Về không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn không gian modular 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn 1.3 Không gian modular 11 Không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn 13 2.1 Xây dựng không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn 13 2.2 Một số tính chất không gian không gian l(Mn ) (E) 21 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai trò quan trọng lớp không gian dãy Không gian dãy cổ điển xét với dãy nhận giá trị trường vô hướng, tính chất không gian dãy ví dụ điển hình giải tích hàm cổ điển Trong [6] sử dụng ý tưởng Orlicz tác giả J Lindenstrauss L Tzafriri xây dựng không gian tuyến tính định chuẩn dãy nhận giá trị vô hướng từ dãy hàm Orlicz, lớp không gian gọi không gian dãy modular Đây lớp không gian mở rộng không gian dãy Orlicz Các tính chất không gian dãy modular nghiên cứu sâu sắc thông qua cấu trúc dãy hàm Orlicz J Lindenstrauss L Tzafriri Mục đích luận văn xây dựng không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn, lựa chọn đề tài: Về không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn Nội dung luận văn trình bày số kết biết không gian định chuẩn dãy nhận giá trị không gian định chuẩn, xây dựng không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn đưa số tính chất chúng Chương Không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn không gian modular Chương nhằm mục đích trình bày không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn; hàm Orlicz không gian dãy số modular Chương Không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn Chương nghiên cứu cách xây dựng số tính chất không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn Nội dung trình bày chương đề xuất dựa phương pháp J Lindenstrauss L Tzafriri thực cho trường vô hướng Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo T.S Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học, quí Thầy Cô tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học -Trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học tài nguyên Môi trường Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt học viên cao học khóa 21 Toán Giải tích Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Danh Ni CHƯƠNG KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN MODULAR Chương trình bày kiến thức sở cần dùng sau, đặc biệt lớp không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn không gian dãy modular 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục nhắc lại số kết không gian định chuẩn, không gian Banach cần dùng sau Các kết tìm thấy [3] 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian tuyến tính trường K Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ E ; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép toán cộng nhân vô hướng E liên tục Cho E, F