định chuẩn b)  không không gian Banach Thật vậy: n ( n  * ) Dễ thấy xn  , n  * k ! k 1 + Xét dãy xn=1+  + Ta chứng minh dãy ( xn ) dãy n1 Thật vậy:( n  * )( p  * ):  xn p  xn  xn p  xn  = n p n 1  k!  k! = k 1 k 1 1    (n  1)! (n  2)! (n  p)! p  (n   )   xn p  xn  (n  1)! Vậy dãy ( xn ) dãy  n1 c) Dãy ( xn ) không hội tụ  n1 p Giả sử dãy ( xn ) hội tụ e   , tức e = với p,q số q n1 nguyên dương q>1 1 1    ) ]= Ta viết : e = lim [ (1     )  ( n 2! q! (q 1)! (q  2)! (q  n)! ( = (11   )  nlim  2! q! 1   ) (q 1)! (q  2)! (q  n)!  nhân hai vế với q! ta có : e q!=q! (1 1  1 1   )  lim (   ) 2! q! n (q 1) (q  1)(q  2) (q  n) hay : Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp  e q!-q! (2  (1 1  1 1   )  lim (   ) 2! q! n (q  1) (q  1)(q  2) (q  n ) 1 1   )  lim (    ) 2! q! n (q 1) (q 1)(q  2) (q 1)(q  2) (q  n) Vế trái số nguyên dương ( theo giả thiết e = p ),còn ta chứng q minh vế phải số bé thua 1.Do vô lí Thật vậy, q> nên 1  q 1 1     (q 1) (q 1)(q  2) (q 1)(q  2) (q  n)   1 1  1           = (q 1)  (q  2) (q  2) (q  n)   22 2n1  1  2n 1   1 = 1 1 2 ( e  2,718281828…) Vậy nên  không không gian Banach Do ta bổ sung vào  phần tử để trở thành không gian Banach 2.4.2.Xây dựng không gian thực R làm đầy không gian hữu tỉ  áp dụng vào trình làm đầy không gian định chuẩn ta có : Gọi R tập dãy x lớp dãy không gian  cụ thể sau: Ta gọi hai dãy ( xn ) ( xn )  tương đương viết Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp xn  xn  Khi dãy  chia ( xn )  ( xn ) lim n  thành lớp ,hai dãy thuộc lớp tương đương, hai dãy thuộc hai lớp không tương đương Tập tất lớp kể R ta kí hiệu phần tử R x , y, a) Ta đưa vào R hai phép toán :  x , y  ,   P ta gọi : + Tổng hai phần tử x y ,kí hiệu x + y   x  y  ( xn  yn )n1 : ( xn )  x,( yn )  y + Ta gọi tích  với x ,kí hiệu  x :    x  ( xn )n1 : ( xn )  x Ta coi x = y  lim xn  yn =0 n Khi theo chứng minh nguyên lí làm đầy ,ta có R với hai phép toán không gian tuyến tính P b) Xác định chuẩn R  x =(x1,x2, … , xn,…) ,  x  = lim xn * n (2.4.2) Cũng theo chứng minh nguyên lí làm đầy ta có kết sau: ( R ,  * ) không gian định chuẩn Khi : +  đẳng cự tuyến tính với không gian R +  tập trù mật khắp nơi R Lúc R =    Đồng Thị Chinh I tập phần tử ,các phần tử 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp gới hạn dãy  không hội tụ  Ta gọi I tập số vô tỉ Với cách bổ sung không gian đinh chuẩn R trở thành không gian Banach Và tính chất ,định lí không gian R với không gian  kết luận: Tập  làm thành không gian định chuẩn không đầy ,ta bổ sung phần tử số vô tỉ :Cứ dãy số hữu tỉ mà không hội tụ  coi xác định số Sau thêm phần tử ta định nghĩa chuẩn (2.4.2) không gian định chuẩn R bổ sung không gian Banach ,và  trở thành không gian không gian R Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Phần kết luận Qua việc nghiên cứu vấn đề: “ Làm đầy không gian định chuẩn ” cho ta nhìn sâu sắc vấn đề không gian Giải tích hàm, đặc biệt không gian định chuẩn tính đầy Qua chương ta thấy không gian định chuẩn không gian Banach,sẽ tồn không gian định chuẩn không đầy.Vấn đề đặt là:ta phải làm đầy chúng Và chương cho ta câu trả lời:"Luôn làm đầy không gian định chuẩn không đầy thành không gian Banach".Từ chưng ta nghiên cứu sâu tính chất không gian Banach, giúp cho Giải tích hàm phát triển Qua việc làm đầy không gian định chuẩn ta áp dụng vào việc làm đầy không gian số hữu tỷ  thành không gian tập số thực  , hai không gian mà quen thuộc toán phổ thông Từ có nhìn tổng quát việc xây dựng tập  Hy vọng vấn đề mà đề cập giúp cho quan tâm đến vấn đề Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Phụ Hy tận tình bảo ,hướng dẫn em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo 1.Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp T1 ,Hà Nội Nguyễn Phụ Hy(2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội 3.Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải(2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm T1,2 ,NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải(1996), Không gian tuyến tinh, Tôpô, Banach, Hilbert, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội Hoàng Tuỵ (1979), Giải tích đại T1,2, NXB Giáo dục, Hà Nội Hoàng Tuỵ (2002), Hàm thực giả tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fômin, Cơ sở lý thuyết hàm giả tích hàm T1,2, NXB Giáo dục G.M.Fichtengôn (1972), Cơ sở giải tích toán học, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán [...]