không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F ) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta biết L(E, F ) không gian định chuẩn với chuẩn f = sup f (x) , ∀f ∈ L(E, F ) x =1 Nếu F không gian Banach L(E, F ) không gian Banach Đặc biệt, L(E, K) := E ∗ không gian liên hợp thứ E không gian Banach Các lớp không gian Banach quen thuộc sau quan tâm nhiều luận văn 1.1.2 Ví dụ Giả sử K trường số thực số phức Ký hiệu l∞ = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy bị chặn ; C = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy hội tụ ; C0 = x = (xn ) ⊂ K : lim xn = ; n→∞ ∞ |xn |p < ∞ , p lp = x = (xn ) ⊂ K : n=1 Với phép toán cộng dãy nhân số với dãy thông thường ta có l∞ không gian tuyến tính C , C0 lp không gian l∞ Hơn lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ Ta biết l∞ không gian Banach với chuẩn xác định x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ (1.1) n Đặc biệt C0 , C không gian đóng l∞ , chúng không gian Banach với chuẩn Tuy nhiên lp không đóng l∞ Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định công thức ∞ x p |xn |p = 1/p , ∀x ∈ lp (1.2) n=1 Khi đó, lp không gian Banach 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X → Y 1) ánh xạ f gọi liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x f (xn ) → f (x) 2) ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε) cho: ρ(f (x), f (y)) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ Ta chứng minh ánh xạ liên tục liên tục Mệnh đề ngược lại không 1.1.4 Định nghĩa Cho d, ρ mêtric X 1) d ρ gọi tương đương ánh xạ đồng id : (X, d) → (X, ρ) ánh xạ ngược liên tục 2) d ρ gọi tương đương ánh xạ đồng id : (X, d) → (X, ρ) ánh xạ ngược liên tục Người ta chứng minh d ρ tương đương tồn a, b > cho ad(x, y) ρ(x, y) bd(x, y) với x, y ∈ X Hai chuẩn không gian tuyến tính E gọi tương đương tồn a, b > cho a x x b x với x ∈ E Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng hai mêtric tương đương 1.1.5 Định lý Nếu E, F không gian định chuẩn f : E → F song ánh Khi đó, m x f (x) M x với x ∈ E f đẳng cấu Như vậy, hai chuẩn không gian tuyến tính E tương đương (E, ) (E, ) đẳng cấu Sau đây, ta nhắc lại khái niệm hàm lồi Các kết sau tìm thấy [1] 1.1.6 Định nghĩa Cho hàm thực f : (a, b) → R Hàm f gọi lồi f λx + (1 − λ)y với x, y ∈ (a, b) λ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.3) 1.1.7 Nhận xét Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau: f (t) − f (s) f (u) − f (t) (1.4) t−s u−t với a < s < t < u < b 1.1.8 Mệnh đề Cho f : (a, b) → R hàm lồi c ∈ (a, b) Khi đó, f (x) − f (c) hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định p(x) = không x−c giảm Ngược lại, với c ∈ (a, b) hàm p không giảm f hàm lồi 1.1.9 Hệ Giả sử f hàm khả vi (a, b) Khi đó, f lồi f hàm đơn điệu tăng (a, b) 1.1.10 Hệ Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp (a, b) f (x) > với x ∈ (a, b) f hàm lồi 1.1.11 Ví dụ Từ hệ ta thấy hàm f (x) = ex lồi R y = xp hàm lồi (0, ∞) với p 1.2 Không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn Các kết mục trình bày dạng tổng quát [5] Để tiện cho việc trình bày kết chương trình bày lại theo mục đích Giả sử E không gian định chuẩn trường K Ký hiệu l∞ (E) = x = (xn ) ⊂ E : ( xn ) : dãy số bị chặn ; C(E) = x = (xn ) ⊂ E : (xn ) hội tụ ; C0 (E) = x = (xn ) ⊂ E : lim xn = ; n→∞ ∞ lp (E) = x = (xn ) ⊂ E : xn p < ∞ ,p n=1 Với phép toán cộng dãy nhân số với dãy thông thường ta có l∞ (E) không gian tuyến tính C(E), C0 (E) lp (E) không gian l∞ (E) Hơn lp (E) ⊂ C0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l∞ (E) Nếu E = K ta nhận không gian trình bày Ví dụ 1.1.2 1.2.1 Định lý ([5]) l∞ (E) không gian định chuẩn với chuẩn xác định x = sup xn , (1.5) n với x ∈ l∞ (E) Hơn nữa, E không gian Banach l∞ (E) không gian Banach Chứng minh Dễ dàng kiểm tra (1.5) chuẩn l∞ (E) Ta chứng minh phần lại định lý Giả sử E không gian Banach (xk ) ⊂ l∞ (E) dãy Cauchy Khi đó, với ε > tồn k0 cho xk − xl = sup xkn − xln < ε, ∀k, l k0 (1.6) n Suy ra, với n = 1, 2, ta có xkn − xln < ε với k, l k0 , tức dãy (xkn )∞ k=1 dãy Cauchy E Vì E không gian Banach nên lim xkn = xn ∈ E , với n = 1, 2, Đặt k→∞ k0 cho l → ∞ ta nhận x = (x1 , x2 , , xn , ) Khi đó, từ (1.6) cố định k sup xkn − xn < ε, ∀k (1.7) k0 , n tức xk − x < ε với k k0 , hay xk → x k → ∞ Từ (1.7) suy xkn0 − xn < ε với n Vì xn xkn0 − xn + xkn0 < c < ∞ với n, tức x ∈ l∞ (E) Như l∞ (E) không gian Banach 1.2.2 Định lý ([5]) C(E) C0 (E) không gian đóng l∞ (E) Đặc biệt, E không gian Banach C(E) C0 (E) Chứng minh Ta chứng minh C0 (E) đóng l∞ (E) Giả sử (xk ) ⊂ C(E) xk → x l∞ (E) Khi đó, với ε > tồn k0 cho xk − x = sup xkn − xn < ε, ∀k k0 (1.8) n Vì xk0 ∈ C0 (E) nên tồn n0 cho xkn0 < ε, ∀n n0 Từ (1.8) (1.9) ta nhận xn xkn0 − xn + xkn0 < 2ε (1.9) 10 n0 , tức x ∈ C0 (E) Vì C0 (E) đóng l∞ (E) Nếu với n E không gian Banach l∞ (E) không gian Banach Do đó, không gian đóng C0 (E) không gian Banach Chứng minh tương tự ta kết luận cho C(E) 1.2.3 Định lý ([5]) lp (E) không gian định chuẩn với chuẩn xác định ∞ x p = xn 1/p p , ∀x ∈ lp (E) (1.10) n=1 Hơn nữa, E không gian Banach lp (E) không gian Banach Chứng minh Dễ dàng kiểm tra (1.10) chuẩn l∞ (E) Ta chứng minh phần lại định lý Giả sử E không gian Banach (xk ) ⊂ l∞ (E) dãy Cauchy Khi đó, với ε > tồn k0 cho ∞ k l x −x p xkn − xln = 1/p p < ε, ∀k, l k0 (1.11) n=1 Suy ra, với n = 1, 2, ta có xkn − xln với k, l p t0 Do ρ0 Ta thu Mn0 ( x n0 ) ρ0 Mn0 (t0 ) > Mn xn ρ0 Mn0 ( ∞ n=1 xn0 ) > ρ0 Điều mâu thuẫn với ∞ ρ0 ∈ {ρ > : xn ρ Mn n=1 1} Vì x = x = Do đó, x = x = Để kiểm tra điều kiện chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu x = ∞ Mn n=1 xn x (2.1) Thật vậy, với ε > tồn ρ > cho ρ ∞ Mn n=1 xn ρ x + ε Do tính