... có thể trở thành không gian metric với metric (2.1.1) Do đó một mẹnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn Vì vậy nhờ nguyên lí làm đầy không gian metric , và metric (2.1.1) mọi không gian đinh chuẩn không là không gian Banach đều có thể làm đầy thành không gian Banach * Quá trình làm đầy không gian định chuẩn X thực chất là : Mỗi dãy cơ bản mà không hội tụ trong... thì coi như xác định một phần tử mới làm giới hạn cho dãy đó Sau khi thêm những phần tử mới này ,người ta có thể định nghĩa một chuẩn thích hợp để không gian đã bổ sung là đủ trong chuẩn đó , và lúc này X trở thành không gian con của không gian đã bổ sung 2.1 Làm đầy không gian định chuẩn Cho không gian định chuẩn ( X,   ) ( nói chung X là không gian không đầy ) Khi đó tồn tại không gian Banach X... thấy không phải không gian định chuẩn nào cũng là không gian Banach,sẽ luôn tồn tại những không gian định chuẩn không đầy. Vấn đề đặt ra là:ta phải làm đầy chúng Và chương 2 sẽ cho ta câu trả lời:"Luôn làm đầy một không gian định chuẩn không đầy thành không gian Banach".Từ đó chưng ta sẽ đi nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của không gian Banach, và sẽ giúp cho Giải tích hàm phát triển hơn Qua việc làm. .. làm đầy một không gian định chuẩn chưa đầy thành không gian Banach Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng 2 : Làm đầy không gian định chuẩn không đầy thành không gian Banach * Nhận xét : Từ định lý :” Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vector bất kì x, y  X ,ta đặt d(x,y)=  x  y  (2.1.1) Khi đó d là một metric trên X Nhờ định lý trên mà mọi không gian định chuẩn đều có... ta định nghĩa chuẩn (2.4.2) khi đó không gian định chuẩn R đã bổ sung là không gian Banach ,và  trở thành không gian con của không gian R Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Phần kết luận Qua việc nghiên cứu vấn đề: “ Làm đầy một không gian định chuẩn ” cho ta một cái nhìn sâu sắc hơn về vấn đề các không gian trong Giải tích hàm, đặc biệt đối với không gian định chuẩn và về tính đầy. .. không hội tụ trong  Ta gọi I là tập các số vô tỉ Với cách bổ sung đó thì không gian đinh chuẩn R trở thành không gian Banach Và các tính chất ,định lí đã đúng đối với không gian R thì cũng đúng với không gian  kết luận: Tập  làm thành không gian định chuẩn không đầy ,ta bổ sung nó bằng những phần tử mới là số vô tỉ :Cứ mỗi dãy cơ bản các số hữu tỉ mà không hội tụ trong  thì coi như xác định một. .. không gian Banach X sao cho : 1) Không gian X đẳng cự tuyến tính với một không gian con của không Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp gian X 2) X trù mật khắp nơi trong X Không gian X gọi là cái làm đầy của không gian X Chứng minh định lý : 2.1.1.Xây dựng X là không gian định chuẩn 2.1.1.1 Xây dựng X là tập tất cả các lớp dãy cơ bản của không gian X Ta phân hoạch tập X thành cáclớp... Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l Làm đầy không gian định chuẩn C  a, b l Như chương trước ta đã xét không gian định chuẩn C  a, b là không đầy Theo định lý trên thì có thể bổ sung nó thành không gian Banach Cách l bổ sung đó là cứ mỗi dãy cơ bản mà không có giới hạn trong C  a, b thì coi như xác định một phần tử mới cần thêm vào làm giới hạn cho dãy đó Sau đâychúng ta sẽ thấy... 3 1 1 3 2 2 ( e  2,718281828…) Vậy nên  không là không gian Banach Do đó ta sẽ bổ sung vào  các phần tử mới để nó trở thành không gian Banach 2.4.2.Xây dựng không gian thực R cái làm đầy của không gian hữu tỉ  áp dụng vào quá trình làm đầy không gian định chuẩn ta có : Gọi R là tập các dãy cơ bản x là lớp các dãy cơ bản trong không gian  cụ thể như sau: Ta gọi hai dãy cơ bản ( xn ) và ( xn...  yn =0 n Khi đó theo chứng minh nguyên lí làm đầy ,ta có R cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính trên P b) Xác định chuẩn trên R  x =(x1,x2, … , xn,…) ,  x  = lim xn * n (2.4.2) Cũng theo chứng minh nguyên lí làm đầy ta có các kết quả sau: ( R ,  * ) là không gian định chuẩn Khi đó : +  đẳng cự tuyến tính với một không gian con của R +  là tập trù mật khắp nơi trong ... thành không gian không gian bổ sung 2.1 Làm đầy không gian định chuẩn Cho không gian định chuẩn ( X,   ) ( nói chung X không gian không đầy ) Khi tồn không gian Banach X cho : 1) Không gian. .. gian metric không gian định chuẩn Vì nhờ nguyên lí làm đầy không gian metric , metric (2.1.1) không gian đinh chuẩn không không gian Banach làm đầy thành không gian Banach * Quá trình làm đầy. .. tích hàm, đặc biệt không gian định chuẩn tính đầy Qua chương ta thấy không gian định chuẩn không gian Banach,sẽ tồn không gian định chuẩn không đầy. Vấn đề đặt là:ta phải làm đầy chúng Và chương