không giảm hàm M ta suy ∞ Mn n=1 xn x +ε ∞ xn ρ Mn n=1 Cho ε → ta nhận ∞ Mn n=1 xn x Tiếp theo ta λx = |λ| x với x ∈ l(Mn ) (E) với λ ∈ K Trường hợp λ = x = hiển nhiên Nếu λ = x = 17 ∞ λx = inf ρ >0: Mn λxn ρ Mn |λ| xn ρ n=1 ∞ = inf ρ >0: n=1 Đặt ρ = 1 ρ Khi ta có |λ| ∞ λx = inf Mn xn ρ Mn xn ρ Mn xn ρ Mn yn ρ ρ|λ| : n=1 ∞ = |λ| inf ρ: n=1 = |λ| x Cuối cùng, với x, y ∈ l(Mn ) (E) ta đặt ∞ u = x = inf ρ: n=1 ∞ v = y = inf ρ: n=1 Khi ∞ Mn n=1 Giả sử t, s ∈ R cho s ∞ Mn n=1 ∞ Mn n=1 ∞ xn x xn s yn t yn y Mn n=1 u t 1 v Khi đó, ta có ∞ Mn xn x Mn yn y n=1 ∞ n=1 18 Mặt khác ta có xn + yn s xn t yn = + t+s s+t s s+t t Suy xn + y n s+t s xn t Mn Mn + s+t s s+t t s + = s+t s+t x n + yn s+t Mn Mn Do ∞ s+t∈ ρ: Mn n=1 xn + yn ρ yn t Vì ∞ x + y = inf ρ: Mn n=1 xn + y n ρ s + t (2.2) Vì (2.2) với s > x t > y nên ta thu x+y x + y Do l(Mn ) (E) không gian định chuẩn Để chứng minh tính Banach l(Mn ) (E) ta cần bổ đề sau 2.1.4 Bổ đề Nếu dãy (xk ) ⊂ l(Mn ) (E), xk = (xk1 , , xkn , ), k = 1, 2, hội tụ tới l(Mn ) (E) lim xkn = E với k→∞ n = 1, 2, Chứng minh Giả sử khẳng định không Khi đó, tồn n0 cho dãy (xkn0 ) không hội tụ tới E Vì vậy, tồn dãy (kj ) r > k cho xnj0 r Ta có 19 ∞ kj x = inf k ρ>0: Mn n=1 xnj ρ Suy ∞ k k xnj xkj Mn n=1 Mn0 xnjo xkj r xkj Mn0 (2.3) với kj Cho kj → ∞ với để ý xkj → ta nhận Mn0 r xkj ∞ Mâu thuẫn với (2.3) Ta nhận điều cần chứng minh 2.1.5 Định lý Nếu E không gian Banach l(Mn ) (E) không gian Banach Chứng minh Giả sử (xk ) dãy Cauchy l(Mn ) (E) Ta cần (xk ) hội tụ tới x ∈ l(Mn ) (E) Thật vậy, (xk ) dãy Cauchy nên ∞ k x −x l = inf ρ: M n=1 xkn − xln ρ →0 (2.4) k, l → ∞ Theo Bổ đề 2.1.4 với n = 1, 2, ta có xkn − xln → k, l → ∞ Do đó, (xkn ) dãy Cauchy E với n = 1, 2, Vì E đầy đủ nên lim xkn := xn ∈ E Đặt x = (x1 , , xn , ) Với ε > 0, k→∞ từ (2.4) tồn k0 cho ∞ k l x −x = inf ρ: Mn n=1 với k, l xkn − xln ρ k0 Trong bất đẳng thức cố định k k0 Tức xk hội tụ tới x.Ta nhận l(Mn ) (E) không gian Banach Ta nhận hệ sau trình bày [6] 2.1.6 Hệ l(Mn ) (K) không gian Banach Mệnh đề sau ví dụ không gian modular 2.1.7 Định lý Nếu Mn (t) = (p 1) l(Mn ) (E) = lp (E) Chứng minh Ta chia chứng minh thành bước Bước ta hai tập hợp l(Mn ) (E) lp (E) Bước ta chuẩn xác định chúng trùng ∞ Lấy x thuộc l(Mn ) Khi Vì Mn (t) = nên ta n=1 xn p ∞ ρ n=1 ∞ xn n=1 p Mn xn ρ < ∞ với ρ < K < ∞ với ρ Do < Kρp < ∞ Vậy x ∈ lp (E) Tức l(Mn ) (E) ⊂ lp (E) Chiều ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa Bây giờ, ta x = x p với x ∈ l(Mn ) (E) Thật vậy, với 21 x ∈ l(Mn ) (E) ta có ∞ x = inf ρ > : xn ρ Mn n=1 ∞ = inf ρ > : xn p ρp n=1 ∞ = inf ρ > : xn p 1/p ρ n=1 = inf ρ > : x p ρ} = x p 2.2 Một số tính chất không gian không gian l(Mn ) (E) Mục dành cho nghiên cứu số tính chất không gian quan trọng l(Mn ) (E) Với dãy hàm Orlicz Mn không gian định chuẩn E ta đặt ∞ h(Mn ) (E) = x = (xn ) ⊂ E : Mn n=1 xn ρ < ∞ với ρ > 2.2.1 Định lý h(Mn ) (E) không gian đóng l(Mn ) (E) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh h(Mn ) (E) không gian l(Mn ) (E) Giả sử x, y ∈ h(Mn ) (E) α ∈ K Khi đó, α = αx = ∈ h(Mn ) (E) ∞ Nếu α = từ Mn n=1 có ∞ Mn n=1 Khi αx ∈ h(Mn ) (E) xn ρ xn ρ < ∞ với ρ > ta lấy ρ = ∞ = Mn n=1 αxn ρ < ∞ ρ ta |α| 22 ∞ Từ chứng minh ta suy 2x, 2y ∈ h(Mn ) (E) Do ∞ 2yn ρ n=1 lồi hàm M ta có ∞ Mn Mn M n=1 2xn ρ < ∞ với ρ > Với n = 1, 2, , từ tính xn + yn ρ 2xn 2yn = Mn + ρ ρ 2xn 1 + Mn Mn ρ xn + yn ρ Mn 2xn ρ Do ∞ Mn n=1 xn + yn ρ ∞ 2xn ρ Mn n=1 + ∞ Mn n=1 2yn ρ < ∞ Vì x + y ∈ h(Mn ) (E) Tiếp theo ta chứng minh h(Mn ) (E) đóng l(Mn ) (E) Giả sử (xk ) dãy h(Mn ) (E) xk hội tụ tới x l(Mn ) (E) Khi đó, với ε > tồn k0 cho ∞ k x − x = inf ρ > : Mn n=1 với k xkn − xn ρ < ε k0 Vì ∞ Mn n=1 xkn0 − xn ε (2.7) Mặt khác, xk0 ∈ h(Mn ) (E) nên ∞ Mn n=1 xkn0 ε < ∞ (2.8) < 23 Do tính không giảm lồi hàm Mn ta có Mn xn ε Mn Mn xkn0 − xn xkn0 + ε ε k xn0 − xn + Mn ε 2 xkn0 ε (2.9) với n Từ (2.7), (2.8) (2.9) ta nhận ∞ Mn n=1 xn ε < ∞ Vì ε > tùy ý nên ta có x = (xn ) ∈ h(Mn ) (E) Ta nhận hệ sau 2.2.2 Hệ Nếu E không gian Banach h(Mn ) (E) không gian Banach Chúng đề xuất định nghĩa sau cho dãy hàm Orlicz 2.2.3 Định nghĩa Dãy hàm Orlicz (Mn ) gọi suy biến Mn suy biến với n, inf{t > : Mn (t) = với n} > sup{t > : Mn (t) < với n} < ∞ Ví dụ sau cho dãy hàm Orlicz suy biến 2.2.4 Ví dụ Xét dãy hàm (Mn ) xác định Mn (t) = t n+2 (t − 1) t > 1 Khi đó, dễ dàng kiểm tra Mn (t) Orlicz với n inf{t > : Mn (t) = 0} = sup{t > : Mn (t) < với n} Vì vậy, (Mn ) dãy hàm Orlicz suy biến Ví dụ sau cho thấy dãy hàm Orlicz suy biến không suy biến 24 2.2.5 Ví dụ Xét dãy hàm (Mn ) xác định   0 Mn (t) = 2n   t− t > n t n n Khi đó, dễ dàng kiểm tra Mn (t) Orlicz với n inf{t > : Mn (t) = 0} = Vì vậy, (Mn ) dãy hàm Orlicz suy biến không 2.2.6 Định lý Nếu Mn dãy hàm Orlicz suy biến 1) l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E); 2) h(Mn ) (E) đẳng cấu với C0 (E) Chứng minh 1) Từ Định lý 2.1.1 ta có l(Mn ) (E) ⊂ l∞ (E) Giả sử (Mn ) suy biến Đặt T0 = inf{t > : Mn (t) = với n} > Khi Mn (t) = với t < T0 với n Với x = (xn ) ∈ l∞ (E) ta đặt k = sup xn < ∞ n Lấy ρ = 2k ta thu T0 xn T0 xn = ρ 2k T0 với n Từ tính chất không giảm Mn (t) ta có xn ρ Mn ∞ với n Ta nhận Mn n=1 Mn xn ρ T0 =0 = Hay x = (xn ) ∈ l(Mn ) (E) Vì l∞ (E) = l(Mn ) (E) Để chứng minh l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E) ta phải chuẩn chúng tương đương Để ý l∞ (E) xét với chuẩn x ∞ = sup xn n 25 2k T0 Từ chứng minh ta có, với ρ = ∞ xn ρ Mn n=1 =0 : xn ρ Mn n=1 1} 2k x ∞ = T0 T0 Như vậy, x T0 x ∞ (2.10) với x ∈ l(Mn ) (E) Bây giờ, từ điều kiện (Mn ) suy biến suy T1 = sup{t > : Mn (t) < với n} < ∞ Vì ∞ x = inf{ρ > : Mn n=1 ∞ suy Mn n=1 xn x xn ρ 1} với x ∈ l(Mn ) (E) x = Ta có Mn xn x với n Do tính không giảm (Mn ) nên xn x T1 với n Ta thu x ∞ = sup xn T1 x (2.11) n với x = Bất đẳng thức rõ ràng với x = Từ (2.10) (2.11) suy chuẩn l∞ (E) l(Mn ) (E) tương đương l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E) 2) Vì C0 (E) không gian đóng l∞ (E) h(Mn ) (E) không gian đóng l(Mn ) (E), (Mn ) suy biến l(Mn ) (E) đẳng cấu với 26 l∞ (E) nên để chứng minh h(Mn ) (E) đẳng cấu với C0 (E) ta cần h(Mn ) (E) = C0 (E) M suy biến ∞ Giả sử x = (xn ) ∈ h(Mn ) (E) Khi ρ > Nếu x ∈ / C0 (E) xn (xnk ) cho xnk Khi suy Mn n=1 xn ρ xnk ρ n→∞ n=1 xn ρ r ρ 2T0 < ∞ Tuy nhiên, với nk Do lim Mn Mn < ∞ với r > với nk Lấy ρ cho Mnk ∞ n=1 n → ∞ Suy tồn dãy xnk ρ ∞ xn ρ Mn r ρ xn ρ x nk ρ 2T0 với nk nên M (2T0 ) > = Mâu thuẫn với hội tụ chuỗi Vì h(Mn ) (E) ⊂ C0 (E) Ngược lại, giả sử x = (xn ) ∈ C0 (E) Ta x ∈ h(Mn ) (E) Thậy vậy, với ρ > tùy ý Khi đó, từ lim xn = suy tồn n0 n→∞ xn cho xn < ρT0 với n n0 Hay < T0 với n n0 Vì ρ xn Mn ( ) = với n n0 Ta thu ρ ∞ Mn n=1 xn ρ n0 −1 = Mk k=1 xn ρ < ∞ Vì x = (xn ) ∈ h(Mn ) (E) Do C0 (E) ⊂ h(Mn ) (E) Từ ta có C0 (E) = h(Mn ) (E) Khái niệm sau đề xuất dựa khái niệm điều kiện ∆q hàm Orlicz 2.2.7 Định nghĩa Dãy hàm Orlicz (Mn ) gọi thỏa mãn điều Mn (qt) < ∞ với q > kiện ∆q lim supn t→0 Mn (t) 27 2.2.8 Ví dụ Với n ta xét hàm Mn (t) = với p n Khi (Mn ) dãy hàm thỏa mãn điều kiện ∆q 2.2.9 Bổ đề Dãy hàm Orlicz (Mn ) thỏa mãn điều kiện ∆q với q > thỏa mãn điều kiện ∆2 Chứng minh Giả sử (Mn ) thỏa mãn điều kiện ∆2 Khi đó, với q q > tồn k0 cho k < Khi đó, với n ta có 20  k0 +1 qt qt qt qt Mn 2k0 Mn 2k0 +1 Mn (2t)  Mn (qt) Mn 2 Mn 22 = < sup qt qt qt qt Mn (t) Mn (t) Mn Mn 22 Mn 2k0 Mn 2k0 +1 t với để ý Mn qt 2k0 ≤ M (2t) Ta thu M (qt) ≤ lim sup ≤ lim sup t→0 n M (t) t→0 n M (2t) M (t) k0 +1 < ∞ Vậy M thỏa mãn điều kiện ∆q Chiều ngược lại hiển nhiên 2.2.10 Định nghĩa Dãy hàm (Mn ) hàm Orlicz gọi không suy biến (Mn ) không suy biến với n lim Mn (tn ) = n→∞ lim tn = n→∞ Định lý sau đưa điều kiện để h(Mn ) (E) = l(Mn ) (E) 2.2.11 Định lý Giả sử (Mn ) dãy hàm Orlicz không suy biến E không gian định chuẩn Khi đó, Mn thỏa mãn điều kiện ∆2 với n l(Mn ) (E) = h(Mn ) (E) Chứng minh Giả sử (Mn ) thỏa mãn điều kiện ∆2 Khi đó, theo Bổ đề 2.2.9 ta có (Mn ) thỏa mãn điều kiện ∆q với q > Lấy x ∈ l(Mn ) (E) Khi đó, tồn ρ0 > cho ∞ Mn n=1 xn ρ0 < ∞ 28 xn ρ0 Ta thu lim Mn n→∞ = Do (Mn ) không suy biến nên xn < với n n0 Khi n→∞ ρ0 ρ0 đó, với ρ > áp dụng điều kiện ∆q với q = ta có tồn K > ρ cho ρ0 t Mn < KMn (t) ρ lim xn ρ0 = Do đó, tồn n0 cho với < t Như Mn ( với n xn ρ0 xn ) ) = Mn ( ρ ρ ρ0 xn ) ρ0 KM ( n0 Ta thu ∞ Mn n=1 xn ρ n0 = Mk k=1 n0 Mk k=1 ∞ ∞ xk ρ + xn ρ +K Mn n=n0 +1 ∞ Mn n=n0 +1 xn ρ xn ρ0 < ∞ xn ) < ∞ với ρ > 0, tức x ∈ h(Mn ) (E) Do ρ n=1 l(Mn ) (E) ⊂ h(Mn ) (E) Vì l(Mn ) (E) = h(Mn ) (E) Như M( 29 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày số tính chất không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn Xây dựng cấu trúc tuyến tính (Định lý 2.1.2), cấu trúc định chuẩn (Định lý 2.1.4) cho không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn xác định hàm Orlicz đưa số tính chất chúng thể Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.5 Định lý 2.1.7 Đưa số tính chất lớp không gian không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn xác định hàm Orlicz thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.7 Định lý 2.2.11 Đưa số ví dụ minh họa cho kết 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân Kiều Phương Chi (2014), Độ đo tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT [2] Hà Huy Bảng (2003),Lý thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [4] Trương Thị Thu Hiền (2014), Về không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn xác định hàm Orlicz, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [5] Nguyễn Thị Phương Loan (2001), Không gian dãy Kothe, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [6] J Lindenstrauss and L Tzafriri (1977), Classical Banach spaces I Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin-New York [...]... này do chúng tôi đề xuất dựa trên các kết quả đã biết đối với dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bày trong tài liệu [6] 2.1 Xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn Mục này, nghiên cứu phương pháp xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn Giả sử (Mn ) là dãy các hàm Orlicz và E là một không gian định chuẩn trên trường K Ta ký hiệu... thu được các kết quả chính sau: 1 Trình bày một số tính chất cơ bản của không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn 2 Xây dựng cấu trúc tuyến tính (Định lý 2.1.2), cấu trúc định chuẩn (Định lý 2.1.4) cho không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và đưa ra một số tính chất của chúng thể hiện ở Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.5 và Định lý... người ta thu được các kết quả sau 12 1.3.4 Định lý ([6]) h(Mn ) là không gian con đóng của l(Mn ) 1.3.5 Định lý ([6]) Nếu Mn (t) = tp với p l(Mn ) = h(Mn ) = lp 1 và với mọi n thì 13 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN DÃY MODULAR NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chương này, nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn Các kết quả của... Định lý ([6]) l(Mn ) là không gian Banach với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường và chuẩn xác định bởi ∞ x = inf ρ > 0 : Mn n=1 |xn | ρ 1 , với mọi x ∈ l(Mn ) Không gian định chuẩn l(Mn ) được gọi là không gian modular hay không gian các dãy modular Đặc biệt, nếu dãy (Mn ) là dãy hằng, tức là Mn = M với mọi n thì không gian modular là không gian Orlicz Với mỗi dãy các. .. số tính chất của một lớp không gian con của không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz thể hiện ở các Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.7 và Định lý 2.2.11 Đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân và Kiều Phương Chi (2014), Độ đo và tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT [2] Hà Huy... (2003),Lý thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập I và Tập II, NXB Giáo Dục [4] Trương Thị Thu Hiền (2014), Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [5] Nguyễn Thị Phương Loan (2001), Không gian các dãy Kothe, Luận... tính chất của không gian con của không gian l(Mn ) (E) Mục này dành cho nghiên cứu một số tính chất của một không gian con quan trọng của l(Mn ) (E) Với mỗi dãy hàm Orlicz Mn và không gian định chuẩn E ta đặt ∞ h(Mn ) (E) = x = (xn ) ⊂ E : Mn n=1 xn ρ < ∞ với mọi ρ > 0 2.2.1 Định lý h(Mn ) (E) là không gian con đóng của l(Mn ) (E) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh h(Mn ) (E) là không gian con của l(Mn... tức là xk0 − x ∈ l(Mn ) (E) Do l(Mn ) (E) là không gian tuyến tính nên x = xk0 − (xk0 − x) ∈ l(Mn ) (E) Ta nhận được xk − x < ε với mọi k > k0 Tức là xk hội tụ tới x.Ta nhận được l(Mn ) (E) là không gian Banach Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6] 2.1.6 Hệ quả l(Mn ) (K) là không gian Banach Mệnh đề sau như là ví dụ về không gian modular 2.1.7 Định lý Nếu Mn (t) = tp (p 1) thì l(Mn ) (E)... Không gian modular Mục này trình bày khái niệm, ví dụ về hàm Orlicz và không gian các dãy số modular 1.3.1 Định nghĩa ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz nếu 1) M là hàm không giảm, liên tục; 2) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞; t→∞ 3) M là hàm lồi Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0 1.3.2 Ví dụ Các hàm M (t) = tp ; M (t) = tet là hàm Orlicz Giả sử (Mn ) là dãy các. .. Do đó l(Mn ) (E) là không gian định chuẩn Để chứng minh tính Banach của l(Mn ) (E) ta cần bổ đề sau 2.1.4 Bổ đề Nếu dãy (xk ) ⊂ l(Mn ) (E), trong đó xk = (xk1 , , xkn , ), k = 1, 2, hội tụ tới 0 trong l(Mn ) (E) thì lim xkn = 0 trong E với mọi k→∞ n = 1, 2, Chứng minh Giả sử khẳng định không đúng Khi đó, tồn tại n0 sao cho dãy (xkn0 ) không hội tụ tới 0 trong E Vì vậy, tồn tại dãy (kj ) và r > 0 ... chuẩn dãy nhận giá trị không gian định chuẩn, xây dựng không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn đưa số tính chất chúng Chương Không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn không. .. không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn, lựa chọn đề tài: Về không gian dãy modular nhận giá trị không gian định chuẩn Nội dung luận văn trình bày số kết biết không gian định chuẩn. .. không gian modular Chương nhằm mục đích trình bày không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn; hàm Orlicz không gian dãy số modular Chương Không gian dãy modular nhận giá trị không gian định